WM 8. ANALIZA STANU NAPR
ŻENIA I ODKSZTAA
CENIA 1
8. ANALIZA STANU NAPR
ŻENIA I ODKSZTAA
CENIA
8.1. Stan naprężenia w punkcie
W punkcie 7.2 zapoznaliśmy się z podstawowym pojęciem wektora naprężenia, który służy do opisu
stanu naprężenia w punkcie. Aby jednoznacznie określić stan naprężenia w dowolnym punkcie należy
znać wektory naprężenia na trzech wzajemnie prostopadłych płaszczyznach.
Na każdej z tych trzech płaszczyzn określa się naprężenie normalne oraz dwie składowe naprężenia
stycznego. Graficznie stan naprężenia przedstawia się na ściankach elementarnego sześcianu w kartezjań-
skim układzie współrzędnych XYZ. Pierwszy indeks składowej stanu naprężenia opisuje nam wektor
normalny (prostopadły) do płaszczyzny, na której działa dana składowa naprężenia, drugi indeks określa
nam zwrot danej skÅ‚adowej stanu naprężenia. Naprężenia normalne majÄ… jeden indeks czyli ÃX, ÃY oraz ÃZ
natomiast naprężenia styczne majÄ… różne indeksy czyli Ä , Ä , Ä , Ä , Ä oraz Ä . Rysunek 8.1 a)
XY YX XZ ZX YZ ZY
przedstawia składowe stanu naprężenia zaznaczone na elementarnym sześcianie. Dana składowa stanu
naprężenia jest dodatnia jeżeli na ściankach dodatnich ma zwrot zgodny ze zwrotem osi układu współ-
rzędnych XYZ. Ścianki dodatnie zostały przedstawione na rysunku 8.1 a). Jak widać są to ścianki, które są
widoczne, jeżeli patrzymy na elementarny sześcian z punktu, który ma wszystkie współrzędne dodatnie.
Natomiast rysunek 8.1 b) przedstawia dodatnie naprężenia na ściankach ujemnych. Dodatnie naprężenia na
ściankach ujemnych będą miały zwroty przeciwne do zwrotów osi układu współrzędnych XYZ.
a) b)
Z
Z
ÃZ
ÄZY
ÄXY
ÄYZ
ÄXZ
ÄXZ ÃY
ÃY
ÄYZ
ÄXY
Y
Y
ÄZY
X
X
ÃZ
Rys. 8.1 .Stan naprężenia w punkcie
Jak więc widać aby opisać stan naprężenia w punkcie potrzebujemy 9 współrzędnych są to trzy
naprężenia normalne i sześć naprężeń stycznych. Wszystkie te współrzędne zapisuje się w tablicy nazywanej
tensorem naprężenia. Tensor ma więc postać
ÈÄ…X ÉÄ…XY ÉÄ…XZ
ÈÄ…= (8.1)
ÉÄ…YX ÈÄ…Y ÉÄ…YZ .
[ ]
ÉÄ…ZX ÉÄ…ZY ÈÄ…Z
Pierwszy wiersz tensora (8.1) stanowią składowe wektora naprężenia na płaszczyz
nie o normalnej X, drugi
składowe wektora naprężenia na płaszczyz
nie o normalnej Y trzeci natomiast składowe wektora naprężenia
na płaszczyz
nie o normalnej Z. Tensor naprężenia posiada ponadto właściwość, że jest symetryczny
względem przekątnej, na której znajdują się naprężenia normalne. Zachodzą więc zależności
Dr inż. Janusz Dębiński
X
Ã
X
Z
Ä
X
Y
Ä
X
Y
Ä
ZX
Ä
X
Ã
WM 8. ANALIZA STANU NAPR
ŻENIA I ODKSZTAA
CENIA 2
ÉÄ…XY=ÉÄ…YX
ÉÄ…XZ=ÉÄ…ZX . (8.2)
ÉÄ…YZ=ÉÄ…ZY
Stan naprężenia w punkcie opisuje więc sześć składowych tensora naprężenia.
Jeżeli jeden z trzech wektorów naprężenia, które opisują stan naprężenia w punkcie, jest równy zero
to stan taki nazywamy płaskim stanem naprężenia. Właśnie z takim stanem naprężenia mamy do czynienia
w punkcie przekroju belki lub ramy płaskiej. Wektor na płaszczyz
nie o normalnej Y wynosi zero. Rysunek
8.2 a) przedstawia składowe płaskiego stanu naprężenia na ściankach dodatnich natomiast rysunek 8.2 b)
przedstawia składowe płaskiego stanu naprężenia na ściankach ujemnych.
a) b)
Z
Z
ÃZ
ÄXZ
ÄXZ
Y
Y
ÃZ
X
X
Rys. 8.2. Płaski stan naprężenia
ÃZ
ÄZX
bok ujemny
X X
ÄXZ
ÃX ÃX
ÄXZ
bok dodatni
ÄZX
ÃZ
Z
Z
Rys. 8.3. Płaski stan naprężenia
Dla uproszczenia będziemy przedstawiać płaski stan naprężenia na elementarnym kwadracie w uk-
ładzie ZX, który przedstawiony jest na rysunku 8.3. Boki dodatnie będą bokami widocznymi, jeżeli będzie-
my patrzeć na elementarny kwadrat z punktu, który ma obie współrzędne dodatnie. Dodatnie naprężenie na
bokach dodatnich będzie miało zwrot zgodny ze zwrotem osi. Położenie osi Z w dół jest spowodowane
tym, że płaski stan naprężenia będziemy rozpatrywać w płaskich układach prętowych (belkach i ramach
płaskich), w których jak wiadomo oś Z skierowana jest w dół. Tensor naprężenia (8.1) opisujący stan
naprężenia będzie miał w przypadku płaskiego stanu naprężenia postać
Dr inż. Janusz Dębiński
bok ujemny
bok dodatni
X
Ã
ZX
Ä
ZX
Ä
X
Ã
WM 8. ANALIZA STANU NAPR
ŻENIA I ODKSZTAA
CENIA 3
ÈÄ… 0 ÉÄ…XZ
X
.
ÈÄ…= (8.3)
0 0 0
[ ]
ÉÄ…ZX 0 ÈÄ…Z
ÄZX
X
ÄXZ
ÃX ÃX
ÄXZ
ÄZX
Z
Rys. 8.4. Płaski stan naprężenia w punkcie belki lub ramy płaskiej
W przypadku pÅ‚askiego stanu naprężenia w belkach i ramach pÅ‚askich naprężenie normalne ÃZ wynosi
zero. Rysunek 8.4 przedstawia składowe stanu naprężenia punkcie przekroju belki lub ramy płaskiej. Tensor
naprężenia będzie miał w punkcie przekroju belki lub ramy płaskiej postać
ÈÄ… 0 ÉÄ…XZ
X
.
ÈÄ…= (8.4)
0 0 0
[ ]
ÉÄ…ZX 0 0
8.2. Naprężenia główne i kierunek główny
Układ ZX może się obracać wokół początku układu. Taki obrót nazywamy transformacją układu
współrzędnych. Transformację układu będziemy definiowali za pomocą kąta obrotu. Dodatni kąt obrotu
kręci osią Z w kierunku osi X. Dodatni kąt obrotu przedstawia rysunek 8.5 a) natomiast rysunek 8.5 b)
ujemny.
a) b)
X
X
·Ä…"Ä…0
·Ä…Ä…0
Z
Z
Rys. 8.5. Kąt obrotu układu współrzędnych
Pod wpływem obrotu układu współrzędnych składowe tensora naprężenia w płaskim stanie napręże-
nia zmienią swoje wartości. Naprężenia w układzie obróconym wyznacza się ze wzorów
Dr inż. Janusz Dębiński
'
X
X
'
Z'
Z'
WM 8. ANALIZA STANU NAPR
ŻENIA I ODKSZTAA
CENIA 4
ÈÄ…ZƒÄ…ÈÄ… ÈÄ…Z-ÈÄ…
X X
,
(8.5)
ÈÄ…Z '= ƒÄ… Å"cosśą2Å"·Ä…źąƒÄ…ÉÄ…XZÅ"sinśą2Å"·Ä…źą
2 2
ÈÄ…ZƒÄ…ÈÄ…X ÈÄ…Z-ÈÄ…
X
,
(8.6)
ÈÄ… = - Å"cosśą2Å"·Ä…źą-ÉÄ…XZÅ"sinśą2Å"·Ä…źą
X '
2 2
ÈÄ…Z-ÈÄ…
X
.
(8.7)
ÉÄ…X 'Z '=- Å"sinśą2Å"·Ä…źąƒÄ…ÉÄ…XZÅ"cosśą2Å"·Ä…źą
2
Tensor naprężenia w układzie obróconym będzie miał postać
ÈÄ… 0 ÉÄ…X ' Z '
X '
.
ÈÄ… '= (8.8)
0 0 0
[ ]
ÉÄ…Z ' X ' 0 ÈÄ…Z '
Rysunek 8.6 przedstawia płaski stan naprężenia w układzie obróconym.
X
Ä…
Z
Rys. 8.6. Stan naprężenia w układzie tranformowanym
Wiadomo, że przy obrocie układu współrzędnych ZX składowe stanu naprężenia zmieniają swoje
wartości. Istnieje taki układ współrzędnych, w którym naprężenia normalne przyjmują wartości ekstremalne
(największą i najmniejszą z możliwych) natomiast naprężenie styczne przyjmuje wartość zero. Taki układ
współrzędnych nazywa się układem osi głównych. Natomiast ekstremalne naprężenia normalne nazywają
się naprężeniami głównymi. Przyrównując do zera wzór (8.7) możemy otrzymać wzór na kąt obrotu układu
osi głównych w postaci
2Å"ÉÄ…XZ .
tgśą2Å"·Ä…glźą= (8.9)
ÈÄ…Z-ÈÄ…
X
Znak kąta nachylenia osi głównych określa się identycznie jak przy transformacji układu współrzędnych.
Naprężenia główne będziemy wyznaczać ze wzorów
Dr inż. Janusz Dębiński
'
X
Ã
Z'
'
Ä
Z'X
Z'
'
Ä
'
Ã
X
X
'
'
Ä
Ã
X
Z'X
Ä
'Z'
X
Ã
Z'
Z'
WM 8. ANALIZA STANU NAPR
ŻENIA I ODKSZTAA
CENIA 5
ÈÄ…ZƒÄ…ÈÄ… ÈÄ…Z-ÈÄ…
X X
,
(8.10)
ÈÄ…Zgl= ƒÄ… Å"cosśą2Å"·Ä…glźąƒÄ…ÉÄ…XZÅ"sinśą2Å"·Ä…glźą
2 2
ÈÄ…ZƒÄ…ÈÄ… ÈÄ…Z-ÈÄ…
X X
.
(8.11)
ÈÄ… = - Å"cosśą2Å"·Ä…glźą-ÉÄ…XZÅ"sinśą2Å"·Ä…glźą
Xgl
2 2
W celu sprawdzenia obliczeń naprężeń głównych będziemy stosować następujący wzór
2
ÈÄ…ZƒÄ…ÈÄ… ÈÄ…Z-ÈÄ…X
X
(8.12)
ÈÄ…1 /2= Ä… ƒÄ…ÉÄ…2 ,
XZ
źą
2 2
ćąśą
w którym
ÈÄ…Zgl
ÈÄ…1=max
, (8.13)
{
ÈÄ…
Xgl
ÈÄ…Zgl
ÈÄ…2=min
. (8.14)
{
ÈÄ…
Xgl
Tensor naprężenia w przypadku naprężeń głównych będzie miał postać
ÈÄ…Xgl 0 0
.
ÈÄ…gl= (8.15)
0 0 0
[ ]
0 0 ÈÄ…Zgl
Rysunek 8.7 przedstawia płaski stan naprężenia w układzie osi głównych.
X
·Ä…gl
Z
Rys. 8.7. Naprężenia główne w płaskim stanie naprężenia
Dr inż. Janusz Dębiński
X
gl
l
g
Ã
Z
l
g
Ã
X
l
g
Ã
X
Ã
Zgl
Z
l
g
WM 8. ANALIZA STANU NAPR
ŻENIA I ODKSZTAA
CENIA 6
8.3. Ekstremalne naprężenia styczne
Jeżeli istnieje układ współrzędnych, w którym naprężenia normalne osiągają wartości ekstremalne to
istnieje także taki układ, w którym naprężenia styczne osiągają wartości ekstremalne. Kąt nachylenia
takiego układu wyznaczymy ze wzoru
ÈÄ…Z-ÈÄ…
X
.
tg śą2Å"·Ä…Éąźą=- (8.16)
2Å"ÉÄ…XZ
Ekstremalne naprężenie styczne na płaszczyz
nie ZX wyznaczać będziemy ze wzoru
ÈÄ…Z-ÈÄ…
X
.
(8.17)
ÉÄ…MAX =- Å"sin śą2Å"·Ä…ÉąźąƒÄ…ÉÄ…XZÅ"cosśą2Å"·Ä…Éąźą
2
Jako sprawdzenie będziemy wykorzystać zależność
2
ÈÄ…Z-ÈÄ…X
(8.18)
#"ÉÄ…MAX#"= ƒÄ…ÉÄ…2 .
XZ
śą źą
2
ćą
Naprężenia normalne stowarzyszone z ekstremalnymi naprężeniami stycznymi na płaszczyz
nie ZX wyzna-
czać będziemy ze wzorów
ÈÄ…ZƒÄ…ÈÄ…X ÈÄ…Z-ÈÄ…X
,
(8.19)
ÈÄ…Z ÉÄ…= ƒÄ… Å"cosśą 2Å"·Ä…ÉąźąƒÄ…ÉÄ…XZÅ"sin śą2Å"·Ä…Éąźą
2 2
ÈÄ…ZƒÄ…ÈÄ…X ÈÄ…Z-ÈÄ…X
.
(8.20)
ÈÄ…X ÉÄ…= - Å"cosśą 2Å"·Ä…Éąźą-ÉÄ…XZÅ"sin śą2Å"·Ä…Éąźą
2 2
Naprężenia normalne stowarzyszone z ekstremalnymi naprężeniami stycznymi mają te same wartości
i będziemy je także wyznaczać z zależności
ÈÄ…ZƒÄ…ÈÄ…X .
(8.21)
ÈÄ…Z ÉÄ…=ÈÄ…X ÉÄ…=
2
Tensor naprężenia będzie w przypadku ekstremalnych naprężeń stycznych miał postać
ÈÄ…X ÉÄ… 0 ÉÄ…MAX
.
ÈÄ…ÉÄ…= (8.22)
0 0 0
[ ]
ÉÄ…MAX 0 ÈÄ…Z ÉÄ…
Osie naprężeń głównych i ekstremalnych naprężeń stycznych są wzajemnie obrócone względem siebie
Dr inż. Janusz Dębiński
WM 8. ANALIZA STANU NAPR
ŻENIA I ODKSZTAA
CENIA 7
o kąt 45o. Przedstawia to rysunek 8.8 a). Jeżeli kąt ągl
jest dodatni to kÄ…t Ä…Ä jest ujemny i odwrotnie.
Rysunek 8.8 b) przedstawia stan naprężenia w układzie ekstremalnych naprężeń stycznych.
a) b)
X
X
·Ä…ÉÄ…
·Ä…ÉÄ…
·Ä…gl
Z
45o
Z
Rys. 8.8. Ekstremalne naprężenia styczne
8.4. Niezmienniki stanu naprężenia
Jak wiadomo niezmiennikiem nazywamy wielkość, która nie zmienia swojej wartości przy obrocie
(transformacji) układu współrzędnych. W przypadku ogólnym stanu naprężenia mamy trzy niezmienniki.
Jednak w przypadku płaskiego stanu naprężenia trzeci z nich, który jest równy wyznacznikowi z macierzy
opisującej tensor naprężenia, wynosi zero. Mamy więc tylko dwa niezmienniki. Pierwszy z nich jest równy
I1=ÈÄ…ZƒÄ…ÈÄ…X =ÈÄ…Z 'ƒÄ…ÈÄ… =ÈÄ…ZglƒÄ…ÈÄ…Xgl=ÈÄ…Z ÉÄ…ƒÄ…ÈÄ…X ÉÄ… . (8.23)
X '
Drugi z nich jest równy
(8.24)
I =ÈÄ…ZÅ"ÈÄ…X -ÉÄ…2 =ÈÄ…Z 'Å"ÈÄ… -ÉÄ…2 ' Z '=ÈÄ…ZglÅ"ÈÄ…Xgl=ÈÄ…Z ÉÄ…Å"ÈÄ… -ÉÄ…2 .
2 XZ X ' X X ÉÄ… MAX
8.5. Czyste ścinanie
Szczególnym stanem naprężenia jest tak zwane czyste ścinanie przedstawione na rysunku 8.9. Jest to
stan naprężenia, w którym dziaÅ‚ajÄ… tylko naprężenia styczne ÄXZ, pozostaÅ‚e naprężenia wynoszÄ… zero.
Naprężenia styczne przedstawione na rysunku 8.9 są dodatnie oraz ekstremalne.
Ä
X
Ä
Ä
Ä
Z
Rys. 8.9. Czyste ścinanie (dodatnie naprężenia styczne)
Dr inż. Janusz Dębiński
Ã
l
X
Z
g
Ä
Ä
M
Ã
A
Ä
X
X
M
Ä
A
X
X
X
Ã
Ä
Ä
X
Ä
Ä
M
AX
Ä
M
A
X
Ã
Z
Z
Ä
Ä
Z
gl
Z
Ä
WM 8. ANALIZA STANU NAPR
ŻENIA I ODKSZTAA
CENIA 8
Tensor naprężenia dla dodatnich naprężeń stycznych, przedstawionych na rysunku 8.9, będzie miał
postać
0 0 ÉÄ…
.
ÈÄ…= (8.25)
0 0 0
[ ]
ÉÄ… 0 0
Naprężenia główne będą nachylone pod kątem
2Å"ÉÄ…
.
(8.26)
tgśą2Å"·Ä…glźą= =ƒÄ…"
0-0
Jak wiadomo funkcja tangens dąży do nieskończoności dla kąta równego 90o. Kąt nachylenia osi głównych
wynosi więc
. (8.27)
·Ä…gl=ƒÄ…45o
Naprężenia główne wynoszą
,
(8.28)
ÈÄ…Zgl=ÉÄ…Å"sin 2Å"45o =ÉÄ…
śą źą
.
(8.29)
ÈÄ… =-ÉÄ…Å"sin 2Å"45o =-ÉÄ…
śą źą
Xgl
Rysunek 8.10 przedstawia naprężenia główne przy czystym ścinaniu dla dodatniego naprężenia stycznego.
Jak więc widać układ ekstremalnych naprężeń stycznych jest nachylony pod kątem 450 w stosunku do
układu osi głównych.
X
45o
Z
Rys. 8.10. Naprężenia główne przy czystym ścinaniu dla dodatniego naprężenia stycznego
Dr inż. Janusz Dębiński
l
g
X
Ä
Ä
Ä
Ä
gl
Z
WM 8. ANALIZA STANU NAPR
ŻENIA I ODKSZTAA
CENIA 9
Ä
X
Ä
Ä
Ä
Z
Rys. 8.11. Czyste ścinanie (ujemne naprężenia styczne)
X
45o
Z
Rys. 8.12. Naprężenia główne przy czystym ścinaniu dla ujemnego naprężenia stycznego
Rysunek 8.11 przedstawia ujemne ekstremalne naprężenia styczne przy czystym ścinaniu. Tensor
naprężenia dla ujemnych naprężeń stycznych będzie miał postać
0 0 -ÉÄ…
.
ÈÄ…= (8.30)
0 0 0
[ ]
-ÉÄ… 0 0
Naprężenia główne będą nachylone pod kątem
2Å"-ÉÄ…
śą źą
.
(8.31)
tgśą2Å"·Ä…glźą= =-"
0-0
Jak wiadomo funkcja tangens dąży do minus nieskończoności dla kąta równego -90o. Kąt nachylenia osi
głównych wynosi więc
. (8.32)
·Ä…gl=-45o
Naprężenia główne wynoszą
(8.33)
ÈÄ…Zgl=-ÉÄ…Å"sin 2Å"śą-45oźą =ÉÄ…
śą źą
.
(8.34)
ÈÄ… =-śą-ÉÄ… Å"sin 2Å"śą-45oźą =-ÉÄ…
źą śą źą
Xgl
Dr inż. Janusz Dębiński
Ä
Ä
Ä
X
Ä
gl
Z
gl
WM 8. ANALIZA STANU NAPR
ŻENIA I ODKSZTAA
CENIA 10
Rysunek 8.12 przedstawia naprężenia główne przy czystym ścinaniu dla ujemnego naprężenia stycznego.
Jak więc widać układ ekstremalnych naprężeń stycznych jest nachylony pod kątem 450 w stosunku do
układu osi głównych.
W przypadku czystego ścinania naprężenia główne nachylone są zawsze pod kątem plus lub
minus 45 stopni i mają wartość bezwzględną naprężenia stycznego. Aby łatwiej zapamiętać, które
z naprężeń głównych jest rozciągające a które ściskające posłużymy się pewną analogią. Wyobraz
my sobie,
że elementarny kwadrat zamieniamy w mechanizm wprowadzając w narożnikach przeguby. Układ ten przed-
stawia rysunek 8.13 a). Układ ten może się poruszać, ponieważ posiada jeden stopnień swobody. Na układ
ten działa siła o zwrocie naprężenia stycznego, która powoduje jego ruch. Jedna z przekątnych układu jest
rozciągana natomiast druga przekątna jest ściskana. Położenie tych przekątnych pokazuje nam, który
kierunek ma rozciągające naprężenie główne a który kierunek ściskające.
a) b) c)
ÉÄ…
ÉÄ…
ÉÄ…
ÉÄ…
przekÄ…tna rozciÄ…gana
przekątna ściskana
Rys. 8.13. Analogia mechaniczna do wyznaczenia kierunków głównych naprężeń rozciągających i ściskających przy
czystym ścinaniu
8.6. Osiowe rozciÄ…ganie
Osiowe rozciąganie jest także szczególnym przypadkiem płaskiego stanu naprężenia. Przy osiowym
rozciÄ…ganiu dziaÅ‚a tylko naprężenie normalne Ã. Jest to stan naprężenia, który wystÄ™puje w prÄ™tach
kratownic płaskich. Ponieważ w tym stanie naprężenia nie działa naprężenie styczne możemy stwierdzić, że
naprężenie normalne à jest naprężeniem głównym. Rysunek 8.14 przedstawia ten stan naprężenia.
X=Xgl
à Ã
Z=Zgl
Rys. 8.14 Osiowe rozciÄ…ganie
Tensor naprężenia (8.1) w przypadku osiowego rozciągania będzie miał postać
ÈÄ… 0 0
.
ÈÄ…= (8.35)
0 0 0
[ ]
0 0 0
Dr inż. Janusz Dębiński
WM 8. ANALIZA STANU NAPR
ŻENIA I ODKSZTAA
CENIA 11
Kąt nachylenia układu, w którym działają ekstremalne naprężenia styczne wynosi
.
tg śą2Å"·Ä…Éąźą=-0-ÈÄ… =ƒÄ…" (8.36)
2Å"0
Jak wiadomo funkcja tangens dąży do plus nieskończoności dla kąta równego 90o. Kąt nachylenia osi,
w których działają ekstremalne naprężenia styczne wynosi więc
. (8.37)
·Ä…ÉÄ…=45o
Ekstremalne naprężenie styczne wynosi
ÈÄ…
.
ÉÄ…MAX =-0-ÈÄ…Å"sin śą2Å"45°ÅºÄ…ƒÄ…0Å"cosśą 2Å"45°ÅºÄ…= (8.38)
2 2
Naprężenia normalne stowarzyszone z ekstremalnymi naprężeniami stycznymi mają te same wartości i wy-
noszÄ…
0ƒÄ…ÈÄ… ÈÄ…
.
ÈÄ…Z ÉÄ…=ÈÄ…X ÉÄ…= = (8.39)
2 2
Tensor naprężenia w układzie związanym z ekstremalnymi naprężeniami stycznymi ma postać
ÈÄ… ÈÄ…
0
2 2
.
(8.40)
ÈÄ…=
0 0 0
ÈÄ… ÈÄ…
[ ]
0
2 2
Rysunek 8.15 przedstawia elementarny kwadrat z działającymi ekstremalnymi naprężeniami stycznymi i od-
powiadającymi im naprężeniami normalnymi.
8.7. Stan odkształcenia
Pod wpływem działania tensora naprężenia (8.1) elementarny sześcian dozna deformacji. Rozpatrzmy
najpierw działanie tylko naprężeń normalnych. Rysunek 8.16 przedstawia elementarny sześcian, na który
dziaÅ‚ajÄ… naprężenia normalne ÃX, ÃY, ÃZ. Pod wpÅ‚ywem dziaÅ‚ania tych naprężeÅ„ dÅ‚ugość krawÄ™dzi szeÅ›cianu
ulegnie zmianie natomiast wszystkie ścianki sześcianu pozostaną prostopadle do siebie. Taką deformację
przedstawia rysunek 8.16. Miarą deformacji sześcianu są wielkości fizyczne nazywane odkształceniami
liniowymi. Odkształcenie liniowe po kierunku osi X definiuje się jako
­Ä… dx
.
(8.41)
Ä…X =
dx
Dr inż. Janusz Dębiński
WM 8. ANALIZA STANU NAPR
ŻENIA I ODKSZTAA
CENIA 12
X=Xgl
Z=Zgl 450
Rys. 8.15. Ekstremalne naprężenia styczne dla osiowego rozciągania
dy "dy
Z
ÃZ
ÃY
ÃY
ÃZ
Y
dy "dy
X
Rys. 8.16. Odkształcenia liniowe
Odkształcenie liniowe po kierunku osi Y definiuje się jako
­Ä…dy
.
Ä…Y= (8.42)
dy
Odkształcenie liniowe po kierunku osi Z definiuje się jako
Dr inż. Janusz Dębiński
"
dz
"
dz
dz
dz
Ä
X
ÈÄ…
ÈÄ…
2
ÈÄ…
2
2
ÈÄ…
2
ÈÄ…
2
ÈÄ…
ÈÄ…
2
2
ÈÄ…
Ä
Z
2
X
Ã
x
d
X
Ã
x
d
"
x
d
x
d
"
WM 8. ANALIZA STANU NAPR
ŻENIA I ODKSZTAA
CENIA 13
Ä…Z=­Ä… dz . (8.43)
dz
Odkształcenia liniowe są wielkościami bezwymiarowymi. Mogą przyjmować wartości dodatnie, ujemne
oraz zero. Powodują one zmianę objętości bez zmiany kształtu. Zmianę objętości nazywa się względnym
odkształceniem objętościowym albo dylatacją. Wynosi ona
­Ä… dV
. (8.44)
=Ä…X ƒÄ…Ä…YƒÄ…Ä…Z
dV
Z
²YZ
Ä…YZ
ÄZY
²XZ
ÄYZ
ÄXZ
ÄXY
Ä…XZ
Y
²XY
Ä…XY
X
Rys. 8.17. Odkształcenia postaciowe
Deformacja sześcianu wynikająca z działania naprężeń stycznych wiąże się ze zmianą kształtu lub
inaczej zmianą postaci. Zmianie ulegają kąty nachylenia krawędzi bez zmiany ich długości. Rysunek 8.17
przedstawia deformację sześcianu pod działaniem naprężeń stycznych. Miarą deformacji są trzy kąty. Pier-
wszy z nich w płaszczyz
nie XY wynosi
Ä…Ä…XY=·Ä…XYƒÄ…¸Ä… . (8.45)
XY
Drugi z nich w płaszczyz
nie YZ wynosi
Ä…Ä…YZ=·Ä…YZƒÄ…¸Ä…YZ . (8.46)
Dr inż. Janusz Dębiński
ZX
Ä
X
Y
Ä
WM 8. ANALIZA STANU NAPR
ŻENIA I ODKSZTAA
CENIA 14
Trzeci z nich w płaszczyz
nie XZ wynosi
Ä…Ä…XZ=·Ä…XZƒÄ…¸Ä…XZ . (8.47)
Odkształceniami postaciowymi nazywamy wielkości
Ä…Ä…XY ·Ä…XYƒÄ…¸Ä…
XY
, (8.48)
Ä…XY= =
2 2
Ä…Ä…YZ ·Ä…YZƒÄ…¸Ä…YZ
, (8.49)
Ä…YZ= =
2 2
Ä…Ä…XZ ·Ä…XZƒÄ…¸Ä…
XZ
. (8.50)
Ä…XZ= =
2 2
Odkształcenia postaciowe są także wielkościami bezwymiarowymi.
Odkształcenia liniowe i postaciowe tworzą tablicę nazywaną tensorem odkształcenia. Ma on nastę-
pującą postać
Ä…X Ä…XY Ä…XZ
Ä…= (8.51)
Ä…YX Ä…Y Ä…YZ .
[ ]
Ä…ZX Ä…ZY Ä…Z
Tensor odkształcenia (8.51) podobnie jak tensor naprężenia (8.1) jest tensorem symetrycznym. Zachodzą
więc zależności pomiędzy odkształceniami postaciowymi
Ä…XY=Ä…YX , (8.52)
Ä…YZ=Ä…ZY , (8.53)
Ä…XZ=Ä…ZX . (8.54)
Stan odkształcenia w dowolnym punkcie opisuje więc sześć składowych tensora odkształcenia.
8.8. Statyczna próba rozciągania
Podstawowym testem laboratoryjnym służącym do wyznaczenia zależności pomiędzy naprężeniami
i odkształceniami jest statyczna próba rozciągania. Próba ta polega na osiowym rozciąganiu próbki w ma-
szynie wytrzymałościowej. Słowo statyczna oznacza, że badanie wykonywane jest przy powoli rosnącej sile
rozciągającej. Próbka jest umocowana w szczękach maszyny wytrzymałościowej. Szczęki te wymuszają siłę
rozciągającą P. Maszynę wytrzymałościową przedstawia rysunek 8.18.
Dr inż. Janusz Dębiński
WM 8. ANALIZA STANU NAPR
ŻENIA I ODKSZTAA
CENIA 15
Rys. 8.18. Maszyna wytrzymałościowa do próby rozciągania
Rys. 8.19. Próbka dziesięciokrotna
Rysunek 8.19 przedstawia próbkę wykonaną ze stali niskowęglowej (na przykład St3S). Jest to
najczęściej wykorzystywana stal w budownictwie. Próbka ma przekrój kołowy o średnicy d. Długość części
pomiarowej próbki jest dziesięciokrotnie większa od średnicy. Próbkę taką nazywamy próbką dziesię-
ciokrotną. Pogrubione elementy służą do ułożenia próbki w szczękach maszyny wytrzymałościowej. Wadą
takiego zamocowania jest w początkowym etapie obciążania próbki brak osiowego przyłożenia siły
rozciągającej P. Taka próbka musi się  ułożyć w szczękach maszyny.
Innym sposobem zamocowania próbki w szczękach maszyny wytrzymałościowej jest umieszczenie
próbki w specjalnych szczękach, które są zamocowane przegubowo do maszyny wytrzymałościowej.
W przypadku takiego zamocowania próbka od początku jest obciążona osiowo. Na rysunku 8.20 przedsta-
wione są szczęki pneumatyczne. Na rysunku 8.21 zostały przedstawione szczęki mechaniczne. W obu
przypadkach szczęki te zaciskają się od razu na części mocującej próbki a ich przegubowe zamocowanie do
maszyny wytrzymałościowej zapewnia osiowość przyłożenia siły rozciągającej.
Rys. 8.20. Szczęki pneumatyczne
Dr inż. Janusz Dębiński
WM 8. ANALIZA STANU NAPR
ŻENIA I ODKSZTAA
CENIA 16
Rys. 8.21. Szczęki mechaniczne
Rysunek 8.22 przedstawia zamocowaną próbkę w szczękach maszyny wytrzymałościowej, którą
będziemy rozciągać. Na rysunku tym zaznaczona jest także siła rozciągająca P. Siłę P odczytuje się za
pomocą siłomierza maszyny wytrzymałościowej natomiast wydłużenie pręta lub jego odkształcenie
odczytuje się za pomocą tensometru, którego budowa i zastosowanie zostaną przedstawione w rozdziale
poświęconym tensometrii elektrooporowej.
Rys. 8.22. Próbka zamocowana w szczękach maszyny wytrzymałościowej
Pod wpływem działania siły rozciągającej P w przekroju próbki powstanie stan naprężenia opisany
tensorem naprężenia
P
ÈÄ…X =ÈÄ…= 0 0
A0
,
ÈÄ…= (8.55)
0 0 0
[ ]
0 0 0
w którym P jest osiową siłą rozciągającą, A0 jest początkowym polem powierzchni przekroju próbki.
Przekrój ten jest w naszym przypadku kołem o średnicy 10 mm. Tensor naprężenia (8.55) jest oczywiście
tensorem w układzie osi głównych, ponieważ wszystkie naprężenia styczne są równe zero.
Dr inż. Janusz Dębiński
WM 8. ANALIZA STANU NAPR
ŻENIA I ODKSZTAA
CENIA 17
ÃX
ÃW
ÃZ
ÃP
ÃS
ÃH
µX
H"0,2
odkształcenia sprężysto-plastyczne
zakres sprężysty
odkształcenie graniczne
Rys. 8.23. Wykres zależnoÅ›ci pomiÄ™dzy naprężeniem normalnym à a odksztaÅ‚ceniem liniowym µ dla stali
X X
niskowęglowej
W wyniku statycznej próby rozciągania uzyskuje się wykres zależności pomiędzy naprężeniami nor-
malnymi à i odksztaÅ‚ceniami liniowymi µ . PrzykÅ‚adowy wykres dla stali niskowÄ™glowej przedstawia
X X
rysunek 8.23. Na wykresie tym znajdują się następujące punkty charakterystyczne:
" Granica proporcjonalnoÅ›ci ÃH jest najwiÄ™kszÄ… wartoÅ›ciÄ… naprężenia normalnego, przy której zależ-
ność naprężenie-odkształcenie jest jeszcze liniowa.
" Granica sprężystoÅ›ci ÃS jest najwiÄ™kszÄ… wartoÅ›ciÄ… naprężenia normalnego, dla której krzywa odciÄ…-
żania pokrywa się z krzywą obciążania. Jeżeli próbka zostanie najpierw obciążona poniżej granicy
sprężystości a potem obciążenie zmaleje do zera to próbka wróci do swojej pierwotnej długości.
" Granica plastycznoÅ›ci ÃP jest to wartość naprężenia, przy którym po odciążeniu w próbce zacznÄ…
występować odkształcenia trwałe nazywane odkształceniami plastycznymi. Jeżeli powierzchnia
boczna próbki byłaby wypolerowana to po przekroczeniu granicy plastyczności powierzchnia ta by
zmatowiaÅ‚a i pojawiÅ‚yby siÄ™ linie Lüdersa. PrzyczynÄ… tego zjawiska sÄ… ekstremalne naprężenia
styczne występujące na płaszczyznach nachylonych pod kątem 45 stopni do osi pręta (naprężeń
głównych). Naprężenia styczne oraz odpowiadające im naprężenia normalne przedstawia rysunek
8.24. Ekstremalne naprężenia styczne będą w stali niskowęglowej powodowały poślizg warstw
materiału względem siebie i w konsekwencji zmatowienie wypolerowanej powierzchni. Granica
plastyczności może mieć dwie wartości dolną i górną, ponieważ naprężenie normalne może
w małym zakresie zmieniać swoją wartość oscylując wokół granicy plastyczności.
" Wytrzymałość doraz
na ÃW jest równa maksymalnej wartoÅ›ci naprężenia normalnego na caÅ‚ym wyk-
resie. Od tego miejsca próbka przestaje się równomiernie odkształcać. Tworzy się wyraz
ne przewÄ™-
żenie nazywane szyjką. Przedstawia to rysunek 8.25.
" WytrzymaÅ‚ość przy zerwaniu à jest to naprężenie, przy którym próbka ulega zerwaniu. ZerwanÄ…
Z
próbkę przedstawia rysunek 8.26.
Wykres narysowany na rysunku 8.23 liną ciągłą odnosi się do naprężeń nominalnych obliczonych
dla poczÄ…tkowego pola powierzchni A0. Wykres narysowany na rysunku 8.23 liniÄ… przerywanÄ… odnosi siÄ™ do
naprężeń rzeczywistych obliczonych dla aktualnego pola powierzchni. Zmniejszanie się pola powierzchni
próbki następuje już od początku procesu rozciągania. Jest ono jednak bardzo małe i znika po usunięciu
obciążenia. Widoczne zmniejszenie pola powierzchni następuje dopiero z chwilą pojawienia się szyjki.
Dr inż. Janusz Dębiński
WM 8. ANALIZA STANU NAPR
ŻENIA I ODKSZTAA
CENIA 18
Ã
45o
Rys. 8.24. Ekstremalne naprężenia styczne i odpowiadające im naprężenia normalne dla osiowego rozciągania
Rys. 8.25. Szyjka
Rys. 8.26. Zerwana próbka w miejscu występowania szyjki
Zaznaczone na rysunku 8.23 odkształcenie graniczne odpowiada naprężeniu zrywającemu próbkę.
Wynosi ono około 0,2 czyli 20%. Jest to bardzo duże odkształcenie.
W przypadku stali wysokowęglowej lub stopów aluminium wykres zależności pomiędzy napręże-
niami i odkształceniami ma postać przedstawioną na rysunku 8.27. W odróżnieniu od wykresu na rysunku
8.23 na wykresie tym nie ma wyraz
nej granicy plastyczności. Jako umowną granicę plastyczności przyj-
muje się takie naprężenie normalne, które odpowiada odkształceniom plastycznym wynoszącym 0,002. Jako
umowną granicę sprężystości przyjmuje się takie naprężenie normalne, które odpowiada odkształceniom
plastycznym równym 0,0005.
Dr inż. Janusz Dębiński
ÈÄ…
2
ÈÄ…
2
WM 8. ANALIZA STANU NAPR
ŻENIA I ODKSZTAA
CENIA 19
ÃX
ÃW
ÃP
ÃS
µX
µS µP
odkształcenie graniczne
Rys. 8.27. Wykres zależnoÅ›ci pomiÄ™dzy naprężeniem normalnym à a odksztaÅ‚ceniem liniowym µ dla materiaÅ‚u bez
X X
wyraz
nej granicy plastyczności
Cechą wspólną materiałów takich jak stal niskowęglowa lub aluminium jest ich ciągliwość. Wynika
ona z faktu, że zerwanie próbki poprzedzone jest pojawieniem się dużych odkształceń trwałych
(plastycznych) wynoszących 15% do 30% początkowej długości próbki. Materiały takie nazywamy
materiałami ciągliwymi. Materiały takie jak beton, cegła, skała nazywamy materiałami kruchymi,
ponieważ przy ich rozciąganiu nie pojawiają się w nich prawie żadne odkształcenia plastyczne. Materiałów
kruchych nie będziemy tutaj rozpatrywać.
8.9. Model matematyczny materiału ciągliwego
Model matematyczny materiału ciągliwego musi odpowiadać wykresowi przedstawionemu na rysun-
ku 8.23.
ÃX
ÃH=ÃS=ÃP
µX
ÃH=ÃS=ÃP
Rys.8.28. Model sprężysto-idealnie plastyczny
Rysunek 8.28 przedstawia model materiału sprężysto-idealnie plastycznego. W modelu tym
przyjmuje się, że granice proporcjonalności, sprężystości są równe granicy plastyczności. Poniżej granicy
plastyczności zależność pomiędzy naprężeniami i odkształceniami jest liniowa. Największymi naprężeniami
przy osiowym rozciąganiu są naprężenia odpowiadające granicy plastyczności. Będą to więc naprężenia,
które spowodują zniszczenie tego materiału. Granicę plastyczności nazywać będziemy wytrzymałością
materiału.
Dr inż. Janusz Dębiński
WM 8. ANALIZA STANU NAPR
ŻENIA I ODKSZTAA
CENIA 20
8.10. Równania fizyczne
Równaniami fizycznymi nazywamy zależności pomiędzy stanem naprężenia a stanem odkształcenia.
Zostaną one wyprowadzone na podstawie statycznej próby rozciągania. Na podstawie tej próby stwierdza-
my, że w pewnym zakresie naprężeń normalnych, które będziemy uznawali za bezpieczne deformacja
elementarnego sześcianu ma postać przedstawioną na rysunku 8.29. Jak widać po kierunku działania naprę-
żenia normalnego rozciągającego sześcian uległ wydłużeniu natomiast w pozostałych dwóch kierunkach
skróceniu. Ponadto wydłużenie jednego boku sześcianu jest większe od skrócenia pozostałych. Miarą tej
deformacji sÄ… trzy odksztaÅ‚cenia liniowe µX, µY, µZ
Z
dy
"dy
Y
dy
"dy
X
Rys. 8.29. Deformacja elementarnego sześcianu przy osiowym rozciąganiu
Na podstawie doświadczenia możemy stwierdzić, że pomiędzy rozciągającym naprężeniem normal-
nym a odkształceniem liniowym po kierunku tego naprężenia istnieje zależność liniowa, nazywana prawem
Hooke'a, którą możemy zapisać w postaci
(8.56)
ÈÄ… =EÅ"Ä…X ,
X
w której to współczynnikiem proporcjonalności E jest moduł Younga. Jednostką jego jest w układzie SI
Pascal. W przypadku materiałów stosowanych w budownictwie będziemy używali jego wielokrotności GPa.
Dla zwykłej stali budowlanej wartość modułu Younga wynosi 205 GPa. Odkształcenie liniowe po kierunku
osi X wynosi więc
Dr inż. Janusz Dębiński
"
dz
"
dz
dz
dz
X
Ã
x
d
X
Ã
dx
"
x
d
dx
"
WM 8. ANALIZA STANU NAPR
ŻENIA I ODKSZTAA
CENIA 21
ÈÄ…X .
(8.57)
Ä…X =
E
Doświadczalnie zostało stwierdzone, że pomiędzy odkształceniem liniowym po kierunku naprężenia
normalnego a odkształceniami liniowymi w kierunkach dwóch pozostałych osi czyli Y i Z istnieje także
zależność liniowa, która ma postać
Ä…Z=Ä…Y=-ÃÄ…Å"Ä…X (8.58)
w której to współczynnikiem proporcjonalnoÅ›ci ½ jest współczynnik Poissona. Jest to wielkość bezwy-
miarowa. Minus we wzorze (8.58) wynika z faktu, że współczynnik Poissona jest wartością dodatnią,
odksztaÅ‚cenia liniowe µX sÄ… dodatnie natomiast odksztaÅ‚cenia µY, µZ sÄ… ujemne. OdksztaÅ‚cenia µY, µZ możemy
więc zapisać jako
ÈÄ…X .
(8.59)
Ä…Z=Ä…Y=-ÃÄ…Å"
E
Tensor odkształcenia dla osiowego rozciągania po kierunku osi X będzie miał więc postać
ÈÄ…X
0 0
E
ÈÄ…X
. (8.60)
Ä…=
0 -ÃÄ…Å" 0
E
ÈÄ…X
[ ]
0 0 -ÃÄ…Å"
E
Moduł Younga oraz współczynnik Poissona stanowią dwie stałe materiałowe opisujące właści-
wości danego materiału izotropowego, jednorodnego oraz sprężysto-idealnie plastycznego. Wyznacza-
nie stałych materiałowych zostanie przedstawione na podstawie przykładu załączonego do niniejszego opra-
cowania.
Dla pozostaÅ‚ych naprężeÅ„ normalnych ÃY, ÃZ możemy wykorzystać przedstawione wczeÅ›niej wiado-
mości. Skutki działania wszystkich naprężeń normalnych przedstawia Tabela 8.1.
Tabela 8.1. Skutki działania naprężeń normalnych.
ÈÄ… ÈÄ…Y ÈÄ…Z
X
ÈÄ… ÈÄ…Y ÈÄ…Z
X
Ä…X
-ÃÄ…Å" -ÃÄ…Å"
E E E
ÈÄ… ÈÄ…Y ÈÄ…Z
X
Ä…Y
-ÃÄ…Å" -ÃÄ…Å"
E E E
ÈÄ… ÈÄ…Y ÈÄ…Z
X
Ä…Z
-ÃÄ…Å" -ÃÄ…Å"
E E E
Dr inż. Janusz Dębiński
WM 8. ANALIZA STANU NAPR
ŻENIA I ODKSZTAA
CENIA 22
Sumując wiersze Tabeli 1 możemy otrzymać zależności pomiędzy naprężeniami normalnymi i od-
kształceniami liniowymi w postaci
1
Ä…X = Å" -ÃÄ…Å" ƒÄ…ÈÄ…Z , (8.61)
[ÈÄ… śąÈÄ… źą]
X Y
E
1
Ä…Y= Å"ÈÄ…Y-ÃÄ…Å" ƒÄ…ÈÄ…Z , (8.62)
[ śąÈÄ… źą]
X
E
1
Ä…Z= Å" -ÃÄ…Å"ÈÄ… ƒÄ…ÈÄ…Y . (8.63)
[ÈÄ… śą źą]
Z X
E
Równania (8.61), (8.62) i (8.63) stanowią pierwsze trzy równania fizyczne dla materiału izotropowego, jed-
norodnego i sprężyście-idealnie plastycznego.
ÄZX
X
X
X
Å‚1
Å‚XZ
ÄXZ
ÄXZ
Å‚2
ÄZX
Z
Z
Z
Rys. 8.30. Deformacja przy działaniu naprężenia stycznego
W przypadku działania naprężenia stycznego deformację elementarnego kwadratu przedstawia rysu-
nek 8.30. Teoretycznie zostaÅ‚o udowodnione, że pomiÄ™dzy naprężeniem stycznym ÄXZ w caÅ‚kowitym kÄ…tem
odkształcenia łXY istnieje także zależność liniowa. Możemy ją zapisać jako
(8.64)
ÉÄ…XZ=GÅ"Ä…Ä…XZ .
Współczynnikiem proporcjonalności G jest moduł Kirchhoffa. Wielkość ta nie jest jednak stałą materia-
łową, ponieważ pomiędzy modułem Kirchhoffa a modułem Younga oraz współczynnikiem Poissona istnieje
zależność
E
.
G=
(8.65)
2Å"1ƒÄ…ÃÄ…
śą źą
Wzór (8.64) możemy napisać w postaci
ÉÄ…XZ .
(8.66)
Ä…Ä…XZ=
G
Dr inż. Janusz Dębiński
WM 8. ANALIZA STANU NAPR
ŻENIA I ODKSZTAA
CENIA 23
Odkształcenie postaciowe na płaszczyz
nie ZX będzie miało postać
ÉÄ…XZ .
(8.67)
Ä…XZ=
2Å"G
Analogicznie odkształcenia postaciowe na pozostałych płaszczyznach można zapisać
ÉÄ…XY ,
(8.68)
Ä…XY=
2Å"G
ÉÄ…YZ .
(8.69)
Ä…YZ=
2Å"G
Równania (8.67), (8.68) i (8.69) tworzą pozostałe trzy równania fizyczne dla materiału izotropowego, jed-
norodnego i sprężyście-idealnie plastycznego.
W przypadku płaskiego stanu naprężenia (8.3) związki fizyczne mają postać
1
Ä…X = Å" ÈÄ… -ÃÄ…Å"ÈÄ…Z , (8.70)
śą źą
X
E
-ÃÄ…
Ä…Y= Å" ƒÄ…ÈÄ…Z , (8.71)
śąÈÄ… źą
X
E
1
Ä…Z= Å" ÈÄ…Z-ÃÄ…Å"ÈÄ…X , (8.72)
śą źą
E
ÉÄ…XZ
. (8.73)
Ä…XZ=
2Å"G
Odkształcenia główne w przypadku płaskiego stanu naprężenia (8.15) mają postać
1
Ä…Xgl= Å" ÈÄ…Xgl-ÃÄ…Å"ÈÄ…Zgl , (8.74)
śą źą
E
Ä…Ygl=-ÃÄ…Å" ƒÄ…ÈÄ…Zgl , (8.75)
śąÈÄ… źą
Xgl
E
1
Ä…Zgl= Å" ÈÄ…Zgl-ÃÄ…Å"ÈÄ… . (8.76)
śą źą
Xgl
E
Na koniec tego punktu wyznaczymy górną granicę współczynnika Poissona. Względna zmiana
objętości czyli dylatacja wynosi
Dr inż. Janusz Dębiński
WM 8. ANALIZA STANU NAPR
ŻENIA I ODKSZTAA
CENIA 24
­Ä… dV
(8.77)
=Ä…X ƒÄ…Ä…YƒÄ…Ä…Z .
dV
Uwzględniając związki fizyczne możemy ją zapisać jako
­Ä…dV 1Å" -ÃÄ…Å" ÈÄ…YƒÄ…ÈÄ…Z 1Å" -ÃÄ…Å" ÈÄ… ƒÄ…ÈÄ…Z 1Å" -ÃÄ…Å" ÈÄ…X ƒÄ…ÈÄ…Y . (8.78)
=
śą źą śą źą śą źą
[ÈÄ… ]ƒÄ… E [ÈÄ… ]ƒÄ… E [ÈÄ… ]
X Y X Z
dV E
Wzór (8.78) możemy zapisać
­Ä… dV 2Å"ÃÄ…
1
(8.79)
= Å"ÈÄ… ƒÄ…ÈÄ…YƒÄ…ÈÄ…Z - Å" ÈÄ… ƒÄ…ÈÄ…YƒÄ…ÈÄ…Z .
śą źą śą źą
X X
dV E E
Czyli ostatecznie otrzymamy
­Ä… dV 1-2Å"ÃÄ…
(8.80)
= Å" ÈÄ… ƒÄ…ÈÄ…YƒÄ…ÈÄ…Z .
śą źą
X
dV E
Współczynnik
1-2Å"ÃÄ…
(8.81)
K=
E
nazywamy modułem ściśliwości. Ze wzoru (8.77) wynika, że wartość modułu ściśliwości musi być dodat-
nia, ponieważ przy wszechstronnym ściskaniu względna zmiana objętości musi być także ujemna. Możemy
więc napisać
1-2Å"ÃÄ…
Ä…0 . (8.82)
E
Możemy więc stwierdzić, że wartość współczynnika Poissona dla materiału izotropowego, jednorodne-
go i sprężyście-idealnie plastycznego musi być większa od zera oraz mniejsza niż 0,5.
8.11. Podstawy energetyczne
W niniejszym punkcie rozpatrywać będziemy zależności energetyczne w materiale. Będziemy
przyjmować, że jest on tak zwanym układem Clapeyrona. Pojęcie to zostanie pokazane na przykładzie
sprężyny rozciąganej siłą P. Przedstawia ją rysunek 8.31. Pracę siły P, która powoduje rozciągnięcie
sprężyny możemy wyznaczyć ze wzoru
u
k
,
(8.83)
L= Pśą u źąÅ"du
+"
0
Dr inż. Janusz Dębiński
WM 8. ANALIZA STANU NAPR
ŻENIA I ODKSZTAA
CENIA 25
P=0
P(u)
Rys. 8.31. Sprężyna rozciągana siłą zależną od wydłużenia
P
Pk
L
u
uk
Rys. 8.32. Liniowa zależność pomiędzy siłą a wydłużeniem sprężyny
w którym uk oznacza końcowe wydłużenie sprężyny. Jeżeli zależność pomiędzy siłą P a wydłużeniem
sprężyny u jest liniowa, tak jak to przedstawia rysunek 8.32 to praca siły P równa się polu powierzchni
trójkąta prostokątnego czyli
1
L= Å"PkÅ"uk , (8.84)
2
w którym to P oznacza siłę odpowiadającą końcowemu wydłużeniu sprężyny. Wszystkie układy, w których
k
skutek (wydłużenie sprężyny) jest liniową funkcją przyczyny (siła P), zaliczać będziemy do układów
1
Clapeyrona. Cechą charakterystyczną tych układów będzie mnożnik przy wyznaczaniu pracy dowolnej
2
siły na przemieszczeniu po kierunku tej siły.
Wszystkie układy Clapeyrona spełniają twierdzenie Clapeyrona, które mówi, że praca obciążeń
zewnętrznych równa się energii sprężystej zgromadzonej wewnątrz układu czyli
L=U , (8.85)
w którym L oznacza pracę obciążeń zewnętrznych (sił zewnętrznych) natomiast U oznacza energię sprężystą
zmagazynowaną wewnątrz układu.
Jednostkową energią sprężystą nazywamy ilość energii sprężystej nagromadzonej w jednostce
objętości ciała. Dla układów Clapeyrona wynosi ona
Dr inż. Janusz Dębiński
u
WM 8. ANALIZA STANU NAPR
ŻENIA I ODKSZTAA
CENIA 26
1
W = Å" Å"Ä… ƒÄ…ÈÄ…YÅ"Ä…YƒÄ…ÈÄ…ZÅ"Ä…ZƒÄ…ÉÄ…XYÅ"Ä…XYƒÄ…ÉÄ…YXÅ"Ä…YX .
śąÈÄ…
X X
2
(8.86)
ƒÄ…ÉÄ…YZÅ"Ä…YZƒÄ…ÉÄ…ZYÅ"Ä…ZYƒÄ…ÉÄ…XZÅ"Ä…XZƒÄ…ÉÄ…ZXÅ"Ä…ZX
źą
Uwzględniając symetrię tensorów naprężenia oraz odkształcenia jednostkowa energia sprężysta będzie wy-
nosiła
1
W = Å" Å"Ä… ƒÄ…ÈÄ…YÅ"Ä…YƒÄ…ÈÄ…ZÅ"Ä…ZƒÄ…2Å"ÉÄ…XYÅ"Ä…XYƒÄ…2Å"ÉÄ…YZÅ"Ä…YZƒÄ…2Å"ÉÄ…XZÅ"Ä…XZ . (8.87)
śąÈÄ… źą
X X
2
Całkowita energia sprężysta równa się sumie jednostkowych energii sprężystych w całym ciele. Jak wia-
domo sumowanie zastępujemy znakiem całki. Możemy więc napisać, że energia sprężysta zgromadzona
wewnątrz ciała wynosi
U = WÅ"dV
+"
. (8.88)
V
We wzorze (8.88) całkowanie wykonujemy po całej objętości ciała.
Jednostkową energię sprężystą możemy rozłożyć na dwa składniki: energię sprężystą odkształcenia
objętościowego oraz energię sprężystą odkształcenia postaciowego. Energia sprężysta odkształcenia
objętościowego związana jest z aksjatorem tensora naprężenia, który jest częścią tensora naprężenia (8.1).
Możemy go zapisać jako
ÈÄ…sr 0 0
ÈÄ…o=
0 ÈÄ…sr 0 , (8.89)
[ ]
0 0 ÈÄ…sr
w którym
ÈÄ… ƒÄ…ÈÄ…YƒÄ…ÈÄ…Z
X
(8.90)
ÈÄ…sr=
3
jest naprężeniem średnim. Drugą częścią składową tensora naprężenia, odpowiedzialną za energię odkształ-
cenia postaciowego, będzie dewiator tensora naprężenia. Możemy go zapisać jako
ÈÄ…X -ÈÄ…sr ÉÄ…XY ÉÄ…XZ
ÈÄ…d = (8.91)
ÉÄ…YX ÈÄ…Y-ÈÄ…sr ÉÄ…YZ .
[ ]
ÉÄ…ZX ÉÄ…ZY ÈÄ…Z-ÈÄ…sr
Jak więc widać tensor naprężenia jest sumą swojego aksjatora i dewiatora.
Energia sprężysta odkształcenia objętościowego zapisana za pomocą składowych stanu naprężenia
ma postać
Dr inż. Janusz Dębiński
WM 8. ANALIZA STANU NAPR
ŻENIA I ODKSZTAA
CENIA 27
1-2Å"ÃÄ… 2
(8.92)
Wśą oźą= Å" ÈÄ…X ƒÄ…ÈÄ…YƒÄ…ÈÄ…Z .
śą źą
6Å"E
Energia sprężysta odkształcenia postaciowego także zapisana za pomocą składowych stanu naprężenia ma
postać
1 2 2 2
śą pźą
W = Å" ÈÄ…X -ÈÄ…Y ƒÄ… ÈÄ…Y-ÈÄ…Z ƒÄ… ÈÄ…Z-ÈÄ…X ƒÄ…6Å" ÉÄ…2 ƒÄ…ÉÄ…2 ƒÄ…ÉÄ…2 . (8.93)
[śą źą śą źą śą źą śą źą]
XY YZ XZ
12Å"G
8.12. Wytężenie materiału i naprężenie zredukowane
Projektując konstrukcję sprawdzamy, czy w żadnym jej punkcie składowe stanu naprężenia nie
przekraczają wartości dopuszczalnych. W przypadku stali rozciąganej osiowo siłą normalną jako niebez-
pieczne naprężenie przyjmuje się naprężenie równe granicy plastyczności.
Podstawowym problemem jest wyznaczenie współczynnika bezpieczeństwa, który określa nam ile
razy aktualne naprężenie à jest mniejsze od naprężenia niebezpiecznego Ãn.
ÈÄ…
.
n= (8.94)
ÈÄ…n
Obliczenie współczynnika bezpieczeństwa dla osiowego rozciągania jest bardzo proste, trudniej
sprawa przedstawia się w trójosiowym stanie naprężenia opisanym tensorem naprężenia (8.1). Problem ten
rozwiązują hipotezy wytężeniowe (wytrzymałościowe), które sprowadzają stan naprężenia opisany
tensorem (8.1) do przypadku osiowego rozciągania. W tym celu hipotezy te wprowadzają pojęcie napręże-
nia zredukowanego, które to jest właśnie naprężeniem rozciągającym w sprowadzonym osiowym
rozciąganiu. Naprężenie zredukowane musi być funkcją składowych stanu naprężenia czyli
ÈÄ… =ÈÄ… , ÈÄ…Y , ÈÄ…Z , ÉÄ…XY , ÉÄ…YZ , ÉÄ…XZ . (8.95)
śąÈÄ… źą
red red X
Naprężenie zredukowane dla osiowego rozciągania musi się równać naprężeniu rozciągającemu
.
(8.96)
ÈÄ… ÈÄ… , 0 ,0 , 0 , 0 , 0 =ÈÄ…
śą źą
red
Naprężenie zredukowane dla zerowego tensora naprężenia musi się równać zero
.
ÈÄ… 0 ,0 , 0 ,0 ,0 , 0 =0 (8.97)
śą źą
red
8.13. Hipoteza Hubera-Misesa-Hencky'ego (H-M-H)
Ograniczymy się tylko do hipotezy H-M-H dla płaskiego stanu naprężenia. Jako naprężenie niebez-
pieczne przyjmiemy granicÄ™ plastycznoÅ›ci ÃP. Możemy wiÄ™c zapisać warunek zniszczenia w postaci
(8.98)
ÈÄ… =ÈÄ…P .
red
Dr inż. Janusz Dębiński
WM 8. ANALIZA STANU NAPR
ŻENIA I ODKSZTAA
CENIA 28
Według tej hipotezy materiał przechodzi w stan niebezpieczny wtedy, gdy jednostkowa energia
odkształcenia postaciowego osiągnie pewną wartość graniczną, charakterystyczną dla tego materiału.
Naprężenie zredukowane wynosi
1 2 2 2
2
ÈÄ… = Å" -ÈÄ…Y ƒÄ… -ÈÄ…Z ƒÄ… -ÈÄ… ƒÄ…6Å" ÉÄ…2 ƒÄ…ÉÄ…YZƒÄ…ÉÄ…2 . (8.99)
śą źą
śąÈÄ… źą śąÈÄ… źą śąÈÄ… źą
red X Y Z X XY XZ
ćą
2
ćą
W płaskim stanie naprężenia (8.3) naprężenie zredukowane wyznacza się z zależności
1 2
ÈÄ…red= Å" ÈÄ…Z-ÈÄ…X ƒÄ…ÈÄ…2ƒÄ…ÈÄ…2 ƒÄ…6Å"ÉÄ…2 . (8.100)
śą źą
ćą Z X XZ
2
ćą
W przypadku naprężeń głównych w płaskim stanie naprężenia (8.12), (8.13) i (8.14) naprężenie zreduko-
wane wyznacza siÄ™ ze wzoru
1 2
ÈÄ…red= Å" ÈÄ…1-ÈÄ…2 ƒÄ…ÈÄ…2ƒÄ…ÈÄ…2 . (8.101)
śą źą
ćą 1 2
2
ćą
Ã2
ÃP
C
B
A
Ã1
-ÃP ÃP
-ÃP
Rys. 8.33. Warunek zniszczenia według hipotezy H-M-H dla płaskiego stanu naprężenia
Rysunek 8.33 przedstawia graficzną interpretację warunku zniszczenia według hipotezy H-M-H
w płaskim stanie naprężenia w układzie naprężeń głównych. Krzywą tę nazywa się elipsą Hubera. Punkt
A reprezentuje bezpieczny stan naprężenia, punkt B reprezentuje stan naprężenia, który powoduje
zniszczenie materiału natomiast punkt C reprezentuje stan naprężenia, który nie może się dla danego mate-
riału zrealizować, ponieważ materiał ten już nie istnieje.
W przypadku stanu naprężenia występującego w dowolnym punkcie belki lub ramy płaskiej (8.4)
naprężenie zredukowane według hipotezy H-M-H wyznacza się ze wzoru
. (8.102)
ÈÄ…red= ÈÄ…2 ƒÄ…3Å"ÉÄ…2
ćą
X XZ
Warunek zniszczenia dla belki lub ramy płaskiej będzie miał postać
Dr inż. Janusz Dębiński
WM 8. ANALIZA STANU NAPR
ŻENIA I ODKSZTAA
CENIA 29
. (8.103)
ÈÄ…P= ÈÄ…2 ƒÄ…3Å"ÉÄ…2
ćą
X XZ
Podnosząc obustronnie równanie (8.103) do kwadratu otrzymamy
ÈÄ…2 =ÈÄ…2 ƒÄ…3Å"ÉÄ…2 . (8.104)
P X XZ
DzielÄ…c obustronnie równanie (8.104) przez ÃP otrzymamy
ÈÄ…2 3Å"ÉÄ…2
X XZ
ƒÄ… =1 . (8.105)
ÈÄ…2 ÈÄ…2
P P
Przenosząc 3 do mianownika otrzymamy warunek zniszczenia według hipotezy H-M-H w postaci
ÈÄ…2 ÉÄ…2
X XZ
ƒÄ… =1
ÈÄ…2 ÈÄ…P 2
. (8.106)
P
śą źą
3
ćą
Wyrażenie
ÈÄ…P
(8.107)
ÉÄ…P= H"0,577Å"ÈÄ…P
3
ćą
nazywamy wytrzymałością materiału na ścinanie. Jak widać wytrzymałość na ścinanie jest według tej
hipotezy większa niż połowa wytrzymałości na rozciąganie. Rysunek 8.34 przedstawia graficzną inter-
pretację warunku zniszczenia według hipotezy H-M-H w stanie naprężenia występującego w belkach
i ramach płaskich. Punkt A reprezentuje bezpieczny stan naprężenia, punkt B reprezentuje stan naprężenia,
który powoduje zniszczenie belki lub ramy natomiast punkt C reprezentuje stan naprężenia, który nie może
się dla danego materiału zrealizować, ponieważ belka czy rama już nie istnieje.
ÄXZ
ÈÄ…P
3
ćą
C
ÃX
-ÃP ÃP
A
B
ÈÄ…P
-
3
ćą
Rys. 8.34. Warunek zniszczenia według hipotezy H-M-H dla stanu naprężenia występującego w belkach i ramach
płaskich
Dr inż. Janusz Dębiński
WM 8. ANALIZA STANU NAPR
ŻENIA I ODKSZTAA
CENIA 30
8.14. Hipoteza Treski
Ograniczymy się tylko do hipotezy Treski dla płaskiego stanu naprężenia. Jako naprężenie niebez-
pieczne przyjmiemy granicÄ™ plastycznoÅ›ci ÃP. Możemy wiÄ™c zapisać warunek zniszczenia w postaci
(8.108)
ÈÄ… =ÈÄ…P .
red
Według tej hipotezy materiał przechodzi w stan niebezpieczny wtedy, gdy maksymalne naprę-
żenie styczne osiągnie pewną wartość graniczną, charakterystyczną dla tego materiału. Maksymalne
naprężenie styczne wyznacza się z ogólnego wzoru
ÈÄ…I -ÈÄ…III ,
(8.109)
ÉÄ…MAX =
2
w którym à jest najwiÄ™kszym naprężeniem głównym natomiast à jest najmniejszym naprężeniem
I III
głównym czyli dla tensora (8.15) możemy napisać
ÈÄ…
Xgl
(8.110)
ÈÄ…I=max
ÈÄ…Zgl ,
{
0
ÈÄ…Xgl
(8.111)
ÈÄ…III=min
ÈÄ…Zgl .
{
0
Naprężenie zredukowane według hipotezy Treski wynosi
(8.112)
ÈÄ… =ÈÄ…I -ÈÄ…III .
red
Rysunek 8.35 przedstawia graficzną interpretację warunku zniszczenia według hipotezy Treski dla płaskiego
stanu naprężenia. Punkt A reprezentuje bezpieczny stan naprężenia, punkt B reprezentuje stan naprężenia,
który powoduje zniszczenie materiału natomiast punkt C reprezentuje stan naprężenia, który nie może się
dla danego materiału zrealizować, ponieważ materiał ten już nie istnieje.
W przypadku stanu naprężenia występującego w dowolnym punkcie belki lub ramy płaskiej (8.4)
naprężenie zredukowane według hipotezy Treski wyznacza się ze wzoru
. (8.113)
ÈÄ…red= ÈÄ…2 ƒÄ…4Å"ÉÄ…2
ćą
X XZ
Warunek zniszczenia dla belki lub ramy płaskiej będzie miał postać
. (8.114)
ÈÄ…P= ÈÄ…2 ƒÄ…4Å"ÉÄ…2
ćą
X XZ
Dr inż. Janusz Dębiński
WM 8. ANALIZA STANU NAPR
ŻENIA I ODKSZTAA
CENIA 31
Ã2
ÃP
C
A
-ÃP ÃP
Ã1
B
-ÃP
Rys. 8.35. Warunek zniszczenia według hipotezy Treski dla płaskiego stanu naprężenia
Ostateczny warunek zniszczenia według hipotezy Treski (elipsa Treski) ma postać
ÈÄ…2 ÉÄ…2
X XZ
ƒÄ… =1
ÈÄ…2 ÈÄ…P 2 . (8.115)
P
śą źą
2
Wyrażenie
ÈÄ…P
(8.116)
ÉÄ…P=
2
nazywamy wytrzymałością materiału na ścinanie. Jak widać wytrzymałość na ścinanie jest według tej
hipotezy równa połowie wytrzymałości na rozciąganie. Rysunek 8.36 przedstawia graficzną interpretację
warunku zniszczenia według hipotezy Treski w stanie naprężenia występującego w belkach i ramach
płaskich. Punkt A reprezentuje bezpieczny stan naprężenia, punkt B reprezentuje stan naprężenia, który
powoduje zniszczenie belki lub ramy natomiast punkt C reprezentuje stan naprężenia, który nie może się dla
danego materiału zrealizować, ponieważ belka czy rama już nie istnieje.
ÄXZ
ÈÄ…P
C
2
ÃX
-ÃP ÃP
A
B
ÈÄ…P
-
2
Rys. 8.36. Warunek zniszczenia według hipotezy Treski dla stanu naprężenia występującego w belkach i ramach
płaskich
Dr inż. Janusz Dębiński
WM 8. ANALIZA STANU NAPR
ŻENIA I ODKSZTAA
CENIA 32
8.15. Porównanie hipotez H-M-H i Treski
Rysunek 8.37 przedstawia porównanie warunku zniszczenia według hipotez Hubera-Misesa-
Hencky'ego i Treski w płaskim stanie naprężenia w układzie osi głównych.
Ã2
H-M-H
ÃP
Treska
Ã1
-ÃP ÃP
-ÃP
Rys. 8.37. Porównanie warunku zniszczenia według hipotez H-M-H i Treski dla płaskiego stanu naprężenia w osiach
głównych
Rysunek 8.38 przedstawia porównanie warunku zniszczenia według hipotez Hubera-Misesa-
Hencky'ego i Treski w stanie naprężenia, który występuje w dowolnym punkcie belki lub ramy płaskiej.
ÄXZ
ÈÄ…P
3
ćą
H-M-H
ÈÄ…P
Treska
2
ÃX
-ÃP ÃP
ÈÄ…P
-
2
ÈÄ…P
-
3
ćą
Rys. 8.38. Porównanie warunku zniszczenia według hipotez H-M-H i Treski dla stanu naprężenia występującego
w belkach i ramach płaskich
Porównując rysunki 8.37 i 8.38 widać, że stany naprężenia, które hipoteza Treski uznaje za niebez-
pieczne lub niemożliwe do zrealizowania hipoteza H-M-H uznaje za bezpieczne. Ogólnie mówiąc hipoteza
H-M-H pozwala na większe wytężenie materiału. Naprężenia zredukowane wyznaczone według hipotezy
Treski będą większe od tych wyznaczonych według hipotezy H-M-H. Na podstawie badań doświad-
czalnych bliższa prawdy okazała się hipoteza H-M-H i to ona jest stosowana do obliczeń konstrukcji
stalowych.
Dr inż. Janusz Dębiński