Część 2 12. DZIAA
ANIE MOMENTU SKR
CAJ
CEGO 1
12.

DZIAA
ANIE MOMENTU SKR
CAJ
CEGO
12.1. ZALEŻNOŚCI PODSTAWOWE
12.1.1. Podstawy teorii skręcania swobodnego prętów sprężystych
Rozważmy jednorodny, izotropowy, liniowo-sprężysty pręt pryzmatyczny poddany czystemu skręca-
niu (rys. 12.1). Problem skręcania rozwiążemy w sposób wskazany w 1855 roku przez de Saint-Venanta.
Przyjmujemy mianowicie, że przekroje pręta nie ulegają odkształceniom postaciowym, tzn. w procesie
deformacji zachowują swój pierwotny kształt. Zgodnie z powyższą hipotezą kinematyczną dwa przekroje
oddalone od siebie o x1 obracajÄ… siÄ™ wzglÄ™dem siebie wokół podÅ‚użnej osi prÄ™ta o kÄ…t skrÄ™cenia È.
Uwzględnimy jednak możliwość deplanacji (spaczenia) przekrojów, które przed odkształceniem były
płaskie. Dopuszczamy więc możliwość wystąpienia przemieszczeń u1 wzdłuż osi pręta x1. Okazuje się, że
przy powyższych założeniach uzyskuje się ścisłe rozwiązanie problemu skręcania na gruncie teorii sprę-
żystości.
Rys. 12.1
Zasadnicze rozważania przeprowadzimy w zapisie wskaz
nikowym. Z podanych wyżej założeń kine-
matycznych dla bardzo małych wartości kąta skręcenia wynikają następujące związki:
u1 = ¸ Å"t x2, x3 ,
( )
u2 =-È Å" x3 =-¸ Å" x1x3, (12.1)
u3 = È Å" x2 = ¸ Å" x1x2.
gdzie t(x2, x3) jest tzw. funkcjÄ… deplanacji, kÄ…t ¸ = dÈ / dx1i nazywa siÄ™ jednostkowym kÄ…tem skrÄ™cenia.
Ponieważ pręt jest jednorodny i pryzmatyczny, więc podczas czystego skręcania (M = const) jednostko-
wy kat skrÄ™cenia ma wartość staÅ‚Ä… ¸ = È (l) / l , gdzie l jest dÅ‚ugoÅ›ciÄ… prÄ™ta.
Rozważany problem nosi nazwę skręcania swobodnego. Określenie to wiąże się z założeniem, że
wszystkie przekroje pręta mają swobodę deplanacji. Dlatego rozwiązanie tak sformułowanego zagadnie-
Andrzej Gawęcki -  Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych 2003r. Alma Mater
Część 2 12. DZIAA
ANIE MOMENTU SKR
CAJ
CEGO 2
nia ma charakter przybliżony. W praktyce istnieje wiele takich przypadków, w których skręcanie swo-
bodne nie występuje. Mamy tu na myśli np. pełne utwierdzenie pręta na podporze, gdzie przekrój musi
pozostać płaski, tzn. u1 = 0. Podobna sytuacja występuje w środkowym przekroju pręta, który jest obcią-
żony skupionym momentem skręcającym w połowie długości. W tych przypadkach powinno się stosować
teorię skręcania nieswobodnego.
W praktyce efekty skręcania nieswobodnego trzeba uwzględniać tylko w przekrojach cienkościennych.
Problematykę tę omówimy w rozdziale 13. (por. również p. 12.1.6).
Wzory (12.1) pozwalają obliczyć odkształcenia ze związków geometrycznych (por. wzór (2.6)):
üÅ‚
µ11 = µ22 = µ33 = µ23 = 0, ôÅ‚
ôÅ‚
1 ôÅ‚
µ12 = ¸ Å" t,2 -x3 , (12.2)
( )
żł
2
ôÅ‚
1
ôÅ‚
µ13 = ¸ Å" t,3+x2 .
( )
ôÅ‚
2 þÅ‚
Stan odkształcenia obrazuje macierz:
0 µ12 µ13
îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚µ 0 0 śł
e = . (12.2a)
21
ïÅ‚ śł
ïÅ‚
31 ûÅ‚
ðÅ‚µ 0 0 śł
Z kolei ze związków fizycznych (wzory (5.4)) otrzymujemy naprężenia:
Ã11 = Ã22 = Ã33 = Ã23 = 0,
üÅ‚
ôÅ‚
Ã12 = G¸ Å" (t,2 -x3), (12.3)
żł
ôÅ‚
Ã13 = G¸ Å" (t,3-x2 ),
þÅ‚
a macierz naprężeń przyjmuje postać:
0 Ã12 Ã13
îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚Ã 0 0 śł
s = . (12.3a)
21
ïÅ‚ śł
ïÅ‚
31 ûÅ‚
ðÅ‚Ã 0 0 śł
Wykorzystamy jeszcze równania różniczkowe równowagi naprężeń (wzór (1.9)) dla pręta nieważkie-
go (Gi = 0):
Å„Å‚ Ã11,1 + Ã21,2 + Ã31,3 = 0,
ôÅ‚
à = 0: Ã12,1 + Ã22,2 + Ã32,3 = 0,
òÅ‚
ji, j
ôÅ‚ Ã13,1 + Ã23,2 + Ã33,3 = 0,
ół
które po uwzględnieniu równań (12.3) prowadzą do zależności:
Ã21,2 + Ã31,3 = 0, üÅ‚
ôÅ‚
Ã12,1 = 0, (12.4)
żł
ôÅ‚
Ã13,1 = 0.
þÅ‚
Równania (12.4)2 i (12.4)3 są spełnione tożsamościowo. Pozostaje więc tylko równanie (12.4)1. Po pod-
stawieniu wzoru (12.3) do (12.4)1 otrzymujemy równanie różniczkowe Laplace'a na funkcję deplanacji:
t,22 + t,33 = 0
lub
2 2
" "
"2t = 0, gdzie "2 = + . (12.5)
2 2
"x2 "x3
Andrzej Gawęcki -  Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych 2003r. Alma Mater
Część 2 12. DZIAA
ANIE MOMENTU SKR
CAJ
CEGO 3
Funkcja deplanacji t(x2, x3) jest więc funkcją harmoniczną.
Aby wyznaczyć naprężenia, wygodnie jest wprowadzić pewną funkcję F(x2, x3), zwaną funkcją na-
prężeń. Jeżeli przyjmiemy, że
Ã12 = F,3 ,ôÅ‚
üÅ‚
(12.6)
Ã13 =-F,2 .żł
ôÅ‚
þÅ‚
to funkcja naprężeń F(x2, x3) spełnia tożsamościowo równanie równowagi (12.4)1.
Równanie problemu skręcania otrzymujemy na podstawie wzorów (12.6). Po zróżniczkowaniu rów-
nania (12.6)1 względem x3, a równania (12.6)2 względem x2 mamy:
Ã12,3 = F,33 = G¸ Å" t,23 -1 ,
( )
Ã13,2 = F,22 = -G¸ Å" t,32 + 1 .
( )
Jeśli funkcja deplanacji t(x2, x3) jest ciągła wraz z drugimi pochodnymi, to t,23 = t,32 i po dodaniu stro-
nami uzyskujemy poszukiwane równanie skręcania, wyrażone przez funkcję naprężeń:
"2F = -2G¸. (12.7)
Jest to równanie różniczkowe Poissona.
Należy jeszcze przeanalizować warunki brzegowe odpowiadające temu równaniu. Warunki te są okre-
ślone przez warunki na powierzchniach bocznych ograniczających pręt (wzór (1.7b)):
pi(n) = Ã n .
ji j
( ( (
Pobocznica pręta jest wolna od naprężeń, więc p1n) = p2n) = p3n) = 0. Zatem
(
p1n) = Ã11n1 + Ã21n2 + Ã31n3 = 0,
(
p2n) = Ã12n1 + Ã22n2 + Ã32n3 = 0,
(
p3n) = Ã13n1 + Ã23n2 + Ã33n3 = 0.
Ponieważ w pręcie pryzmatycznym n1 = 0, a n2 = "x3 / "c i n3 = -"x2 / "c (por. rys. 12.2), pozostaje
tylko pierwsze z równań:
à n2 + à n3 = 0 . (12.8)
21 31
Rys. 12.2
Z zależnoÅ›ci (12.8) wynika, że naprężenia Ã12 i Ã13 muszÄ… przybierać takie wartoÅ›ci, by wypadkowe
naprężenie Ä1 byÅ‚o styczne do konturu przekroju. Warto przypomnieć, że w identyczny sposób ustalili-
Andrzej Gawęcki -  Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych 2003r. Alma Mater
Część 2 12. DZIAA
ANIE MOMENTU SKR
CAJ
CEGO 4
śmy kierunek wypadkowego naprężenia t1 = tx*) w punktach konturu przekroju przy omawianiu działa-
nia siły poprzecznej (por. wzór (11.7)).
Po wprowadzeniu funkcji naprężeń do warunku (12.8) mamy:
- F,3n2 + F,2n3 = 0
lub
"F "x3 "F "x2
Å" + Å" = 0.
"x3 "c "x2 "c
Lewa strona powyższego równania jest pochodną funkcji F = F x2(c), x3(c) względem zmiennej c, mie-
[]
rzonej wzdłuż linii tworzącej kontur przekroju:
dF "F "x3 "F "x2
= Å" + Å" .
dc "x3 "c "x2 "c
Warunek ten można zapisać krócej:
dFc
= 0,
dc
gdzie Fc oznacza wartości funkcji F na konturze przekroju pręta. Wynika stąd, że
Fc = const.
Funkcja naprężeń musi na konturze przekroju przyjmować jednakową wartość. Najwygodniej jest przy-
jąć, że brzegowa wartość funkcji Fc jest równa zeru:
Fc = 0. (12.9)
Rys. 12.3
Warunek (12.9) jest poszukiwanym warunkiem brzegowym funkcji naprężeń, spełniającej równanie róż-
niczkowe skręcania (12.7). Przebieg funkcji naprężeń obrazuje rys. 12.3a. Na rysunku 12.3b przedsta-
*)
tx a" t1 = txy + txz.
Andrzej Gawęcki -  Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych 2003r. Alma Mater
Część 2 12. DZIAA
ANIE MOMENTU SKR
CAJ
CEGO 5
wiono plan warstwicowy powierzchni F(x2, x3). Rozważmy jeszcze pewien punkt warstwicy F(x2, x3) =
const. Na krzywej tej przyrost funkcji F jest równy zeru, tzn.
dF "F "x2 "F "x3
= Å" + Å" = 0,
dc1 "x2 "c1 "x3 "c1
ale
"F "F
=-Ã13, = Ã12,
"x2 "x3
skÄ…d
Ã12 dx2
= .
Ã13 dx3
Z ostatniej zależności (por. rys. 12.3c) wynikają następujące wnioski:
- wektor naprężenia t1 = Ã12·e2 + Ã13·e3 jest w każdym punkcie styczny do warstwicy F(x2,x3) =
const; warstwice funkcji F są więc trajektoriami naprężeń stycznych,
- wartość wypadkowego naprężenia stycznego obliczona z zależności
2 2
Ä1 = Ã12 + Ã13 = F ,3 + F ,2
( )2 ( )2
pozwala traktować to naprężenie jako moduł gradientu funkcji naprężeń F,
Ä1 = grad(F ) .
Jeśli uda się nam wyznaczyć funkcję naprężeń, możemy obliczyć jednostkowy kąt skręcenia
z definicji momentu skręcającego:
M = Å" x2 - Ã12 Å" x3 dA = F,2Å"x2 - F,3Å"x3 dA =
)
13
+"(Ã ) +"(-
A A
=- F,2 x2dx2dx3 - F,3 x3dx2dx3.
+" +"
A A
Po wykonaniu całkowania przez części oraz uwzględnieniu, że Fc = 0 otrzymujemy:
M = 2 F x2, x3 dA . (12.10)
( )
+"
A
Moment skręcający równa się więc podwójnej objętości ograniczonej powierzchnią F(x2, x3) oraz płasz-
czyznÄ… przekroju.
Jeżeli do rozwiązania stosujemy funkcję deplanacji t(x2, x3), a nie funkcję naprężeń F(x2, x3), to waru-
nek brzegowy (12.8) po wykorzystaniu równań (12.3) prowadzi do zależności:
t,2 - x3 n2 + t,3 + x2 n3 = 0. (12.11)
( ) ( )
Funkcja t(x2,x3) musi być tak obrana, by na konturze przekroju spełniała warunek (12.11). Drugi sposób
rozwiązania problemu skręcania polega więc na wyznaczeniu funkcji deplanacji t(x2, x3), która spełnia
równanie Laplace'a (12.5) i warunek brzegowy (12.11) w każdym punkcie konturu przekroju.
12.1.2. Skręcanie pręta o przekroju eliptycznym
Kontur przekroju pręta jest opisany równaniem:
Andrzej Gawęcki -  Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych 2003r. Alma Mater
Część 2 12. DZIAA
ANIE MOMENTU SKR
CAJ
CEGO 6
y2 z2
(a) + -1 = 0,
a2 b2
gdzie a i b (a e" b) są głównymi osiami sprzężonymi elipsy (por. rys. 12.4).
Rys. 12.4
Zastosujemy funkcję naprężeń o następującej postaci:
ëÅ‚
y2 z2 öÅ‚
(b) F y, z = mÅ"ìÅ‚ + - 1÷Å‚,
( )
ìÅ‚
a2 b2 ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
gdzie m jest pewną stałą. Z budowy wzoru (b) wynika, że warunek brzegowy na konturze przekroju jest
spełniony (Fc = 0). Stałą m obliczymy przez podstawienie funkcji F(y, z) do równania różniczkowego
(12.7):
ëÅ‚ 1 1 öÅ‚
"2F = 2mìÅ‚ + =-2G¸,
÷Å‚
íÅ‚
a2 b2 Å‚Å‚
skÄ…d
a2b2
m =-G¸ Å" .
a2 + b2
Wobec tego
a2b2 ëÅ‚ y2 z2 öÅ‚
ìÅ‚
(c) F (y, z) =-G¸ Å" Å" + - 1÷Å‚.
a2 + b2 ìÅ‚ a2 b2 ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
Na podstawie wzoru (12.10) otrzymujemy:
Å‚Å‚
a2b2 îÅ‚ 11
ïÅ‚
M = 2 FdA = 2G¸ y2dA - z2dAśł =
+"+"
+"dA - +"
a2 + b2 ïÅ‚ a2 b2 śł
AA ûÅ‚
ðÅ‚A A
a2b2 ëÅ‚ 1 1
(d) = 2G¸ A - Jz - JyöÅ‚.
ìÅ‚ ÷Å‚
a2 + b2 íÅ‚ a2 b2 Å‚Å‚
Dla elipsy momenty bezwładności Jy i Jz oraz pole przekroju wynoszą:
1 1
Jy = Ä„b3a, Jz = Ä„ba3, A = Ä„ab,
4 4
co po podstawieniu do równania (d) prowadzi do zależności:
Ä„a3b3
(e) M = Å"G¸ .
a2 + b2
Gdy uwzglÄ™dnimy wartość iloczynu G¸ obliczonÄ… ze wzoru (e), to na podstawie wzoru (c) otrzymamy
ostateczną postać funkcji naprężeń F(y, z) :
ëÅ‚
M y2 z2 öÅ‚
+ -1÷Å‚.
(f) F( y,z) =- ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚
Ä„ab
a2 b2
íÅ‚ Å‚Å‚
Andrzej Gawęcki -  Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych 2003r. Alma Mater
Część 2 12. DZIAA
ANIE MOMENTU SKR
CAJ
CEGO 7
Naprężenia styczne zmieniają się liniowo. Wynika to z zależności (12.6):
"F
Å„Å‚ Ä = = - 2M
Å" z,
xy
ôÅ‚
"z
ôÅ‚ Ä„ab3
(g)
òÅ‚
ôÅ‚ Ä xz =- "F = 2M Å" y.
ôÅ‚
"y
Ä„a3b
ół
Dosyć istotne dla dalszych rozważaÅ„ jest to, że moment skrÄ™cajÄ…cy przenoszony przez naprężenia Äxy
jest równy M/ 2 . TakÄ… samÄ… część momentu przenoszÄ… oczywiÅ›cie naprężenia Äxz. Wniosek ten wynika z
następującego obliczenia:
2M 2M 1
Å„Å‚M Äxz = Å" y dA = y2dA = Å" Jz = M,
(z)
( )
xz
ôÅ‚
+"Ä Ä„a3b+"
2
Ä„a3b
ôÅ‚
A A
(h)
òÅ‚
2M 2M 1
2
ôÅ‚M ( y) Ä xy
( )=- xy
+"Ä Å" z dA = Ä„a3b +"z dA = Ä„ab3 Å" Jy = 2 M.
ôÅ‚
ół A A
Warto również zwrócić uwagÄ™, że pola każdego z wykresów naprężeÅ„ wypadkowych Äx sÄ… zawsze jed-
nakowe
2M a 2M b M
AÄx = Å" = Å" = .
2
Ä„a2b Ä„ab2 2 Ä„ab
Największe naprężenia występują więc w punktach konturu leżących najbliżej środka ciężkości przekroju
(tzn. w punktach B i D na rys. 12.5). Ponieważ a e" b, więc
2M M
(i) Ä = = ,
x
max
Ä„ab2 Ws
gdzie Ws =Ä„ab2 / 2 i oznacza tutaj tzw. wskaz
nik wytrzymałości na skręcanie.
Aby wyznaczyć przemieszczenia, trzeba określić funkcję deplanacji t(y, z). Funkcję tę najwygodniej
obliczymy z jednego z równań (12.3):
Ä
" t 2M a2 - b2
xy
= + z =- Å" z + z =- Å" z.
"y G¸
G¸Ä„ab3 a2 + b2
Po scałkowaniu tego równania otrzymamy:
a2 - b2
t( y, z) =- Å" yz + C.
a2 + b2
Stałą C wyznaczymy z uwzględnieniem wymagania, by punkty leżące na osi pręta nie doznawały prze-
mieszczeń. Inaczej mówiąc przyjmujemy, że oś pręta nie wydłuża się i nie skraca. Mamy więc t(0,0) = 0,
skÄ…d C = 0.
a2 - b2
(j) t( y, z) =- Å" yz .
a2 + b2
Z równania (e) można obliczyć jednostkowy kąt skręcenia:
M
(k) ¸ = ,
GîÅ‚Ä„a3b3 / a2 + b2 Å‚Å‚
( )
ïÅ‚ śł
ðÅ‚ ûÅ‚
a ze wzorów (12.1) współrzędne wektora przemieszczenia:
Andrzej Gawęcki -  Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych 2003r. Alma Mater
Część 2 12. DZIAA
ANIE MOMENTU SKR
CAJ
CEGO 8
Å„Å‚
ôÅ‚ M
Å" yz,
ôÅ‚u1 = u = ¸ Å" t = -
GîÅ‚Ä„a3b3 / a2 - b2 Å‚Å‚
ôÅ‚ ( )
ïÅ‚ śł
ðÅ‚ ûÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚u = v = -¸ Å" x1x3 = - M
Å" xz,
òÅ‚
(l) 2
ôÅ‚ GîÅ‚Ä„a3b3 / a2 + b2 Å‚Å‚
( )
ïÅ‚ śł
ðÅ‚ ûÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
M
Å" xy.
3
ôÅ‚u = w = ¸ Å" x1x2 =
GîÅ‚Ä„a3b3 / a2 + b2 Å‚Å‚
ôÅ‚
( )
ïÅ‚ śł
ðÅ‚ ûÅ‚
ół
Rys. 12.5
Warstwice funkcji u(y, z) są hiperbolami. Na rysunku 12.5b warstwice oznaczone liniami ciągłymi
odpowiadają wartościom dodatnim, natomiast linie przerywane - ujemnym wartościom przemieszczeń
u(y, z).
Stosownie do wzoru (k) jednostkowy kąt skręcenia można zapisać jeszcze inaczej:
M
¸ = , (12.12)
GJs
gdzie GJs jest sztywnością skręcania przekroju, a Js - tzw. momentem bezwładności na skręcanie:
Ä„a3b3 A4 A4
Js = =H" ; (12.12a)
a2 + b2 4Ä„2 Jb 40Jb
przy czym Jb = Jy + Jz i oznacza tu biegunowy moment bezwładności. De Saint--Venant doszedł do
wniosku, że wzór (12.12a) dla innych kształtów przekroju daje również bardzo dokładne wyniki. Można
więc przyjąć, że sztywność na skręcanie jest równa są sztywności na skręcanie prętów o przekroju elip-
tycznym o tej samej powierzchni A i tym samym biegunowym momencie bezwładności Jb. Sztywność na
skręcanie jest więc odwrotnie proporcjonalna do biegunowego momentu bezwładności, a nie wprost pro-
porcjonalna, jak przyjmowali poprzednicy de Saint-Venanta.
12.1.3. Skręcanie prętów o przekrojach kołowych
i pierścieniowych
Zwróćmy uwagę na to, że dla przekroju kołowego (a = b = r) przemieszczenia u(y, z) = 0. Oznacza to,
że podczas skręcania przekrój kołowy nie ulega deplanacji. Wzory na naprężenia i kąt skręcania są nastę-
pujÄ…ce (rys. 12.6a):
Andrzej Gawęcki -  Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych 2003r. Alma Mater
Część 2 12. DZIAA
ANIE MOMENTU SKR
CAJ
CEGO 9
MM Ä„r3 üÅ‚
Ä = Å" Á, Ä = , Ws = ,
ôÅ‚
x x max
Jb Ws 2
ôÅ‚
(12.13)
żł
M A4 Ä„r4
ôÅ‚
¸ = , Js == = Jb.
2 ôÅ‚
GJs
4Ä„ Jb 2
þÅ‚
Wzory (12.13) obowiązują również dla przekrojów pierścieniowych, przy czym:
Ä„
Js = Jb = R4 - r4 oraz Ws = Js / R . (12.14)
( )
2
Dla przekrojów kołowych i pierścieniowych moment bezwładności na skręcanie Js jest liczbowo rów-
ny momentowi biegunowemu Jb. Było to z
ródłem błędnego założenia w dawniej stosowanych teoriach
skręcania. W przekrojach pierścieniowych - podobnie jak w przekrojach kołowych - nie występuje de-
planacja przekroju.
Rys. 12.6
12.1.4. Skręcanie pręta o przekroju w kształcie trójkąta
równobocznego
Ścisłe rozwiązania zamknięte można uzyskać jeszcze dla przypadku, gdy przekrój pręta pryzmatycz-
nego jest trójkątem równobocznym. Funkcja naprężeń jest iloczynem równań opisujących boki trójkąta
(rys. 12.7):
(m) F ( y, z) = m 3x - a 3y - 3z + 2a 3y + 3z + 2a
( )( )( ).
Rys. 12.7
Andrzej Gawęcki -  Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych 2003r. Alma Mater
Część 2 12. DZIAA
ANIE MOMENTU SKR
CAJ
CEGO 10
W ten sposób - podobnie jak dla przekroju eliptycznego - funkcja naprężeń zgodnie
z warunkiem brzegowym (12.9) przyjmuje wartości zerowe na konturze przekroju. Stałą m dobieramy
tak, by było spełnione równanie skręcania (12.6):
2
" F ëÅ‚ a öÅ‚
= 18 3mìÅ‚ y +
÷Å‚,
íÅ‚
3Å‚Å‚
"y2
2
" F ëÅ‚ a öÅ‚
= -18 3mìÅ‚ y -
÷Å‚.
íÅ‚
3Å‚Å‚
"z2
Wobec tego
2 2
" F " F
"2F = + = 36am = -2G¸,
"y2 "z2
skÄ…d
G¸
(n) m =- .
18a
Z zależności (12.10) otrzymujemy:
2
Å‚Å‚ 18a5m 3 3
M = 2 FdA = 2m 3y - a 3y + 2a - 9z2 śł dA =- = G¸a4 ,
( )îÅ‚( )
ïÅ‚
+"+"ðÅ‚
5 5
ûÅ‚
AA
więc
M
(o) ¸ = ,
GJs
gdzie
a4 3
Js = . (12.15)
5
Naprężenia obliczymy z zależności (12.6):
"F
Å„Å‚
( )z G¸ ( )z,
ôÅ‚ Ä xy = "z = -18m 3y - a = + a Å" 3y - a
ôÅ‚
(p)
òÅ‚
ëÅ‚ öÅ‚ öÅ‚
ôÅ‚ Ä xz = - "F = -9 3mìÅ‚ y2 + 2a Å" y - z2÷Å‚ = 3G¸ ëÅ‚ y2 + 2a - z2÷Å‚.
ìÅ‚
ôÅ‚
"y íÅ‚ Å‚Å‚ 2a íÅ‚ Å‚Å‚
3 3
ół
Po podstawieniu zależności (o) naprężenia określają są wzory:
M
Å„Å‚
( )z a5M 3y - a)z,
ôÅ‚ Ä xy = aJs 3y - a =
3 / 5
( )(
ôÅ‚
ôÅ‚
(q)
òÅ‚
öÅ‚ öÅ‚
ôÅ‚ Ä = 3 M ëÅ‚ y2 + 2a Å" y - z2÷Å‚ = M ëÅ‚ y2 + 2a Å" y - z2÷Å‚.
ìÅ‚ ìÅ‚
xz
ôÅ‚
2a Js íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
3 3
2a5 / 5
( )
ôÅ‚
ół
Wykresy naprężeń stycznych przedstawia rys. 12.7b. Maksymalne naprężenia styczne występują w punk-
tach leżących najbliżej środka ciężkości (punkty A, B, C):
ëÅ‚ a öÅ‚ M 2a3
(r) Ä = Ä ,0÷Å‚ = , Ws = .
ìÅ‚
x max xz
íÅ‚ Å‚Å‚ Ws 5
3
Naprężenia w narożach sÄ… równe zeru. Pola wykresów wypadkowego naprężenia stycznego Äx, odniesio-
nych do dowolnej linii wychodzącej ze środka ciężkości przekroju, są takie same. Dla przykładu wzdłuż
linii z = 0 pole dodatnich naprężeń
Äx = Äxz odÅ‚ożone na odcinku OA jest równe polu ujemnych naprężeÅ„ odÅ‚ożonych na odcinku OD.
Deplanację wyznacza się identycznie jak dla przekroju eliptycznego, a odpowiednie równanie funkcji
t(y, z) jest następujące:
Andrzej Gawęcki -  Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych 2003r. Alma Mater
Część 2 12. DZIAA
ANIE MOMENTU SKR
CAJ
CEGO 11
ëÅ‚
3 z2 öÅ‚
ìÅ‚
(s) t(y, z) = y2 - ÷Å‚
Å" z.
ìÅ‚ ÷Å‚
2a 3
íÅ‚ Å‚Å‚
Warstwice funkcji u(y, z) = ¸Å"t(y, z) podano na rys. 12.7a.
12.1.5. Obliczanie naprężeń i kąta skręcania dla prętów
o dowolnym przekroju. Przekrój prostokątny
Dla prętów o dowolnym przekroju rozwiązanie ścisłe uzyskuje się za pomocą szeregów Fouriera.
Istnieją również przybliżone metody wyznaczania funkcji naprężeń lub funkcji deplanacji. Na uwagę
zasługuje również metoda różnic skończonych omówiona w dodatku. Bardzo dobre rezultaty daje przy-
bliżona teoria skręcania swobodnego zbudowana na podstawie teorii płyt grubych [12,36]. Poza tym in-
formacji o charakterze rozkładu naprężeń dostarczają analogie błonowa i hydrodynamiczna. Omówimy je
w p. 12.2.
Z punktu widzenia projektanta istotne jest wyznaczenie najwiÄ™kszego naprężenia stycznego |Äx max |
oraz jednostkowego kąta skręcania. Ogólnie biorąc, wartości te oblicza się według wzorów:
M
Ä = , (12.16)
x max
Ws
M
¸ = . (12.17)
GJs
Wskaz
niki wytrzymałości na skręcanie Ws oraz momenty bezwładności na skręcanie Js dla różnych
przekrojów zawierają poradniki i tablice do projektowania konstrukcji. Warunek wytrzymałościowy po-
lega na spełnieniu nierówności:
Ãred = 3 Ä d" Ãdop,
x
max
skÄ…d
Äx max d" Ädop,
gdzie
1
Ädop = Ãdop H" 06Å"Ãdop, (12.18)
,
3
przy czym Ãdop oznacza naprężenie dopuszczalne przy rozciÄ…ganiu (Å›ciskaniu),
a Ädop - dopuszczalne naprężenia przy Å›cinaniu. Warunek sztywnoÅ›ciowy polega na ograniczeniu mak-
symalnego caÅ‚kowitego kÄ…ta skrÄ™cenia È :
È = (12.19)
+"¸(s)ds d" Èdop .
s
W praktyce poza przekrojami kołowym i pierścieniowym najczęściej stosujemy prostokątny przekrój
pręta, dla którego obowiązują następujące zależności przybliżone:
Å„Å‚
1 ëÅ‚ 0052
, öÅ‚
,
s
ôÅ‚J = 3b4ìÅ‚n - 063+ ÷Å‚,
íÅ‚
n4 Å‚Å‚
ôÅ‚
(t)
òÅ‚
ôÅ‚W = 1+ n3 Å" Js , przy czym n = h > 1.
s
ôÅ‚
b
035 + n3 b
,
ół
Andrzej Gawęcki -  Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych 2003r. Alma Mater
Część 2 12. DZIAA
ANIE MOMENTU SKR
CAJ
CEGO 12
Rys. 12.8
Rozkłady naprężeń ilustruje rys. 12.8, a deformacje pręta skręcanego o przekroju prostokątnym -
rys. 12.9. Największe naprężenie styczne występuje na konturze przekroju w punkcie A, usytuowanym
najbliżej środka przekroju, tzn. w połowie dłuższego boku. Interesujące jest, że dla 1d" h / b < 1,4513
funkcja deplanacji t(y, z) wykazuje cztery obszary wartości dodatnich i cztery obszary wartości ujem-
nych, natomiast dla h / b > 1451 występują - podobnie jak w elipsie - po dwa takie obszary.
,
Rys. 12.9
12.1.6. Uwagi o skręcaniu nieswobodnym
Jeżeli choć jeden przekrój pręta niekołowego pozostaje płaski, to stan naprężenia w pręcie skręcanym
różni się od podanego w poprzednich punktach i odpowiada skręcaniu nieswobodnemu. Dla ilustracji
omówimy przykład pręta prostokątnego, w którym z warunku symetrii przekrój x = 0 pozostaje płaski
(rys. 12.10).
Andrzej Gawęcki -  Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych 2003r. Alma Mater
Część 2 12. DZIAA
ANIE MOMENTU SKR
CAJ
CEGO 13
Rys. 12.10
Aby zapobiec deplanacji, w obrębie przekroju poprzecznego należy rozmieścić naprężenia normalne
Ãx. W obszarach, w których wystÄ…piÅ‚yby wypukÅ‚oÅ›ci, trzeba wprowadzić naprężenia Å›ciskajÄ…ce, a w po-
zostałym obszarze - naprężenia rozciągające. Bliższa analiza tego problemu prowadzi do wniosku, że
macierz naprężeń ma wówczas postać:
îÅ‚ Å‚Å‚
Ã Ä Ä
x xy xz
ïÅ‚ śł
s = ,
yx yz
ïÅ‚Ä 0 Ä śł
ïÅ‚Äzx Äzy 0 śł
ðÅ‚ ûÅ‚
czyli oprócz naprężeÅ„ normalnych Ãx pojawiajÄ… siÄ™ naprężenia styczne Äyz. Zaburzenia stanu naprężenia,
gdy jeden przekrój pręta pozostaje płaski, są największe dla x = 0 i szybko zanikają w miarę wzrostu
współrzędnej x. Sztywność takiego pręta na skręcanie jest większa niż podczas skręcania swobodnego.
Wpływ skręcania nieswobodnego jest bardzo istotny w przekrojach cienkościennych. Problematyka ta
jest przedmiotem punktu 13.2.
Andrzej Gawęcki -  Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych 2003r. Alma Mater