ROZWI
ZYWANIE BELEK
Zadanie S-1. Znalez
ć siły przekrojowe M, Q, N w punkcie C podanej belki.
Przykład 1. Znalez
ć siły przekrojowe M, Q, N w punkcie C podanej belki.
1. Obliczenie reakcji.
Obliczając reakcje, korzystamy z trzech równań statyki:
Układając równania statyki wygodnie jest stosować układ równań nie sprzężonych, tzn. z
każdego równania obliczamy tylko jedną niewiadomą. W przypadku jednego ciała
sztywnego (jedna tarcza, belka bez przegubów) zawsze jest to możliwe. Dzięki układowi
równań nie sprzężonych rozwiązanie jest szybsze a błąd popełniony w jednym równaniu
nie przenosi się na równania pozostałe.
Aby sprawdzić poprawność obliczenia reakcji postępujemy odwrotnie - układamy takie
równanie w którym wystąpią wszystkie reakcje. W naszym przykładzie może to być na
przykład równanie momentu względem punktu D o współrzędnych D(2,1).
Powyższa niedokładność jest dopuszczalna wynika bowiem z zaokrągleń poczynionych
przy obliczaniu reakcji.
2. Obliczenie sił przekrojowych w punkcie C.
Aby znalez
ć siły przekrojowe w punkcie C należy przez ten punkt poprowadzić przekrój,
dzielący belkę na dwie części i zredukować w punkcie C układ sił zewnętrznych
przyłożonych do jednej z tych części. Bez względu na to, którą część wez
miemy do
redukcji otrzymamy ten sam wynik (wartości sił przekrojowych w danym punkcie są
stałe). Praktycznie wybiera się tą część belki do której jest przyłożony mniej
skomplikowany układ sił, w celu uproszczenia obliczeń.
W naszym przykładzie, w celach dydaktycznych, dokonamy obliczeń redukując układ sił
zewnętrznych zarówno z lewej jak i z prawej strony punktu C.
2.1. Redukcja układu sił zewnętrznych przyłożonych do lewej części belki.
Przy obliczaniu wypadkowej zredukowanego układu sił będziemy od razu rozkładali ją
na siłę podłużną N (równoległą do osi belki) i siłę poprzeczną Q (prostopadłą do osi
belki). Pamiętając o przyjętej konwencji znakowania zapiszemy:
2.2. Redukcja układu sił zewnętrznych przyłożonych do prawej części belki.
Zadanie S-2. Dla podanej belki napisać równania i sporządzić wykresy sił
przekrojowych M, Q, N.
Przykład 2. Dla podanej belki napisać równania i sporządzić wykresy sił przekrojowych
M, Q, N.
1. Obliczenie reakcji.
Obliczając reakcje, korzystamy z trzech równań statyki:
 Sprawdzenie:
2. Funkcje sił przekrojowych
Budując równania jakiejkolwiek funkcji, musimy przyjąć układ współrzędnych, w
którym te równania zapiszemy. Dla belek prostych najwygodniej jest przyjąć układ jak na
rysunku, tzn. na początku belki. Zdarza się jednak, że dla uproszczenia obliczeń,
przyjmuje się dwa układy współrzędnych (na obu końcach belki). Sposób przyjęcia
układu współrzędnych nie ma oczywiście żadnego wpływu na wykres siły przekrojowej
jaki otrzymamy na podstawie jej równania.
Przed przystąpieniem do układania funkcji sił przekrojowych, należy w belce wyznaczyć
tzw. punkty i przedziały charakterystyczne. Powodem jest inna postać funkcji sił
przekrojowych w każdym przedziale charakterystycznym. Dla każdego przedziału należy
napisać osobne równanie.
Punkty charakterystyczne sÄ… to:
- poczÄ…tek i koniec belki,
- punkty podparcia belki,
- miejsca przyłożenia sił i momentów skupionych,
- początek i koniec obciążenia ciągłego.
Przedziały charakterystyczne to odcinki belki pomiędzy punktami
charakterystycznymi.
W analizowanej belce występuje pięć przedziałów charakterystycznych.
Przedział: 0 < x < 4
Pisząc równania w pierwszym przedziale dokonujemy podziału belki przekrojem
przechodzącym przez ten przedział i redukujemy układ sił zewnętrznych położonych z
lewej części przekroju (można oczywiście redukować układ sił po prawej stronie ale jest
to bardziej pracochłonne).
Położenie przekroju nie jest ustalone w konkretnym punkcie, ale w odległość x od
początku układu współrzędnych. Zapisując wynik redukcji układu sił zewnętrznych w
miejscu o odciętej x otrzymujemy "automatycznie" funkcję danej wielkości.
Przedział: 4 < x < 6
Analogicznie do poprzedniego przedziału dzielimy belkę przekrojem przechodzącym
przez analizowany przedział i redukujemy układ sił zewnętrznych położonych po jego
lewej stronie.
Należy zwrócić uwagę na fakt, że do redukcji należy wziąć teraz pełną wartość
obciążenia ciągłego i że położenie wypadkowej tego obciążenia jest już ustalone (x = 2).
W pierwszym przedziale położenie wypadkowej było zależne od położenia przekroju.
Przedział: 6 < x < 8
Przedział: 8 < x < 10
Przedział: 10 < x < 14
Wyznaczyliśmy funkcje sił przekrojowych w każdym przedziale możemy zatem przejść
do rysowania wykresów. Zanim to jednak zrobimy, zaznaczmy, że sposób tworzenia
równań w dwóch ostatnich przedziałach został tutaj zamieszczony tylko w celach
dydaktycznych. W praktyce, gdy belka ma więcej niż trzy, cztery przedziały
charakterystyczne, przyjmuje się nowy układ współrzędnych na drugim końcu belki, co
znacznie upraszcza obliczenia. Zaletę takiego podejścia pokażemy na przykładzie.
Przyjmiemy mianowicie układ współrzędnych (x1,z) jak na rysunku i wyznaczymy dla
porównania funkcje sił przekrojowych w dwóch ostatnich przedziałach belki.
Przedział: 0 < x1 < 4
x1 < 6
Przedział: 4 <
W wyniku prostszych obliczeń otrzymaliśmy funkcje, które w przyjętym układzie
współrzędnych dadzą te same wykresy jak w układzie (x,z). Dla sprawdzenia można
porównać wartości sił przekrojowych w odpowiadających sobie punktach
charakterystycznych obliczone dla obu układów równań. Wez
my na przykład
przedostatni przedział:
2 < x1 < 6
8 < x < 10
3. Wykresy sił przekrojowych
Po wyznaczeniu funkcji sił przekrojowych narysowanie ich wykresów nie przedstawia
żadnych trudności. Ponieważ jednak będzie się od studentów wymagać dużej biegłości w
rysowaniu tych wykresów, zwrócimy uwagę na kilka właściwości, których znajomość
znacznie uprości zadanie.
Gdy przyjrzymy się funkcjom momentu i siły poprzecznej w poszczególnych
przedziałach spostrzegamy, że siła poprzeczna jest pochodną momentu. Obciążenie
ciągłe q(x) jest pochodną siły poprzecznej pomnożoną przez (-1). Nie jest to przypadek,
zachodzą bowiem zależności:
zobacz dowód
W naszym przykładzie mamy:
4 < x < 6
0 < x < 4
Z zależności różniczkowych pomiędzy siłami przekrojowymi wynikają następujące
wnioski, wykorzystywane przy rysowaniu wykresów:
" Jeżeli w przedziale charakterystycznym obciążenie ciągłe q(x) = 0, to wykres sił
poprzecznych w tym przedziale jest stały (aby narysować wykres wystarczy
wyznaczyć wartość siły poprzecznej w jednym punkcie), natomiast wykres
momentów zginających jest liniowy (do narysowania wykresu wystarczą dwie
wartości, policzone na przykład w punktach charakterystycznych na końcach
przedziału).
" Jeżeli w przedziale charakterystycznym obciążenie ciągłe jest równomiernie
rozłożone q(x) = const, to wykres siły poprzecznej jest liniowy, a wykres
momentu zginającego parabolą drugiego stopnia, (itd. funkcja siły poprzecznej
zawsze o stopień wyższa od funkcji obciążenia q(x), a funkcja momentu o stopień
wyższa od funkcji siły poprzecznej).
" Dana funkcja ma wartość ekstremalną w tym punkcie gdzie jej pochodna jest
równa zeru i jest to maksimum, gdy pochodna zmienia w tym punkcie znak z "+"
na "-" a minimum gdy zmienia znak z "-" na "+". Zatem ekstremalne wartości
na wykresie momentu zginającego występować będą wszędzie tam gdzie funkcja
siły poprzecznej zmienia znak.
" Krzywoliniowy wykres momentu zginającego w każdym punkcie
charakterystycznym jest styczny do prostej, której współczynnik kierunkowy jest
równy wartości siły poprzecznej w tym punkcie. Liniowy wykres momentu jest
odchylony od osi belki o kąt, którego tangens jest równy wartości siły
poprzecznej w tym samym przedziale charakterystycznym. Powyższe zależności
wynikajÄ… z interpretacji geometrycznej pochodnej funkcji.
Widzimy zatem, że wykres siły poprzecznej należy narysować przed wykresem momentu
zginającego, aby właściwie wykorzystać powyższe właściwości.
Wykresy sił przekrojowych należy rysować w skali, która umożliwi dokładne pokazanie
wszystkich charakterystycznych elementów wykresu. Skala do każdego wykresu może
być inna.
Przed przystąpieniem do rysowania wykresów prowadzimy pod schematem belki linie
odnoszące przechodzące przez wszystkie punkty charakterystyczne. W każdym punkcie
charakterystycznym wyliczamy wartości poszczególnych sił przekrojowych, redukując
układ sił zewnętrznych z prawej lub z lewej strony tego punktu.
Siła podłużna N(x)
Wartości siły podłużnej są jednakowe we wszystkich przedziałach charakterystycznych:
N(x) = 20 kN = const.
Wykres siły podłużnej nie wymaga komentarza.
Siła poprzeczna Q(x)
Wyznaczamy wartości siły poprzecznej w każdym punkcie charakterystycznym,
pamiętając o tym że w punktach, w których jest przyłożona siła skupiona (czynna lub
bierna) te wartości musimy wyznaczyć z lewej i prawej strony każdego punktu.
Powstałe w ten sposób punkty łączymy linią prostą. Na odcinkach AC i BF wykres jest
liniowo zmienny, gdyż występuje tu obciążenie q = 10 kN/m. Na pozostałych odcinkach
wykres siły poprzecznej jest stały.
Dodatkowo spostrzegamy, że na odcinku AC funkcja Q(x) osiąga wartość zero, a więc w
tym punkcie moment zginający będzie miał wartość ekstremalną. Ponieważ siła
poprzeczna zmienia w tym punkcie znak z "+" na "-" będzie to maksimum.
Moment zginajÄ…cy M(x)
Tak jak w przypadku siły poprzecznej redukujemy odpowiednie układy sił zewnętrznych
w punktach charakterystycznych.
Należy jeszcze wrócić do przedziału AC celem wyliczenia momentu maksymalnego.
Punkt, w którym moment przyjmuje wartość maksymalną w tym przedziale
wyznaczymy, przyrównując do zera równanie funkcji siły poprzecznej w tym przedziale:
Współrzędną tego punktu można również wyznaczyć bezpośrednio z wykresu,
korzystajÄ…c z twierdzenia Talesa:
Moment maksymalny:
We wszystkich przedziałach, gdzie obciążenie q = 0 wykres momentów jest liniowy.
Wartości w punktach charakterystycznych wystarczą zatem, aby narysować wykres w
tych przedziałach.
W przedziałach AC i BF wykres momentu jest parabolą drugiego stopnia. Do
narysowania wykresu w tych przedziałach wykorzystujemy następujące dane: wartości na
końcach przedziału, miejsca ekstremum i jego wartości oraz styczne do wykresu na
końcach przedziału.
Tak więc w przedziale AC:
"
na początku przedziału wykres styczny do prostej o współczynniku kierunkowym
m = 22
" na końcu przedziału wykres styczny do prostej o współczynniku kierunkowym
m = - 18 (jednocześnie jest to wykres momentu w sąsiednim przedziale)
" wartość ekstremalna w punkcie x0 = 2.2 m, tutaj oczywiście wykres styczny do
linii poziomej.
W przedziale BF:
" na początku przedziału wykres styczny do prostej o współczynniku kierunkowym
m = 40
" na końcu przedziału wykres styczny do linii poziomej (w tym punkcie moment
osiąga wartość maksymalną bo siła poprzeczna jest równa zeru).
UWAGI:
Wypukłość wykresu momentu zginającego określa zwrot obciążenia ciągłego - wykres
jest zawsze wypukły w kierunku działania obciążenia.
Wykres momentów (albo styczna do części krzywoliniowej) ulega załamaniu w tych
punktach charakterystycznych, gdzie działa siła skupiona. W tych punktach bowiem na
wykresie siły poprzecznej występuje skok wartości.
W miejscu przyłożenia do belki momentu skupionego nie ma na wykresie załamania, jest
tylko skok o wartość przyłożonego momentu, natomiast sąsiednie fragmenty wykresu są
równoległe.
W naszym przykładzie odcinki DE i EB wykresu momentu są do siebie równoległe. Ich
kąt nachylenia spełnia zależność:
W przedziale CD:
Zadanie S-3. Dla podanej belki napisać równania i sporządzić wykresy sił
przekrojowych M, Q, N.
Zadanie S-4. Dla podanej belki napisać równania i sporządzić wykresy sił
przekrojowych M, Q, N.
Przykład 4. Dla podanej
belki napisać równania i sporządzić wykresy sił przekrojowych M, Q, N.
1. Obliczenie reakcji.
Obliczając reakcje, korzystamy z trzech równań statyki:
Sprawdzenie:
2. Funkcje sił przekrojowych
Funkcje sił przekrojowych zapiszemy w kolejnych przedziałach, przyjmując jeden układ
współrzędnych, a następnie pokażemy jak upraszają się obliczenia w ostatnim przedziale
charakterystycznym po zmianie układu.
Przedział: 0 < x < 3
Obciążenie ciągłe jest rozłożone w sposób liniowo zmienny, zatem dla każdego przekroju
musimy określić jego wartość. Należy zatem w pierwszej kolejności wyznaczyć funkcję
obciążenia ciągłego. Możemy to zrobić pisząc jej równanie w przyjętym układzie
współrzędnych (prosta przechodząca przez punkty (0, 0) i (3, 20)) lub korzystając
z proporcji w trójkącie:
Teraz możemy napisać równania sił przekrojowych, redukując obciążenie trójkątne o
zmiennej rzędnej q1(x).
Spełnione są oczywiście zależności różniczkowe między siłami przekrojowymi:
Przedział: 3 < x < 5
W tym przedziale do redukcji będziemy brać całkowitą wartość wypadkowej obciążenia
ciągłego. Wypadkowa jest ustalona w punkcie x = 2.
Przedział: 5 < x < 8
Jak już powiedziano na wstępie, dużo szybciej otrzymamy równania sił przekrojowych w
tym przedziale, przyjmując układ współrzędnych na końcu belki. Teraz jednak w celach
dydaktycznych napiszemy te równania nie zmieniając na razie układu.
Widzimy, że obciążenie ciągłe w tym przedziale zmienia się liniowo - od wartości
największej do zerowej. W związku z tym do redukcji należy wziąć obciążenie w
kształcie trapezu. Wypadkową tego obciążenia jest oczywiście równa polu powierzchni
tego trapezu i położona jest w jego środku ciężkości. Unikniemy jednak wyznaczania tej
wypadkowej stosując zasadę superpozycji. Pozwala ona zastąpić dane obciążenie
trapezem, innym statycznie równoważnym obciążeniem, złożonym z prostokąta i
trójkąta.
Funkcję obciążenia zmiennego q'2 (x) korzystając z proporcji w trójkącie:
Funkcje sił przekrojowych możemy teraz zapisać następująco:
Sprawdzamy zależności różniczkowe:
Przedział: 0 < x1 < 3
Po zmianie układu współrzędnych sposób tworzenia równań znacznie się upraszcza.
Podstawiając do powyższych równań wartości w punktach charakterystycznych , można
się przekonać, że wyniki są identyczne z otrzymanymi dla układu Oxz.
3. Wykresy sił przekrojowych
Przed narysowaniem wykresów momentu zginającego i siły poprzecznej, obliczymy
wartości tych sił w punktach charakterystycznych belki:
Spostrzegamy, że funkcja poprzeczna w przedziale AC zmienia znak (z +15 na -15),
musimy zatem określić jej miejsce zerowe, gdyż w tym punkcie moment ma wartość
maksymalną. Ponieważ wykres funkcji jest parabolą, nie możemy miejsca zerowego
obliczyć bezpośrednio z wykresu, jak to ma miejsce w przypadku wykresu liniowego,
czyli wtedy, gdy obciążenie ciągłe jest równomiernie rozłożone. Konieczne jest zatem
skorzystanie z równania siły poprzecznej w tym przedziale:
Wartość ujemna nie należy do dziedziny rozwiązania, ponieważ punkt o takiej
współrzędnej nie jest położony na belce. Wybieramy zatem punkt o współrzędnej x0 =
2.12 m jako miejsce maksymalnego momentu.
Po obliczeniu wszystkich potrzebnych wartości możemy przystąpić do narysowania
wykresów.
Rysunek rozpoczynamy od wykresu siły poprzecznej. W przedziale AC wykres jest
parabolą, przechodzącą na początku przedziału przez 15 na końcu przez -15 i w punkcie
x0 = 2.12 przez zero. Dodatkowa informacja jakÄ… mamy o tym wykresie wynika z
zależności różniczkowej między siłą poprzeczną a obciążeniem ciągłym.
Ponieważ obciążenie jest pochodną siły poprzecznej, wartość obciążenia q w danym
punkcie jest równa tangesowi kąta nachylenia stycznej do wykresu siły poprzecznej. Jest
to analogiczna zależność jak między wartością siły poprzecznej i nachyleniem stycznej
do wykresu momentów. (Patrz przykład 2).
Mamy zatem w punkcie A wartość obciążenia q = 0 więc wykres siły poprzecznej musi
być styczny do linii poziomej.
Ta informacja, plus wartości funkcji na końcach przedziału, wystarczają aby poprawnie
określić wypukłość wykresu.
UWAGA: Do określenia wypukłości wykresu siły poprzecznej nie ma ogólnej
zależności, jak w przypadku wykresu momentu zginającego, który jest zawsze wypukły
w kierunku działania obciążenia. Wypukłość wykresu siły poprzecznej określamy
każdorazowo, korzystając z zależności różniczkowych.
Na odcinku CB wykres siły poprzecznej jest stały. Na odcinku BD mamy znów funkcję
paraboliczną, o której wiemy, że na początku przedziału przechodzi przez 15, na końcu
przedziału przez zero, oraz że na końcu przedziału wykres musi być styczny do linii
poziomej (bo w tym punkcie obciążenie q = 0).
Wykres momentów w przedziale AC jest funkcją trzeciego stopnia, która osiąga wartość
maksymalnÄ… w punkcie x0 = 2.12 oraz jest styczna do wykresu liniowego w przedziale
CB. Z kolei w przedziale BD funkcja trzeciego stopnia jest styczna w punkcie D do linii
poziomej, bo tutaj siła poprzeczna QD = 0.
Wypukłość wykresu momentów zawsze w kierunku działania obciążenia.
Zadanie S-5. Dla podanej belki przegubowej sporządzić wykresy sił przekrojowych M,
Q, N.
Przykład 5. Dla podanej belki przegubowej sporządzić wykresy sił przekrojowych
M, Q, N.
1. Obliczenie reakcji.
Przed przystąpieniem do wyznaczenia reakcji należy zbadać geometryczną niezmienność
i statyczną wyznaczalność konstrukcji. Podana belka składa się z czterech tarcz
połączonych ze sobą przegubami (dwa pręty) oraz z podłożem za pomocą podpór.
Podpory występujące w belce można zastąpić pojedynczymi prętami - zamocowanie
trzema, a podpory przegubowo-przesuwne jednym. Mamy zatem całkowitą liczbę prętów
Å‚Ä…czÄ…cych tarcze:
Liczba tarcz wynosi t = 4, zatem spełniony jest warunek konieczny geometrycznej
niezmienności:
Spostrzegamy też, że żadna z tarcz nie może poruszać się względem drugiej i względem
podłoża, zatem stwierdzamy, że układ jest geometrycznie niezmienny.
Spełnienie powyższego równania jest też warunkiem koniecznym i wystarczającym
statycznej niewyznaczalności, gdyby bowiem prawa strona równania była większa od
lewej, mielibyśmy za dużo niewiadomych (lub co na jedno wychodzi za mało równań)
aby móc wyliczyć reakcje.
W analizowanej belce do wyznaczenia jest sześć sił reakcji i taka sama jest liczba
niezależnych równań, które możemy ułożyć: trzy równania równowagi i trzy równania
przegubów. Te ostatnie wynikają z warunku, że aby konstrukcja była w równowadze, to
układ sił przyłożonych z każdej strony przegubu nie może powodować obrotu części
belki w tym przegubie. Brak obrotu oznacza zerowanie się momentu od wszystkich sił
przyłożonych po jednej stronie przegubu.
Wyznaczając reakcje musimy więc rozwiązać układ sześciu równań liniowych:
Po obliczeniu reakcji można przystąpić do rysowania wykresów sił przekrojowych,
zanim to jednak zrobimy, pokażemy inny sposób na obliczenie reakcji w belkach
przegubowych. Sposób podany powyżej, który można nazwać analitycznym, ma jedną
wadę, mianowicie rozwiązanie układu równań jest pracochłonne. Oczywiście jeżeli
dysponujemy programem komputerowym (lub dobrym kalkulatorem) kwestia
pracochłonności w ogóle nie ma znaczenia i wtedy lepsza wydaje się właśnie metoda
analityczna. Jednak nie zawsze możemy skorzystać z komputera (kolokwium) i wtedy
lepiej jest stosować metodę, polegającą na zastąpieniu belki przegubowej belkami
prostymi.
Procedura rozwiązywania belek przegubowych metodą rozkładu na belki proste jest
następująca:
1. Obliczenie reakcji poziomej dla całej belki. W statycznie wyznaczalnej belce reakcja
pozioma może być tylko jedna, możemy ją zatem policzyć z warunku zerowania się
sumy rzutów sił na kierunek osi belki. W przypadku, gdy na belkę nie działają siły
ukośne i poziome, liczba reakcji poziomych nie ma znaczenia - wszystkie muszą być
równe zero, co wynika z zasady akcji i reakcji. Jeżeli nie ma działania w danym kierunku
- nie pojawi się również przeciwdziałanie.
2. Wykluczenie w dalszej analizie sił poziomych.
3. Rozkład na belki proste poprzez rozcięcie w przegubach. Belka przegubowa składa
się z kilku tarcz połączonych ze sobą przegubami. Po rozcięciu w przegubach dostaniemy
pojedyncze tarcze, czyli belki proste. Należy teraz wyodrębnić te belki, które są
geometrycznie niezmienne, czyli posiadajÄ… podpory (jedno utwierdzenie lub dwie
podpory przegubowe lub utwierdzenie z pionowym przesuwem i podporÄ™ przegubowÄ…)
uniemożliwiające ruch belek. Nie analizujemy już ruchów poziomych. Belki
geometrycznie niezmienne rysuje się na samym dole a nad nimi belki pozostałe, w taki
sposób, że swobodny koniec zastępuje się podporą przegubową. Tak narysowane belki
górne, również muszą być geometrycznie niezmienne, z czego wynika, że belka która
miała na obu końcach przeguby musi być narysowana nad dwiema innymi belkami
(fizycznie oznacza to, że taka belka opiera się na belkach sąsiednich).
4. Obliczenie reakcji w belkach prostych. Obliczamy najpierw belki górne, stopniowo
schodząc w dół. Reakcje od belek górnych przekazujemy na belki dolne, pamiętając o
zmianie zwrotu reakcji.
5. Narysowanie wykresów. Wykresy sił przekrojowych można rysować dla każdej belki
prostej oddzielnie lub od razu dla całości. Sprawdzeniem poprawności rozwiązania mogą
być przeguby, w których moment musi być równy zeru, a na wykresie siły poprzecznej
nie powinno być skoku wartości (chyba że w przegubie jest przyłożona siła poprzeczna).
2. Rozkład na belki proste.
Przed rozkładem na belki proste obliczamy poziomą reakcję w utwierdzeniu. Ponieważ
do belki nie przyłożono żadnych sił poziomych więc ta reakcja jest równa zeru.
Rozcinamy belkę w przegubach i analizujemy powstałe w ten sposób belki proste. Idąc
od lewej strony spostrzegamy, że belka AB jest geometrycznie niezmienna (wspornik),
narysujemy ją zatem na samym dole. Następna belka nie posiada żadnej podpory, jest
chwiejna i musi się opierać na dwóch sąsiednich belkach. Taka belka zawsze będzie
narysowana na samej górze. Belka CE posiada jedną podporę przegubową może zatem
stanowić podparcie dla belki BC, sama jednak musi się opierać na innej belce. Tym
oparciem może być belka EG, która jest geometrycznie niezmienna (belka swobodnie
podparta). Powyższa analiza daje również odpowiedz
co do geometrycznej
niezmienności całego układu. Gdyby belka EG miała tylko jedną podporę nie mogłaby
stanowić oparcia dla belki CE i cały układ byłby chwiejny.
Na rysunku poniżej przedstawiono rozkład na belki proste. Podpory i reakcje przyjęte w
miejscach przegubów zaznaczono innym kolorem niż podpory rzeczywiście przyłożone
do belki.
Zadanie S-6. Dla podanej belki przegubowej sporządzić wykresy sił przekrojowych M,
Q, N.
ROZWI
ZYWANIE RAM
Zadanie S-7. Dla podanej ramy napisać równania sił przekrojowych i narysować ich
wykresy.
Zadanie S-8. Narysować wykresy sił przekrojowych w podanej ramie.
Przykład 8. Narysować
wykresy sił przekrojowych w podanej ramie.
1. Obliczenie reakcji.
Sprawdzenie:
2. Wykresy sił przekrojowych.
Wykresy sił przekrojowych rysujemy na trzech rysunkach, oddzielnie moment
zginający, siła poprzeczna i siła podłużna. Zależności różniczkowe pomiędzy siłami
przekrojowymi są spełnione również w ramach i wszystkie wynikające stąd zasady
rysowania wykresów są takie same jak dla belek.
Stosujemy tą samą konwencję znakowania co w belkach, przy czym dla prętów
ukośnych, bądz
słupów układ należy obrócić jak na rysunku poniżej.
Aby przyjąć znak momentu zginającego należałoby wyróżnić pewne włókna i określić
moment rozciągający te włókna na przykład jako dodatni. Można jednak tego nie robić,
pamiętając tylko o tym, że wykres momentów zawsze musi być narysowany po stronie
włókien rozciąganych.
W punktach charakterystycznych każdego pręta obliczamy wartości poszczególnych sił
przekrojowych i zaznaczamy je na liniach odnoszących, prostopadłych do osi każdego
pręta. Jeżeli w danym przedziale nie występuje obciążenie ciągłe (w przypadku ram
obciążenie to może być pionowe i poziome, a także ukośne) to wykres siły poprzecznej
i podłużnej jest stały, a wykres momentu liniowy. Gdy występuje obciążenie ciągłe
równomiernie rozłożone, to wykresy siły poprzecznej i podłużnej są liniowo zmienne, a
wykres momentu jest parabolą. Dodatkowo w miejscu zerowania się siły poprzecznej
moment ma wartość ekstremalną.
Obliczając wartości sił w punktach charakterystycznych, redukujemy układ sił
przyłożonych do jednej z części belki podzielonej przekrojem. Oczywiście wygodniej jest
przyjąć do redukcji prostszy układ sił co upraszcza obliczenia i zmniejsza możliwość
wystąpienia pomyłki.
Dla sprawdzenia poprawności rozwiązania sprawdza się równowagę węzłów ramy. W
tym celu wycina się każdy węzeł i do ścianek przekroju przykłada się, odczytane z
wykresu, wartości sił przekrojowych. Jeżeli rozwiązanie jest poprawne, to każdy z
wyciętych węzłów powinien być w równowadze, czyli powinny być spełnione dla niego
równania statyki.
Sprawdzimy równowagę węzłów D i G. Siły przywęzłowe narysowano i opisano na
rysunku poniżej. Widzimy, że równania równowagi są spełnione:
dla węzła D dla węzła G
Zadanie S-9. Narysować wykresy sił przekrojowych w podanej ramie.
Przykład 9.
Narysować wykresy sił przekrojowych w podanej ramie.
1. Obliczenie reakcji.
Sprawdzenie:
2. Wykresy sił przekrojowych.
Pręt BF
Siły przekrojowe są składowymi wypadkowej układu sił zewnętrznych zrzutowanymi na
kierunek osi pręta i na prostopadłą do osi. Należy zatem, w przypadku pręta ukośnego
BF, rozłożyć wypadkową redukowanego układu na te właśnie kierunki.
Do pręta BF jest przyłożone obciążenie ciągłe równomiernie rozłożone, zatem wykresy
siły podłużnej i poprzecznej będą liniowe. Wystarczy więc obliczyć wartości tych sił na
końcach pręta, aby narysować wykresy.
Jeżeli liczba sił do redukcji jest duża, można ułatwić sobie zadanie, rozkładając na
kierunek pręta wypadkową pionową i poziomą wszystkich sił. Jeżeli redukujemy układ
sił przyłożonych z prawej strony przekroju to siły podłużna i poprzeczna będą równe:
Obliczając wartości sił przekrojowych w punkcie B otrzymujemy:
Dla punktu F:
Wykres momentu zginającego na pręcie BF jest parabolą. Ponieważ siła poprzeczna nie
zmienia tutaj znaku, wykres momentu nie będzie miał ekstremum. Wartość momentu w
punkcie B jest oczywiście równa zeru a w punkcie F:
Przyjęliśmy tutaj znak minus dla momentu rozciągającego włókna górne.
Pręt CF
Poziomy pręt CF składa się z dwóch przedziałów charakterystycznych, na końcach
których musimy znać wartości sił przekrojowych.
Redukując układ sił zewnętrznych idąc z lewej strony otrzymujemy:
Dla momentu przyjęto znak plus jeżeli rozciąga włókna dolne pręta CF.
Pręt AC
Siła podłużna w tym pręcie jest równa zeru, redukując bowiem układ sił zewnętrznych
idąc od punktu A nie napotykamy sił równoległych do osi pręta. Siła poprzeczna jest w
całym przedziale stała i wynosi Q = 22.5 kN.
Moment zginający rozciąga włókna po lewej stronie pręta i zmienia się liniowo od zera
do M = 45 kNm.
Pręt DC
Również w tym pręcie siła podłużna jest równa zeru, natomiast siła poprzeczna zmienia
się liniowo (obciążenie równomiernie rozłożone) od zera w punkcie D do wartości QC =
40 kN. Wykres momentu zginającego jest parabolą styczną w punkcie D do osi pręta.
Wartość w punkcie D jest równa zeru, natomiast w punkcie C 40 kNm. Moment rozciąga
włókna po lewej stronie pręta.
3. Sprawdzenie równowagi w węzłach.
Węzeł C
Węzeł F
Zadanie S-10. Narysować wykresy sił przekrojowych w podanej ramie.
Zadanie S-11. Narysować wykresy sił przekrojowych w podanej ramie.
ROZWI
ZYWANIE A
UKÓW
Zadanie S-12. W podanym łuku kołowym wyznaczyć funkcje sił przekrojowych M, Q,
N i narysować ich wykresy.
Przykład 12. W podanym łuku
kołowym wyznaczyć funkcje sił przekrojowych i narysować ich wykresy.
1. Obliczenie reakcji.
2. Równanie łuku.
Zanim przystąpimy do wyznaczenia funkcji sił przekrojowych w łuku, przypomnijmy, że
układ sił zewnętrznych redukujemy w punkcie, który jest przecięciem osi pręta
przekrojem do niej prostopadłym. Siły przekrojowe są składowymi zredukowanego
układu sił zewnętrznych, zrzutowanymi na kierunki prostopadły i równoległy do
przekroju. Widzimy zatem, że w każdym punkcie łuku, siła podłużna będzie styczna,
a siła poprzeczna prostopadła do jego osi. Inaczej mówiąc, w każdym punkcie łuku
wypadkową poziomą i pionową układu sił zewnętrznych, należy rzutować na inne
kierunki. Aby napisać równania sił przekrojowych, konieczne jest zatem zapisanie
zmiany tych kierunków w przyjętym układzie współrzędnych.
Przyjęcie układu jest oczywiście sprawą dowolną, dla łuku kołowego można na przykład
przyjąć układ jak na rysunku powyżej. W tym układzie zapiszemy równanie łuku we
współrzędnych biegunowych:
Promień łuku jest stały, więc zmienną niezależną w równaniu łuku, a także w równaniach
sił przekrojowych będzie kąt a.
3. Równania sił przekrojowych.
0 <
º a < 90º
Po przecięciu łuku przekrojem prostopadłym do jego osi, redukujemy układ sił
zewnętrznych przyłożonych po prawej stronie przekroju.
Zmienną niezależną jest kąt a. Wraz z jego wzrostem zwiększa się wartość współrzędnej
z a zmniejsza współrzędna x. Równanie momentu zginającego zapiszemy następująco:
Kierunki siły podłużnej i poprzecznej, jak już wspomnieliśmy we wstępie, zmieniają się
wraz ze zmianą kąta a. Aby ułatwić uwzględnienie tego w równaniach, zredukujmy sumę
wszystkich sił poziomych H i pionowych V, działających na prawo od przyjętego
przekroju i zrzutujmy je na kierunki sił N i Q, zgodnie ze schematem przedstawionym na
rysunku poniżej:
Pozostaje teraz tylko wyznaczyć funkcje sił H(a) i V(a) i podstawić do powyższych
równań, aby otrzymać funkcje siły poprzecznej i podłużnej:
90 <
º a < 120º
Granicę tego przedziału charakterystycznego określa położenie siły skupionej.
Współrzędna pozioma tego punktu jest równa x = - 3, zatem:
Pisząc równanie momentów w tym przedziale spostrzegamy, że współrzędna x zmienia
się od zera w stronę wartości ujemnych, stąd odległość reakcji od bieżącego punktu
wynosi 6 - x. Obciążenie ciągłe pionowe i poziome działają z pełną wartością i mają
ustalone położenie wypadkowej.
Do rozkładu sił poziomych i pionowych na kierunki podłużny i poprzeczny
wykorzystujemy ten sam schemat co w poprzednim przedziale (zobacz uzasadnienie).
Tak więc siła poprzeczna i podłużna będą równe:
Należy teraz obliczyć sumę sił poziomych i pionowych na analizowany i przekrój i
podstawić do powyższych wzorów.
120 <
º a < 180º
W tym przedziale pojawia się siła skupiona, której pozioma odległość od bieguna
redukcji wynosi (- 3 - x).
Dla x = -3 (punkt przyłożenia siły) daje to zero, a dla x = -6 (koniec przedziału) mamy
odległość równą trzy.
Zauważmy też, że wszystkie człony wchodzące do równania momentów w poprzednim
przedziale, tutaj będą miały identyczną postać. Można zatem przepisać równanie z
90 <
przedziaÅ‚u º a < 120º i dodatkowo uwzglÄ™dnić wpÅ‚yw siÅ‚y skupionej.
Dla siły poprzecznej i podłużnej stosujemy oczywiście ten sam schemat co powyżej,
zmieniajÄ… siÄ™ tylko wypadkowe pionowa i pozioma:
4. Wykresy sił przekrojowych.
Trygonometryczna postać funkcji sił przekrojowych nie daje możliwości dokładnego
narysowania wykresów tylko na podstawie wartości w kilku punktach przedziału
charakterystycznego, jak w belkach i ramach. Aby otrzymać dokładny wykres funkcji,
należy zastosować matematyczny aparat, polegający na określeniu wszystkich
charakterystycznych elementów krzywej i na tej podstawie narysować wykres.
Oczywiście można skorzystać z programów komputerowych rysujących wykresy funkcji,
na przykład Mathcad, Mathematica.
Wykresy w niniejszym przykładzie narysujemy w sposób przybliżony, na podstawie
wartości policzonych w kilku punktach. W tym celu wygodnie jest sporządzić tabelkę, w
której wpiszemy wartości funkcji M, Q, N dla poszczególnych kątów. Pamiętać tylko
należy, że w miejscu przyłożenia siły skupionej, musimy policzyć wartości siły
poprzecznej i podłużnej z lewej i prawej strony.
a M(a)[kNm] Q(a)[kN] N(a)[kN]
0° 0 0 -70
15° -10.22 12.94 -71.70
30° -40.19 25 -76.70
45° -87.87 35.35 -84.65
60° -150 43.30 -95
75° -222.35 48.30 -107.06
90° -300 50 -120
105° -353.11 17.24 -128.85
120° -353.54 -16.70 -128.92
120° -353.54 17.94 -148.92
135° -350.95 -21.21 -148.49
150° -287.65 -58.92 -137.94
165° -167.95 -92.62 -117.99
180° 0 -120 -90
Wyróżnione kolorem liczby, to wartości sił przekrojowych w punktach, w których łatwo
możemy kontrolować poprawność obliczeń. Są to te punkty w łuku kołowym, gdzie
styczna do łuku jest pozioma lub pionowa, w związku z czym siła poprzeczna i podłużna
będą wprost równe zredukowanym siłom poziomej lub pionowej.
Wykresy narysujemy, podobnie jak w ramach, bezpośrednio na osi łuku, nanosząc
wartości na liniach prostopadłych do osi. Można też rysować wykresy w takiej konwencji
jak w belkach, tzn. na osi poziomej pod schematem statycznym Å‚uku.
Równania sił przekrojowych zapisano w tym przykładzie w jednym układzie
współrzędnych, co jak wiemy nie musi być zasadą. Można na przykład jedną ćwiartkę
łuku zapisać w układzie jak wyżej, a drugą przyjmując układ jak na rysunku poniżej
(przykład 13). Korzyścią jest prostszy układ sił do redukcji i operowanie wartościami
kątów ostrych dla całego łuku. Trzeba natomiast dwukrotnie rozrysowywać schemat,
określający kierunki podłużny i poprzeczny.
Ekstremalne wartości momentu zginającego wystąpią tam, gdzie siła poprzeczna się
zeruje. Dla łuków kołowych bowiem, również istnieje zależność pomiędzy momentem
zginającym i siłą poprzeczną. Dla układu współrzędnych takich jak przyjęty w tym
przykładzie związek ten ma postać:
Dla układu współrzędnych jak na rysunku powyżej będzie zaś:
Związki powyższe łatwo sprawdzić, na przykład w przedziale 0 <
º a < 90º mamy:
 Zadanie S-13. W podanym łuku kołowym wyznaczyć funkcje sił przekrojowych M, Q,
N i narysować ich wykresy.
Przykład 13. W podanym łuku
kołowym wyznaczyć funkcje sił przekrojowych i narysować ich wykresy.
1. Obliczenie reakcji.
Przed wyznaczeniem reakcji należy określić współrzędną pionową punktu przyłożenia
siły skupionej.
Teraz mamy określone wszystkie wielkości, które posłużą do ułożenia trzech równań
równowagi:
2. Funkcje sił przekrojowych.
PrzedziaÅ‚: 0° < a < 60°
Równanie parametryczne łuku ma postać:
Funkcja momentu zginajÄ…cego:
Do określenia kierunków podłużnego i poprzecznego przy redukcji układu sił
zewnętrznych posłużymy się schematem pokazanym na rysunku poniżej.
Teraz obliczamy sumę wszystkich sił poziomych i pionowych, działających po lewej
stronie przekroju i podstawiając do powyższych wzorów otrzymujemy równania sił
poprzecznej i podłużnej.
Przyjmując siły V i H ze schematu jako dodatnie, otrzymamy:
PrzedziaÅ‚: 60° < a < 90°
2. Wykresy sił przekrojowych
Wykresy sił przekrojowych narysujemy na podstawie wartości policzonych w kilku
punktach:
a M(a)[kNm] Q(a)[kN] N(a)[kN]
0° 0 -220 -48.375
15° -356.59 -119.98 -82.23
30° -508.15 -27.77 -71.89
45° -491.16 38.64 -29.77
60° -370.70 70.46 25.29
60° -370.52 20.46 -61.31
75° -298.68 43.90 -23.05
90° -200 48.375 0
Pomiędzy równaniem momentu a siły poprzecznej istnieje związek:
Wynika z niego, że ekstremalna wartość momentu będzie występować w miejscu
zerowania się siły poprzecznej. (Zobacz zależności różniczkowe w belkach).
Na naszym przybliżonym wykresie widać tą zależność. Aby wyznaczyć ekstremum
momentu, należy w przedziale 0° < a < 60° przyrównać do zera równanie siÅ‚y
poprzecznej i dla znalezionego pierwiastka tego równania wyznaczyć wartość momentu.
Zadanie S-14. W podanym łuku parabolicznym wyznaczyć funkcje sił przekrojowych
M, Q, N i narysować ich wykresy.
Przykład 14. W podanym
łuku parabolicznym wyznaczyć funkcje sił przekrojowych M, Q, N i narysować ich
wykresy.
1. Obliczenie reakcji.
Konstrukcja jest symetryczna zatem na każdą reakcję pionową V przypada połowa
wypadkowej obciążenia ciągłego:
Reakcje poziome, jako jedyne siły działające w kierunku poziomym, muszą się
równoważyć, natomiast ich wartości wyznaczymy z warunku zerwania się momentu od
wszystkich sił z lewej lub prawej strony przegubu:
2. Geometria Å‚uku.
A
uk jest paraboliczny, zatem jego oś jest opisana ogólnym równaniem:
Równanie to możemy wyznaczyć, gdyż znamy położenie trzech punktów należących do
osi łuku. Przyjmując układ współrzędnych (x, z) w punkcie A, obliczamy:
Równanie łuku będzie zatem:
lub w postaci parametrycznej:
Określimy teraz zmianę kierunków stycznego i prostopadłego do osi łuku, celem
póz
niejszego wyznaczenia równań sił podłużnej i poprzecznej. W tym celu obliczymy
współrzędne wersora stycznego do krzywej łuku.
Wektor w styczny do krzywej, która jest określona równaniem parametrycznym, ma
współrzędne:
Współrzędne wersora (kosinusy kierunkowe), zapiszemy zatem następująco:
3. Równania sił przekrojowych
Z uwagi na symetrię wystarczy rozpatrzyć połowę łuku, czyli przedział AB.
Przedział 0 < t < 4
Stosując konwencję znakowania analogiczną jak w belkach równanie momentu
zginającego zapiszemy następująco
Widzimy zatem, że w każdym punkcie łuku wartości momentu zginającego są równe
zeru. Możemy powiedzieć, że dany łuk nie podlega zginaniu.
Aby wyznaczyć równania sił podłużnej i poprzecznej zbudujmy schemat rozkładu sił
poziomych i pionowych na kierunki podłużny i poprzeczny.
Obliczając wypadkową sił poziomych i pionowych działających na łuk po lewej stronie
przekroju i podstawiając tak policzone wartości do powyższych równań, otrzymamy
funkcje siły poprzecznej i podłużnej:
Widzimy zatem, że również siła poprzeczna jest zerowa w każdym punkcie łuku.
Możemy powiedzieć, że dany łuk nie jest poddany ścinaniu. Jedyną niezerową siłą
przekrojową jest siła podłużna.
Wyników otrzymanych w niniejszym przykładzie nie można uogólnić. Zerowanie się
momentu zginającego i siły poprzecznej występuje tylko dla łuku parabolicznego,
trójprzegubowego, obciążonego symetrycznie obciążeniem równomiernie rozłożonym na
rzut poziomy łuku. Niemniej jednak dla wszystkich łuków (również kołowych), dla
których dominującym obciążeniem jest obciążenie pionowe (np. ciężar własny), wartości
ściskającej siły podłużnej są decydujące przy projektowaniu. Ta właściwość łuków
została wykorzystana już przez starożytnych Rzymian, którzy przekrywali imponujących
rozmiarów pomieszczenia łukowymi sklepieniami, dysponując tylko bloczkami
kamiennymi lub ceglanymi łączonymi zaprawą. Siła podłużna, dociska bloczki do siebie
tak silnie, że mała siła poprzeczna nie jest w stanie "wypchnąć" poszczególnych
bloczków z łuku.
4. Wykres siły podłużnej
Zadanie S-15. W podanym łuku parabolicznym wyznaczyć funkcje sił przekrojowych
M, Q, N i narysować ich wykresy.
ROZWI
ZYWANIE KRATOWNIC
Zadanie S-16 . Obliczyć siły w prętach podanej kratownicy.
Zadanie S-17 . Obliczyć siły w prętach podanej kratownicy.
Zadanie S-18 . Obliczyć siły w zaznaczonych prętach podanej kratownicy.
Zadanie S-19. Aby przetestować nowy program komputerowy obliczający kratownice
należy sprawdzić, czy uzyskane wyniki są poprawne. Dla podanej poniżej kratownicy
sprawdz
poprawność rozwiązania.
UKA
ADY ZA
OŻONE
Zadanie S-20 . Wyznaczyć siły przekrojowe w podanym układzie złożonym i narysować
ich wykresy.
Zadanie S-21 . Wyznaczyć siły przekrojowe w podanym układzie złożonym i narysować
ich wykresy.
Zadanie S-22 . Wyznaczyć siły przekrojowe w podanym układzie złożonym i narysować
ich wykresy.
Zadanie S-23 . Wyznaczyć siły przekrojowe w podanym układzie złożonym i narysować
ich wykresy.
PRZYKA
ADY ZADAC

Zadanie N-1. W układzie (x, y) w punkcie A dany jest tensor naprężenia
Przedstawić graficzny obraz tego tensora, oraz wyznaczyć jego współrzędne w nowym
ukÅ‚adzie współrzÄ™dnych, powstaÅ‚ym poprzez obrót ukÅ‚adu (x, y) o kÄ…t -60º.
Przykład 1. W układzie (x, y) w punkcie A dany jest tensor naprężenia
Przedstawić graficzny obraz tego tensora, oraz wyznaczyć jego współrzędne w nowym
ukÅ‚adzie współrzÄ™dnych, powstaÅ‚ym poprzez obrót ukÅ‚adu (x, y) o kÄ…t -60º.
1. Graficzny obraz tensora naprężenia
Pierwszy wiersz tensora naprężenia przedstawia współrzędne wektora naprężenia w
punkcie A na płaszczyz
nie prostopadłej do osi x układu współrzędnych (x, y). Zwrot
wersora normalnego do tej płaszczyzny jest zgodny ze zwrotem osi x. W tym samym
punkcie można sobie wyobrazić płaszczyznę prostopadłą do osi x, ale zorientowaną
przeciwnie, tzn. wersor normalny do tej płaszczyzny ma przeciwny zwrot do osi x.
Wektor naprężenia odpowiadający takiej płaszczyz
nie będzie miał tą samą wartość, ten
sam kierunek i przeciwny zwrot do wektora na płaszczyz
nie dodatnio zorientowanej.
Podobnie przedstawia się sprawa z drugim wierszem tensora naprężenia; przedstawia on
współrzędne wektora naprężenia w punkcie A na płaszczyz
nie prostopadłej do osi y i o
normalnej zgodnej ze zwrotem tej osi. Tutaj również można analizować płaszczyznę o
wersorze normalnym przeciwnie skierowanym do osi y i wektorze naprężenia
przeciwnym do wektora na płaszczyz
nie dodatnio zorientowanej.
Graficzny obraz tensora naprężenia utworzymy, odsuwając myślowo od punktu A cztery,
wymienione wyżej płaszczyzny, tworząc kwadrat o bokach równoległych do osi układu
(x, y). Przyjmiemy przy tym konwencję znakowania składowych wektora naprężenia na
poszczególnych ściankach w sposób następujący:
Za dodatnie przyjmiemy te składowe wektora naprężenia, które mają:
" zwrot zgodny ze zwrotem osi, do której są równoległe, oraz zwrot normalnej
zewnętrznej jest także zgodny ze zwrotem osi układu, do której ta normalna
jest równoległa,
" lub jeśli zarówno składowa, jak i normalna mają zwroty przeciwne do
odpowiednich osi, do których są równoległe.
Jest to tzw. reguła podwójnej zgodności. W każdym innym przypadku składowe wektora
naprężenia przyjmiemy ze znakiem ujemnym.
Biorąc powyższe pod uwagę graficzny obraz podanego tensora naprężenia można
przedstawić następująco:
2. Współrzędne tensora w nowym układzie współrzędnych
Szukane współrzędne tensora w nowym układzie znajdziemy wykorzystując prawo
transformacji dla tensora drugiego rzędu (tensor dwuwskaz
nikowy). Prawo to w zapisie
macierzowym ma postać:
zaÅ› w zapisie wskaz
nikowym:
Macierz a, nazywana macierzą przejścia, określa obrót nowego układu współrzędnych
względem układu wyjściowego (starego). Jej elementy wyznaczymy obliczając kosinusy
kierunkowe nowego układu, obróconego o kąt
-60º.
Zgodnie z przyjętą w trygonometrii konwencją znakowania kątów (dodatnie - przeciwnie
do ruchu wskazówek zegara) obrót układu współrzędnych przyjmiemy jak na rysunku
poniżej:
Korzystając z powyższego rysunku obliczamy:
Stosując prawo transformacji obliczamy elementy tensora naprężenia w nowym układzie:
KorzystajÄ…c z prawa transformacji w zapisie wskaz
nikowym otrzymamy:
Zadanie N-2. Dla podanych tensorów naprężenia wyznaczyć wartości i kierunki główne.
a) b)
c)
Przykład 2a. Dla podanego tensora naprężenia wyznaczyć wartości i kierunki główne.
1. Równanie charakterystyczne
Niezmienniki tensora naprężenia:
Równanie charakterystyczne przyjmuje postać:
Pierwiastki tego równania, czyli wartości główne tensora naprężenia, uporządkowane od
największej do najmniejszej są następujące:
Dla sprawdzenia można policzyć pierwszy niezmiennik tensora:
2. Kierunki główne tensora naprężenia
Wyznaczając pierwszy kierunek główny, wybieramy dwa spośród trzech wektorów X1 ,
X2 , X3 i liczymy ich iloczyn kartezjański, pamiętając o parzystej permutacji wskaz
ników.
Wynikiem tego iloczynu będzie wektor równoległy do pierwszego kierunku głównego.
Mając wektor równoległy do kierunku głównego z łatwością obliczamy wersor tego
kierunku.
Analogiczne obliczenia wykonujemy dla drugiej wartości własnej:
Wersor trzeciego kierunku możemy wyznaczyć, obliczając iloczyn kartezjański dwóch
pierwszych wersorów. Ponieważ wersory e1, e2 i e3 mają tworzyć bazę kartezjańskiego
układu współrzędnych, czyli stanowić trójkę prawoskrętną, iloczyn kartezjański musi być
liczony zgodnie z parzystÄ… permutacjÄ… wskaz
ników, np.:
W naszym przykładzie mamy:
Przykład 2b. Dla podanego tensora naprężenia wyznaczyć wartości i kierunki główne.
Mamy tutaj do czynienia z tzw. płaskim stanem naprężenia. Powyższy zapis tensora
należy rozumieć w ten sposób, że w trzeciej kolumnie i trzecim wierszu są same wartości
zerowe. Możemy od razu napisać, że trzecia wartość główna tego tensora jest równa zero.
Pozostałe wartości główne obliczymy, korzystając ze wzorów wyprowadzonych dla
płaskiego stanu naprężenia:
Pierwszy kierunek główny wyznaczymy obliczając tangens kąta między osią pierwszą
układu wyjściowego a osią pierwszą układu własnego:
Układ własny tensora naprężenia przedstawiono poniżej.
Zgodnie z rysunkiem obliczamy współrzędne wersorów e1 , e2 będących bazą układu
własnego:
Macierz przejścia do układu własnego będzie miała zatem postać:
Przykład 3b. Dla podanego tensora naprężenia wyznaczyć wartości i kierunki główne.
Podany tensor naprężenia opisuje tzw. antypłaski stan naprężenia. Występuje on
wówczas, kiedy w wierszu i odpowiadającej mu kolumnie poza przekątną są zerowe
wartości. Wartość na przekątnej jest wtedy wartością główną a kierunek określony przez
numer wiersza i kolumny - kierunkiem głównym. Pozostałe wartości główne obliczamy
jak dla stanu płaskiego.
W analizowanym przypadku kierunek drugi jest kierunkiem głównym, określonym przez
wersor
Wartość główna dla tego kierunku wynosi:
Pozostałe wartości główne obliczamy ze wzorów dla przypadku płaskiego:
Pierwszy kierunek główny określa kąt a1, którego tangens jest równy:
Wersory wyznaczajÄ…ce kierunki pierwszy i trzeci:
Macierz przejścia do kierunków głównych:
Zadanie N-3. Dobrać stałe A, B, C, tak aby poniższe związki przedstawiały pole
naprężeń przy zerowych siłach masowych.
Przykład 3 Dobrać stałe A, B, C, tak aby poniższe związki przedstawiały pole naprężeń
przy zerowych siłach masowych.
Aby powyższe funkcje przedstawiały pole naprężeń, muszą spełniać równania
równowagi. Równania te, dla zerowych sił masowych Pi = 0 przyjmują postać:
Stałe A, B, C dobierzemy tak, aby spełnić równania równowagi:
Zadanie N-4. W układzie płaskim (Oxy) dana jest tarcza OAB, oraz związki I, II, III.
I. II. III.
Z powyższych związków wybrać te, które przedstawiają pole naprężeń dla tej tarczy (siły
masowe pominąć), a następnie wyznaczyć:
a) obciążenie brzegów tarczy,
b) wektor naprężenia pv w punkcie P(1.5, 2.3) przy przecięciu tarczy płaszczyzną o
wektorze normalnym w=[2,1],
c) skÅ‚adowÄ… stycznÄ… Ä i normalnÄ… à wektora naprężenia pv obliczonego w punkcie b.
Przykład 4 W układzie płaskim (Oxy) dana jest tarcza OAB, oraz związki I, II, III.
I. II. III.
Z powyższych związków wybrać te, które przedstawiają pole naprężeń dla tej tarczy (siły
masowe pominąć), a następnie wyznaczyć:
a) obciążenie brzegów tarczy,
b) wektor naprężenia pv w punkcie P(1.5, 2.3) przy przecięciu tarczy płaszczyzną o
wektorze normalnym w=[2,1],
c) skÅ‚adowÄ… stycznÄ… Ä i normalnÄ… à wektora naprężenia pv obliczonego w punkcie b.
1. Sprawdzenie równań równowagi
Rzeczywiste pole naprężeń przedstawiają te funkcje, które spełniają równania
równowagi.
Funkcje I
Funkcje II
Funkcje III
Zatem tylko funkcje III mogą być funkcjami naprężeń dla danej tarczy, dla tych więc
funkcji wykonujemy dalsze obliczenia.
2. Odtworzenie obciążenia brzegów tarczy
Na każdym brzegu tarczy muszą być spełnione statyczne warunki brzegowe, które w
zapisie wskaz
nikowym mają postać:
gdzie: Ãij - elementy pola naprężeÅ„,
ąij - współrzędne wersora normalnego do brzegu
brzeg OA
wersor normalny do brzegu: v = [0, -1]
Podstawiając do powyższych związków równanie brzegu x2 = 0 otrzymamy:
Na podstawie powyższych funkcji można naszkicować obciążenie brzegu OA:
brzeg OB
wersor normalny do brzegu: v = [-1, 0]
Podstawiając do powyższych związków równanie brzegu x1 = 0 otrzymamy:
brzeg AB
wersor normalny do brzegu: v = [3/5, 4/5]
Do powyższych związków podstawiamy równanie brzegu:
3. Wektor naprężenia
Wektor naprężenia w punkcie przy przecięciu ciała płaszczyzną o normalnej v obliczamy
z równania:
Tensor naprężenia w punkcie P(1.5, 2.3) wyznaczamy, podstawiając współrzędne punktu
do elementów pola naprężeń:
Wersor normalny płaszczyzny przecięcia:
Wektor naprężenia:
4. Rozkład wektora naprężenia
Rozkładając wektor naprężenia na kierunek prostopadły i równoległy do płaszczyzny
przecięcia, otrzymujemy wektory naprężenia normalnego i stycznego. Wektory te
s i t.
oznaczany przez
Zadanie N-5. W kartezjańskim układzie współrzędnych (Oxy) dane są funkcje,
określające wektorowe pole przemieszczeń, dla pewnej płaskiej tarczy.
Wyznaczyć wartości i kierunki główne odkształceń w punkcie P(1, 2) [m] oraz
odkształcenie liniowe włókna, przechodzącego przez punkt P i równoległego do prostej l.
Przykład 5
W kartezjańskim układzie współrzędnych (Oxy) dane są funkcje, określające wektorowe
pole przemieszczeń, dla pewnej płaskiej tarczy.
Wyznaczyć wartości i kierunki główne odkształceń w punkcie P(1, 2) [m] oraz
odkształcenie liniowe włókna, przechodzącego przez punkt P i równoległego do prostej l.
1. Wyznaczenie pola odkształceń
Pole odkształceń wyznaczamy z równań geometrycznych Cauchy'ego.
2. Tensor odkształcenia w punkcie P
Współrzędne tensora odkształcenia w punkcie P(1, 2) wyznaczymy, podstawiając
współrzędne tego punktu do funkcji określających pole odkształceń.
3. Wartości główne i kierunki główne odkształceń
Kierunki główne określone są przez następujące wersory:
4. Odkształcenie włókna równoległego do osi l
Odkształcenie liniowe włókna przechodzącego przez punkt P i równoległego do prostej l
wyznaczymy, transformując tensor odkształcenia w punkcie P do nowego układu
współrzędnych, w którym jedna z osi jest równoległa do tej prostej. Odpowiadający tej
osi element z przekątnej głównej tensora odkształcenia w nowym układzie, jest
poszukiwanym odkształceniem.
Kąt obrotu układu współrzędnych określa współczynnik kierunkowy prostej l:
Macierz przejścia do nowego układu:
Poszukiwane odksztaÅ‚cenie to element µ'11 tensora odksztaÅ‚cenia w nowym ukÅ‚adzie.
Element ten wyznaczymy z prawa transformacji dla tensora drugiego rzędu:
Zadanie N-6. W punkcie P betonowej belki okreÅ›lono tensor naprężenia Tà .
Wyznaczyć ekstremalne odkształcenia liniowe w tym punkcie. Do obliczeń przyjąć
moduł Young'a E = 30 GPa, współczynnik Poisson'a v = 0.2.
Przykład 6
W punkcie P betonowej belki okreÅ›lono tensor naprężenia TÃ.. Wyznaczyć ekstremalne
odkształcenia liniowe w tym punkcie. Do obliczeń przyjąć moduł Young'a E = 30 GPa,
współczynnik Poisson'a v = 0.2.
1. Wyznaczenie tensora odkształcenia w punkcie P
Do wyznaczenia elementów tensora odkształcenia wykorzystamy równania Hooke'a. Są
to równania fizyczne, czyli równania podające zależności pomiędzy naprężeniami i
odkształceniami.
Zwracamy uwagę na fakt, że płaskiemu tensorowi naprężenia w punkcie odpowiada
antypłaski stan odkształcenia w tym punkcie.
2. Ekstremalne odkształcenia liniowe
Aby wyznaczyć ekstremalne odkształcenia liniowe, rozwiązujemy problem własny dla
tensora odkształcenia w punkcie P. Zerowe odkształcenia kątowe w trzeciej kolumnie i
trzecim wierszu oznaczają, że kierunek x3 jest kierunkiem głównym, a wartość
odkształcenia na przecięciu tego wiersz i tej kolumny jest wartością własną, czyli:
Pozostałe wartości własne obliczamy ze wzorów wyprowadzonych dla tensora płaskiego:
Ekstremalne odkształcenia liniowe w punkcie P belki wynoszą: