Adam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Teoria stanu odkształcenia.
6. TEORIA STANU ODKSZTAA
CENIA
6.1. Wektor przemieszczenia liniowego. Odkształcenia liniowe i kątowe.
Kilkakrotnie już było powiedziane, że przedmiotem naszych rozważań jest ciało odkształcal-
ne, tzn. takie, które pod działaniem sił obciążających lub innych czynników (np. cieplno-
wilgotnościowych) zmienia swoje kształty i wymiary. Oznacza to, że punkty tego ciała mogą
zmieniają swoje położenie w przestrzeni, przy czym, co wyraz
nie należy podkreślić, będzie
nas interesować zmiana położenia punktów ciała powstała w wyniku jego deformacji, a nie
na skutek jego ruchu jako bryły sztywnej.
konfiguracja
Wektor mający początek w punkcie ciała nie
początkowa
zdeformowanego (w konfiguracji początkowej), a
koniec w tym samym punkcie po deformacji (w
konfiguracji aktualnej) nazywać będziemy
A
wektorem przemieszczenia liniowego w tym
A
punkcie. Na rys. 6.1 jest to wektor
u
w
A A' = u + v + w . Ponieważ, w ogólności wektory
Z
v
przemieszczenia liniowego w różnych punktach są
różne to możemy powiedzieć, że przyłożone
obciążenia generują w bryle odkształcalnej
Y
X
wektorowe pole przemieszczeń, którego
współrzędne są funkcjami położenia punktu w
konfiguracja
konfiguracji początkowej u =u(x, y, z),
aktualna
v = v(x, y, z), w= w(x, y, z).Taki opis deformacji
Rys. 6.1
bryły nazywamy materialnym a współrzędne,
współrzędnymi Lagrange a.
Do oceny wielkości zmian kształtów i wymiarów bryły wygodnie jest zdefiniować pewne ich
miary - miary deformacji.
konfiguracja
W tym celu rozważmy zachowanie się dwóch
początkowa
punktów A i B które w konfiguracji początkowej
odległe były o l , a po przyłożeniu obciążenia
0
B
długość łączącego ich włókna (linii materialnej)
D
zwiększyła się o " l (rys. 6.2).
"
"
"
l +"l
0
C
Odkształceniem liniowym w punkcie A w kierunku
O D
A
punktu B nazywać będziemy:
l0
" l
Z B O C
A � = lim (6.1)
AB
l0 0
l0
Możemy więc powiedzieć, że odkształceniem
Y
X
liniowym w punkcie w wybranym kierunku
nazywamy względny przyrost długości włókna w
konfiguracja
tym punkcie na skutek przyłożonych obciążeń.
aktualna
Odkształcenie liniowe, które odpowiada
wydłużeniu włókna uważamy za dodatnie.
Rys. 6.2
Odkształcenie liniowe nazywane też są
odkształceniami podłużnymi.
49
Adam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Teoria stanu odkształcenia.
Jeżeli rozważymy dwa prostopadłe włókna przechodzące przez wspólny punkt O w
konfiguracji początkowej (rys. 6.2) to ich odkształcenie kątowe definiujemy jako:
ł = lim (C�D - C'�' D' ). (6.2)
C O D
CO i DO
Zatem odkształceniem kątowym nazywać będziemy kąt o jaki zmieni się w wyniku
przyłożonych obciążeń kąt prosty między dwoma włóknami przechodzącymi w konfiguracji
początkowej przez wspólny punkt.
Odkształcenie kątowe któremu odpowiada zmniejszenie się kąta prostego uważamy za
dodatnie.
Odkształcenie kątowe nazywane też są odkształceniami postaciowymi.
6.2. Stan odkształcenia w punkcie
Stan odkształcenia w punkcie to nieskończony zbiór odkształceń liniowych i kątowych
wszystkich włókien przechodzących przez ten punkt.
Można wyróżnić trzy rodzaje stanu odkształcenia w punkcie: jednoosiowy, płaski i
przestrzenny.
Są one związane z wymiarowością modelu ciała, który został przyjęty do rozważań i stąd
jednoosiowy stan odkształcenia nie znajduje teoretycznych i praktycznych zastosowań.
W tym miejscu warto podkreślić zasadnicze różnice między pojęciami, które występują w
teorii stanu odkształcenia i naprężenia. W definicji odkształceń występuje punkt i określone
co do kierunku włókno przez niego przechodzące, a w definicji naprężenia występuje punkt i
płaszczyzna o określonej normalnej przechodząca przez ten punkt. Dlatego, mimo, że jak się
póz
niej okaże identycznego matematycznego formalizmu w obliczeniach, nie wszystkie
cechy obu tych stanów mogą być identycznie interpretowane i traktowane.
Mówimy, że znamy stan odkształcenia w analizowanej konstrukcji, jeśli znamy stan
odkształcenia w każdym jej punkcie.
6.3. Macierz odkształceń. Graficzny obraz macierzy odkształceń
W dowolnie wybranym punkcie bryły możemy definiować odkształcenia liniowe i kątowe w
dowolnych kierunkach, również w kierunkach osi układu odniesienia. Odkształcenia liniowe i
kątowe w danym punkcie w kierunkach osi układu zapiszemy w postaci macierzy, którą
nazywać będziemy macierzą odkształceń:
1 1
�ł �ł
� ł ł
�ł �ł
x xy xz
2 2
�ł �ł
1 1
�ł
T� =�ł ł � ł (6.3)
yx y yz
�ł �ł
2 2
�ł �ł
1 1
ł ł �
�ł zx zy z �ł
2 2
�ł łł
Tak więc:
macierz odkształceń w punkcie to uporządkowany zbiór odkształceń liniowych i
kątowych trzech włókien przechodzących przez ten punkt i równoległych do osi układu
odniesienia.
Macierz uporządkowana jest w ten sposób, że na przekątnej występują odkształcenia liniowe
a poza przekątną połówki odkształceń kątowych. Czytelna jest też wymowa indeksów przy
odkształceniach.
I tak np. � to odkształcenie liniowe włókna równoległego do osi Z , a ł to odkształcenie
z xy
kątowe włókien równoległych do osi X i Y.
Z definicji elementów macierzy odkształceń wynika jej symetria:
50
Adam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Teoria stanu odkształcenia.
ł = ł , ł = ł , ł = ł (6.4)
xy yx xz zx yz zy
Jak się wkrótce przekonamy macierz odkształceń w punkcie będzie podstawą określenia w
nim stanu odkształcenia.
Graficzny obraz macierzy odkształceń w punkcie można przedstawić w postaci deformacji
przechodzących przez ten punkt trzech wzajemnie do siebie prostopadłych włókien o
dowolnie małych długościach dx = dy = dz =1, które są równoległe do osi układu
współrzędnych (rys. 6.3) .
Wszytkie pokazane na rys. 6.3 odkształcenia są dodatnie.
Z
Z
Z
D
�z dz
D
D D
dz
dz
dz � dy
y
dy
dy dy
Y
Y
Y
A
C
dx A A
C dx
C C
dx
B
B B
� dx
B x
X X
X
Z Z
Z
D D
D
D D
1
1
1
ł
zx
ł
ł C
2 zy
yx
1
2
2 Y Y
C
ł Y
xy
B
2
A
A
C C
1
1
A
ł
ł
yz
xz
B B
C
B
2
2
X X
X
B
Rys. 6.3
6.4. Tensor odkształceń. Odkształcenia liniowe i kątowe dowolnie zorientowanych
włókien
Można dowieść, że macierz odkształceń jest tensorem drugiego rzędu (patrz np. S.Piechnik:
Wytrzymałość Materiałów. PWN 1978) co oznacza, że jej elementy transformują się przy
zmianie układu odniesienia w pewien ściśle określony sposób zwany prawem transformacji
tensora, oraz , że w wyniku mnożenia jej przez jednostkowy wersor v(l , m,n) otrzymamy
pewien wektor e (evx ,evy ,evz ), który możemy nazwać wektorem odkształcenia1 określony
v
zależnościami:
1 1
�ł �ł
� ł ł
�ł �ł
2 2
evx �ł x xy xz �ł l
�ł �ł �ł �ł
�ł �ł �ł �ł
1 1
�ł �ł
e = T� v evy �ł = ł � ł m�ł . (6.5)
v
�ł �ł
yx y yz
�ł �ł
2 2
�ł �ł �ł �ł
evz 1 1 �ł n
�ł
�ł łł �ł łł
ł ł �
�ł �ł
zx zy z
2 2
�ł łł
1
J.Więckowski: Wytrzymałość Materiałów . Wydawnictwo Politechniki Gdańskiej, Gdańsk 1975.
51
Adam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Teoria stanu odkształcenia.
Z
I co więcej, znajomość macierzy odkształceń w
D
dowolnym punkcie O (tzn. znajomość
v
�
odkształceń liniowych i kątowych trzech Y
B
wzajemnie prostopadłych włókien OA, OB i
O
OC pokazanych przykładowo na rys. 6.4)
X
�
wystarcza do określenia odkształceń liniowych A
i kątowych dowolnych włókien
Rys. 6.4
przechodzących przez ten punkt, bo własności
tensora pozwalają napisać poniższe zależności:
1 1
�ł �ł
� ł ł
�ł �ł
x xy xz
2 2
l
�ł �ł
�ł �ł
�ł �ł
1
�ł
�v = (l, m, n)�ł 1 ł � ł m�ł , (6.6)
�ł
yx y yz
�ł �ł
2 2
�ł �ł
�ł �ł n
1 1 1
�ł łł
ł ł ł
�ł �ł
zx zy z
2 2 2
�ł łł
1 1
�ł �ł
� ł ł
�ł �ł
x xy xz
2 2
l
�ł �ł
�ł �ł
�ł �ł
1 1
�ł
ł = (l1 , m1 , n1)�ł 1 ł � ł m�ł , (6.7)
�ł
v� yx y yz
�ł �ł
2 2 2
�ł �ł
�ł �ł n
1 1 1
�ł łł
ł ł ł
�ł �ł
zx zy z
2 2 2
�ł łł
1 1
�ł �ł
� ł ł
�ł �ł
x xy xz
2 2
l
�ł �ł
�ł �ł
�ł �ł
1 1
�ł
ł = (l2 , m2 , n2 )�ł 1 ł � ł m�ł  (6.8)
�ł
v� yx y yz
�ł �ł
2 2 2
�ł �ł
�ł �ł n
1 1 1
�ł łł
ł ł ł
�ł �ł
zx zy z
2 2 2
�ł łł
w których: �v , ł , ł to odkształcenia liniowe i kątowe trzech wzajemnie prostopadłych
v� v�
włókien równoległych do dowolnej ale ortogonalnej trójki wersorów v(l ,m,n),� (l1 ,m1 ,n1)
� (l2 ,m2 ,n2 ).
Dalsze rozważania przeprowadzimy dla płaskiej tarczy leżącej w płaszczyz
nie (X, Y) w której
panuje płaski stan odkształcenia.
Wybierzmy w niej pokazane na rys. 6.5 dwa
prostopadłe włókna AB i AC przechodzące
C Ą
-ł
przez wspólny, dowolnie wybrany punkt A w ą
2
B
którym znana jest macierz odkształceń:
C
1
�ł �ł
� ł
�ł �ł A
x xy
2 �
�ł �ł �
T� =
B
Y
1
�ł �ł
ą
A
ł �
�ł �ł
yx y
�ł 2 łł
A
Kierunki tych włókien są równoległe do dwójki
X
wersorów �(l,m) i �(- m,l) nachylonych pod
Rys. 6.5
52
Adam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Teoria stanu odkształcenia.
dowolnym kątem ą do osi układu (X, Y).
Odkształcenie liniowe �ą nachylonego pod kątem ą do osi X włókna AB, jak i odkształcenia
kątowe ł włókien CAB wyznaczymy korzystając ze wzorów (6.6) i (6.7):
ą
1
�ł �ł
�x ł
�ł �ł
xy
l
�ł �ł 1 1 1
�ł �ł
2
�ł �ł
�ą =(l,m) �ł =�ł�x l + ł m l +�ł ł l +� m m=�x l2 +� m2 +2 ł lm ,
�ł �ł �ł
xy yx y y xy
�łm�ł �ł
�ł
2
�ł1 łł
ł �y �ł �ł łł �ł 2 łł �ł 2
�ł �ł
yx
�ł 2 łł
1
�ł �ł
�x ł
�ł �ł
xy
l
1 �ł �ł 1 1
�ł �ł
2
�ł �ł
łą =(-m,l) �ł =�ł�x l + ł m (-m)+�ł ł l +� m l =
�łm�ł �ł 2 xy �ł �ł 2 yx y �ł
�ł
2
�ł1 �ł �ł łł �ł łł
�ł łł
ł �
�ł �ł
yx y
�ł 2 łł
1
=(�y -�x)lm+ ł (l2 - m2).
xy
2
Jeśli w powyższych związkach uwzględnimy, że l = cosą , m = siną oraz zależności
trygonometryczne:
2
sin 2ą = 2siną cosą , cos 2ą = cos2 ą - sin ą,
2
cos2 ą = (1+ cos 2ą) 2, sin ą = (1- cos 2ą) 2,
to odkształcenia liniowe i kątowe dowolnie zorientowanych włokien wyrażone poprzez
współrzęne macierzy odkształceń przedstawiają się następująco:
� + � � - �
1
x y x y
+ cos 2ą + ł sin 2ą , (6.10)
�ą =
xy
2 2 2
� - �
1 1
x y
łą = - sin 2ą + ł cos 2ą . (6.11)
xy
2 2 2
Zależności te pokazują, że macierz odkształceń w punkcie określa w nim stan odkształcenia,
gdyż pozwala na wyznaczenie odkształceń liniowych i kątowych dowolnych włókien
przechodzących przez ten punkt.
Z równania (6.10) łatwo można zobaczyć, że:
�ą + �ą + 90o = � +� co dowodzi twierdzenia, że suma odkształceń liniowych dwóch
x y
prostopadłych włókien przechodzących przez dowolny punkt jest wielkością stałą, tzn. nie
zależy od układu odniesienia. Bardziej formalnie możemy powiedzieć, że suma odkształceń
na przekątnej głównej macierzy odkształceń jest niezmiennikiem. Twierdzenie to jest również
prawdziwe w przypadku przestrzennego stanu odkształcenia.
6.5. Ekstremalne odkształcenia liniowe i kątowe
Pozostaniemy przy analizie stanu odkształcenia płaskiej tarczy. Zależności (6.10) i (6.11)
pokazują, że znajomość macierzy odkształceń w dowolnym jej punkcie pozwala wyznaczyć
wartości odkształceń liniowych i kątowych dowolnie zorientowanych włókien przezeń
przechodzących. W tej sytuacji naturalne jest postawienie dwóch ważnych zagadnień:
" wyznaczyć włókna których odkształcenia liniowe są ekstremalne i wyliczyć wartości tych
odkształceń liniowych,
" wyznaczyć włókna których odkształcenia kątowe są ekstremalne i wyliczyć wartości tych
odkształceń kątowych.
53
Adam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Teoria stanu odkształcenia.
Przy rozwiązaniu tych zagadnień wykorzystamy formalną analogię wzorów (5.3) i (5.4) w
płaskim stanie naprężenia oraz wzorów (6.10) i (6.11) w płaskim stanie odkształcenia:
1 1
� �ą , � ł , � � , � � , � ł .
v v ą x x y y xy xy
2 2
Korzystając z tej analogii możemy powiedzieć, że: w każdym punkcie ciała w którym panuje
płaski stan odkształcenia można wyróżnić dwa do siebie prostopadłe włókna których
odkształcenia kątowe są równe zero a odkształcenia liniowe są ekstremalne. Kierunki tych
włókien nazywamy kierunkami odkształceń głównych. Zatem:
odkształcenia główne w danym punkcie to ekstremalne wartości odkształceń liniowych
w nim występujących. Są to odkształcenia liniowe dwóch do siebie prostopadłych
włókien których odkształcenia kątowe są równe zero.
Wartości odkształceń głównych i ich kierunki określają wzory:
2
2
� + � �
�ł - �
�ł
1
x y x y �ł �ł
�ł �ł
�max = �1 = + + ł
�ł �ł
xy
�ł �ł
2 2 2
�ł łł
�ł łł
(6.12)
2
2
� + � �
�ł - �
�ł
1
x y x y �ł �ł
�min = �2 = - �ł �ł
+ ł
�ł �ł
xy
�ł �ł
2 2 2
�ł łł
�ł łł
- ł - ł
xy xy
tgąmax = tgą1 = (6.13)
2(� - �max), tgąmin = tgą2 = 2(� - �min)
y y
Ekstremalne odkształcenia kątowe wynoszą:
2
2
�
�ł - �
�ł
1 1 �max -�min
x y �ł �ł
�ł �ł
ł = + ł = , (6.14)
�ł �ł
max xy
�ł �ł
2 2 2 2
�ł łł
�ł łł
2
2
�
�ł - �
�ł
1 1 � -�min
x y �ł �ł
max
ł = - �ł �ł
+ ł = - ,
�ł �ł
min xy
�ł �ł
2 2 2 2
�ł łł
�ł łł
a kierunki włókien które ich doznają połowią kąty między kierunkami odkształceń głównych.
Włókna których odkształcenia kątowe są ekstremalne połowią kąty między włóknami
odkształceń głównych.
Koła Mohra dla stanu odkształcenia są analogiczne jak dla stanu naprężenia (rys. 6.6).
1
ł
2 ą C
R
max
ąmax
�
O1 � x
y
O
B
A
�
ą
ąmin
�
min
1
- ł
xy
2
K
D
min
�
54
max
Rys. 6.6
Adam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Teoria stanu odkształcenia.
Na koniec powiemy, że w przypadku przestrzennych stanów odkształcenia są trzy wzajemnie
prostopadłe włókna których odkształcenia kątowe się zerują a odkształcenia liniowe są
ekstremalne (odkształcenia główne). Włókna których odkształcenia kątowe są ekstremalne
połowią kąty między włóknami odkształceń głównych.
6.4. Równania geometryczne
Jest rzeczą oczywistą, że między przemieszczeniami i odkształceniami muszą istnieć
zależności, nazwiemy je równaniami geometrycznymi.
W celu ich wyprowadzenia rozważmy w bryle w konfiguracji poczatkowej trzy dowolnie
małe, wzajemnie protopadłe i równoległe do osi układu włókna przechodzące przez dowolnie
wybrany punkt A (rys. 6.7).
" u
Y
u + dy
" y
C
Ą
" v
� -ł
v + dy xy
2
" y
B
D
ą
dz A D
C
dy
A
" v
dx
A C v + dx
dy
B C
v " x
Z
B
B
dx
A
u
Y
X " u
u + dx
X
" x
Rys. 6.7
Rozważymy wpierw deformacje włókien leżących w płaszczyżnie (X, Y). Jeśli przyjmiemy,
że współrzędne wektora przemieszczenia punktu A są u i v , to - jak pokazano na rys. 6.7-
współrzędne wektorów dowolnie bliskich mu punktów będą powiekszone o człony
zawierające jedynie pierwsze ich pochodne jeśli pominięte będą człony zawierające wielkości
dowolnie małe wyższych rzędów.
Zatem odkształcenia liniowe włókien równoległych do osi układu, zgodnie z ich definicją,
przyjmą postać:
�ł " u �ł
�ł �ł
�łu + dx�ł -u
lim lim " x
" dx " u
�ł łł
� = = =
x
dx 0 dx dx 0 dx " x
�ł " v �ł
�ł �ł
�łv + dy�ł - v
lim lim " y
" dy " v
�ł łł
� = = =
y
dy 0 dy dy 0 dy " y
Przejdz
my do wyznaczenia odkształceń kątowych ł . Z założenia małych przemieszczeń
xy
wynika, że tgą H"ą oraz tg � H" � , a stąd zgodnie z definicją odkształceń kątowych:
55
Adam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Teoria stanu odkształcenia.
�ł łł
�ł " v �ł �ł " u �ł
�ł �ł
�ł�łv + dx�ł - v �ł + dy�ł - u śł
�ł �łu
" u " v
�ł�ł " x łł + �ł " y łł śł
ł = lim (ą + � )= lim = +
xy
�ł śł
dxO i dyO dxO i dyO
dx dy " y " x
�ł śł
�ł śł
�ł �ł
Prowadząc analogiczne rozważania w pozostałych dwóch płaszczyznach ostatecznie
otrzymamy związki wiążące odkształcenia z przemieszczeniami w postaci:
" u " u " v
� = , ł = +
x xy
" x " y " x
" v " v " w
� = , ł = + (6.15)
y yz
" y " z " y
" w " w " u
� = , ł = +
z zx
" z " x " z
Widzimy więc, że znajomość pola przemieszczeń konstrukcji, tj. znajomość funkcji u (x, y, z),
v(x, y, z), w(x, y, z) pozwala poprzez proste różniczkownie wyznaczyć macierz odkształceń w
dowolnym jej punkcie. I odwrotnie - znajomość odkształceń, poprzez całkowanie, pozwala
wyznaczyć pole przemieszczeń, przy czym w tym przypadku muszą być jeszcze określone
kinematyczne warunki brzegowe nałożone na analizowaną konstrukcję.
Równania geometryczne (6.9) nazywamy również równaniami Cauchy ego. Są one słuszne
przy założeniu, że przemieszczenia punktów analizowanych konstrukcji są małe (co już
założyliśmy przyjmując zasadę zesztywnienia) i małe są również ich pierwsze pochodne.
To drugie ograniczenie w ogólnie występujących konstrukcjach inżynierskich jest
powszechnie spełnione co pokazuje poniższy przykład belki. Polska Norma Budowlana
PN-90/B-03200 ogranicza maksymalne ugięcie głównej belki stropowej do wielkości l/350.
Stąd największa wartość pochodnej linii ugięcia wyniesie w przybliżeniu:
wmax =l 350
X
" w l 350
H" = 0.0057
" x l 2
l 2
Z
Rys. 6.8
6.7. Równania nierozdzielności odkształceń
A
atwo można zauważyć z równań geometrycznych, że trzy odkształcenia w płaskim stanie
odkształcenia:
" u " v " u " v
� = , � = , ł = +
x y xy
" x " y " y " x
wyrażają się poprzez dwie współrzędne wektora przemieszczenia co wskazuje, że
odkształcenia są związane jakąś zależnością. Aby ją wyznaczyć zróżniczkujmy każde z nich
dwukrotnie z tym, że pierwsze względem y, drugie względem x , trzecie względem x i y a
następnie dodajmy stronami otrzymując w wyniku równanie:
56
Adam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Teoria stanu odkształcenia.
"2 � "2 ł
"2 �
y xy
x
+ = (6.16)
" x " y
" y2 " x2
które nazwiemy równaniem nierozdzielności odkształceń.
Jego intepretację fizyczną obrazuje rys. 6.9. Z geometrycznej reprezentacji macierzy
odkształceń wynika, że w każdym punkcie płaskiej tarczy określa ona deformacje dowolnie
małego jednostkowego kwadratu. Jeśli odkształcenia zadane zostaną zupełnie dowolnie to nie
będzie zachowanej ciągłości tarczy w konfiguracji początkowej i zdeformowanej jak to
obrazuje przypadek a na rys. 6.9. Odkształcenia spełniające równania nierozdzielności
odkształceń dają konfigurację po deformacji zachowującą ciągłość tarczy jak pokazuje
przypadek b.
konfiguracja
b
a
początkowa
Rys. 6.9
Można więc powiedzieć, że równania nierozdzielności stanowią warunki konieczne, które
muszą spełniać funkcje aby mogły być współrzednymi przemieszczeń.
W przestrzennym stanie odkształcenia jest sześć równań nierozdzielności odkształceń.
6.6. Względna zmiana objętości w punkcie
Rozważmy przestrzenny stan odkształcenia w punkcie, określony poprzez odkształcenia
główne. Zatem macierz odkształceń będzie miała postać:
�1 0 0
�ł �ł
�ł �ł
3
T� =�ł 0 �2 0 ,
�ł
�ł
0 0 �3 �ł
�ł łł
a jej graficzny obraz pokazuje rysunek obok.
"3(1+ �3)
Objętość dowolnie małego sześcianu
reprezentującego rozważany punkt w
konfiguracji początkowej, przedstawia się
2
następująco :
Vo = "1 "2 "3 .
"1(1+ �1)
1
Jego objętość po deformacji wynosi:
"2(1+ �2 )
V = "1 (1+ �1)"2 (1+ �2 )"3 (1+ �3)
Względną zmianę objętości w punkcie wyznacza granica:
57
Adam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Teoria stanu odkształcenia.
lim -Vo
V
D = =(1+ �1)(1+ �2 )(1+ �3)-1 = �1 + �2 + �3 + �1�2 + �2�3 + �3�1 + �1�2�3
Vo 0 Vo
Po pominięciu iloczynów odkształceń jako małych wyższego rzędu otrzymamy:
D = �1 + �2 + �3
a ponieważ suma odkształceń liniowych jest niezmiennikiem to względna zmiana objętości w
punkcie wynosi:
D = � + � + � (6.19)
x y z
Wielkość D często nazywana jest dylatacją.
6.8. Przykłady
�
Przykład 6.8.1. Wyznaczyć odkształcenia główne
Y
i ich kierunki w punkcie C płaskiej tarczy w
którym wyznaczono przy pomocy tensometrów
45o
elektrooporowych odkształcenia liniowe
C
� ,� ,�� w trzech kierunkach pokazanych na rys.
X
x y
Rozwiązanie
Aby zastosować wzory (6.12) i (6.13) potrzebujemy znać ł . Wyznaczymy to odkształcenie
xy
kątowe, wykorzystując znane odkształcenie liniowe włokna pod kątem 45�
� + � � - �
1
x y x y
�ą =45o = �� = + cos(2* 45o)+ ł sin(2 * 45o)
xy
2 2 2
� + �
1
x y
�� = + ł ł = 2�� -(� + � )
xy xy x y
2 2
2
2
� + � � - � �ł � + � łł
�ł �ł �ł �ł
x y x y x y
�ł �ł
� = + + - �ł �łśł
�ł� �ł
max �
�ł �ł �łśł ,
2 2 2
�ł
�ł łł �ł łł
�ł �ł
2
2
� + � � - � �ł � + � łł
�ł �ł �ł �ł
x y x y x y
� = - �ł �ł �łśł
+ - �ł
�ł� �ł
min �
�ł �ł �łśł ,
2 2 2
�ł
�ł łł �ł łł
�ł �ł
2�� -(� + � ) 2�� -(� + � )
x y x y
tgą = - , tgąmin = - .
max
2(� - � ) 2(� - � )
y max y min
Układy czujników tensometrycznych do pomiaru odkształceń liniowych w ustalonych
kierunkach nazywamy rozetami.
Przykład 6.8.2. Dowieść, że możliwy jest stan odkształcenia w płaskiej tarczy gdy elementy
macierzy odkształceń określają zależności
� = k(x2 + y2 ); � = k y2 ; ł = 2k x y
x y xy
58
Adam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Teoria stanu odkształcenia.
Rozwiązanie
Sprawdzamy równanie nierozdzielności, które stanowią warunki konieczne na to aby dane
funkcje mogły określać odkształcenia.
"2� "2ł
"2�
y xy
x
+ = 2k + 0 = 2k
" x " y
" y2 " x2
Równanie nierozdzielności jest spełnione i możliwy jest stan odkształcenia określony
powyższymi funkcjami.
Przykład 6.8.3. Sprawdzić czy poniższe funkcje , mogą być funkcjami odkształceń
� = (x2 + y ); � = y2 ; ł = 2 x y
x y xy
Rozwiązanie
Równanie nierozdzielności odkształceń w tym przypadku daje:
"2� "2ł
"2�
y xy
x
+ = 0 + 0 `" 2
" x " y
" y2 " x2
co dowodzi, że powyższe funkcje nie mogą być funkcjami odkształceń.
59