4. ELEMENTY PA
ASKIEGO STANU NAPR
ŻEC
I ODKSZTAA
CEC
1
4. ����Ł�
4. ELEMENTY PA
ASKIEGO STANU NAPR
ŻEC
I ODKSZTAA
CEC

4.1. Elementy trójkątne
Do opisywania dwuwymiarowego kontinuum jako jeden z pierwszych elementów zastosowano
element trójkątny nazywany skrótem CST (Constant Strain Triangle). W elemencie tym wyróżnić możemy
trzy węzły (zobrazowane poprzez wierzchołki trójkąta), które mają po dwa translacyjne stopnie swobody.
Tak więc przemieszczenie dowolnego punktu elementu opisywać będziemy w układzie x0y za pomocą
dwóch składowych, które oznaczymy u i v. Kolejne przemieszczenia węzłowe oznaczymy przez d do d .
1 6
Odpowiadają one stopniom swobody oznaczonym na rysunku poniżej
d6
d5
k
vik
v vjk
d1
y
i
i u
j
d3
d2 vij
d4
x
Rys. 4.1. Element trójwęzłowy
Wektor przemieszczeń d, który opisuje deformację elementu, składa się z następujących składowych
(4.1)
d =[d1 , d , d , d , d5 , d ,]T=[u1 , v2 ,u3 , v4 , u5 , v6 ,]T
2 3 4 6
Możemy przyjąć funkcje, które będą opisywać wielkości przemieszczeń u i v w postaci liniowo
zależnej od x i y:
u=c1�ąc2 x�ąc3 y
(4.2)
v=c4�ąc5 x�ąc6 y
u=[u , v]T
W postaci macierzowej założoną aproksymację zmian wektora przemieszczeń możemy
zapisać
(4.3)
u=gc
gdzie c jest wektorem stałych c (na razie nieznanych), natomiast macierz geometryczna g ma postać
i
1 x y 0 0 0
g= (4.4)
[ ]
0 0 0 1 x y
J.Gieczewski, M.Kończal, A.Krzysztoń, D.Mejbaum, N.Roszak, M.Wojciechowski, J.Wojtkowiak AlmaMater
4. ELEMENTY PA
ASKIEGO STANU NAPR
ŻEC
I ODKSZTAA
CEC
2
Jeśli podstawimy warunki brzegowe, to znaczy porównamy przemieszczenia u i v odpowiednio do
przemieszczeń węzłów w punktach i, j, k otrzymamy macierz h postaci:
1 xi yi 0 0 0
0 0 0 1 xi yi
gi
1 x y 0 0 0
j j
h= =
g (4.5)
j
0 0 0 1 x y
j j
[ ]
gk
1 xk yk 0 0 0
[ ]
0 0 0 1 xk yk
która spełnia poniższe równanie macierzowe:
(4.6)
d =hc
h-1
Z równania tego wyznaczamy wartości stałych c przez znalezienie macierzy odwrotnej :
i
x yk-xk y 0 xk yi-xi yk 0 xi y -x yi 0
j j j j
-y 0 -ykj 0 -yij 0
jk
1 x 0 xkj 0 xij 0
jk
h-1=
(4.7)
2 Aijk
0 x yk-xk y 0 xk yi-xi yk 0 xi y -x yi
j j j j
0 -y 0 -yki 0 -yij
jk
[ ]
0 x 0 xki 0 xij
jk
Wpływ jednostkowego przemieszczenia w węzłach na przemieszczenia wszystkich punktów na
obszarze elementu
xij=x -xi
j
(4.8)
yki= yi- yk
Funkcja kształtu jest funkcją liniową.
1 xi yi
2 Aijk=#"podwójne pole powierzchni trójkąta#"=det =xij yik-xik yij
1 x y
j j
(4.9)
[ ]
1 xk yk
Macierz funkcji kształtu ma więc postać:
N 0 N 0 N 0
1 2 3
N =gh-1 =
(4.10)
[ ]
0 N1 0 N 0 N
2 3
J.Gieczewski, M.Kończal, A.Krzysztoń, D.Mejbaum, N.Roszak, M.Wojciechowski, J.Wojtkowiak AlmaMater
4. ELEMENTY PA
ASKIEGO STANU NAPR
ŻEC
I ODKSZTAA
CEC
3
gdzie odpowiednie funkcje wyrażają się następującymi wzorami
1
N = x yk-xk y - y x�ąx y
śą źą (4.11)
1 j jk jk
2 Aijk j
1
N = xk yi-xi yk- yki x�ąxki y
śą źą (4.12)
2
2 Aijk
1
N = xi y -x yi- yij x�ąxij y
śą źą (4.13)
3
2 Aijk j j
Zależność pomiędzy przemieszczeniami węzłów d a odkształceniami elementu otrzymamy wykonując
działanie pokazane poniżej
"
0
" x
- y 0 - yki 0 -yij 0
jk
1
"
B=L N = N = (4.14)
0
2 Aijk 0 x jk 0 xki 0 xij
" y
[ ]
x - y xki - yki xij - yij
jk jk
" "
[ ]
" y " x
�ą=Bd (4.15)
Jeśli założymy, że mamy do czynienia z materiałem izotropowym możemy macierz konstytutywną
zapisać
e1 �ą 0
E
D=
(4.16)
śą1�ą�ąźąe2 �ą e1 0
[ ]
0 0 e3
ei
Gdzie przyjęte stałe są równe:
"' dla płaskiego stanu naprężenia
e1 =1
e2 =1-�ą
(4.17)
e2
e3 =
2
"' dla płaskiego stanu odkształcenia
J.Gieczewski, M.Kończal, A.Krzysztoń, D.Mejbaum, N.Roszak, M.Wojciechowski, J.Wojtkowiak AlmaMater
4. ELEMENTY PA
ASKIEGO STANU NAPR
ŻEC
I ODKSZTAA
CEC
4
e1 =1-�ą
e2 =1-2�ą
(4.18)
e2
e3 =
2
Macierz sztywności elementu CST
K = BT DB dV =BT DBAijk t=K1 �ąK
+"
2 (4.19)
V
gdzie przez t oznaczono grubość elementu, zaś macierze K i K zawierają wyrazy wywodzące się
1 2
odpowiednio tylko z odkształceń normalnych i ścinających:
e1 y2 �ą �ą �ą �ą �ą
jk
-�ą x y e1 x2 �ą �ą �ą �ą
jk jk jk
2
e1 yki y -�ą x yki e1 yki �ą �ą �ą
jk jk
K1=e4 (4.20)
-�ą xki y e1 xki x -�ą xki yki e1 x2 �ą �ą
jk jk ki
2
e1 yij y -�ą x yij e1 yij yki -�ą xki yij e1 yij �ą
jk jk
[ ]
2
-�ą xij y e1 xij x -�ą xij yki e1 xij xki -�ą xij yij e1 xij
jk jk
x2 �ą �ą �ą �ą �ą
jk
-x y y2 �ą �ą �ą �ą
jk jk jk
2
xki x -xki y xki �ą �ą �ą
jk
K2=e4 jk (4.21)
-x yki yki y -xki yki y2 �ą �ą
jk jk ki
2
xij x -xij y xij xki -xij yki xij �ą
jk jk
[ ]
2
-x yij yij y -xki yij yij yki -xij yij yij
jk jk
Powyższe macierze są macierzami symetrycznymi .
We wzorach na K i K wzorach przyjęto następujące oznaczenia
1 2
e1 �ą 0
Et
e4=
4 Aijk śą1�ą�ąźąe2 �ą e1 0
[ ]
(4.22)
0 0 e3
e5 =e4 =e3
4.2. Element skończony trójkątny sześciowęzłowy
J.Gieczewski, M.Kończal, A.Krzysztoń, D.Mejbaum, N.Roszak, M.Wojciechowski, J.Wojtkowiak AlmaMater
4. ELEMENTY PA
ASKIEGO STANU NAPR
ŻEC
I ODKSZTAA
CEC
5
Do analizy płaskich stanów naprężenia i odkształcenia możemy posłużyć się również
sześciowęzłowym elementem trójkątnym, który w literaturze jest w skrócie nazywany LST (Linear Strain
Triangle). Element ten przedstawia poniższy rysunek:
3
6
5
y
1
4
2
v2
x
Rys. 4.2. Element sześciowęzłowy
Wektor przemieszczeń węzłowy możemy zapisać jako
T
(4.23)
d = u2 u3 u4 u5 u6 v1 v2 v3 v4 v5 v6
[u ]
1
Wektor przemieszczenia dowolnego punktu elementu określony jest przy pomocy dwóch składowych:
[ ]T . Natomiast aproksymację każdej ze składowych przyjmuje się w postaci
u= u v
u=c1�ąc2 x�ąc3 y�ąc4 x2�ąc5 xy�ąc6 y2
(4.24)
v=c7�ąc8 x�ąc9 y�ąc10 x2�ąc11 xy�ąc12 y2
Wektor odkształcenia możemy wyrazić jako funkcję przemieszczeń węzłów
�ąx Bx 0
u
�ą= = = =Bd
�ąy 0 By (4.25)
[ ]
v
[ ] [ ]
ąąxy By Bx
Poszczególne wektory można zapisać następująco
�ąx1 �ąy1 ąąxy1
�ąx= �ąy= ąąxy=
�ąx2 �ąy2 ąąxy2 (4.26)
[ ] [ ] [ ]
�ąx3 �ąy3 ąąxy3
Zastosowane macierze B wyrazić można jako
i
J.Gieczewski, M.Kończal, A.Krzysztoń, D.Mejbaum, N.Roszak, M.Wojciechowski, J.Wojtkowiak AlmaMater
4. ELEMENTY PA
ASKIEGO STANU NAPR
ŻEC
I ODKSZTAA
CEC
6
3 y32 -y13 -y21 4 y13 0 4 y21
1
Bx= -y32 3 y13 -y21 4 y32 4 y21 0 (4.27)
2 A
[ ]
-y32 -y13 3 y21 0 4 y13 4 y32
3 x23 -x31 -x12 4 x31 0 4 x12
1
By= -x23 3 x31 -x12 4 x23 4 x12 0 (4.28)
2 A
[ ]
-x23 -x31 3 x12 0 4 x31 4 x23
4.3. Kondensacja statyczna
Kondensacja statyczna polega na tworzeniu elementu czterokątnego z elementów trójkątnych
(suma dwóch trójkątnych).
KQi=KT �ąKT i=1 , 2
(4.29)
1 2
1
K0= [ KQ �ąKQ ] (4.30)
1 2
2
J.Gieczewski, M.Kończal, A.Krzysztoń, D.Mejbaum, N.Roszak, M.Wojciechowski, J.Wojtkowiak AlmaMater
4. ELEMENTY PA
ASKIEGO STANU NAPR
ŻEC
I ODKSZTAA
CEC
7
K K d pA
AA AB A
�" =
(4.31)
[ ][ ] [ ]
K K d pB
BA BB B
K �"d �ąK �"d = pA
AA A AB B
(4.32)
K �"d �ąK �"d = pB
BA A BB B
Po odpowiednich przekształceniach doprowadzamy wzory do postaci
-1
K �"K �"śą pA-K �"d źą�ąK �"d = pB
BA AA AB B BB B
(4.33)
-1 -1
śąK -K �"K �"K źą�"d = pB-K �"K �"pA
BB BA AA AB B BA AA
co skracamy do postaci
6'
K �"d = pB 6' (4.34)
BB B
Dokładność macierzy sztywności zależy od dyskretyzacji, otrzymujemy wynik przybliżony.
Tylko wtedy gdy obciążenia przyłożymy w węzłach, funkcja kształtu trzeciego stopnia
vśą xźą=a1�ąa2 x�ąa3 x2�ąa4 x3 (4.35)
Jest prawdziwą i dokładną funkcją rozwiązującą dane równanie różniczkowe. Funkcja momentów na
danym odcinku jest liniowa.
w ąM śą xźą
2
d =
(4.36)
d x2 EI
Kondensacja statyczna polega na dodaniu do siebie prostych elementów po to aby tworzyć bardziej
złożone. Składanie czworokąta z trójkątów to dodanie odpowiednich sztywności.(RYSUNKI). Dochodzenie
do macierzy sztywności elementu czworokątnego może odbywać się w różny sposób. Element czworokątny
o węzłach 1,2,3,4 można złożyć z dwóch trójkątów 4,1,2 i 4,3,2 lub 1,4,3 i 1,2,3.
J.Gieczewski, M.Kończal, A.Krzysztoń, D.Mejbaum, N.Roszak, M.Wojciechowski, J.Wojtkowiak AlmaMater