MP odkszt przyk 2 rama

MP uwzględnienie odkszt. podłużnej przykład 1 rama obciążenie F, T, " 20.11.2011
METODA PRZEMIESZCZEC PRZYKAAD ROZWIZANIA RAMY
Ramę pokazaną na rysunku rozwiązać metodą przemieszczeń, oddzielnie dla różnych typów
obciążenia i dokonać kontroli rozwiązań.
Obciążenia
30kN
Siły
30o
5kNm
20kN
Przemieszczenia podpór
i błędy montażu
1.00m
"� = 0.5o
"h = 0.4cm
"T = 10o
1.00m
� = 1o
v = 1cm
1. PODZIAA RAMY NA ELEMENTY I WYZNACZENIE STOPNIA
GEOMETRYCZNEJ NIEWYZNACZALNOŚCI
ng = n� + n� n� = ws - e� n� = 2 �" w - e� - sw
,
u1
x
�1
v1 1
1
u2
2
�2
v2
2
u4 = sw =1
4
y
4
et = 1
3
�4 = 1
3 n� = 2�" w - e� - sw = 2�"4 - 3-1 = 4
et = 2
n� = ws - e� = 3 -1 = 2
są to u1,v1,u2,v2
http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski 1
o
"
T
=
10
"
L
=
0.8
cm
1
0
k
N
/
m
MP uwzględnienie odkszt. podłużnej przykład 1 rama obciążenie F, T, " 20.11.2011
2. UKAAD PODSTAWOWY
�
k1 = 4000kNm
Obciążenia jak w układzie danym:
1x
Siły:
x
1
Fx1 = 30kN �" cos 30o = 25.98kN ,
1y I 240
Fy1 = 30kN �" sin 30o = 15kN ,
�
o o
Fx2 = Fy2 = 0, M = 0, M = 5kNm,
� 1 2
2x
�
2
ą = 30o
I 200
�
5
2y
�
� 1
k25 = 2000kN / m
4
�
I 220
y
3
3.00m
1.00m
2
Zmiany temperatury:
Pręt 1-4: "Tw = "T� - = 10o C, "Tp = "T� + = 10o C,
"Tz = "Tw - "Tp = 0, "To = (10o + 10o ) / 2 = 10o C,
Pręt 1-2: "Tw = "T� - = 40o C, "Tp = "T� + = 10o C,
"To = (40o +10o ) / 2 = 25o C,
"Tz = "Tw - "Tp = 30o C,
Pręt 2-3: "Tw = "T� - = -10o C, "Tp = "T� + = 10o C,
"Tz = "Tw - "Tp = -20o C, "To = (-10o +10o ) / 2 = 0,
Przemieszczenia podpór i błędy montażu:
"� = 0.5o = 0.5 *Ą /180 = 0.008727 , "h = -0.4cm = -0.004m, "L14 = 0.8cm = 0.008m.
v3 = 1cm = 0.01m, �4 = 1o = 1*Ą /180 = 0.017453,
3. PARAMETRY SZTYWNOŚCI PRTÓW I SIAY BRZEGOWE OD OBCIŻEC
W GLOBALNYM UKAADZIE WSPÓARZDNYCH
Pręt 1-4: projektowany jest z I 200, dla którego:
2
A = 0.00334m, I = 0.0000214 m4 , E = 205 000 000kN / m2 , EA = 684 700kN , EI = 4 387kNm ,
Ly Lx
Dane jest też: Ly14 = 4m, Lx14 = 0, �! L14 = 4m, ą14 = = 1, cosą14 = = 0,
sin L
L
Pręt jest typu sztywno-łyżwowego, więc:
a14 = a41 = 1, = b41 = -1, c14 = c41 = dv14 = dv41 = 0, dn14 = dn41 = 1, �!
b14
2 2
EI 4387kNm EI 4387kNm
�ł �ł �ł �ł
A14 = a14 �" = 1�" = 1096.75kNm, A41 = a41 �" = 1�" = 1096.75kNm,
�ł �ł �ł �ł
L 4m L 4m
�ł łł14 �ł łł14
2
EI 4387kNm
�ł �ł
B14 = B41 = b14 �" = = -1096.75kNm,
�ł �ł -1�"
L 4m
�ł łł14
EI EI
�ł �ł �ł �ł
C14 = c14 �" = 0, C41 = c41 �" = 0,
�ł �ł �ł �ł
L2 L2
�ł łł14 �ł łł14
EA 684700kN kN EI
�ł �ł �ł �ł
Dn14 = Dn41 = dn14 �" = 1�" = 171175 , Dv14 = Dv41 = dv14 �" = 0,
�ł �ł �ł �ł
L 4m m L3
�ł łł14 �ł łł14
C14 �" sin ą14 = 0, C14 �" cosą14 = 0, C41 �" sin ą14 = 0, C41 �" cosą14 = 0,
2 http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski
2.00m
4.00m
1.00m
MP uwzględnienie odkszt. podłużnej przykład 1 rama obciążenie F, T, " 20.11.2011
�1 �4 � �1
M14 = M41 = A14 = A41 =1096.75kNm, M144 = M41 = B14 =-1096.75kNm,
u2 �1 u1 �1 u2 �1 u1 �1
M14 = Rx41 =-M14 =-Rx14 =C14 �"siną14 =0 , M14 = Rx41 =-M14 =-Rx14 =C14 �"siną14 =0 ,
u1 �1 u2 �1 v1 �2 v2 �2
M41 = Ry14 =-M14 =-Ry41 =C14 �"cosą14 =0, M41 = Ry14 = -M14 =-Ry41 =C41�"cosą14 =0 ,
u1 u4 u4 u1
Rx14 = Rx41 =-Rx14 =-Rx41 = Dn14 �"cos2 ą14 +Dv14�"sin2 ą14 =0 ,
v1 v4 v4 v1
Ry14 = Ry41 =-Ry14 = -Ry41 = Dn �"sin2ą14 +Dv 14�"cos2ą14 =171175kN/m �"12 +0 =171175kN/m ,
14
v1 v4 u4 u4 v1 u1
Rx14 = Rxv1 = Rx41 = Rx41 =-Rxv4 =-Ry14 =-Rx41 = -Ry41 =(Dn -Dv )�"siną14�"cosą14 =0 ,
14 14 14 14
Współczynniki od obciążeń
oF oF oF oF oF oF
Obciążenie siłami: M14 =M41 =0, N14 = N41 =0, V14 =V41 =0,
oF oF oF oF
Rx14 = Rx41 = Ry14 = Ry41 =0.
oT oT
Zmiany temperatury: M14 = M41 =0,
oT oT oT oT
N14 = N41 = -EA�"ąT �""To =-684700 kN�"0.000012 /o C�"10 oC = -82 .164 kN, V14 =V41 =0,
oT oT oT oT oT oT
Rx14 =V14 �"siną14-N14 �"cosą14 =0-0 =0 Ry14 =-V14 �"cosą14 -N14 �"siną14 =0+82 .164 �"1=82 .164 kN,
oT oT oT oT oT oT
Rx41 = N41 �"cosą14 -V41 �"siną14 =0-0=0, Ry41 = N41 �"siną14 +V41 �"cosą14,=-82 .164 �"1+0=-82 .164 kN
Przemieszczenia podpór i błędy montażu:
EI 4387 kNm 2
o" o"
M41 =-M14 = �"�4 = �"0 .017453 =19.14158 kNm ,
L 4m
EA 684700 kN
o" o" o o"
N14 = N41 =- �""L =- �"0.008 m=-1369 . 4kN, V14" =V41 =0,
L 4m
o" o o" o" o o"
Rx14 =V14" �"siną14 -N14 �"cosą14 = 0-0 =0, Ry14 =-V14" �"cosą14 -N14 �"siną14 =0+13694�"1=1369 . 4kN,
.
o" o" o" o" o" o"
Rx41 = N41 �"cosą14 -V41 �"siną14 =0-0 =0, Ry41 = N41 �"siną14 +V41 �"cosą14 = -13694�"1+0 = -1369 .4kN,
.
http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski 3
MP uwzględnienie odkszt. podłużnej przykład 1 rama obciążenie F, T, " 20.11.2011
"Tw =
Pręt 1(p) - 4(k) 10
"Tp =
Przekrój A I E EA EI ąT h 10
m4 kN/m2 kNm2 1/oC "to =
m kN m 10
"tz =
I200 0.00334 0.0000214 205 000 000 684 700 4 387 0.000012 0.2 0
L2
x1 x4 y1 y4 "L14 =
Lx Ly L 0.008
m2
Ć4 =
m m m m m m m 0.017453
0 0 0 0 4 4 16 4
siną14 sin2ą14 cosą14 cos2ą14 siną14*cosą14
1 1 0 0 0
a14 A14 a41 A41 b14 = b41 B14 = B41 N14(F) N14(T) N14(")
typ
kNm kNm kNm
s - ł 1 1096.75 1 1096.75 -1 -1096.75 0 -82.164 -1369.4
ą ą ą ą
c14 C14 C14*siną14 C14*cosą14 c41 C41 C41*siną14 C41*cosą14 V14(F) V14(T) V14(")
ą ą ą ą
ą ą ą ą
kN kN kN kN kN kN
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
dn14 = dn41 Dn14 = Dn41 Dn*sin ą Dn*cos ą Dn*sin2ą14 Dn*cos2ą14 Dn*cos2+Dv*sin2 N41(F) N41(T) N41(")
(Dn-Dv)*sin*cos
14 14
kN/m kN/m kN/m kN/m kN/m kN/m kN/m
1 171175 171175 0 171175 0 0 0 0 -82.164 -1369.4
Dn*sin2+Dv*cos2
dv14 = dv41 Dv14 = Dv41 Dv*sin ą Dv*cos ą Dv*sin2ą14 Dv*cos2ą14 V41(F) V41(T) V41(")
14 14
kN/m kN/m kN/m kN/m kN/m kN/m
0 0 0 0 0 0 171175 0 0 0
R(")
Ć1 Ć4 u1 v1 u4 v4
R(F) R(T)
M14
= 1096.75 -1096.75 0 0 0 0 0 0 -19.1419
M41
= -1096.75 1096.75 0 0 0 0 0 0 19.14194
Rx14 = 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Ry14
= 0 0 0 171175 0 -171175 0 82.164 1369.4
Rx41 = 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Ry41
= 0 0 0 -171175 0 171175 0 -82.164 -1369.4
4 http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski
MP uwzględnienie odkszt. podłużnej przykład 1 rama obciążenie F, T, " 20.11.2011
Pręt 1-2: projektowany jest z I 240, dla którego:
A = 0.00461m, I = 0.0000424 m4 , E = 205 000 000kN / m2 ,
2
EA = 945 050kN , EI = 8 692kNm ,
2 2
Dane jest: Lx12 = 4m, Ly12 = 2m, �! L12 = Lx + Ly = 4.472136m,
Ly Lx
sin ą12 = = 0.447214, cosą12 = = 0.894427,
L L
Pręt jest typu sztywno-sztywny, więc: a12 = a21 = 4, = b21 = 2, c12 = c21 = 6,
b12
dv12 = dv21 = 12, dn12 = dn21 = 1, �!
2
EI 8692kNm
�ł �ł
A12 = a12 �" = 4 �" = 7774.36kNm,
�ł �ł
L
�ł łł12 4.4721m
2
EI 8692kNm
�ł �ł
A21 = a21 �" = 4 �" = 7774.36kNm,
�ł �ł
L
�ł łł12 4.4721m
2
EI 8692kNm
�ł �ł
B12 = B21 = b12 �" = 2 �" = 3887.18kNm,
�ł �ł
L
�ł łł12 4.4721m
2
EI 8692kNm
�ł �ł
C12 = c12 �" = 6 �" = 2607.6kN ,
�ł �ł
2
L2
�ł łł12 (4.4721m)
2
EI 8692kNm
�ł �ł
C21 = c21 �" = 6 �" = 2607.6kN ,
�ł �ł
2
L2
�ł łł12 (4.4721m)
EA 945050kN kN
�ł �ł
Dn12 = Dn21 = dn12 �" = 1�" = 211319.6 ,
�ł �ł
L m
�ł łł12 4.4721m
EJ 945050kN kN
�ł �ł
Dv12 = Dv21 = dv12 �" = 12 �" = 1166.15 ,
�ł �ł
3
L3 m
�ł łł12 (4.4721m)
C12 �" sin ą14 = 2607.6kN �" 0.4472 = 1166.15kN , C12 �" cosą14 = 2607.6kN �" 0.8944 = 2332.31kN ,
C21 �" sin ą14 = 2607.6kN �" 0.4472 = 1166.15kN , C21 �" cosą14 = 2607.6kN �" 0.8944 = 2332.31kN ,
kN kN kN
2 2
Dn12 �" cos ą12 + Dv12 �" sin ą12 = 211319.6 �" 0.8944 + 1166.15 �" 0.4472 = 169288.91 ,
m m m
kN kN kN
2 2
Dn12 �" sin ą12 + Dv12 �" cos ą12 = 211319.6 �" 0.4472 + 1166.15 �" 0.8944 = 43196.84 ,
m m m
kN
(Dn12 - Dv12 )�" sin ą12 �" cosą12 = (211319.6 - 1166.15)kN �" 0.4472 �" 0.8944 = 84061.38 ,
m m
�1 � �1
M12 = A12 =7774 . 36 kNm , M122 = M21 = B12 =3887 . 18 kNm
,
u2 �1 u1 �1 v1 �1 v2 �1
M12 = Rx21 =-M12 =-Rx12 =C12�"siną12 =1166.15kN, M12 = Ry12 =-M12 =-Ry21 =C12 �"cosą12 =233231kN,
.
�2
M21 = A21 =7774 . 36 kNm ,
u2 �2 u1 �2
M21 = Rx21 =-M21 =-Rx12 =C21�"siną12 =1166.15kN,
v1 �2 v2
M21 = Ry12 =-Mpk =-Ry�2 =C21�"cosą12 =2332.31kN,
21
u1 u2 u2 u1
Rx12 = Rx21 =-Rx12 =-Rx21 = Dnpk�"cos2ąpk +Dvpk �"sin2ąpk =169 288.91kN/m,
v1 v2 v2 v1
Ry12 = Ry21 =-Ry12 =-Ry21 = Dnpk �"sin2 ąpk +Dvpk �"cos2 ąpk =43196.84kN ,
/m
v1 v1 v2 u2 v2 u2 v1 u1
Rx12 = Rx12 = Rx21 = Rx21 =-Rx12 =-Ry12 =-Rx21 =-Ry21 =(Dnpk -Dvpk)�"sinąpk �"cosąpk =84061.38kN ,
/m
http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski 5
MP uwzględnienie odkszt. podłużnej przykład 1 rama obciążenie F, T, " 20.11.2011
Współczynniki od obciążeń
8.944kN/ m�"(4.4721 m )2
oF oF
Obciążenie siłami: M21 =-M12 = =14 . 9064 kNm ,
12
4.472kN/ m�"4.4721 m 8.944 kN/ m�"4.4721 m
oF oF oF oF
N12 =-N21 = =9.9996 kN, V12 =-V21 = =19.9992 kN,
2 2
F oF oF
Rx12 =V12 �"siną12 -N12 �"cosą12 =(19.9992 �" 0.4472 -9. 9996 �" 0.8944)kN=0,
F oF oF
Ry12 =-V12 �"cosą12 -N12 �"siną12 = -(19.9992 �" 0.8944 +9. 9996 �" 0.4472)kN =-22 . 36 kN,
F oF oF
Rx21 = N21 �"cosą12 -V21 �"siną12 =(-9. 9996 �" 0.8944 +19.9992 �" 0.4472)kN=0,
F oF oF
Ry21 = N21 �"siną12 +V21 �"cosą14 =(-9. 9996 �" 0.4472 -19.9992 �" 0.8944)kN = -22 . 36 kN,
Zmiany temperatury:
EI =const
M
M ji
Mij
ij
M
V
Vij
Vij L Vji ji
ji
M = - EIąT ("td - "t )/ h
M = EI ąT ("t - "t )/ h
"tg
"
"
"
ij g
ji d g
"td
"
"
"
Vij = 0 V = 0
ji
Należy uwzględniać, że zgodnie z przyjętą umowa znakowania,
jeśli przyjąć i = p, j = k, to "Tz= "Tg -"Td,
EI�"ąT �"(-"Tz) 8692 kN/ m2 �"0.000012 /o C�"(-30oC)
oT oT
więc M21 = -M12 = = = -13 . 038 kNm
,
h 0.24 m
oT oT oT oT
N12 = N21 = -EA�"ąT �""To = -945050 kN�"0.000012 /o C�"25 oC = -283515 kN, V12 =V21 =0,
.
oT oT oT
Rx12 =V12 �"siną12 -N12 �"cosą12 =0+283 . 515�"0.894427 =253 . 5835 kN,
oT oT oT
Ry12 = -V12 �"cosą12 -N12 �"siną12 =0+283 . 515�"0.4472 =126 . 7918 kN,
oT oT oT
Rx21 = N21 �"cosą12 -V21 �"siną12 = -283 . 515 �" 0.8944 = -253 . 584kN,
o o o
Ry21 = N21�"siną12 +V21�"cosą12 = -283 . 515 �" 0.4472 =-126 . 792 kN,
Przemieszczenia podpór i błędy montażu:
EI =const
M
M ji
Mij
ij
M
V
Vij
Vij L Vji ji
ji
EI
EI
M = 2 �"(3 �"� - 2) �" �" "�
M = 2 �" (3 �"� - 1) �" �" "�
ij
�L ji
L
L
EI
EI
"�
Vij = 6 �" (1 - 2 �"� ) �" �" "� Vji = 6 �"(1 - 2 �"� )�" �" "�
L2 L2
EI
EI
M = 6 �" �" "h
M = 6 �" �" "h
ij
�L ij
L2
L2
"h
EI EI
Vij = -12 �" �" "h Vji = -12 �" �" "h
L3 L3
EI EI EI "h
�ł2�"(2-3�"�)�""�+6�" �ł
o"
M12 = 2�"(3�"� -2) �"(-"�)+6 �""h = �" =
�ł �ł
L L2 L L
�ł łł
8692 kNm 2 �ł 1
�ł2-3�" �ł�"0.008727 +6�" -0.004 m�ł
= �"�ł2�" �ł =31. 97405427kNm ,
�ł �ł
�ł �ł
4.4721 m 4 4.4721 m
�ł łł
�ł łł
6 http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski
h
MP uwzględnienie odkszt. podłużnej przykład 1 rama obciążenie F, T, " 20.11.2011
EI EI EI "h
�ł
o"
M21 =2�"(3�"� -1)�" �"(-"�)+6 �""h = �"�ł2�"(1-3�"�)�""�+6�" =
�ł �ł
L L2 L L
�ł łł
8692 kNm 2 �ł 1
�ł�"0.008727 +6�" -0.004 m�ł
= �"�ł2�"�ł1-3�" �ł =-1 . 94964332kNm ,
�ł �ł
�ł �ł
4.4721 m 4łł 4.4721 m
�ł
�ł łł
o" o"
M12 +M21 31.97405427 - 1 .94964332
o" o" o o"
N12 = N21 =0, V12" =V21 =- =- kNm =-6.713716364 kN .
L12 4.4721 m
o" o o"
Rx12 =V12" �"siną12 -N12 �"cosą12 =-6 . 71371636 kN �" 0 . 447214-0=-3 . 002465 kN ,
o" o o"
Ry12 =-V12" �"cosą12 -N12 �"siną12 =6 . 71371636 kN �" 0.894427-0=6 . 00493053kN,
o" o" o"
Rx21 = N21 �"cosą12 -V21 �"siną12 = 0+6 . 71371636 kN �" 0 . 447214 =3 . 002465 kN ,
o" o" o"
Ry21 = N21 �"siną12 +V21 �"cosą12 =0-6 . 71371636 kN �" 0.894427=-6 . 00493053kN.
http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski 7
MP uwzględnienie odkszt. podłużnej przykład 1 rama obciążenie F, T, " 20.11.2011
"Tw =
Pręt 1(p) - 2(k) 40
"Tp =
Przekrój A I E EA EI aT h 10
m4 kN/m2 kNm2 "to =
m kN m 25
"tz
I240 0.00461 0.0000424 205 000 000 945 050 8 692 0.000012 0.24 30
L2 "h =
x1 x2 Lx y1 y2 Ly L -0.004
m2
m m m m m m m "Ć = 0.008727
0 4 4 0 2 2 20 4.472135955
siną12 sin2ą12 cosą12 cos2ą12 siną12*cosą12
0.4472136 0.2 0.894427191 0.8 0.4
a12 A12 a21 A21 b12 = b21 B12 = B21 N12(F) N12(T) N12(")
typ
kNm kNm kNm
s - s 4 7774.361144 4 7774.361144 2 3887.180572 9.999696 -283.515 0
c12 C12 C12*siną12 C12*cosą12 c21 C21 C21*siną12 C21*cosą12 V12(F) V12(T) V12(")
kN kN kN kN kN kN
6 2607.6 1166.154172 2332.308343 6 2607.6 1166.154172 2332.308343 19.99939 0 -6.71321
dn12 = dn21 Dn12 = Dn21 Dn*sin ą Dn*cos ą Dn*sin2ą12 Dn*cos2ą12 Dn*cos2+Dv*sin2 N21(F) N21(T) N21(")
(Dn-Dv)*sin*cos
12 12
kN/m kN/m kN/m kN/m kN/m kN/m kN/m
1 211319.6042 94505 189010 42263.92084 169055.683 169288.9142 84061.38002 -9.9997 -283.515 0
Dn*sin2+Dv*cos2 V21(F) V21(T) V21(")
dv12 = dv21 Dv12 = Dv21 Dv*sin ą Dv*cos ą Dv*sin2ą12 Dv*cos2ą12
12 12
kN/m kN/m kN/m kN/m kN/m kN/m
12 1166.154172 521.52 1043.04 233.2308343 932.923337 43196.84418 -19.9994 0 -6.71321
R(")
Ć1 Ć2 u1 v1 u2 v2
R(F) R(T)
M12
= 7774.361144 3887.180572 -1166.15417 2332.30834 1166.154172 -2332.308343 -14.9067 13.038 31.97226
M21
= 3887.180572 7774.361144 -1166.15417 2332.30834 1166.154172 -2332.308343 14.90667 -13.038 -1.94987
Rx12 = -1166.15417 1166.154172 169288.9142 84061.38 -169288.9142 -84061.38002 0 253.5835 -3.00224
Ry12
= 2332.308343 2332.308343 84061.38002 43196.8442 -84061.38002 -43196.84418 -22.36 126.7918 6.004479
Rx21 = 1166.154172 1166.154172 -169288.914 -84061.38 169288.9142 84061.38002 0 -253.584 3.002239
Ry21
= -2332.30834 -2332.308343 -84061.38 -43196.8442 84061.38002 43196.84418 -22.36 -126.792 -6.00448
8 http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski
MP uwzględnienie odkszt. podłużnej przykład 1 rama obciążenie F, T, " 20.11.2011
Pręt 2-3: projektowany jest z I 220, dla którego:
A = 0.00395m, I = 0.0000305m4 , E = 205 000 000kN / m2 ,
2
EI
EA = 809 750kN , = 6 253kNm ,
2 2
Dane jest: Lx23 = -1m, Ly23 = 3m, �! L23 = Lx + Ly = 3.162278m,
Ly Lx
sin ą = = 0.948683, cosą = = -0.3162287,
23 23
L L
Pręt jest typu sztywno-przegubowy, więc: a23 = c23 = dv23 = dv32 = 3, a32 = b23 = b32 = c32 = 0,
dn23 = dn32 = 1, �!
2
EI 6253kNm EI
�ł �ł �ł �ł
A23 = a23 �" = 3 �" = 5931.64kNm, A32 = a23 �" = 0,
�ł �ł �ł �ł
L L
�ł łł23 3.16228m �ł łł23
EI
�ł �ł
B23 = B32 = b23 �" = 0,
�ł �ł
L
�ł łł23
2
EI 6253kNm EI
�ł �ł �ł �ł
C23 = c23 �" = 3 �" = 1779.49kN , C23 = c32 �" = 0,
�ł �ł �ł �ł
2
L2 L2
�ł łł23 (3.16228m) �ł łł12
EA 809750kN kN
�ł �ł
Dn23 = Dn32 = dn23 �" = 1�" = 256065.43 ,
�ł �ł
L m
�ł łł32 3.16228m
2
EJ 6253kNm kN
�ł �ł
Dv23 = Dv32 = dv23 �" = 3 �" = 593.16 ,
�ł �ł
3
L3 m
�ł łł23 (3.16228m)
C23 �" sin ą = 1779.49kN �" 0.9487 = 1779.49kN , C23 �" cos ą = 1779.49kN �" (- 0.3162) = -593.16kN ,
23 23
C32 �" sin ą = 0, C32 �" cos ą = 0,
23 23
kN kN kN
2
2 2 2
Dn23 �" cos ą + Dv23 �" sin ą = 256065.43 �"(- 0.3162) + 593.16 �" 0.9487 = 26140.39 ,
23 23
m m m
2 2 2
Dn23 �" sin ą cos ą + Dv23 �" cos ą =
23 23 23
kN kN kN
2
2
= 256065.43 �" 0.9487 + 593.16 �"(- 0.3162) = 230518.21 ,
m m m
kN
(Dn23 - Dv23 )�" sin ą cosą = (256065.43 - 593.16)kN �" 0.9487 �" (- 0.3162) = -76641.68 ,
23 23
m m
�2 �p u3 �2 u2 2p
M23 = Apk =5931.64 , M�k = Mkp = Bpk =0 M23 = Rx32 = -M23 =-Rx23 =Cpk�"sinąpk,
pk
vp vk
Mpk = Ry�p =-Mpl =-Ry�p =Cpk �"cosąpk
pk kp
�k uk �k up
Mkp = Akp,=5931.64 , Mkp = Rxkp = -Mkp =-Rx�k =Ckp�"sinąpk,
pk
vp �k
Mkp = Ry�k =-Mvk =-Rykp =Ckp�"cosąpk,
pk pk
uk up
Rxup = Rxkp =-Rxuk =-Rxkp = Dnpk �"cos2 ąpk +Dvpk �"sin2 ąpk,
pk pk
vk vp
Ryvp = Rykp = -Ryvk =-Rykp = Dnpk�"sin2ąpk +Dvpk �"cos2ąpk,
pk pk
vk uk vp up
Rxvp = Rxvp = Rxkp = Rxkp =-Rxvk =-Ryuk =-Rxkp =-Rykp =(Dnpk -Dvpk)�"sinąpk �"cosąpk
pk pk pk pk
Współczynniki od obciążeń
1
oF oF oF
Obciążenie siłami: M23 = M32 =0, N23 = 20kN�" =6 . 6667kN,
3
2
oF oF oF
N32 =-20kN�" =-13 . 3333kN, V23 =V32 =0,
3
oF oF oF
Rx23 =V23 �"siną23 -N23 �"cosą23 =(0 -6.6667�" (-0.3162) )kN= 2.1082 kN,
oF oF oF
Ry23 = -V23 �"cosą23 -N23 �"siną23 =-(0 +16 . 6667 �" 0.9487)kN= -6 . 32456 kN,
oF oF oF
Rx32 = N32 �"cosą23 -V32 �"siną23 =(-13.3333 �" (-0.3262 -0 )kN= 4.2164
) kN,
http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski 9
MP uwzględnienie odkszt. podłużnej przykład 1 rama obciążenie F, T, " 20.11.2011
oF oF oF
Ry32 = N32 �"siną23+V32 �"cosą23 =(-13 . 3333 �" 0.9487-0 )kN = -12 . 6491 kN,
Zmiany temperatury:
EI =const
M
Mij
ij
Mji= 0
V
ji
Vij
Vij L Vji
M = -1.5EIąT ("td - "t )/ h
ij g
"tg
"
"
"
( )
V = 1.5EI ąT ("td - "tg )/ Lh
ji
"td
"
"
"
Vij = 1.5EIąT("td - "tg)/(Lh)
Należy uwzględniać, że zgodnie z przyjętą umowa znakowania i = p, j = k, "Tz= "Tg -"Td,
EI�"ąT �"(-"Tz) 6253 kN/ m2 �"0.000012 /o C�"20oC
oT oT
M23 = -1.5�" = - =-10 . 2314 kN, M32 =0,
h 0.22m
oT oT
M23 +M32 -10.2314kNm + 0
oT oT oT oT
N23 = N23 =0, V23 =V32 =- = - kNm =3 . 235441 kN .
L23 3.162278m
oT oT oT
Rx23 =V23 �"siną23 -N23 �"cosą23 =(3.23544 �" 0.94868 -0 )kN=3 . 06941 kN,
oT oT oT
Ry23 = -V23 �"cosą23 -N23 �"siną23 = -(3.23544 �" (-0.316228)
-0 )kN=1 . 02314 kN,
oT oT oT
Rx32 = N32 �"cosą23 -V32 �"siną23 =(0-3.23544 �" 0.94868 )kN= -3 . 06941 kN,
oT oT oT
)
Ry32 = N32 �"siną23 +V32 �"cosą23 =(0+3.23544 �" (-0.316228)kN=-1 . 02314 kN,
o" v3
Przemieszczenia podpór i błędy montażu: M23 = M23 �"v3 =593 . 1642 �" 0 . 01=5 . 931642 kNm
,
o" o" v3
M32 =0, Rx23 = Rx23�"v3 =76641. 68079 �" 0 . 01=766 .4168 kN,
o" v3
Ry23 = Ry23�"v3 = -230518 . 2066 �" 0 . 01= -2305 . 182066 kN,
o" v3
Rx32 = Rx32 �"v3 = -76641 . 68079 �" 0 . 01= -766 .4168 kN,
o" v3
Ry32 = Ry32 �"v3 =230518. 2066 �" 0 . 01= 2305 . 182066 kN,
10 http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski
h
MP uwzględnienie odkszt. podłużnej przykład 1 rama obciążenie F, T, " 20.11.2011
"Tw =
Pręt 2(p) - 3(k) -10
"Tp =
Przekrój A I E EA EI ąT h 10
m4 kN/m2 kNm2 "to =
m kN m 0
"tz =
I220 0.00395 0.0000305 205 000 000 809 750 6 253 0.000012 0.22 -20
L2
x2 x3 y2 y3 v3 =
Lx Ly L 0.01
m2
m m m m m m m
4 3 -1 2 5 3 10 3.16227766
siną23 sin2ą23 cosą23 cos2ą23 siną23*cosą23
0.9486833 0.9 -0.3162278 0.1 -0.3
a23 A23 a32 A32 0.31622777 b23 = b32 B23 = B32 N23(F) N23(T) N23(")
typ
kNm kNm -0.10540926 kNm
s - p 3 5931.64232 0 0 0 0 6.6666667 0
c23 C23 C23*siną23 C23*cosą23 c32 C32 C32*siną32 C32*cosą32 V23(F) V23(T) V23(")
kN kN kN kN kN kN
3 1875.75 1779.4927 -593.16423 0 0 0 0 0 3.235441 -1.87575
dn23 = dn32 Dn23 = Dn32 Dn*sin ą Dn*cos ą Dn*sin2ą23 Dn*cos2ą23 Dn*cos2+Dv*sin2 N32(F) N32(T) N32(")
(Dn-Dv)*sin*cos
23 23
kN/m kN/m kN/m kN/m kN/m kN/m kN/m
1 256065.4335 242925 -80975 230458.8902 25606.5434 26140.39116 -76641.68079 -13.3333 0
Dn*sin2+Dv*cos2 V32(F) V32(T) V32(")
dv23 = dv32 Dv23 = Dv32 Dv*sin ą Dv*cos ą Dv*sin2ą23 Dv*cos2ą23
23 23
kN/m kN/m kN/m kN/m kN/m kN/m
3 593.1642321 562.725 -187.575 533.8478089 59.3164232 230518.2066 0 3.235441 -1.87575
R(")
Ć2 Ć3 u2 v2 u3 v3
R(F) R(T)
M23
= 5931.64232 0 -1779.4927 -593.164232 1779.492696 593.1642321 0 -10.2314 5.931642
M32
= 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Rx23 = -1779.4927 0 26140.39116 -76641.6808 -26140.39116 76641.68079 2.108185 3.069409 766.4168
Ry23
= -593.16423 0 -76641.6808 230518.207 76641.68079 -230518.2066 -6.32456 1.023136 -2305.18
Rx32 = 1779.4927 0 -26140.3912 76641.6808 26140.39116 -76641.68079 4.21637 -3.06941 -766.417
Ry32
= 593.164232 0 76641.68079 -230518.207 -76641.68079 230518.2066 -12.6491 -1.02314 2305.182
http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski 11
MP uwzględnienie odkszt. podłużnej przykład 1 rama obciążenie F, T, " 20.11.2011
Parametry sztywności więzi sprężystej translacyjnej
u2 �
Sx25 = k25�"cos2ą25 = 2000 �" 0 . 86602=1499 .99788 kN/ m,
v2 u2 �
Sx25 = Sy25 = k25�"siną25�"cosą2 = 2000 �" 0 . 5 �"0 . 86602=866 .0266 kN/ m,
y2 �
Sy25 = k25�"sin2ą25 =2000 �" 0 . 5=500 .0021 kN/ m,
4. UKAAD RÓWNAC I JEGO ROZWIZANIE
4.1. Postać ogólna układu równań
�1 �2 u1 v1 u2 v2 ko
�1
k�12 u1
k�1 k�1 v2 o = 0,
k�1 � k�1 v1 u2 k�1 k�1
M�1 = 0;
�1 2
k� = 0,
k� k�1 v2 u 2 v2
k� 2 �2 u2 k�1 k� 2 k� 2 o2
M�2 = 0;
� � u1 v1 u v2
kx1 = 0,
Rx1 = 0; kx11 kx12 kx1 kx1 kx12 kx1 o
1
u1 v1 u2
k�1 k�12 ky1 ky1 k y1 v2 ky1 = 0,
ky1 o
Ry1 = 0;
y y
�1 �
kx2
Rx2 = 0; kx2 kx22 u1 v2 u2 v2 o
kx2 kx1 kx2 kx2
= 0,
1
ky1 u 2 ky2 ky2
k�2 y 2 ky1 v2 ky2 v2 o = 0.
Ry2 = 0; k�2 u2
y
� �i � �j �j ui ui uj uj uj
k�ii = + ki� , k�ij = = M , k�i = , k�i = = M ,
"M ij "M ij ij "M ij "M ij ij
j j j j
vi vi vj vj vj o o o
k�i = , k�i = = M , k�i = -M ,
"M ij "Mij ij "M ij i
j j j
� �i � �j � ui ui ui uj uj uj
kxii = , kxij = = Rxijj , kxi = Rxij + , kxi = = Rxij ,
"Rxij "Rxij " "Sxik "Rxij
j j j k j
vi vi vi vj vj vj o o
kxi = Rxij + , kxi = = Rxij , kxi = -Fxi ,
" "Sxik "Rxij "Rxij
j k j j
�i �i �j � ui ui ui uj uj uj
k = , k�j = = Ryijj , k = Ryij + , kyi = = Ryij ,
yi "Ryij yi "Ryij yi " "Syik "Ryij
j j j k j
vi vi vi vj vj vj o o
k = Ryij + , kyi = = Ryij , k = -Fyi .
yi " "Syik "Ryij yi "Ryij
j k j j
4.2. Obliczenie współczynników macierzy sztywności
�1 �1 � � � �
k�1 = + k1 = M141 + M121 + k1 = (1096.75 + 7774.36 + 4000)kNm = 12871.11kNm,
"M1 j
j
� �
k�12 = M122 = 3887.18kNm,
u1 u1 u1 u1
k�1 = = M14 + M12 = 0 -1166.15kN = -1166.15kN,
"M1 j
j
v v1 v1 v1
k�1 = =M14 + M12 = 0 + 2332.31kN = 2332.31kN,
1 "M1 j
j
u2 u v2 v
k�1 = M122 = 1166.15kN, k�1 = M122 = -2332.15kN,
�1 �1 �
k� 2 = M = 3887.18kNm = k�12 ,
21
� 2 � 2 � � 2 � 2 �
k� 2 = + k2 = M + M + k2 = (7774.36 + 5931.64 + 0)kNm = 13706kNm,
"M 2 j 21 23
j
12 http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski
MP uwzględnienie odkszt. podłużnej przykład 1 rama obciążenie F, T, " 20.11.2011
u u1 v v1
k�1 = M = -1166.15kN, k�1 = M = 2332.31kN,
2 21 2 21
u 2 u 2 u 2 u 2
k� 2 = = M + M = (1166.15 -1779.49)kN = -613.34kN,
"M 2 j 21 23
j
v2 v2 v2 v2
k� 2 = =M + M = (- 2332.31- 593.16)kN = -2925.47kN,
"M 2 j 21 23
j
�1 �1 � � u1
kx1 = = Rx141 + Rx121 = (0 -1166.15)kN = -1166.15kN = k�1 ,
"Rx1 j
j
� � u
kx12 = Rx122 = -1166.15kN = k�1 ,
2
u1 u1 u1 u1 u1
kx1 = Rx1 j + = Rx14 + Rx12 + 0 = (0 +169288.91 + 0)kN / m = 169288.91kN / m,
" "Sx1k
j k
v1 v1 v1 v1 v1
kx1 = Rx1 j + = Rx14 + Rx12 + 0 = (0 + 84061.38 + 0)kN / m = 84061.38kN / m,
" "Sx1k
j k
u u v2 v2
kx12 = Rx122 = -169288.91kN / m, kx1 = Rx12 = -84061.38kN / m,
�1 �1 � � v
k = Ry1 j = Ry141 + Ry121 = (0 + 2332.31)kN = 2332.31kN = k�1,
y1 " 1
j
� v
k�12 = Ry122 = 2 332.31kN = k�1 ,
y 2
u1 u1 u1 u1 u1 v1
k = Ry1 j + = Ry14 + Ry12 + 0 = (0 + 84061.38 + 0)kN / m = 84 061.38kN / m = kx1 ,
y1 " "Sy1k
j k
v1 v1 v1 v1 v1
k = + = Ry14 + Ry12 + 0 = (171175 + 43196.84 + 0)kN / m = 214 371.84kN / m,
y1 "Ry1 j "Sy1k
j k
u 2 u v2 v2
ky1 = Ry122 = -84 061.38kN / m, ky1 = Ry12 = -43 196.84kN / m,
�1 �1 u2
kx2 = Rx21 = 1166.15kN = k�1 ,
� � 2 � � u 2
kx22 = Rx2 j = Rx212 + Rx232 = 1166.15 -1779.49 = -613.34kN = k� 2 ,
"
j
u1 u1 u v v1 u2
kx2 = Rx21 = -169 288.91kN / m = kx12, kx1 = Rx21 = -84 061.38kN / m = ky1 ,
2
u 2 u u 2 u 2 u 2 u 2
kx2 = Rx2 2 + = Rx21 + Rx23 + Sx25 =
" j "Sx2k
j k
= (169288.91 + 26140.39 +1499.9979)kN / m = 196 929.3kN / m,
v2 v2 v2 v2 v2 v2
kx2 = Rx2 j + = Rx21 + Rx23 + Sx25 = (84061.38 - 76641.68 + 866.03)kN / m = 8285.73kN / m,
" "Sx2k
j k
1 �1 v2
k�2 = Ry21 = -2332.31kN = k�1 ,
y
� 2 � 2 � � v2
k = = Ry212 + Ry232 = (- 2332.31 - 593.16)kN = -2332.31kN = k� 2 ,
y 2 "Ry2 j
j
u u1 v2 v v1 v2
ky1 = Ry21 = -84061.38kN / m = kx1 , ky1 = Ry21 = -43169.84kN / m = ky1 ,
2 2
u 2 u 2 u 2 u 2 u 2 u 2
k = + = Ry21 + Ry23 + Sy25 = (84061.38 - 76641.68 + 866.03)kN / m =
y 2 "Ry2 j "Sy2k
j k
v2
= 8285.73kN / m = kx2 ,
v2 v2 v2 v2 v2 v2
ky2 = + = Ry21 + Ry23 + Sy25 = (43196.84 + 230518.21+ 500)kN / m = 274215.05k1N / m.
"Ry2 j "Sy2k
j k
http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski 13
MP uwzględnienie odkszt. podłużnej przykład 1 rama obciążenie F, T, " 20.11.2011
4.3. Wyrazy wolne
Obciążenie siłami:
F oF oF oF oF o
k�1 = -M1 = M14 + M12 - M1 = (0 -14.9064 - 0)kNm = -14.9064kNm,
"M1 j
j
F oF oF oF oF o
k� 2 = -M = M + M - M = (14.9064 + 0 - 5)kNm = 9.9064kNm,
"M 2 j 2 21 23 2
j
F oF oF oF
kx1 = Rx1 j -Fx1 = Rx14 + Rx12 - Fx1 = (0 + 0 - 25.98)kN = -25.98kN,
"
j
F oF oF oF
k = Ry1 j -Fy1 = Ry14 + Ry12 - Fy1 = (0 - 22.36 -15)kN = -37.36kN,
y1 "
j
F oF oF oF
kx2 = -Fx2 = Rx21 + Rx23 - Fx2 = (0 + 2.1082 - 0)kN = 2.1082kN,
"Rx2 j
j
F oF oF oF
k = -Fy2 = Ry21 + Ry23 - Fy2 = (- 22.36 - 6.32456 - 0)kN = -28.6846kN,
y 2 "Ry2 j
j
Zmiany temperatury:
T oT oT oT
k�1 = = M14 + M12 = (0 +13.038)kNm = 13.038kNm,
"M1 j
j
T oT oT oT
k� 2 = = M + M = (-13.038 -10.2314)kNm = -23.2694kNm,
"M 2 j 21 23
j
T oT oT oT
kx1 = Rx1 j = Rx14 + Rx12 = (0 + 253.5835)kN = 253.5835kN,
"
j
T oT oT oT
k = = Ry14 + Ry12 = (82.164 +126.7918)kN = 208.9558kN,
y1 "Ry1 j
j
T oT oT oT
kx2 = = Rx21 + Rx23 = (- 253.584 + 3.06941)kN = -250.515kN,
"Rx2 j
j
T oT oT oT
k = = Ry21 + Ry23 = (-126.7918 +1.02314)kN = -125.769kN,
y 2 "Ry2 j
j
Przemieszczenia podpór i błędy montażu:
" o" o" o"
k�1 = = M14 + M12 = (-19.1419 + 31.9723)kNm = 12.8304kNm,
"M1 j
j
" o" o" o"
k� 2 = = M + M = (-1.9499 + 5.9316)kNm = 3.9817kNm,
"M 2 j 21 23
j
" o" o" o"
kx1 = Rx1 j = Rx14 + Rx12 = (0 - 3.0022)kN = -3.0022kN,
"
j
" o" o" o"
k = Ry1 j = Ry14 + Ry12 = (1369.4 + 6.0045)kN = 1375.4045kN,
y1 "
j
" o" o" o"
kx2 = = Rx21 + Rx23 = (3.0022 + 766.4168)kN = 769.419kN,
"Rx2 j
j
" o" o" o"
k = = Ry21 + Ry23 = (- 6.0045 - 2305.18)kN = -2311.1845kN,
y2 "Ry2 j
j
14 http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski
MP uwzględnienie odkszt. podłużnej przykład 1 rama obciążenie F, T, " 20.11.2011
4.4. Postać szczegółowa układu równań i wyniki jego rozwiązania
k(")
Ć1 Ć2 u1 v1 u2 v2
k(F) k(T)
SĆ1 4000
M14 = 1096.75 -19.1419
M12 = 7774.361144 3887.180572 -1166.154172 2332.308343 1166.154172 -2332.308343 -14.90667 13.038 31.972261
-M2o -5
M21 = 3887.180572 7774.361144 -1166.154172 2332.308343 1166.154172 -2332.308343 14.906667 -13.038 -1.949868
M23 5931.642321 -1779.492696 -593.1642321 -10.23136 5.9316423
-Fx1 -25.98
Rx14
Rx12 = -1166.154172 1166.154172 169288.9142 84061.38002 -169288.9142 -84061.38002 253.58353 -3.002239
-Fy1 -15
Ry14 171175 82.164 1369.4
Ry12 = 2332.308343 2332.308343 84061.38002 43196.84418 -84061.38002 -43196.84418 -22.36 126.79176 6.0044787
Rx21 = 1166.154172 1166.154172 -169288.9142 -84061.38002 169288.9142 84061.38002 -253.5835 3.0022394
Rx23 -1779.492696 26140.39116 -76641.68079 2.1081851 3.0694091 766.41681
Sx25 = 1499.981281 866.02
Ry21 = -2332.308343 -2332.308343 -84061.38002 -43196.84418 84061.38002 43196.84418 -22.36 -126.7918 -6.004479
Ry23 -593.1642321 -76641.68079 230518.2066 -6.324555 1.0231364 -2305.182
Sy25 = 866.02 500
M1 12871.11114 3887.180572 -1166.154172 2332.308343 1166.154172 -2332.308343 -14.906667 13.038 12.8303614 = 0
M2 3887.180572 13706.00347 -1166.154172 2332.308343 -613.3385247 -2925.472575 9.90666667 -23.269364 3.9817746 = 0
Rx1 -1166.154172 1166.154172 169288.9142 84061.38002 -169288.9142 -84061.38002 -25.98 253.583525 -3.0022394 = 0
Ry1 2332.308343 2332.308343 84061.38002 214371.8442 -84061.38002 -43196.84418 -37.36 208.955763 1375.40448 = 0
Rx2 1166.154172 -613.3385247 -169288.9142 -84061.38002 196929.2866 8285.719227 2.10818511 -250.51412 769.419047 = 0
Ry2 -2332.308343 -2925.472575 -84061.38002 -43196.84418 8285.719227 274215.0508 -28.684555 -125.76863 -2311.1865 = 0
Wyniki rozwiązania m m m m
od F 0.00169205 0.00213106 0.0181372 0.000121526 0.0154082 0.005255321
od T -0.00168043 0.0022776 -0.000570468 -0.000489404 0.000581465 0.000199112
od "
0.002027874 0.002962671 0.006674332 -0.007981488 -0.001971671 0.009325515
http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski 15
MP uwzględnienie odkszt. podłużnej przykład 1 rama obciążenie F, T, " 20.11.2011
Rozwiązanie od F
�1 = 0.00169205, �2 = 0.00213106, u1 = 0.0181372 m, v1 = 0.000121526 m,
u2 = 0.0154082 m, v2 = 0.00525532 m,
W dalszych obliczeniach należy też uwzględnić u3 = v3 = v4 = 0.
Rozwiązanie od T
�1 = -0.00168043, �2 = 0.00222776, u1 = -0.000570468 m, v1 = -0.000489404 m,
u2 = 0.000581465 m, v2 = 0.000199112 m,
W dalszych obliczeniach należy też uwzględnić u3 = v3 = v4 = 0.
Rozwiązanie od "
�1 = 0.00202787, �2 = 0.00296267, u1 = 0.00667433 m, v1 = -0.00798149 m,
u2 = -0.00197167 m, v2 = 0.00932552 m.
W dalszych obliczeniach należy też uwzględnić u3 = v4 = 0, v3 = 0.01m ,
gdyż od obciążenia v3 = 0.01m nie wyznaczono sił brzegowych w układzie lokalnym pręta.
5. RZECZYWISTE SIAY BRZEGOWE I PRZEKROJOWE
Rzeczywiste siły brzegowe obliczymy wykorzystując związki między siłami brzegowymi w układzie
lokalnym pręta a przemieszczeniami węzłów w globalnym układzie współrzędnych
�p �k uk - up vk - vp
o
M = Apk Bpk Cpk �"siną - Cpk �" cosą + M
pk pk pk pk
o
Mkp = Bpk Akp Ckp �"siną - Ckp �" cosą + Mkp
pk pk
o
N = 0 0 Dnpk �" cosą Dnpk �"siną + N
pk pk pk pk
o
Vpk = - Cpk - Ckp - Dvpk �"siną Dvpk �" cosą + Vpk
pk pk
o
Nkp = 0 0 Dnpk �" cosą Dnpk �"siną + Nkp
pk pk
o
Vkp = - Cpk - Ckp - Dvpk �"siną Dvpk �" cosą + Vkp
pk pk
Siły w więziach sprężystych:
S� = k� �"� , S� = -k� �"(cosą �" up + siną �" vp )
.
p p p pk pk pk pk
5.1. Rozwiązanie od obciążeń siłami
PRT u1/m v1/m u4/m v4/m
1-4 0.0181372 0.00012153 0
Ć1 Ć4 u4-u1 v4-v1
0.00169205 0 -0.00012153
m m
M = 1096.75 -1096.75 0 0 + 0 = 1.855756 kNm
14
M = -1096.75 1096.75 0 0 + 0 = -1.85576 kNm
41
N = 0 0 0 171175 + 0 = -20.8022 kN
14
V = 0 0 0 0 + 0 = 0 kN
14
N = 0 0 0 171175 + 0 = -20.8022 kN
41
V = 0 0 0 0 + 0 = 0 kN
41
16 http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski
MP uwzględnienie odkszt. podłużnej przykład 1 rama obciążenie F, T, " 20.11.2011
PRT u1/m v1/m u2/m v2/m
1-2 0.0181372 0.00012153 0.0154082 0.00525532
Ć1 Ć2 u2-u1 v2-v1
0.00169205 0.00213106 -0.002729 0.00513379
m m
M = 7774.3611 3887.1806 1166.1542 -2332.3083 + -14.9067 = -8.6243024 kNm
12
M = 3887.1806 7774.3611 1166.1542 -2332.3083 + 14.9067 = 22.895609 kNm
21
N = 0 0 189010 94505 + 10 = -20.639088 kN
12
V = -2607.6 -2607.6 -521.52 1043.04 + 20 = 16.808839 kN
12
N = 0 0 189010 94505 + -10 = -40.639088 kN
21
V = -2607.6 -2607.6 -521.52 1043.04 + -20 = -23.191161 kN
21
Moment zginający w środku rozpiętości pręta 1-2
M12,s = -M12 -V12 �" 4.4721m / 2 + 8.944kN / m �" 4.4721m / 2 �" 4.4721m / 4 = 6.5998kNm,
PRT u2/m v2/m u3/m v3/m
2-3 0.0154082 0.00525532 0 0
Ć2 Ć3 u3-u2 v3-v2
0.00213106 -0.0154082 -0.00525532
m m
M = 5931.6423 0 1779.4927 593.1642 + 0 = -17.895361 kNm
23
M = 0 0 0 0 + 0 = 0 kNm
32
N = 0 0 -80975 242925 + 6.666667 = -22.302949 kN
23
V = -1875.75 0 -562.725 -187.575 + 0 = 5.6590102 kN
23
N = 0 0 -80975 242925 + -13.3333 = -42.302949 kN
32
V = -1875.75 0 -562.725 -187.575 + 0 = 5.6590102 kN
32
�
S�1 = k1 �"�1 = 4000�" 0.00169205 = 6.7682kNm,
�
S�25 = -k25 �"(cosą25 �"u2 + siną25 �" v2 ) = -2000�"(0.86602�" 0.0154082 + 0.5�" 0.00525532) = -31.9431kN.
1.8558kNm
F
M
http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski 17
m
N
k
3
4
2
6
.
8
m
N
k
6
5
9
8
.
m
2
2
N
k
8
1
7
9
.
8
9
9
5
4
5
k
N
.
m
6
MP uwzględnienie odkszt. podłużnej przykład 1 rama obciążenie F, T, " 20.11.2011
NF
20.8022kN
VF
5.2. Rozwiązanie od zmian temperatury
PRT u1/m v1/m u4/m v4/m
1-4 -0.000570468 -0.000489404 0
Ć1 Ć4 u4-u1 v4-v1
-0.0016804 0 0.000489404
m m
M = 1096.75 -1096.75 0 0 + 0 = -1.84298 kNm
14
M = -1096.75 1096.75 0 0 + 0 = 1.842979 kNm
41
N = 0 0 0 171175 + -82.164 = 1.60973 kN
14
V = 0 0 0 0 + 0 = 0 kN
14
N = 0 0 0 171175 + -82.164 = 1.60973 kN
41
V = 0 0 0 0 + 0 = 0 kN
41
18 http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski
N
k
1
9
3
6
.
0
2
N
k
1
9
3
6
.
0
4
2
2
.
3
0
2
9
k
N
4
2
.
3
0
2
9
k
N
N
k
8
8
0
8
.
6
1
N
k
2
1
9
1
.
3
2
5
.
6
5
9
0
k
N
MP uwzględnienie odkszt. podłużnej przykład 1 rama obciążenie F, T, " 20.11.2011
PRT u1/m v1/m u2/m v2/m
1-2 -0.000570468 -0.000489404 0.000581465 0.000199112
Ć1 Ć2 u2-u1 v2-v1
-0.00168043 0.0022776 0.001151933 0.000688516
m m
M = 7774.3611 3887.1806 1166.1542 -2332.3083 + 13.038 = 8.5646728 kNm
12
M = 3887.1806 7774.3611 1166.1542 -2332.3083 + -13.038 = -2.1257501 kNm
21
N = 0 0 189010 94505 + -283.515 = -0.7199391 kN
12
V = -2607.6 -2607.6 -521.52 1043.04 + 0 = -1.4397869 kN
12
N = 0 0 189010 94505 + -283.515 = -0.7199391 kN
21
V = -2607.6 -2607.6 -521.52 1043.04 + 0 = -1.4397869 kN
21
PRT u2/m v2/m u3/m v3/m
2-3 0.000581465 0.000199112 0 0
Ć2 Ć3 u3-u2 v3-v2
0.0022776 -0.00058147 -0.00019911
m m
M = 5931.6423 0 1779.4927 593.1642 + -10.2314 = 2.1256897 kNm
23
M = 0 0 0 0 + 0 = 0 kNm
32
N = 0 0 -80975 242925 + 0 = -1.285154 kN
23
V = -1875.75 0 -562.725 -187.575 + 3.23544 = -0.672215 kN
23
N = 0 0 -80975 242925 + 0 = -1.285154 kN
32
V = -1875.75 0 -562.725 -187.575 + 3.23544 = -0.672215 kN
32
Siły w więziach sprężystych:
�
S�1 = k1 �"�1 = 4000�" (-0.0016804 = -6.7216kNm,
�
S�2 = -k2 �"(cosą2 �"u2 + siną2 �" v2 ) = -2000�"(0.86602�" 0.000581465+ 0.5�" 0.000199112) = -1.206239kN.
2.1257kNm
MT
1.8430kNm
http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski 19
m
N
k
7
4
6
5
.
8
MP uwzględnienie odkszt. podłużnej przykład 1 rama obciążenie F, T, " 20.11.2011
1.6097kN
NT
VT
5.3. Rozwiązanie od przemieszczeń węzłów i błędów montażu
PRT u1/m v1/m u4/m v4/m
1-4 0.006674332 -0.007981488 0
Ć1 Ć4 u4-u1 v4-v1
0.002027874 0 0.007981488
m m
M = 1096.75 -1096.75 0 0 + -19.1419 = -16.917829 kNm
14
M = -1096.75 1096.75 0 0 + 19.1419 = 16.9178292 kNm
41
N = 0 0 0 171175 + -1369.4 = -3.1687916 kN
14
V = 0 0 0 0 + 0 = 0 kN
14
N = 0 0 0 171175 + -1369.4 = -3.1687916 kN
41
V = 0 0 0 0 + 0 = 0 kN
41
PRT u1/m v1/m u2/m v2/m
1-2 0.006674332 -0.007981488 -0.00197167 0.009325515
Ć1 Ć2 u2-u1 v2-v1
0.002027874 0.002962671 -0.008646 0.017307003
m m
M = 7774.3611 3887.1806 1166.1542 -2332.3083 + 31.97226 = 8.8062825 kNm
12
M = 3887.1806 7774.3611 1166.1542 -2332.3083 + -1.94978 = -21.482033 kNm
21
N = 0 0 189010 94505 + 0 = 1.4172915 kN
12
V = -2607.6 -2607.6 -521.52 1043.04 + -6.71321 = 2.8344048 kN
12
N = 0 0 189010 94505 + 0 = 1.4172915 kN
21
V = -2607.6 -2607.6 -521.52 1043.04 + -6.71321 = 2.8344048 kN
21
20 http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski
N
k
8
9
3
4
.
1
N
k
9
9
1
7
.
0
0
1
.
.
6
2
7
8
2
5
2
2
k
k
N
N
MP uwzględnienie odkszt. podłużnej przykład 1 rama obciążenie F, T, " 20.11.2011
PRT u2/m v2/m u3/m v3/m
2-3 -0.00197167 0.009325515 0 0.01
Ć2 Ć3 u3-u2 v3-v2
0.002962671 0.001971671 0.000674485
m m
M = 5931.6423 0 1779.4927 593.1642 + 0 = 21.482159 kNm
23
M = 0 0 0 0 + 0 = 0 kNm
32
N = 0 0 -80975 242925 + 0 = 4.1932094 kN
23
V = -1875.75 0 -562.725 -187.575 + 0 = -6.793255 kN
23
N = 0 0 -80975 242925 + 0 = 4.1932094 kN
32
V = -1875.75 0 -562.725 -187.575 + 0 = -6.793255 kN
32
Siły w więziach sprężystych:
�
S�1 = k1 �"�1 = 4000�" 0.002028 = 8.1115kNm,
�
S�2 = -k2 �"(cosą2 �"u2 + siną2 �" v2 ) = -2000�"(0.86602�" (-0.0019717 + 0.5�" 0.0093255) = -5.9105kN.
16.9178kNm
M"
16.9178kNm
V"
N"
3.1688kN
http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski 21
m
N
k
3
6
0
8
.
8
m
N
k
2
2
8
4
.
1
2
N
k
4
N
4
k
3
3
8
.
7
2
1
4
.
1
4
.
1
6
9
.
7
3
9
2
3
k
2
N
k
N
MP uwzględnienie odkszt. podłużnej przykład 1 rama obciążenie F, T, " 20.11.2011
6. KONTROLA ROZWIZAC
6.1. KONTROLA ROZWIZANIA OD OBCIŻEC SIAAMI
6.1.1 Kontrola statycznej dopuszczalności rozwiązania
30kN
S�1
30o
M12
1
M12
V14 V12 N12
M14
N14
V12
M14
�
�
V14 = 0
V21
� V21 M21N21
50kNm
�
M21
2
30o
S�25
V23
M23
N23
M
23
V23
�
M
V41 = 0
41
�
4
N41
20kN
M32 = 0
V32
3
N32
PRT 1 4
= M14 + M +V41 �" L14 = 1.8558kNm -1.8558kNm + 0 = 0,
"M1 41
= M14 + M +V14 �" L14 = 1.8558kNm -1.8558kNm + 0 = 0,
"M 4 41
"ś = -N14 + N41 = -20.8022kN + 20.8022kN = 0,
PRT 1 2
2
= M12 + M +V21 �" L12 + 8.944kN / m �" L12 / 2 = -8.6243kNm + 22.8956kNm +
"M1 21
2
- 23.1912kN �" 4.4721m + 8.944kN / m �"(4.4721m) / 2 = -0.0035kNm H" 0,
2
= M12 + M +V12 �" L12 - 8.944kN / m �" L12 / 2 = -8.6243kNm + 22.8956kNm +
"M 2 21
2
+16.8088kN �" 4.4721m - 8.944kN / m �"(4.4721m) / 2 = 0.0034kNm H" 0,
"ś = -N12 + N21 + 4.472kN / m �" L12 = 20.6391kN + 40.6391kN + 4.472kN / m �" 4.4721m = -0.00077.kN
PRT 2 3
= M + M +V32 �" L23 = 17.8954kNm + 0 + 5.6590�" 3.1623 = 0.000056kNm H" 0,
"M 2 23 32
= M + M + V23 �" L23 = 17.8954kNm + 0 + 5.6590�"3.1623 = 0.000056kNm H" 0,
"M 3 23 32
"ś = -N23 + N32 + 20kN = 22.3029kN - 42.3029kN + 20 = 0,
22 http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski
8
.
9
4
4
k
N
/
m
4
.
4
7
2
k
N
/
m
MP uwzględnienie odkszt. podłużnej przykład 1 rama obciążenie F, T, " 20.11.2011
WZEA 1
= -M14 - M12 - S�1 = -1.8558kNm + 8.6243kNm - 6.7882kNm = 0.0003kNm H" 0,
"M1
X = -V14 + N12 �" cosą12 -V12 �" siną12 + 30kN �" cos30o = 0 - 20.6391kN �" 0.8944 +
"
-16.8088kN �" 0.4472 + 30kN �" 0.866 = 0.0035kN H" 0,
"Y = N14 + N12 �" siną12 +V12 �" cosą12 + 30kN �"sin 30o = -20.8022kN - 20.6391kN �" 0.4472 +
+16.8088kN �" 0.8944 +15kN = 0.0018kN H" 0.
WZEA 2
o
= -M - M + M1 = -22.8956kNm +17.8954kNm + 5 = 0.0002kNm H" 0,
"M 2 21 23
X = -N21 �" cosą12 +V21 �" siną12 + N23 �" cosą23 -V23 �"siną23 + S25 �" cosą25 =
"
= 40.6391kN �" 0.8944 - 23.1912kN �" 0.4472 - 22.3029kN �" (-0.3161) - 5.6590kN �" 0.9487 +
- 31.9431kN �" 0.866 = 0.0035kN H" 0,
"Y = -N21 �" siną12 -V21 �" cosą12 + N23 �"siną23 +V23 �" cosą23 + S25 �"siną25 =
= 40.6391kN �" 0.4472 + 23.1912kN �" 0.8944 - 22.3029kN �" 0.9487 + 5.6590kN �" (-0.3161) +
- 31.9431kN �" 0.5 = 0.00377kN H" 0,
6.1.2 Kontrola kinematycznej dopuszczalności rozwiązania
a) Układ dany bez obciążeń b) Wyznacze nh
k� = 4000kNm
x
e = 1
I 240
I 200
ą = 30o
�
t =1
k = 2000kN / m
e = 1
e = 2 + 2 +1+1
nh = e - 3�"t =
I 240
= 6 - 3�"1 = 3
y
e = 2
e = 2
c) Układ podstawowy metody sił
X1
1
I 240
I 200
2 X2
4 I 240
X3
3
3.00m
1.00m
http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski 23
2.00m
4.00m
1.00m
MP uwzględnienie odkszt. podłużnej przykład 1 rama obciążenie F, T, " 20.11.2011
d) Rozwiązania układu podstawowego metody sił
Rozwiązanie układu podstawowego metody sił od X1 =1
X1 = 1
1
2
3
S�1 = 0
1 1
1
S� = 0
25 3
M1
Rx1 = 0
3
Ry1 = -1/ 3m
4
Ry1 = 1/ 3m
3
N1
V1
1
3m
0.105409/ m
0.316278/ m
Rozwiązanie układu podstawowego metody sił od X2 =1
2
S�1 = 0
30o
X = 1
2
2
4.130768m
S� = 0
25
2
M
Rx2 = -0.866025
3
2
Ry4 = 1.032692
2
Ry3 = -1.532692
24 http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski
0
m
.
1
/
4
9
2
0
7
4
1
/
1
m
8
9
2
.
0
m
3
2
9
6
7
3
.
1
MP uwzględnienie odkszt. podłużnej przykład 1 rama obciążenie F, T, " 20.11.2011
0.923668
1.30626
N2
V2
1.032692
1.18018
Rozwiązanie układu podstawowego metody sił od X3 =1
1
2
3
3
S�1 = 0
1
3
S� = 0
25
3
M3
X3 = 1
Rx3 = 0
3
3
Ry4 = 1/ 3m
1
Ry3 = -1/ 3m
3
N3
V3
1
3m
0.316278/ m 0.105409/ m
e) Sprawdzenie przemieszczeń
1
F
M �" M S1 �" SsF
s
"1F = dx + = -0.00167505,
"
+"
EI ks
s
S�1F 6.7682kNm
"1,rzecz = - = - = -0.00169205, "1F H" "1,rzecz ,
�
k1 4000kNm
2 2
F
M �" M S �" SsF
s
"2F = dx + = 0.0158958m,
"
+"
EI ks
s
F
S�25 - 31.9431kN
"2,rzecz = - = - = 0.0159716m, "2F H" "2,rzecz ,
�
k25 2000kN / m
http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski 25
0
.
4
6
1
8
3
4
m
/
2
0
4
.
1
1
4
9
8
0
7
9
1
/
2
m
.
0
MP uwzględnienie odkszt. podłużnej przykład 1 rama obciążenie F, T, " 20.11.2011
3 3
F
M �" M S �" SsF
s
"3F = dx + = 0.000017,
"
+"
EI ks
s
"3,rzecz = 0, "3F H" "3,rzecz.
6.2. KONTROLA ROZWIZANIA OD ZMIAN TEMPERATURY
6.2.1 Kontrola statycznej dopuszczalności rozwiązania
S�1
M12
1
M12
V14 V12 N12
M14
N14
V12
M14
�
V14 = 0
�
V21
� V21 M21N21
�
M21
2
30o
V23 M23 S�25
N23
M
23
V23
�
M
V41 = 0
41
�
4
N41
M32 = 0
V32
3
N32
\ PRT 1 4
= M14 + M +V41 �" L14 = -1.8430kNm +1.8430kNm + 0 = 0,
"M1 41
= M14 + M +V14 �" L14 = -1.8430kNm +1.8430kNm + 0 = 0,
"M 4 41
"ś = -N14 + N41 = -1.6097kN +1.6097kN = 0,
PRT 1 2
= M12 + M +V21 �" L12 = 8.5647kNm - 2.1257kNm -1.4398kN �" 4.4721m = 0.00007kNm H" 0,
"M1 21
= M12 + M +V12 �" L12 = 8.5647kNm - 2.1257kNm -1.4398kN �" 4.4721m = 0.00007kNm H" 0,
"M 2 21
"ś = -N12 + N21 = 0.7199kN - 0.7199kN = 0.
PRT 2 3
= M + M +V32 �" L23 = 2.1257kNm + 0 - 0.6722�" 3.1623 = 0.0000019kNm H" 0,
"M 2 23 32
= M + M + V23 �" L23 = 2.1257kNm + 0 - 0.6722�" 3.1623 = 0.0000019kNm H" 0,
"M 3 23 32
"ś = -N23 + N32 = 1.2852kN -1.2852kN = 0,
26 http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski
MP uwzględnienie odkszt. podłużnej przykład 1 rama obciążenie F, T, " 20.11.2011
WZEA 1
= -M14 - M12 - S�1 = -1.8430kNm - 8.5647kNm + 6.7216kNm = -0.0001kNm H" 0,
"M1
X = -V14 + N12 �" cosą12 -V12 �"siną12 = 0 - 0.7199kN �" 0.8944 +1.4398kN �" 0.4472 = 0,
"
"Y = N14 + N12 �" siną12 +V12 �" cosą12 = 1.6097 - 0.7199kN �" 0.4472 -1.4398kN �" 0.8944 =
= 0.0000036kN H" 0.
WZEA 2
= -M - M = 2.1257kNm - 2.1257kNm = 0,
"M 2 21 23
X = -N21 �" cosą12 +V21 �" siną12 + N23 �" cosą23 -V23 �"siną23 + S25 �" cosą25 =
"
= 0.7199kN �" 0.8944 -1.4398kN �" 0.4472 -1.2852kN �" (-0.3161) + 0.6722kN �" 0.9487 +
-1.2062kN �" 0.866 = -0.0005kN H" 0,
"Y = -N21 �" siną12 -V21 �" cosą12 + N23 �"siną23 +V23 �" cosą23 + S25 �"siną25 =
= 0.7199kN �" 0.4472 +1.4398kN �" 0.8944 -1.2852kN �" 0.9487 +
- 0.6722kN �" (-0.3161) -1.2062kN �" 0.5 = -0.00012kN H" 0,
6.2.2. Kontrola kinematycznej dopuszczalności rozwiązania
Punkty a) d) jak w 6.1.2
e) Sprawdzenie przemieszczeń
1 1
T T
M �" M S1 �" Ss M �"ąT �" "Tz �" dx
s
"1T = dx + + �" + N1 �"ąT �" "To �"�"dx =
"
+" +" +"
EI ks h
s
4.4721m 1 1
�ł-1�"8.5647 - 4 �" �" 5.3452 + �" 2.1257�łkNm +
= 0 + �"
�ł �ł
6 �"8692kNm2 3 3
�ł łł
1 2
�ł- 1
�ł
+ �" 0.5 �" �" 3.1623m �" �"(- 2.1257)kNm +
�ł �ł
6253kNm2 3 3
�ł łł
�ł0 + 0.5 �" (1- 1
) �" 4.472136m �" 30 - 0.5 �"1/ 3�"3.162278 �" (-20) +�ł
�ł �ł
3
�ł
+ 0.000012 �"�ł = 0.0016856,
�ł �ł
1 10 25
�ł- �" 4m �" + 0.149071/ m �" 4.472136m �" + 0 �ł
�ł 3m 0.2m 0.24m łł
T
S�1 - 6.7216Nm
"1,rzecz = - = - = 0.0016804, "1T H" "1,rzecz ,
�
k1 4000kNm
2 2 2
T T
M �" M S �" Ss M �"ąT �" "Tz
s 2
"2T = dx + + �"dx + N �"ąT �" "To �"�"dx =
"
+" +" +"
EI ks h
s
4.4721m
= 0 + �"(0 - 4 �" 2.0654 �" 5.3452 - 4.1308 �"8.5647)kNm2 +
6 �"8692kNm2
3.1623m
+ �"(- 4.1308 �" 2.1257 - 4 �" 2.0654 �"1.0628 + 0 �")kNm2 +
6 �" 6253kNm2
0 + 0.5 �" 4.130768m �" 4.472136m �" 30 - 0.5 �" 4.130768m �" 3.162278 �" (-20) +
�ł �ł
�ł �ł
+ 0.000012 �" = 0.00060368m
�ł+1.032692 �" 4m �" 10 + 0.0.461834 �" 4.472136m �" 25 + 0 �ł
�ł �ł
�ł 0.2m 0.24m łł
T
S�25 -1.206239kN
"2,rzecz = - = - = 0.00060312m, "2T H" "2,rzecz ,
�
k25 2000kN / m
http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski 27
MP uwzględnienie odkszt. podłużnej przykład 1 rama obciążenie F, T, " 20.11.2011
3 3 3
T T
M �" M S �" Ss M �"ąT �" "Tz �" dx
s 3
"3T = dx + + �" + N �"ąT �" "To �" dx =
"
+" +" +"
EI ks h
s
1 4.4721m 1
�ł1�"8.5647 + 4 �" �" 5.3452 - 1
= �"1�" 4m �"1.843kNm + �" �" 2.1257�łkNm +
�ł �ł
4387kNm2 6 �"8692kNm2 �ł 3 3
łł
1 1 2
+ �" 0.5 �" �" 3.1623m �" �"(- 2.1257)kNm +
6253kNm2 3 3
1
�ł0 + 0.5 �" ( -1) �" 4.472136m �" 30 + 0.5 �"1/ 3�"3.162278 �" (-20) +�ł
�ł �ł
3
�ł
+ 0.000012 �"�ł = -0.0000052,
�ł �ł
1 10 25
�ł+ �" 4m �" + 0.149071/ m �" 4.472136m �" + 0 �ł
�ł 3m 0.2m 0.24m łł
"3,rzecz = 0, "3T H" "3,rzecz.
6.3. KONTROLA ROZWIZANIA OD PRZEMIESZCZEC PODPÓR I BADÓW
MONTAŻU
6.3.1 Kontrola statycznej dopuszczalności rozwiązania
S�1
M12
1
M12
V14 V12 N12
M14
N14
V12
M14
�
V14 = 0
�
V21
� V21 M21N21
�
M21
2
30o
V23 M23 S�25
N23
M
23
V23
�
M
V41 = 0
41
�
4
N41
M32 = 0
V32
3
N32
\ PRT 1 4
= M14 + M +V41 �" L14 = -16.9178kNm +16.9178kNm + 0 = 0,
"M1 41
= M14 + M +V14 �" L14 = -16.9178kNm +16.9178kNm + 0 = 0,
"M 4 41
"ś = -N14 + N41 = 3.1688kN - 3.1688kN = 0,
28 http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski
MP uwzględnienie odkszt. podłużnej przykład 1 rama obciążenie F, T, " 20.11.2011
PRT 1 2
= M12 + M +V21 �" L12 = 8.8063kNm - 21.4822kNm + 2.8344kN �" 4.4721m = -0.00017kNm H" 0,
"M1 21
= M12 + M +V12 �" L12 = 8.8063kNm - 21.4822kNm + 2.8344kN �" 4.4721m = -0.00017kNm H" 0,
"M 2 21
"ś = -N12 + N21 = -1.4173kN +1.4173kN = 0.
PRT 2 3
= M + M +V32 �" L23 = 21.4822kNm + 0 - 6.7932�" 3.1623 = 0.000064kNm H" 0,
"M 2 23 32
= M + M + V23 �" L23 = 21.4822kNm + 0 - 6.7932�"3.1623 = 0.000064kNm H" 0,
"M 3 23 32
"ś = -N23 + N32 = -4.1932kN + 4.1932kN = 0,
WZEA 1
= -M14 - M12 - S�1 = 16.9178kNm - 8.8063kNm - 8.1115kNm = 0,
"M1
X = -V14 + N12 �" cosą12 -V12 �"siną12 = 0 -1.4173kN �" 0.8944 - 2.8344kN �" 0.4472 = 0.000089kN H" 0,
"
"Y = N14 + N12 �" siną12 +V12 �" cosą12 = -3.1688 +1.4173kN �" 0.4472 + 2.8344kN �" 0.8944 = 0.0001kN H" 0.
WZEA 2
= -M - M = -21.4822kNm + 21.4822kNm = 0,
"M 2 21 23
X = -N21 �" cosą12 +V21 �" siną12 + N23 �" cosą23 -V23 �" siną23 + S25 �" cosą25 =
"
= -1.4173kN �" 0.8944 + 2.8344kN �" 0.4472 + 4.1932�" (-0.3161) +
+ 6.7932kN �" 0.9487 - 5.9105kN �" 0.866 = 0.000086kN H" 0,
"Y = -N21 �" siną12 -V21 �" cosą12 + N23 �"siną23 +V23 �" cosą23 + S25 �"siną25 =
= -1.4173kN �" 0.4472 + 2.8344kN �" 0.8944 + 4.1932kN �" 0.9487 +
+ 6.7932kN �" (-0.3161) - 5.9105kN �" 0.5 = 0.00019kN H" 0,
6.2.3. Kontrola kinematycznej dopuszczalności rozwiązania
Punkty a) d) jak w 6.1.2
e)Sprawdzenie przemieszczeń
1
"
M �" M S1 �" Ss"
s 1 1 1 1
"1" = dx + +
m n v r
" "M �" "�m + "N �" "Ln + "V �" "hv - "R �" "r =
+"
EI ks m
s n v r
4.4721m -1 1
�ł-1�"
= 0 + �" (-8.8063) + 4 �" �" (-15.1442) + �" (-21.4821)�łkNm2 +
�ł �ł
6 �"8692kNm2 �ł 3 3
łł
1 -1 2
+ �" 0.5 �" �" 3.1623m �" (- 21.4821)kNm +
6253kNm2 3 3
2 1 1
+ �" 0.008727 - �" 0.008m + 0.298142 / m �"(- 0.004)m - �" 0.01- 0 �" 0.017453 = -0.002040,
3 3m 3m
"
S�1 8.1115kNm
"1,rzecz = - = - = -0.002028, "1" H" "1,rzecz ,
�
k1 4000kNm
2 2
" "
M �" M S �" Ss
s 2 2 2 2
"2" = dx + +
m n v r
" "M �" "�m + "N �" "Ln + "V �" "hv - "R �" "r =
+"
EI ks m
s n v r
http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski 29
MP uwzględnienie odkszt. podłużnej przykład 1 rama obciążenie F, T, " 20.11.2011
4.4721m
= 0 + �"(0 + 4 �" 2.06538 �" (-15.1442) + 4.13077 �" (-21.4821))kNm2 +
6 �"8692kNm2
1 2
+ �" 0.5 �" 4.13077m �"3.1623m �" �"(- 21.4821)kNm +
6253kNm2 3
+1.376923m �" 0.008727 +1.032692 �" 0.008m - 0.923668 �"(- 0.004m)+
- (-1.532692)�" 0.01m - 0 �" 0.017453 = 0.002982m
"
S�25 - 5.910503kN
"2,rzecz = - = - = 0.002955m, "2" H" "2,rzecz ,
�
k25 2000kN / m
3 3
"
M �" M S �" Ss"
s 2 2 2 3
"3" = dx + +
m n v r
" "M �" "�m + "N �" "Ln + "V �" "hv - "R �" "r =
+"
EI ks m
s n v r
1
= �"1�" 4m �"16.91783kNm +
4387kNm2
4.4721m 1 1
�ł1�"
+ �" (-8.8063) + 4 �" �" (-15.1442) - �" (-21.4821)�łkNm2 +
�ł �ł
6 �"8692kNm2 �ł 3 3
łł
1 1 2
+ �" 0.5 �" �" 3.1623m �" (- 21.4821)kNm +
6253kNm2 3 3
2 1
�ł- 1
�ł
- �" 0.008727 + �" 0.008m - 0.298142 �"(- 0.004m)- �ł �ł
�" 0.01m - 0 �" 0.017453 = 0.017465
3 3m 3m
�ł łł
"3,rzecz = �4 = 0.017453, "3" H" "3,rzecz.
30 http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
MP rama ukośna 1
MP rama ukośna 5
MP rama ukośna 3
MP rama ukośna 2
MP rama ukośna 8
MP rama ukośna 4
notatek pl sily wewnetrzne i odksztalcenia w stanie granicznym
Stymulus Zestaw6 STP MP Gesundheitswesen
STAN NAPRĘŻENIA ODKSZTAŁCENIA
6 Teoria stanu odkształcenia (2)
przyk?y
bibliografia mp
sprawdzian1 przyk?owe zadania bud

więcej podobnych podstron