12. ANALIZA STANU ODKSZTAACENIA 1
Ł
12.
12. Analiza stanu odkształcenia
12.1. Składowe stanu odkształcenia
Każda konstrukcja budowlana pod wpływem obciążenia doznaje odkształceń, które objawiają się
zmianą kształtu i wymiarów elementów budowlanych. Rysunek 12.1 przedstawia odkształcony pod wpływem
sił czynnych (P1, P2 i P3) i biernych (R1 i R2) element konstrukcji.
P3
P2
P1
X3
A'
A
R2
X2
R1
X1
Rys. 12.1. Odkształcony element konstrukcji.
Odkształcenia zostaną opisane za pomocą współrzędnych w konfiguracji pierwotnej (przed odkształceniem).
Na rysunku 12.1 punkt A po odkształceniu przemieścił się o wektor przemieszczenia do punktu A'.
u
Śąśą Aźą
Wektor przemieszczenia można wyrazić jako
(12.1)
u "Śą1ąuśą Aźą e "Śą3 .
Śąśą Aźą=uśą Aźą e "Śą2ąuśą Aźą e
1 2 3
Możemy wyróżnić dwa rodzaje odkształceń:
1. Odkształcenia objętościowe, które powodują zmianę objętości bez zmiany postaci.
2. Odkształcenia postaciowe, które powodują zmianę kształtu (postaci).
Aby określić stan odkształcenia w punkcie należy rozpatrzyć równowagę elementarnego prostopadłościanu o
wymiarach dx , dx i dx , który będzie obciążony tensorem naprężenia (11.4). Jak zostanie pokazane w
1 2 3
następnym wykładzie zależność między naprężeniami a odkształceniami jest liniowa, czyli jeżeli naprężenia
wzrosną dwa razy to i odkształcenia wzrosną dwa razy. Jeżeli skutek (odkształcenia) są liniową funkcją
przyczyny (naprężenia) to można zastosować zasadę superpozycji, czyli rozpatrywać osobno działanie
naprężeń normalnych s11, s22, s33 i naprężeń stycznych s12, s23, s13. Na koniec należy tylko zsumować skutki.
Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki AlmaMater
Dr inż. Janusz Dębiński
źą
A
śą
u
Śą
12. ANALIZA STANU ODKSZTAACENIA 2
Zakładając, że naprężenia normalne są dodatnie (rozciągające) będą one powodowały zwiększenie długości
krawędzi prostopadłościanu. Na rysunku 12.2 przedstawiono elementarny prostopadłościan pod wpływem
działania naprężeń normalnych. Zmiany długości krawędzi zostały pokazane na rzutach prostopadłościanu na
trzy płaszczyzny.
dx2 Ddx2
X3
ą22
ą22
P
X2
dx2 Ddx2
X1
Rys. 12.2. Odkształcenia objętościowe.
Jak widać na rysunku 12.2 zmiany długości krawędzi wynoszą Ddx1, Ddx2, Ddx3. Taki stan odkształcenia
można jednoznacznie opisać za pomocą trzech wielkości
ą dx1 ,
ą11= (12.2)
dx1
Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki AlmaMater
Dr inż. Janusz Dębiński
3
D
dx
3
D
dx
3
33
ą
dx
3
dx
33
ą
11
ą
1
x
d
11
ą
1
x
d
D
1
x
d
1
x
d
D
12. ANALIZA STANU ODKSZTAACENIA 3
ą dx2 ,
ą22= (12.3)
dx2
ą dx3 .
ą33= (12.4)
dx3
Wielkości (12.2), (12.3) i (12.4) nazywamy odkształceniami liniowymi. Odkształcenia liniowe mogą
przyjmować wartości dodatnie, ujemne oraz zero.
Zmianie długości krawędzi towarzyszy zmiana objętości. Zmianę tą nazywa się odkształceniem
objętościowym. Objętość prostopadłościanu przed odkształceniem wynosiła
dV =dx1"dx2"dx3 . (12.5)
Po odkształceniu objętość prostopadłościanu wynosi
dV ąą dV = ąą dx1 2ąą dx2 3ąą dx3 . (12.6)
śądx źą"śądx źą"śądx źą
1
Wzór (12.6) będzie miał postać
ą dx1 ądx2 ą dx3 .
dV ąądV =dx1" 1ą "dx2" 1ą "dx3" 1ą (12.7)
śą źą śą źą śą źą
dx1 dx2 dx3
Uwzględniając wzory (12.2), (12.3), (12.4) i (12.5) wzór (12.7) będzie miał postać
dV ąądV =dV" 1ąą11 " 1ąą22 " 1ąą33 . (12.8)
śą źą śą źą śą źą
Wzór (12.8) można przekształcić do postaci
dV ąą dV
(12.9)
=1ąą11ąą22ąą33ąą11"ą22ąą11"ą33ąą22"ą33ąą11"ą22"ą33 .
dV
Odkształcenia są wielkością małą natomiast ich iloczyny są wielkościami małymi wyższego rzędu. W związku
z tym możemy pominąć człony zawierające iloczyny odkształceń. Wzór (12.9) będzie miał postać
Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki AlmaMater
Dr inż. Janusz Dębiński
12. ANALIZA STANU ODKSZTAACENIA 4
ą dV
(12.10)
=ą11ąą22ąą33 .
dV
Wielkość po lewej stronie równania nazywa się względnym odkształceniem objętościowym lub dylatacją.
Jak widać jest ona sumą wszystkich liniowych odkształceń.
Odkształcenie prostopadłościanu wynikające z działania naprężeń stycznych wiąże się ze zmianą kształtu lub
inaczej zmianą postaci. Zmianie ulegają kąty nachylenia krawędzi prostopadłościanu bez zmiany ich długości.
X3
ą23
ą23
ą32
ą13
P
ą12
ą13
X2
ą12
ą12
X1
Rys. 12.3. Odkształcenia postaciowe.
Miarą zmiany postaci prostopadłościanu są trzy kąty. Pierwszy z nich w płaszczyznie X1X2
ąą12=ą12ąą12 . (12.11)
Drugi z nich w płaszczyznie X2X3
Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki AlmaMater
Dr inż. Janusz Dębiński
23
ą
13
ą
31
ą
21
ą
12. ANALIZA STANU ODKSZTAACENIA 5
ąą23=ą23ąą23 . (12.12)
Trzeci z nich w płaszczyznie X1X3
ąą13=ą13ąą13 . (12.13)
Interpretacją tych kątów jest różnica między kątem prostym w konfiguracji początkowej a kątem ostrym w
konfiguracji aktualnej (odkształconej).
Stan odkształcenia w punkcie opisują trzy składowe odkształcenia liniowego e11, e22, e33 oraz trzy składowe
odkształcenia postaciowego g , g , g .
12 13 23
12.2 Równania geometryczne Cauchy'ego
W rozdziale tym zostaną podane zależności pomiędzy współrzędnymi wektora przemieszczenia a
składowymi stanu odkształcenia.
Rysunek 12.4 przedstawia rzut elementarnego prostopadłościanu na płaszczyznę X X .
1 2
Odkształcenie liniowe e11 wynosi
#"P ' A' '#"-#"P A#"
,
ą11= (12.14)
#"P A#"
w którym
#"P A#"=dx1 (12.15)
oraz
" u1 " u1
#"P ' A' '#"=dx1ąu1ą "dx1-u1=dx1ą "dx1 . (12.16)
" x1 " x1
Ostatecznie odkształcenie liniowe e11 wynosi
" u1
dx1ą "dx1-dx1
" x1 " u1 . (12.17)
ą11= =
dx1 " x1
Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki AlmaMater
Dr inż. Janusz Dębiński
12. ANALIZA STANU ODKSZTAACENIA 6
" u1
"dx2
" x2
u1
X2
D'
B'' B'
ą12
B
D
A'
ą12
P'
A''
A
P
" u1
u1ą "dx1
x1 dx1 " x1
X1
Rys. 12.4. Rzut odkształconego elementarnego prostopadłościanu na płaszczyznę X X .
1 2
W podobny sposób można wyznaczyć odkształcenie liniowe e22.
#"P ' B ' '#"-#"P B#"
,
ą22= (12.18)
#"P B#"
w którym
#"P B#"=dx2 (12.19)
oraz
" u2 " u2
#"P ' B ' '#"=dx2ąu2ą "dx2-u2=dx2ą "dx2 . (12.20)
" x2 " x2
Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki AlmaMater
Dr inż. Janusz Dębiński
2
1
2
2
"
dx
"
u
"
x
2
1
2
"
u
"
x
u
ą
"
dx
2
dx
2
u
2
x
źą
B
śą
u
Śą
źą
źą
A
P
śą
śą
u
Śą
u
Śą
12. ANALIZA STANU ODKSZTAACENIA 7
Ostatecznie odkształcenie liniowe e22 wynosi
" u2
dx2ą "dx2-dx2
" x2 " u2 . (12.21)
ą22= =
dx2 " x2
Z równań (12.17) i (12.21) wynika zależność
" u3 .
ą33= (12.22)
" x3
Z rysunku 12.4 wynika, że
#"A' ' A'#"
,
tg śąą12źą= (12.23)
#"P ' A' '#"
w którym
" u2
#"A' ' A'#"= "dx1 . (12.24)
" x1
Uwzględniając (12.16) wzór (12.24) będzie miał postać
" u2 " u2
"dx1
" x1 " x1 .
tg śąą12źą= = (12.25)
" u1 " u1
dx1ą "dx1 1ą
" x1 " x1
W przypadku małych odkształceń tangens kąta równa się w przybliżeniu kątowi wyrażonemu w radianach.
" u1
Ponadto wartość jest wielkością małą w porównaniu z jednością. Wzór (12.25) można ostatecznie
" x1
zapisać jako
" u2 .
ą12= (12.26)
" x1
Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki AlmaMater
Dr inż. Janusz Dębiński
12. ANALIZA STANU ODKSZTAACENIA 8
Tangens kąta b12 wymosi
#"B ' ' B '#"
,
tg śąą12źą= (12.27)
#"P ' B ' '#"
w którym
" u1
#"B ' ' B '#"= "dx2 . (12.28)
" x2
Uwzględniając (12.20) wzór (12.28) będzie miał postać
" u1 " u1
"dx2
" x2 " x2 .
tg śąą12źą= = (12.29)
" u2 " u2
dx2ą "dx2 1ą
" x2 " x2
W przypadku małych odkształceń tangens kąta równa się w przybliżeniu kątowi wyrażonemu w radianach.
" u2
Ponadto wartość jest wielkością małą w porównaniu z jednością. Wzór (12.29) można ostatecznie
" x2
zapisać jako
" u1 .
ą12= (12.30)
" x2
Ostatecznie kąt odkształcenia postaciowego będzie miał postać
" u1 " u2 .
ąą12= ą (12.31)
" x2 " x1
Analogicznie można wyznaczyć pozostałe odkształcenia postaciowe.
" u2 " u3 .
ąą23= ą (12.32)
" x3 " x2
Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki AlmaMater
Dr inż. Janusz Dębiński
12. ANALIZA STANU ODKSZTAACENIA 9
" u1 " u3 .
ąą13= ą (12.33)
" x3 " x1
Równania (12.17), (12.21), (12.22), (12.31), (12.32) oraz (12.33) noszą nazwę równań geometrycznych
Cauchy'ego. Wprowadzając oznaczenia odkształceń postaciowych
ąą12=2"ą12
ąą23=2"ą23 , (12.34)
{
ąą13=2"ą13
równania geometryczne można przedstawić w zapisie wskaznikowym jako
1"
.
ąij= ui , jąu (12.35)
śą źą
j ,i
2
Wielkości ui,j oraz uj,i nazywa się gradientem przemieszczenia. Korzystając z wzoru (12.35) można zapisać
1"
ą = u ąui , j . (12.36)
śą źą
ji j ,i
2
Porównując wzory (12.35) i (12.36) można stwierdzić, że
.
ąij=ą (12.37)
ji
Rozpisując równanie (12.35) można otrzymać wzory na odkształcenia liniowe
" u1
ą11=u1,1=
" x1
" u2
(12.38)
ą22=u2,2=
" x2
" u3
{
ą33=u3,3=
" x3
oraz wzory na odkształcenia postaciowe
Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki AlmaMater
Dr inż. Janusz Dębiński
12. ANALIZA STANU ODKSZTAACENIA 10
" u1 " u2
1"
ą12= ąu2,1 1" ą
śąu źą= 2 " x2 " x1
1,2
śą źą
2
1" 1" " u2 ą " u3 .
ą23= u2,3ąu3,2 = (12.39)
śą źą
śą źą
2 2 " x3 " x2
1" 1" " u1 ą " u3
{
ą13= u1,3ąu3,1 =
śą źą
śą źą
2 2 " x3 " x1
Dodatkową informację o deformacji daje kąt obrotu dwusiecznej zawartej między krawędziami elementarnego
prostopadłościanu. Rysunek 12.5 przedstawia obrót dwusiecznej kąta zawartego między krawędziami w
konfiguracji pierwotnej i aktualnej. Dodatni kąt obrotu dwusiecznej w12 następuje od osi X2 do osi X1.
X2
D'
B'
ą12
45o
B
ą
A'
D
ą12
P'
45o
A
P
X1
Rys. 12.5. Obrót dwusiecznej kąta między krawędziami.
Zaznaczony na rysunku kąt d wynosi
90o- ą12ąą12 o ą12ąą12 .
śą źą=45 -śą źą
(12.40)
ą=
2 2
Kąt obrotu dwusiecznej można wyznaczyć z zależności
Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki AlmaMater
Dr inż. Janusz Dębiński
12
ą
12. ANALIZA STANU ODKSZTAACENIA 11
ą12ąą12
śą źąąą .
(12.41)
45o=ą12ą45o-
12
2
Kąt obrotu dwusiecznej ostatecznie wynosi
ą12-ą12 .
śą źą
(12.42)
ą12=
2
Korzystając z równań (12.26) i (12.30) kąt obrotu dwusiecznej wynosi
1" " u1 - " u2 .
ą12= (12.43)
śą źą
2 " x2 " x1
Z wzoru (12.43) można wyliczyć wartość kąta w 21, która wynosi
1" " u2 - " u1 .
ą21= (12.44)
śą źą
2 " x1 " x2
Korzystając z równań (12.26) i (12.30) wzór (12.44) będzie miał postać
ą12-ą12
(12.45)
ą21= =-ą12 .
2
Analogicznie można zapisać dla pozostałych kątów obrotu
1" " u2 - " u3 ,
ą23=-ą32=
(12.46)
śą źą
2 " x3 " x2
" u1 " u3 .
1
ą13=-ą31= " - (12.47)
śą źą
2 " x3 " x1
Kąt obrotu dwusiecznej można zapisać ogólnie
Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki AlmaMater
Dr inż. Janusz Dębiński
12. ANALIZA STANU ODKSZTAACENIA 12
1" " ui - " u .
j
ąij=-ą = (12.48)
ji
śą źą
2 " x " xi
j
12.3 Tensor odkształcenia
Sześć składowych stanu odkształcenia wyrażonych równaniami (12.38) i (12.39) można zapisać w
postaci tablicy
ą11 ą12 ą13
ąij=
ą21 ą22 ą23 . (12.49)
[ ]
ą31 ą32 ą33
Tablica ta jest podobna do tensora naprężenia (11.4). Aby tablica (12.49) była tensorem musi ona spełniać
prawo transformacji tensora (10.74), które w przypadku stanu odkształcenia będzie miało postać
ąk ' p'=ak ' i"a "ąij . (12.50)
p ' j
Korzystając z wzoru (12.35) lewą stronę (12.50) można wyrazić jako
1"
.
ąk ' p'= uk ' , p'ąu (12.51)
śą źą
p' , k '
2
Gradient przemieszczenia można wyrazić jako
" uk ' " uk ' " x
j
.
uk ' p'= = " (12.52)
" x " x " x
p' j p'
Korzystając z (10.52) można wzór (12.52) zapisać jako
" uk ' " uk ' .
uk ' p'= = "a (12.53)
jp'
" x " x
p' j
Ze względu na to, że funkcja cosinus jest funkcją parzystą można zapisać
Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki AlmaMater
Dr inż. Janusz Dębiński
12. ANALIZA STANU ODKSZTAACENIA 13
a =a (12.54)
jp' p' j
czyli kosinus kąta między osią j a osią p' równa się kosinusowi między osią p' a osią j. Wzór (12.53) można
więc zapisać
" uk ' " uk ' .
uk ' p '= = "a (12.55)
p ' j
" x " x
p ' j
Z prawa transformacji wektora (10.50)
uk '=ak ' i"ui . (12.56)
Podstawiając (12.56) do (12.55) otrzymano
ak ' i"ui
śą źą"a =ak "a "ui .
(12.57)
uk ' p'=
p' j ' i p' j , j
" x
j
Z równania (12.57) widać, że gradienty przemieszczeń tworzą tensor drugiego rzędu.
" u " u " xi .
p' p'
u = = " (12.58)
p' k '
" xk ' " xi " xk '
Korzystając z (10.52) można wzór (12.58) zapisać jako
" u " up'
p'
up' k '= = "aik ' . (12.59)
" xk ' " xi
Wzór (12.59) można zapisać
" u " up'
p'
u = = "ak ' i . (12.60)
p' k '
" xk ' " xi
Z prawa transformacji wektora (10.50)
Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki AlmaMater
Dr inż. Janusz Dębiński
12. ANALIZA STANU ODKSZTAACENIA 14
.
u =a "u (12.61)
p ' p ' j j
Podstawiając (12.61) do (12.60) otrzymano
a "u
śą źą"a =ak "a "u .
p' j j
(12.62)
u =
p' k '
" xi k ' i ' i p' j j , i
Podstawiając (12.57) i (12.62) do (12.51) otrzymano
1"
,
ąk ' p'= ak ' i"a "ui , jąak ' i"a "u (12.63)
śą źą
p' j p' j j , i
2
który będzie miał postać
1
ąk ' p'=ak ' i"a " " ui , jąu =ak ' i"a "ąij . (12.64)
śą źą
p' j j , i p ' j
2
Ze wzoru (12.64) widać, że (12.49) stanowi tensor drugiego rzędu nazywany tensorem odkształcenia. Tensor
ten jest tensorem symetrycznym.
W podobny sposób można udowodnić, że współrzędne wij tworzą także tensor drugiego rzędu. Jednakże w
przeciwieństwie do tensora odkształcenia tensor ten jest tensorem skośnie symetrycznym (10.103). Tensor ten
nazywa się tensorem obrotu i ma postać
ą11 ą12 ą13 0 ą12 ą13
ąij= =
ą21 ą22 ą23 -ą12 0 ą23 . (12.65)
[ ] [ ]
ą31 ą32 ą33 -ą13 -ą23 0
We wzorze (12.65) wykorzystano właściwość tensora skośnie symetrycznego (10.104).
12.4 Odkształcenia główne
Podobnie jak dla tensora naprężenia istnieje pewien układ współrzędnych, w którym odkształcenia
liniowe będą ekstremalne natomiast odkształcenia postaciowe będą wynosiły zero. Odkształcenia główne
oblicza się z równania charakterystycznego
,
(12.66)
ą3-I1"ą2ąI "ą-I =0
2 3
Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki AlmaMater
Dr inż. Janusz Dębiński
12. ANALIZA STANU ODKSZTAACENIA 15
w którym I1, I2 i I3 są niezmiennikami stanu odkształcenia. Pierwszy niezmiennik ma postać
I =ąkk=ą11ąą22ąą33 . (12.67)
1
Porównując wzór (12.67) i (12.10) można stwierdzić, że pierwszy niezmiennik stanu odkształcenia równa się
względnemu odkształceniu objętościowemu.
Drugi niezmiennik stanu odkształcenia ma postać
"#"ąij#" "#"ąij#" "#"ąij#" "#"ąij#"
,
I = = ą ą (12.68)
2
"ąkk "ą11 "ą22 "ą33
który można przedstawić w postaci
ą11 ą12 ą11 ą13 ą22 ą23 .
I = ą ą
(12.69)
2
#" #" #" #" #" #"
ą21 ą22 ą31 ą33 ą32 ą33
Trzeci niezmiennik stanu odkształcenia ma postać
ą11 ą12 ą13
I =#"ąij#"=
ą21 ą22 ą23 . (12.70)
3
#" #"
ą31 ą32 ą33
Rozwiązaniem równania (12.66) są trzy odkształcenia główne, które można uporządkować w sposób
ąI=maxśąą1 ,ą2 ,ą3źą
(12.71)
ąIII=minśąą1 ,ą2 ,ą3źą
natomiast
ąIII"ąąII"ąąI . (12.72)
Odkształcenia eI, eII, eIII nazywa się odkształceniami głównymi uporządkowanymi.
Chcąc wyznaczyć kierunki główne odpowiadające poszczególnym odkształceniom głównym należy wartości
odkształceń uporządkowanych wstawić do układu równań podobnego do (11.72). Układ równań będzie miał w
Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki AlmaMater
Dr inż. Janusz Dębiński
12. ANALIZA STANU ODKSZTAACENIA 16
przypadku stanu odkształcenia postać
ą11-ąI "nśą1źąąą21"nśą1źąąą31"nśą1źą=0
śą źą
1 2 3
.
(12.73)
ą12"nśą1źąą ą22-ąI "nśą1źąąą32"nśą1źą=0
śą źą
1 2 3
{
ą13"nśą1źąąą23"nśą1źąą ą33-ąI "nśą1źą=0
śą źą
1 2 3
Układ równań (12.73) jest układem równań jednorodnym, z którego można obliczyć jedynie stosunki
(1) (1) (1)
pomiędzy kosinusami kierunkowymi n , n , n . Chcąc wyznaczyć kierunki główne związane z
1 2 3
odkształceniem eI należy wstawić warunek, który muszą spełniać kosinusy kierunkowe n1(1), n2(1), n3(1) (na
podstawie (10.61))
2 2 2
.
(12.74)
nśą1źą ą nśą1źą ą nśą1źą =1
[ ] [ ] [ ]
1 2 3
Podstawiając pozostałe naprężenia główne można wyznaczyć pozostałe kosinusy kierunkowe. Zamiast jednego
z równań układu jednorodnego należy podstawić zależności
2 2 2
,
nśą2źą ą nśą2źą ą nśą2źą =1
[ ] [ ] [ ]
1 2 3
(12.75)
2 2 2
.
(12.76)
nśą3źą ą nśą3źą ą nśą3źą =1
[ ] [ ] [ ]
1 2 3
Kosinusy te będą tworzyły macierz transformacji w postaci
nśą1źą nśą1źą nśą1źą
1 2 3
(12.77)
nśą2źą nśą2źą nśą2źą .
1 2 3
[ ]
nśą3źą nśą3źą nśą3źą
1 2 3
Aby układ współrzędnych był układem prawoskrętnym musi być spełniony warunek
nśą1źą nśą1źą nśą1źą
1 2 3
=ą1 (12.78)
nśą2źą nśą2źą nśą2źą .
1 2 3
#"śą3źą #"
n1 nśą3źą nśą3źą
2 3
Jeżeli wyznacznik równa się minus jeden należy w jednym wierszu zmienić wszystkie znaki na przeciwne.
Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki AlmaMater
Dr inż. Janusz Dębiński
12. ANALIZA STANU ODKSZTAACENIA 17
12.5 Ekstremalne odkształcenia postaciowe
Położenie układu współrzędnych, w którym odkształcenia postaciowe przyjmują wartości ekstremalne
najwygodniej jest określić w układzie osi głównych ( e1 > e2 > e3). Wzory transformacyjne mają postać
2 2 2
ą1' 1'=a1' 1"ą1ąa1' 2"ą2ąa1' 3"ą3 ,
(12.79)
ą2' 2 '=a2' 1"ą1ąa2 ' 2"ą2ąa2' 3"ą3 ,
2 2 2
(12.80)
2 2 2
ą3' 3'=a3' 1"ą1ąa3' 2"ą2ąa3' 3"ą3 ,
(12.81)
ą1' 2'=a1' 1"a2 ' 1"ą1ąa1' 2"a2' 2"ą2ąa1' 3"a2' 3"ą3 ,
(12.82)
ą1' 3'=a1' 1"a3' 1"ą1ąa1' 2"a3' 2"ą2ąa1' 3"a3' 3"ą3 ,
(12.83)
ą2' 3'=a2' 1"a3' 1"ą1ąa2' 2"a3' 2"ą2ąa2' 3"a3' 3"ą3 . (12.84)
Ekstremalne odkształcenia postaciowe będą się znajdowały na płaszczyznach nachylonych pod kątem 45
stopni w stosunku do układu osi głównych.
Dla układu współrzędnych obróconemu o 45 stopni wokół osi X3 macierz transformacji ma postać (kąt
dodatni kręci od osi X1 do X2)
2 2
ćą ćą
a1' 1 a1' 2 a1' 3 2 2 0
.
ai ' j= = (12.85)
a2' 1 a2' 2 a2' 3
2 2
ćą ćą
- 0
[ ]
a3' 1 a3' 2 a3' 3 2 2
[ ]
0 0 0
Odkształcenia w układzie transponowanym opisuje tensor odkształcenia
ą1ąą2 ą1-ą2
- 0
2 2
.
ąi ' j'= (12.86)
ą1-ą2 ą1ąą2
- 0
2 2
[ ]
0 0 0
Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki AlmaMater
Dr inż. Janusz Dębiński
12. ANALIZA STANU ODKSZTAACENIA 18
Dla układu współrzędnych obróconemu o 45 stopni wokół osi X1 (kąt dodatni kręci od osi X2 do osi X3)
macierz transformacji ma postać
0 0 0
a1' 1 a1' 2 a1' 3
2 2
ćą ćą
0
.
ai ' j= = (12.87)
a2' 1 a2' 2 a2' 3 2 2
[ ]
2 2
a3' 1 a3' 2 a3' 3 0 -ćą ćą
[ ]
2 2
Odkształcenia w układzie transponowanym opisuje tensor odkształcenia
0 0 0
ą2ąą3 ą2-ą3
0 -
.
ąi ' j'= (12.88)
2 2
ą2-ą3 ą2ąą3
[ ]
0 -
2 2
Dla układu współrzędnych obróconemu o 45 stopni wokół osi X2 (kąt dodatni kręci od osi X3 do osi X1)
macierz transformacji ma postać
2 2
ćą ćą
a1' 1 a1' 2 a1' 3 2 0 - 2
.
ai ' j= = (12.89)
a2' 1 a2' 2 a2' 3 0 0 0
[ ]
2 2
a3' 1 a3' 2 a3' 3 ćą ćą
[ ]
0
2 2
Odkształcenia w układzie transponowanym opisuje tensor odkształcenia
ą3ąą1 ą3-ą1
0 -
2 2
.
ąi ' j'= (12.90)
0 0 0
ą3-ą1 ą3ąą1
[ ]
- 0
2 2
Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki AlmaMater
Dr inż. Janusz Dębiński
12. ANALIZA STANU ODKSZTAACENIA 19
Ogólnie można powiedzieć, że pierwsze z ekstremalnych odkształceń postaciowych wyznacza się ze wzoru
ą1-ą2 ,
(12.91)
ąmaxI /minI=ą
2
a odpowiadające mu odkształcenia liniowe wyznacza się ze wzoru
ą1ąą2 .
(12.92)
ąą I=
2
Drugie z ekstremalnych odkształceń postaciowych wyznacza się ze wzoru
ą2-ą3 ,
(12.93)
ąmaxII /minII=ą
2
a odpowiadające mu odkształcenia liniowe wyznacza się ze wzoru
ą2ąą3 .
(12.94)
ąą II=
2
Trzecie z ekstremalnych odkształceń postaciowych wyznacza się ze wzoru
ą3-ą1 ,
(12.95)
ąmaxIII /minIII=ą
2
a odpowiadające mu odkształcenia liniowe wyznacza się ze wzoru
ą3ąą1 .
(12.96)
ąą III=
2
12.6 Rozkład tensora odkształcenia na aksjator i dewiator
Tensor odkształcenia, tak samo jak i każdy inny symetryczny tensor rzędu drugiego można rozłożyć na
część aksjatorową (część kulistą) oraz część dewiatorową. Zgodnie ze wzorem (10.107) aksjator będzie
wynosił
Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki AlmaMater
Dr inż. Janusz Dębiński
12. ANALIZA STANU ODKSZTAACENIA 20
1"ą
ąśąOźą= "ąij . (12.97)
ij pp
3
Aksjator można przedstawić w formie tablicy
1
"ąpp 0 0
3
1"ą 0 .
(12.98)
ąśąOźą= 0
ij pp
3
1"ą
[ ]
0 0
pp
3
We wzorach (12.97) i (12.98) e równa się pierwszemu niezmiennikowi tensora naprężenia. Zgodnie ze
pp
wzorem (10.109) dewiator tensora naprężenia będzie wynosił
1"ą
ą11- ą12 ą13
pp
3
1 1
(12.99)
ąśąDźą=ąij- "ąpp"ąij= ą21 ą22- "ąpp ą23 .
ij
3
3
1"ą
[ ]
ą31 ą32 ą33-
pp
3
Dla tensora odkształcenia w osiach głównych rozkład na aksjator i dewiator będzie miał postać
1"ą 0 0 ąI- 1"ą
0 0
pp pp
3 3
1"ą 0 ą 0 ąII- 1"ą
,
(12.100)
ągl= 0 0
pp pp
3 3
1"ą 1"ą
[ ][ ]
0 0 0 0 ąIII-
pp pp
3 3
w którym
ąpp=ąIąąIIąąIII . (12.101)
Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki AlmaMater
Dr inż. Janusz Dębiński
12. ANALIZA STANU ODKSZTAACENIA 21
Jak łatwo sprawdzić pierwszy niezmiennik dewiatora (suma odkształceń na głównej przekątnej) równa się
zero.
Dewiator tensora odkształcenia w osiach głównych można zapisać jako
ąśąIDźą 0 0
Dźą
.
ąśąDźą= (12.102)
0 ąśąII 0
ij
D
[ ]
0 0 ąśąIIIźą
Korzystając z zależności
Dźą Dźą
ąśąIII =-ąśąIDźą-ąśąII (12.103)
wzór (12.102) będzie miał postać
ąśąIDźą 0 0
Dźą
,
ąśąDźą= (12.104)
0 ąśąII 0
ij
Dźą
[ ]
0 0 -ąśąIDźą-ąśąII
który można przedstawić jako sumę dwóch tensorów
0 0 0
ąśąIDźą 0 0
Dźą
.
ąśąDźą= ą 0 ąśąII 0 (12.105)
0 0 0
ij
Dźą
[ ]
[ ]
0 0 -ąśąIDźą
0 0 -ąśąII
Każdy z tych tensorów reprezentuje stan odkształcenia nazywany czystym odkształceniem postaciowym. Dla
pierwszego z tensorów zgodnie ze wzorem (12.90) ekstremalne odkształcenia postaciowe wynoszą
-ąśąIDźąąąśąIDźą -ąśąIDźą-ąśąIDźą
0 -
0 0 ąśąIDźą
2 2
.
(12.106)
ąi ' j '= 0 0 0 =
0 0 0
[ ]
-ąśąIDźą-ąśąIDźą -ąśąIDźąąąśąIDźą
ąśąIDźą 0 0
[ ]
- 0
2 2
Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki AlmaMater
Dr inż. Janusz Dębiński
12. ANALIZA STANU ODKSZTAACENIA 22
Dla drugiego z tensorów zgodnie ze wzorem (12.88) ekstremalne odkształcenia postaciowe wynoszą
0 0 0
Dźą Dźą Dźą Dźą
ąśąII ą -ąśąII ąśąII - -ąśąII
0 0 0
śą źą śą źą
0 -
Dźą
ąi ' j'= = 0 0 -ąśąII . (12.107)
2 2
Dźą Dźą Dźą Dźą Dźą
[ ]
ąśąII - -ąśąII ąśąII ą -ąśąII 0 -ąśąII 0
śą źą śą źą
[ ]
0 -
2 2
Rysunek 12.6 przedstawia dwa czyste ścinania reprezentowane przez tensory (12.105).
Dźą Dźą
ąśąID źą ąśąIDźą ąśąII ąśąII
X III
X I 2 2 2 2
X III X II
Rys. 12.6. Dwa czyste ścinania.
Korzystając z zależności
Dźą Dźą
ąśąII =-ąśąIDźą-ąśąIII (12.108)
wzór (12.102) będzie miał postać
ąśąIDźą 0 0
Dźą
.
(12.109)
ąśąDźą= -ąśąIDźą-ąśąIII 0
0
ij
D
[ ]
0 0 ąśąIIIźą
który można przedstawić jako sumę dwóch tensorów
Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki AlmaMater
Dr inż. Janusz Dębiński
I
II
II
śą
D
źą
śą
D
źą
2
2
I
śą
D
źą
śą
D
źą
2
2
ą
ą
ą
ą
śą
ą
ą
śą
D
D
źą
I
źą
II
12. ANALIZA STANU ODKSZTAACENIA 23
ąśąIDźą 0 0 0 0 0
Dźą
.
ąśąDźą= ą 0 -ąśąIII 0 (12.110)
0 -ąśąIDźą 0
ij
[ ] Dźą
[ ]
0 0 0 0 0 ąśąIII
Dla pierwszego tensora zgodnie z (12.86) ekstremalne odkształcenia postaciowe wynoszą
ąśąIDźąą -ąśąIDźą ąśąIDźą- -ąśąIDźą
śą źą śą źą
- 0
0 -ąśąIDźą 0
2 2
.
ąi ' j'= (12.111)
ąśąIDźą- -ąśąIDźą ąśąIDźąą -ąśąIDźą = -ąśąIDźą 0 0
śą źą śą źą
]
- 0
0 0 0
2 2
[ ][
0 0 0
Dla drugiego tensora zgodnie z (12.88) ekstremalne odkształcenia postaciowe wynoszą
0 0 0
Dźą Dźą D D
-ąśąIII ąąśąIII -ąśąIIIźą-ąśąIIIźą 0 0 0
0 -
D
ąi ' j'= = 0 0 ąśąIIIźą . (12.112)
2 2
Dźą Dźą Dźą Dźą
Dźą
[ ]
-ąśąIII -ąśąIII -ąśąIII ąąśąIII
0 ąśąIII 0
[ ]
0 -
2 2
Rysunek 12.7 przedstawia dwa czyste ścinania reprezentowane przez tensory (12.110).
Dźą D
ąśąIDźą ąśąIDźą
ąśąIII ąśąIII źą
X III
X II 2 2
2 2
X I
X II
Rys. 12.7. Dwa czyste ścinania.
Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki AlmaMater
Dr inż. Janusz Dębiński
2
ą
I
I
śą
D
źą
śą
D
źą
2
2
ą
ą
III
III
śą
D
źą
śą
D
źą
2
ą
śą
ą
D
śą
ą
źą
D
III
źą
I
12. ANALIZA STANU ODKSZTAACENIA 24
Korzystając z zależności
Dźą D
(12.113)
ąśąIDźą=-ąśąII -ąśąIIIźą
wzór (12.102) będzie miał postać
Dźą Dźą
-ąśąII -ąśąIII 0 0
Dźą
.
ąśąDźą= (12.114)
0 ąśąII 0
ij
D
[ ]
0 0 ąśąIIIźą
który można przedstawić jako sumę dwóch tensorów
Dźą
Dźą
-ąśąII 0 0 -ąśąIII 0 0
Dźą .
ąśąDźą= ą (12.115)
0 0 0
0 ąśąII 0
ij
Dźą
[ ]
[ ]
0 0 ąśąIII
0 0 0
Dla pierwszego tensora zgodnie z (12.86) ekstremalne odkształcenia postaciowe wynoszą
Dźą Dźą Dźą Dźą
-ąśąII ąąśąII -ąśąII -ąśąII
- 0 Dźą
0 ąśąII 0
2 2
Dźą Dźą Dźą Dźą Dźą .
(12.116)
ąi ' j'=
-ąśąII -ąśąII -ąśąII ąąśąII = ąśąII 0 0
- 0
0 0 0
2 2
[ ][ ]
0 0 0
Dla drugiego tensora zgodnie z (12.90) ekstremalne odkształcenia postaciowe wynoszą
Dźą Dźą Dźą D
ąśąIII ą -ąśąIII ąśąIII - -ąśąIIIźą
śą źą śą źą
0 - Dźą
0 0 -ąśąIII
2 2
.
ąi ' j'= = (12.117)
0 0 0 0 0 0
D
Dźą D Dźą Dźą ]
ąśąIII - -ąśąIIIźą ąśąIII ą -ąśąIII -ąśąIIIźą 0 0
śą źą śą źą
[ ][
- 0
2 2
Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki AlmaMater
Dr inż. Janusz Dębiński
12. ANALIZA STANU ODKSZTAACENIA 25
Rysunek 12.8 przedstawia dwa czyste ścinania reprezentowane przez tensory (12.115).
Dźą Dźą
Dźą Dźą
ąśąII ąśąII
ąśąIII ąśąIII
X I
X II 2 2
2 2
X I X III
Rys. 12.8. Dwa czyste ścinania.
12.7 Płaski stan odkształcenia
Płaski stan odkształcenia jest szczególnym przypadkiem stanu odkształcenia. Występuje on na przykład
wtedy, gdy wszystkie odkształcenia z indeksem 3 są równe zero. Tensor odkształcenia będzie miał w układzie
współrzędnych X1X2 postać
ą11 ą12 0
.
ąij= (12.118)
ą21 ą22 0
[ ]
0 0 0
Płaski stan odkształcenia może występować w długiej ścianie oporowej, w której obciążenie w kierunku osi X3
nie zmienia się natomiast obciążeniem ściany oporowej w kierunku osi X1 może być na przykład parcie wody
lub parcie gruntu p(x2). Ścianę taką przedstawia rysunek 12.9.
Rozpatrując wycięty myślowo element ściany należy stwierdzić, że aby element ten był poddany płaskiemu
stanowi odkształcenia muszą się pojawić naprężenia s33 czyli tensor naprężenia stowarzyszony z płaskim
stanem odkształcenia będzie miał postać
ą11 ą12 0
.
ąij=
ą21 ą22 0 (12.119)
[ ]
0 0 ą33
Ogólnie można stwierdzić, że płaskiemu stanowi odkształcenia nie towarzyszy płaski stan naprężenia.
Zostanie do dokładnie omówione w następnym wykładzie.
Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki AlmaMater
Dr inż. Janusz Dębiński
III
III
śą
D
źą
śą
D
źą
2
2
II
II
śą
D
źą
śą
D
źą
2
2
ą
ą
ą
ą
śą
ą
śą
ą
D
D
źą
II
źą
III
12. ANALIZA STANU ODKSZTAACENIA 26
X2
X1
X3
Rys. 12.9. Ściana oporowa.
Ze względu na podobieństwa pomiędzy tensorem odkształcenia i tensorem naprężenia wzory w płaskim stanie
odkształcenia będą podobne do wzorów dla płaskiego stanu naprężenia opisanych w punkcie 7.5. Zamiast
naprężeń normalnych będą występowały odpowiednie odkształcenia liniowe natomiast zamiast naprężeń
stycznych będą występowały odkształcenia postaciowe. Indeks X będzie się równał indeksowi 1 a indeks Y
indeksowi 2. Przykładowe odkształcenia liniowe i postaciowe przedstawia rysunek 12.10.
X2
X2
2"ą12=2"ą21
X1
dx1 ądx1 X1
Rys. 12.10. Odkształcenia liniowe i postaciowe w płaskim stanie odkształcenia.
Wzory transformacyjne będą miały dla płaskiego stanu odkształcenia postać
Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki AlmaMater
Dr inż. Janusz Dębiński
2
ą
dx
2
dx
33
ą
p
(
x
)
2
33
ą
12. ANALIZA STANU ODKSZTAACENIA 27
ą11ąą22 ą11-ą22
,
ą1' 1'= ą "cosśą2"ąźąąą12"sinśą2"ąźą
(12.120)
2 2
ą11ąą22 ą11-ą22
,
ą2' 2'= - "cosśą2"ąźą-ą12"sinśą2"ąźą
(12.121)
2 2
ą11-ą22
.
(12.122)
ą1' 2'=- "sinśą2"ąźąąą12"cosśą2"ąźą
2
Kąt nachylenia osi głównych wynosi
2"ą12 .
tg śą2"ąglźą= (12.123)
ą11-ą22
Podstawiając wartość kąta głównego do wzorów (12.120) i (12.121) można uzyskać wartości odkształceń
głównych. Wartości te można sprawdzić za pomocą wzoru
2
ą11ąą22 ą11-ą22 2 .
(12.124)
ą1/2= ą ąą12
śą źą
2 2
ćą
Kąt nachylenia ekstremalnych odkształceń postaciowych można obliczyć ze wzoru
ą11-ą22 .
tg śą2"ąpostźą=- (12.125)
2"ą12
Podstawiając wartość kąta apost do wzoru (12.122) można uzyskać wartość ekstremalnych odkształceń
postaciowych. Wartość tę można sprawdzić za pomocą wzoru
2
ą11-ą22 2 .
(12.126)
ą12 ext=ą ąą12
śą źą
2
ćą
Podstawiając wartość kąta a do wzorów (12.120) i (12.121) można uzyskać wartość odkształceń liniowych
post
odpowiadających ekstremalnym odkształceniom postaciowym. Wartości te można sprawdzić za pomocą
wzoru
Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki AlmaMater
Dr inż. Janusz Dębiński
12. ANALIZA STANU ODKSZTAACENIA 28
ą11ąą22 .
(12.127)
ą11 post=ą22 post=
2
12.8 Tensor odkształcenia dla odkształceń skończonych
Gdy ciało odkształcalne poddane jest działaniu obciążenia, to poszczególne punkty poruszają się, co dla
obserwatora zewnętrznego widoczne jest jako przemieszczanie i obrót poszczególnych jego części.
Najwygodniejszym sposobem rozróżnienia odkształcenia ciała i jego ruchu jako bryły sztywnej jest zbadanie
zmian odległości pomiędzy dwoma punktami położonymi bardzo blisko siebie. Ciało, które zostało
odkształcone i przemieszczone pod wpływem sił czynnych i biernych przedstawia rysunek 12.11.
X3=x3
P2
P1
A'(xi)
B'(xi+dxi)
A(xi)
R2
R1
B(xi+dxi)
X2=x2
X1=x1
Rys. 12.11. Ciało pod wpływem działania sił czynnych i biernych.
Punkt A w konfiguracji pierwotnej ma współrzędne x natomiast po odkształceniu w konfiguracji aktualnej
i
punkt A przemieścił się do punktu A' o współrzędnych xi. Podobnie punkt B w konfiguracji pierwotnej znalazł
się w konfiguracji aktualnej w punkcie B'. Pierwotną odległość ds0 pomiędzy punktami A i B oblicza się z
zależności
2 2 2 2
(12.128)
ds0 = dx1 ą dx2 ą dx3 =dxi"dxi .
śą źą śą źą śą źą śą źą
Odległość punktów A' i B' po odkształceniu oblicza się ze wzoru
Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki AlmaMater
Dr inż. Janusz Dębiński
d
źą
s
A
śą
u
Śą
źą
B
śą
u
Śą
d
s
0
12. ANALIZA STANU ODKSZTAACENIA 29
2 2 2
(12.129)
śądsźą2= d ą1 ą d ą2 ą d ą3 =d ąi"d ąi .
śą źą śą źą śą źą
Poprzednio zakładano, że odkształcenia są bardzo małe. Obecnie nie będą nakładane na odkształcenia żadne
ograniczenia. Odkształcenia takie nazywają się odkształceniami skończonymi.
Opisując stan odkształcenia ciała można posłużyć się współrzędnymi punktów w konfiguracji pierwotnej xi.
Opis taki nazywa się opisem materialnym lub opisem Lagrange'a. Można się także posłużyć współrzędnymi
w konfiguracji aktualnej xi. Opis taki nazywa się opisem przestrzennym lub opisem Eulera.
W opisie Lagrange'a współrzędne w konfiguracji aktualnej (po odkształceniu) wyraża się za pomocą
współrzędnych w konfiguracji pierwotnej. Wektor przemieszczenia punktu A ma współrzędne
(12.130)
uśą Aźą=ui=ąi-xi .
i
Wektor przemieszczenia punktu B ma współrzędne
uśąBźą= ąiąd ąi - xiądxi . (12.131)
śą źą śą źą
i
Z równania (12.130) można otrzymać zależność
ąi=uiąxi=ui x1 , x2 , x3 ąxi . (12.132)
śą źą
Po obliczeniu różniczek z lewej i prawej strony otrzymano
" ui " ui " ui " ui
d ąi= "dx1ą "dx2ą "dx3ądxi= "dx ądxi . (12.133)
j
" x1 " x2 " x3 " x
j
Długość odcinak A'B' w konfiguracji aktualnej wynosi
" ui " ui
śądsźą2=d ąi"d ąi= "dx ądxi " "dxkądxi . (12.134)
j
śą źąśą źą
" x " xk
j
Po wymnożeniu otrzymano
" ui " ui " ui " ui
śądsźą2= "dx " "dxką "dx "dxią "dxk"dxiądxi"dxi . (12.135)
j j
" x " xk " x " xk
j j
Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki AlmaMater
Dr inż. Janusz Dębiński
12. ANALIZA STANU ODKSZTAACENIA 30
W członie pierwszym należy zamienić wskazniki i na k oraz k na i. W członie trzecim należy zmienić
wskazniki i na j oraz k na i. Wzór (12.135) będzie miało postać
" uk " uk " ui " u
j
śądsźą2= "dx " "dxią "dx "dxią "dxi"dx ądxi"dxi . (12.136)
j j j
" x " xi " x " xi
j j
Różnica odległości w konfiguracji aktualnej i konfiguracji pierwotnej wynosi
" uk " uk " ui " u
2
j
śądsźą2- ds0 = "dx " "dxią "dx "dxią "dxi"dx ądxi"dxi-dxi"dxi , (12.137)
śą źą
j j j
" x " xi " x " xi
j j
który można przedstawić w formie
" ui " u " uk " uk .
2
j
śądsźą2- ds0 =dxi"dx " ą ą " (12.138)
śą źą
j
śą źą
" x " xi " xi " x
j j
Wzór (12.138) można przekształcić
2
śądsźą2- ds0 L 1"
" ui " u " uk " uk .
śą źą
j
(12.139)
=ąij= ą ą "
śą źą
2"dxi"dx 2 " x " xi " xi " x
j j j
Wzór (12.139) określa tensor dla odkształceń skończonych Lagrange'a (Greena). Jest to zbiór dziewięciu
bezwymiarowych wartości skalarnych, z których tylko sześć jest niezależnych ze względu na
L
(12.140)
ąij=ąL .
ji
Dla i=1 i j=1 wzór (12.139) będzie miał postać
" u1 1" " u1 " u1 " u2 " u2 " u3 " u3 .
L
ą11= ą " ą " ą " (12.141)
śą źą
" x1 2 " x1 " x1 " x1 " x1 " x1 " x1
Dla i=2 i j=2 wzór (12.139) będzie miał postać
Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki AlmaMater
Dr inż. Janusz Dębiński
12. ANALIZA STANU ODKSZTAACENIA 31
" u2 1" " u1 " u1 " u2 " u2 " u3 " u3 .
L
ą22= ą " ą " ą " (12.142)
śą źą
" x2 2 " x2 " x2 " x2 " x2 " x2 " x2
Dla i=3 i j=3 wzór (12.139) będzie miał postać
" u3 1" " u1 " u1 " u2 " u2 " u3 " u3 .
L
ą33= ą " ą " ą " (12.143)
śą źą
" x3 2 " x3 " x3 " x3 " x3 " x3 " x3
Dla i=1 i j=2 wzór (12.139) będzie miał postać
1" " u1 ą " u2 ą " u1"" u1 ą " u2"" u2 ą " u3"" u3 .
L L
ą12=ą21= (12.144)
śą źą
2 " x2 " x1 " x1 " x2 " x1 " x2 " x1 " x2
Dla i=2 i j=3 wzór (12.139) będzie miał postać
" u2 " u3 " u1 " u1 " u2 " u2 " u3 " u3 .
1
L L
ą23=ą32= " ą ą " ą " ą " (12.145)
śą źą
2 " x3 " x2 " x2 " x3 " x2 " x3 " x2 " x3
Dla i=1 i j=3 wzór (12.139) będzie miał postać
" u1 " u3 " u1 " u1 " u2 " u2 " u3 " u3 .
1
L L
ą13=ą31= " ą ą " ą " ą " (12.146)
śą źą
2 " x3 " x1 " x1 " x3 " x1 " x3 " x1 " x3
W opisie Eulera współrzędne w konfiguracji pierwotnej wyraża się za pomocą współrzędnych w konfiguracji
aktualnej. Z równania (12.130) można otrzymać zależność
xi=ąi-ui=ąi-ui ą1 ,ą2 ,ą3 . (12.147)
śą źą
Po obliczeniu różniczek z lewej i prawej strony otrzymano
" ui " ui " ui " ui .
d xi=d ąi- "d ą1ą "d ą2ą "d ą3 =d ąi- "d ą (12.148)
j
śą źą
"ą1 "ą2 "ą3 "ą
j
Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki AlmaMater
Dr inż. Janusz Dębiński
12. ANALIZA STANU ODKSZTAACENIA 32
Długość odcinak AB w konfiguracji pierwotnej wynosi
" ui " ui
2
ds0 =dxi"dxi= d ąi- "d ą " d ąi- "d ąk . (12.149)
śą źą
j
śą źąśą źą
"ą "ąk
j
Po wymnożeniu otrzymano
" ui " ui " ui " ui
2
ds0 =d ąi"d ąi-d ąi" "d ąk-d ąi" "d ą ą "d ą " "d ąk (12.150)
śą źą
j j
"ąk "ą "ą "ąk
j j
W drugim członie należy zmienić wskaznik i na j oraz k na i. W czwartym członie należy zmienić wskaznik i
na k oraz k na i. W wyniku otrzymano
" u " ui " uk " uk
2
j
ds0 =d ąi"d ąi-d ą " "d ąi-d ąi" "d ą ą "d ą " "d ąi (12.151)
śą źą
j j j
"ąi "ą "ą "ąi
j j
Różnica odległości w konfiguracji aktualnej i konfiguracji pierwotnej wynosi
" u " ui
2
j
śąds2źą- ds0 =d ąi"d ąi-d ąi"d ąiąd ą " "d ąiąd ąi" "d ą
śą źą
j j
"ąi "ą
j
,
(12.152)
" uk " uk
- "d ą " "d ąi
j
"ą "ąi
j
który można przedstawić w formie
" ui " u " uk " uk .
2
j
śąds2źą- =d ąi"d ą " ą - " (12.153)
śąds źą
0 j
śą źą
"ą "ąi "ąi "ą
j j
Wzór (12.153) można przedstawić w formie
2
śąds2źą- ds0 E 1
" ui " u " uk " uk .
śą źą
j
(12.154)
=ąij = " ą - "
śą źą
2"d ąi"d ą 2 "ą "ąi "ąi "ą
j j j
Wzór (12.154) określa tensor dla odkształceń skończonych Eulera (Almansiego). Jest to zbiór dziewięciu
Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki AlmaMater
Dr inż. Janusz Dębiński
12. ANALIZA STANU ODKSZTAACENIA 33
bezwymiarowych wartości skalarnych, z których tylko sześć jest niezależnych ze względu na
E
(12.155)
ąij =ąE .
ji
Dla i=1 i j=1 wzór (12.154) będzie miał postać
" u1 1 " u1 " u1 " u2 " u2 " u3 " u3 .
E
ą11= - " " ą " ą " (12.156)
śą źą
"ą1 2 "ą1 "ą1 "ą1 "ą1 "ą1 "ą1
Dla i=2 i j=2 wzór (12.154) będzie miał postać
" u2 1" " u1 " u1 " u2 " u2 " u3 " u3 .
E
ą22= - " ą " ą " (12.157)
śą źą
"ą2 2 "ą2 "ą2 "ą2 "ą2 "ą2 "ą2
Dla i=3 i j=3 wzór (12.154) będzie miał postać
" u3 1" " u1 " u1 " u2 " u2 " u3 " u3 .
E
ą33= - " ą " ą " (12.158)
śą źą
"ą3 2 "ą3 "ą3 "ą3 "ą3 "ą3 "ą3
Dla i=1 i j=2 wzór (12.154) będzie miał postać
1" " u1 ą " u2 - " u1"" u1- " u2"" u2- " u3"" u3 .
E E
ą12=ą21= (12.159)
śą źą
2 "ą2 "ą1 "ą1 "ą2 "ą1 "ą2 "ą1 "ą2
Dla i=2 i j=3 wzór (12.154) będzie miał postać
1" " u2 ą " u3- " u1"" u1- " u2"" u2 - " u3"" u3 .
E E
ą23=ą32= (12.160)
śą źą
2 "ą3 "ą2 "ą2 "ą3 "ą2 "ą3 "ą2 "ą3
Dla i=1 i j=3 wzór (12.154) będzie miał postać
Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki AlmaMater
Dr inż. Janusz Dębiński
12. ANALIZA STANU ODKSZTAACENIA 34
1" " u1ą " u3 - " u1"" u1 - " u2"" u2 - " u3"" u3 .
E E
ą13=ą31= (12.161)
śą źą
2 "ą3 "ą1 "ą1 "ą3 "ą1 "ą3 "ą1 "ą3
Opis materialny jest stosowany w teorii konstrukcji, ponieważ warunki podparcia znane są w konfiguracji
pierwotnej. W opisie tym kostka elementarna jest prostopadłościanem przed odkształceniem.
Opis przestrzenny jest stosowany przede wszystkim w mechanice płynów. W opisie tym elementarna kostka
jest prostopadłościanem w konfiguracji aktualnej. Porównanie obu opisów przedstawia rysunek 12.12.
D'
C'
x2
X2
C'
D'
C
D
D C
A'
B'
A' B'
B
A A
B
X1 x1
Opis materialny Lagrange'a Opis przestrzenny - Eulera
A, B, C, D konfiguracja pierwotna
A', B', C', D' konfiguracja aktualna
Rys. 12.12. Opis materialny i opis przestrzenny.
Jeżeli przemieszczenia ui będą małe to pochodne przemieszczeń także będą małe a iloczyny pochodnych
przemieszczeń będą wielkością małą wyższego rzędu i mogą zostać pominięte. Tensor Lagrange'a będzie miał
postać
1" " ui ą " u .
L j
ąij= (12.162)
śą źą
2 " x " xi
j
Tensor Eulera będzie miał postać
1" " ui ą " u .
E j
ąij = (12.163)
śą źą
2 "ą "ąi
j
Ponadto, gdy przemieszczenia są małe to różnica pomiędzy współrzędnymi xi i xi będzie pomijalnie mała.
Można przyjąć więc, że
Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki AlmaMater
Dr inż. Janusz Dębiński
źą
A
śą
źą
A
śą
u
Śą
u
Śą
12. ANALIZA STANU ODKSZTAACENIA 35
xiC"ąi , (12.164)
co daje w rezultacie tylko jeden tensor małych odkształceń, który ma postać
1" " ui ą " u .
L E j
ąij=ąij =ąij= (12.165)
śą źą
2 " x " xi
j
Równanie (12.165) jest identyczne z równaniem geometrycznym Cauchy'ego (12.35).
12.9 Równania nierozdzielności odkształceń
ui x1 , x2 , x3
W równaniach geometrycznych (12.35) lub (12.165) trzy funkcje przemieszczeń
śą źą
ąij x1 , x2 , x3
opisujące pole przemieszczeń służą do obliczenia sześciu funkcji opisujących pole
śą źą
ąij x1 , x2 , x3
odkształceń. Wynika stąd wniosek, że funkcje nie mogą być zupełnie dowolne. Powinny one
śą źą
spełniać jeszcze trzy dodatkowe warunki.
Chcąc wyznaczyć te trzy dodatkowe równania należy równanie (12.35) zróżniczkować dwa razy i zamienić
kolejne wskazniki. W efekcie można otrzymać
1"
ąij , kl= ui , jkląu
śą źą
j ,ikl
2
1
ąkl ,ij= " uk , lijąul , kij
śą źą
2
.
(12.166)
1"
ąik , jl= ui , kjląuk ,ijl
śą źą
2
1
ą = " u ąul , jik
śą źą
jl , ik j , lik
2
Następnie dwa pierwsze równania dodajemy stronami, a pozostałe równania odejmujemy. W wyniku tego
można otrzymać
1" 1"
ąij.kląąkl , ij-ąik , jl-ą = ui , jkląu ą uk , lijąul , kij
śą źą śą źą
jl ,ik j ,ikl
2 2
,
(12.167)
1" 1"
- ui , kjląuk ,ijl - u ąul , jik
śą źą śą źą
j , lik
2 2
które będzie miało postać
Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki AlmaMater
Dr inż. Janusz Dębiński
12. ANALIZA STANU ODKSZTAACENIA 36
1"
ąij.kląąkl ,ij-ąik , jl-ą = ui , jkląu ąuk , lijąul , kij .
śą
jl ,ik j ,ikl
2
(12.168)
-ui , kjl-uk , ijl-u -ul , jik
źą
j , lik
Grupując składniki podobne równanie (12.168) będzie miało postać
1"
ąij.kląąkl , ij-ąik , jl-ą = ui , jkl-ui , kjląu -u
śą
jl ,ik j ,ikl j , lik
.
2 (12.169)
ąuk , lij-uk ,ijląul , kij-ul , jik
źą
W przypadku funkcji ciągłych jakimi są funkcje przemieszczeń różniczkowanie cząstkowe nie zależy od
kolejności różniczkowania czyli można napisać
ui , jkl=ui , kjl
u =u
j , ikl j , lik
.
(12.170)
uk , lij=uk , ijl
ul , kij=ul , jik
Podstawiając wzór (12.170) do (12.169) otrzymano
.
ąij.kląąkl ,ij-ąik , jl-ą =0 (12.171)
jl , ik
Równanie to nazywa się równaniem nierozdzielności odkształceń. Wzór (12.171) oznacza 34 czyli 81
równań. Z analizy permutacji wskazników wynika, że tylko sześć z nich będzie niezależnych.
Dla i=k=1, j=l=2 równanie (12.171) będzie miało postać
.
2"ą12,12-ą11,22-ą22,11=0 (12.172)
Dla i=k=2, j=l=3 równanie (12.171) będzie miało postać
.
2"ą23,23-ą22,33-ą33,22=0 (12.173)
Dla i=k=3, j=l=1 równanie (12.171) będzie miało postać
.
2"ą31,31-ą33,11-ą11,33=0 (12.174)
Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki AlmaMater
Dr inż. Janusz Dębiński
12. ANALIZA STANU ODKSZTAACENIA 37
Dla i=j=1, k=2, l=3 równanie (12.171) będzie miało postać
.
ą11,23ąą23,11-ą12,13-ą13,12=0 (12.175)
Dla i=j=2, k=3, l=1 równanie (12.171) będzie miało postać
.
ą22,31ąą31,22-ą23,21-ą21,23=0 (12.176)
Dla i=j=3, k=1, l=2 równanie (12.171) będzie miało postać
.
ą33,12ąą12,33-ą31,32-ą32,31=0 (12.177)
Wprowadzając symbol permutacyjny (10.35) wzór (12.171) można inaczej zapisać jako
.
ąij=ą =eikm"e "ąkl , mn=0 (12.178)
ji jln
Tensor hij nazywa się tensorem niespójności. Równania nierozdzielności można także przedstawić w formie
macierzowej
ą11 ą12 ą13
ąij= =0
ą21 ą22 ą23 . (12.179)
[ ]
ą31 ą32 ą33
Współrzędne równowskaznikowe oznaczają równania (12.172), (12.173) i (12.174). Współrzędne
różnowskaznikowe oznaczają równania (12.175), (12.176) i (12.177).
Spełnienie równań (12.171) oznacza, że ośrodek, który był ciągły przed odkształceniem jest także ciągły po
odkształceniu. Każdemu punktowi materialnemu w konfiguracji pierwotnej odpowiada dokładnie jeden punkt
w konfiguracji aktualnej (po odkształceniu). W materiale nie powstaną więc dziury ani elementarne
prostopadłościany nie będą na siebie nachodzić.
Na początku tego punktu stwierdzono, że potrzeba tylko trzech dodatkowych równań, a tymczasem z
równania (12.171) wynika, że jest ich sześć. Okazuje się, że współrzędne tensora niespójności h nie są
ij
niezależne. Wewnątrz ciała spełnione mogą być tylko równania odpowiadające tylko równowskaznikowym lub
różnowskaznikowym współrzędnym tensora niespójności. Na powierzchni ciała muszą być już spełnione
wszystkie równania czyli wszystkie współrzędne tensora niespójności muszą się równać zero.
Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki AlmaMater
Dr inż. Janusz Dębiński
12. ANALIZA STANU ODKSZTAACENIA 38
Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki AlmaMater
Dr inż. Janusz Dębiński
12. ANALIZA STANU ODKSZTAACENIA 39
(12.1)
Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki AlmaMater
Dr inż. Janusz Dębiński
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
Analiza stanu naprezenia i odksztalcenia (IMiR)Analiza stanu naprężenia i odkształcenia6 Teoria stanu odkształcenia (2)TEORIA STANU ODKSZTAŁCENIACz 12 Analiza instrumentalna HPLCAnaliza stanu bhp Miniporadnikanaliza stanu naprezenAnaliza stanu naprężenia metodą elastoptycznąAnaliza stanu naprężeńWM Analiza stanu naprężeniawięcej podobnych podstron