PODSTAWY TEORII STANU NAPR
ŻENIA
1. Stan naprężenia przy jednoosiowym rozciąganiu (stan jednorodny)
Przez każdy punkt pręta można przeprowadzić nieskończoną liczbę przekrojów pod różnymi
kątami do jego osi i każdemu przekrojowi odpowiada inne naprężenie.
B
P
P
W przekroju prostopadłym
B
P
s� =�
x
A
P
s�x
Wytnijmy z pręta element dwoma przekrojami prostopadłymi i przetnijmy go pod kątem a� do
przekroju prostopadłego.
n
s�a�
s�x
s�x
s�x
s�x
t�a�
Acosa� A t
Ułóżmy równania równowagi:
S�Pn = s�a� A - s�x A cosa� cosa� = 0 �� s�a� = s�x cos2a�
S�Pt = t�a� A - s�x A cosa� sina� = 0 �� t�a� = s�x sina� cosa� = � s�x sin2a�
s�a� �� max �� a� = 0�� s�a� = s�x
t�a� �� max �� a� = 45�� t�a� = � s�x
2. Równania równowagi wewnętrznej
W przypadku niejednorodnego stanu naprężenia, wartości składowych naprężeń zmieniają
się ze zmiana położenia.
Rozpatrzmy prostopadłościan o krawędziach dx, dy, dz będący w równowadze
z
Znaki naprężeń:
s�x s� - rozciągające ( + )
ściskające (  )
s�y
t�yx Z t�xy
t�xy  x  wskazuje oś ^�
y - wskazuje oś II
t�xz
t�yz Y
X, Y, Z  siły masowe
dz
X
ś�t�
xz t�zx
t� +� dx
y
xz
ś�x
t�zy
x
dy dx
ś�s�
x
s� +� dx
x
ś�x
s�x, t�xy, t�xz  naprężenia na
s�z
ś�t�
xy
t� +� dx
ściance ^� do osi x
xy
ś�x
naprężenia na ściance przesuniętej o dx.
Pisząc równania równowagi (sumy rzutów wszystkich sił na poszczególne osie)
ś�t�
ś�s� ś�t�
yz
x zx
+� dx)dydz -�s� dydz +� (t� +� dx)dydz +�t� dxdz +� (t� dz)dxdy -�t� dxdy +� Xdxdydz =� 0
��X =� (s� x x yz yx zx zx
ś�x ś�y ś�z
podobnie
��Y =� 0
i =� 0 po uporządkowaniu i uproszczeniu otrzymamy układ równań:
��Z
ś� t�
ś� t�
ś� s�
yx
zx
x
+� +� +� X =� 0
ś� x ś� y ś� z
ś� t� ś� s� ś� t�
xy y zy
+� +� +� Y =� 0 są to równania równowagi wewnętrznej
ś� x ś� y ś� z
ś� t� ś� t� ś� s�
xz zx z
+� +� +� Z =� 0
ś� x ś� y ś� z
3. Twierdzenie o wzajemności naprężeń stycznych
Wykorzystamy pozostałe równania równowagi  równania momentów
z
ś� t�
zy
t� +� dz
zy
ś� z
ś� t�
yz
t� +� dy
yz
ś� y
dz
t�yz
y
dx
x
t�zy
x
dy
ś� t� ś� t�
1 1 1 1
yz zy
=� (t� +� dy)dxdz dy +�t� dzdx dy -� (t� +� dz)dxdy dz -�t� dxdy dz =� 0
��M x' yz yz zy zy
ś� y 2 2 ś� z 2 2
po uproszczeniu i pominięciu wyrażeń małych wyższego rzędu otrzymamy: t�yz = t�zy
z pozostałych równań momentów mamy t�xz = t�zx
t�yx = t�xy
słownie tzw. aksjomat Boltzmanna brzmi:
 Składowe naprężeń stycznych prostopadłe do krawędzi przecięcia się dwóch
przekrojów elementarnych wzajemnie prostopadłych są zawsze równe
Mamy zatem w układzie przestrzennym 6 składowych stanu naprężenia,
a w układzie płaskim 3 składowe - s�x, s�y i t�xy = t�yx
4. Warunki powierzchniowe  naprężenia w punkcie zależnie od orientacji przekroju.
Rozpatrzmy równowagę czworościanu pod wpływem sił powierzchniowych.
z
Znamy w punkcie 0 naprężenia w
trzech wzajemnie prostopadłych
przekrojach.
Pz P
Chcemy wyznaczyć naprężenia w
t�xy s�x
m�
t�yx
tym punkcie w przekroju o kierunku
s�y określonym osią normalną o
cosinusach kierunkowych:
Px t�xz
dA
l = cos(m�x), m = cos(m�y), n = cos(m�z),
t�yz
Py
0
t�zx
t�zy
y
Z sumy rzutów otrzymamy;
x
dAy -�t� dAx -�t� dAz +� pydA =� 0
��Y =� -�s� y xy zy
s�z
podobnie: =� 0 i X =� 0
��Z ��
px = s�x l + t�yxm + t�zxn
py = t�xy l + s�ym + t�zyn
pz = t�xz l + t�yzm + s�zn
2 2
Całkowite naprężenie: p =� px +� p2 +� pz
y
Naprężenie normalne s� =� pxl +� pym +� pzn
a po rozwinięciu i uporządkowaniu i wykorzystaniu postulatu Boltzmanna:
2
s� =� s� l +� s� m2 +� s� n2 +� 2t� lm +� 2t� mn +� 2t� nl
x y z xy yz zx
2
naprężenie styczne t� =� p2 -� s�
Transformacja składowych płaskiego stanu naprężenia
Rozpatrzmy cienką płaska tarczę poddaną działaniu naprężeń: s�x, s�y i t�xy = t�yx.
y
s�y ] n
]
Przyjmijmy grubość tarczy równą 1.
n
t�xy
n
s�x x
j�
Poprowadz
my myślowy przekrój pod
kątem j� do kierunku osi x.
s�x
t�xy
s�y
t�yx
Niech powierzchnia przekroju wynosi Aj�
n
zatem Ax= Aj� cosj�; Ay= Aj� sinj�;
t�j� s�j�
]
s�x n x
j�
Odrzućmy część prawą i rozpatrzmy
t�xy
równowagę pozostałej (lewej) części elementu.
t�yx s�y
S�Fj� = s�j� A - s�x Aj� cosj� cosj� - s�y Aj� sinj� sinj� - t�xy Aj� cosj� sinj� - t�xy Aj� sinj� cosj� = 0
S�Fj�+90 = t�j� A + s�x Aj� cosj� sinj� - s�y Aj� sinj� cos j� + t�xy Aj� sin j� sinj� - t�xy Aj� cos j� cosj� = 0
po uporządkowaniu otrzymamy:
s�j� = s�x cos2j� + s�y sin2j� + 2t�xy sinj� cosj�
t�j� = - (s�x - s�y) sinj� cos j� + t�xy (cos2j� - sin2j�)
lub po wprowadzeniu kąta podwójnego 2j� :
s�j� = �(s�x + s�y) + �(s�x - s�y) cos2j� + t�xy sin2j�
s�j� = s�x cos2j� + s�y sin2j� + t�xy sin2j� wzory transformacyjne
t�j� = - � (s�x - s�y) sin2j� + t�xy cos2j�:
- Naprężenia główne  ekstremalne wartości naprężeń normalnych dla których t� = 0,
- Płaszczyzny główne  płaszczyzny na których działają naprężenia główne,
- Osie główne (kierunki główne)  normalne do płaszczyzn głównych
Położenie kierunków głównych wyznaczymy z t�j� = 0 lub z ds�j�/dj�=0
2t�xy
tg 2j� =� �� j�1 i j�1+90��
( s�x -� s�y )
a ich wartość ze wzoru
1 1
2
s�1,2 =� (s� +�s� ) ą� (s� -�s� )2 +� 4t�
x y x y xy
2 2
s�1 = s�max, s�2 = s�min, (s�3 = o)
Ekstremalne naprężenia styczne występują w przekrojach obróconych względem
przekrojów głównych o kąt 45��, a ich wartość wynosi:
1 s� -� s�
2
1 2
t� =� ą� (s� -�s� )2 +� 4t� lub t� =�
max,min x y xy max
2 2
Koło Mohra i jego zastosowanie do transformacji składowych płaskiego stanu naprężenia
I. Dane s�x, s�y i t�xy, s�x > s�y, t�xy>0, - szukamy kierunków głównych i naprężeń głównych
s�1
1. Rysujemy osie s� i t�.
t�
2
2. Na osi poziomej odkładamy:
G
C
s�x = 0A, s�y = 0B,
s�2
t�max
3. Wyznaczamy środek koła:
t�xy
B s� 0S = �(0A+0B) = �(s�x + s�y)
2j�
0
E
j� F
S A
4. Zaznaczamy odcinek AC=t�xy
5. Promieniem SC kreślimy koło
1
1 2 2
s�y
SC =� SA2 +� AC =� (s� -� s� )2 +� 4t�
x y xy
2
s�x
6. Kierunki główne określa kąt 2j�0 zawarty
między osią s� a SC.
y
s�y
7. Naprężenie główne s�1=0S+SF
2
s�2
t�xy
1 1
2
s� =� (s� +� s� ) +� (s� -� s� )2 +� 4t�
1 x y x y xy
2 2
s�1
s�x
x
s� -� s�
1 2
s�2=0S  SE t� =� SG =�
max
j�0 s�1
2
s�2
1
II. Transformacja z kierunków głównych.
Dane s�1 > s�2 > 0, oraz ich położenie - szukamy naprężeń w dowolnym przekroju j�.
t� �(s�1+s�2) �(s�1-s�2)
Odkładamy s�1 = 0A, s�2 = 0B
Znajdujemy środek koła:
+j�
0S = �(s�1 + s�2)
i promieniem
s�
R A
B
0
SA = �(s�1 - s�2)
S -2j� T
kreślimy koło.
t�j�
s�2
Odmierzamy od promienia SA kąt 2j�
s�j�+90
P
i ze środka S prowadzimy prostą do
s�j�
przecięcia się z kołem (D).
s�1
2
s�2 s�j�+90
s�j�
t�j�+90
s�1 t�j�
s�1
s�1
1
t�j�
-j�
s�j�
t�j�+90
s�j�+90
s�2
Przykłady szczególnych stanów naprężenia
t�
S s�
1. Równomierne rozciąganie s�1 = s�2 = s�3 >0
s�1=s�2=s�3
2. Płaskie równomierne rozciąganie s�1 = s�2 > 0 s�3 =0
3. Jednoosiowe rozciąganie (ściskanie)
t�
t�
s�
s�
S
S
s�1>0
s�1=0
s�2=0
s�2<0
s�1
s�2
t�
4. Płaskie ścinanie s�1 = -s�2
s�
S
s�2 s�1
PODSTAWY TEORII STANU ODKSZTAA
CENIA
Warunki geometryczne  związki przemieszczeń i odkształceń.
Jeżeli przez u, v, w oznaczymy składowe przemieszczenia dowolnego punktu w kierunkach osi
x, y, z, to e�, g� - składowe stanu odkształcenia wynoszą:
ś� u ś� u ś� v
e� =� g� =� +� e� - wydłużenie właściwe
x xy
ś� x ś� y ś� x
ś� v ś� v ś� vw
e� =� g� =� +� g� - odkształcenie poprzeczne
y yz
ś� y ś� z ś� xy
ś� w ś� w ś� u
e� =� g� =� +� (kąt odkształcenia postaciowego)
z zx
ś� z ś� x ś� z
Transformacja składowych płaskiego stanu odkształcenia
Zależności opisujące transformacje odkształceń mają taką samą postać jak zależności
opisujące transformację naprężeń, jeżeli dokona się zamiany wielkości:
s� �� e� t� �� �g�
Przykład Stan określono trzema wydłużeniami e�a, e�b, e�c na powierzchni ciała mierzonymi w
kierunkach trzech osi a, b, c, nachylonych wzajemnie pod kątem T!p�. Wyznaczyć
składowe stanu odkształcenia e�x, e�y, g�xy w prostokątnym układzie osi x, y (y=a),
kierunki główne i odkształcenia główne, a także wartości naprężeń głównych s�1, s�2.
y
e�a = e�y
e�c = �(e�x+e�y)+�(e�x-e�y)cos2 210�+�g�xysin2 210�
a
e�b = �(e�x+e�y)+�(e�x-e�y)cos2(-30�)+�g�xysin2(-30�)
kier. główne
cos420�=cos(2p�+60�)=�
x
210��
sin420�=sin(2p�+60�)="3/2
-30��
cos(-60�)= cos(60�)=�
330��
b
sin(-60�)= -sin(60�)=-"3/2
c
e�c = �(e�x+e�y) + �(e�x-e�y) � + �g�xy "3/2
e�b = �(e�x+e�y) + �(e�x-e�y) � - �g�xy "3/2
e�x = S!(-e�a+2e�b+2e�c
g�xy = T!"3(e�c-e�b)
g�
3(e�b -� e� )
xy
c
położenie kierunków głównych tg2a�0 =� =�
e� -� e� 2e�a -� e�b -� e�c
x y
1 1
2
odkształcenia główne e�1,2 =� (e� +� e� ) ą� (e� -� e� )2 +� g�
x y x y xy
2 2
E
naprężenia główne s� =� (e�1 +�e�2 )
1
2
1 -�
E
s� =� (e� +�e�1 )
2 2
2
1 -�
Uogólnione prawo Hooke a  określa związki miedzy składowymi stanu naprężenia i stanu
odkształcenia dla dowolnego przestrzennego stanu.
Rozpatrzmy jednostkowy sześcian na który działają naprężenia główne s�1, s�2, s�3.
Korzystając z zasady superpozycji rozkładamy
1
ten stan na trzy stany proste.
s�1
Gdy działa tylko s�1 (s�2 = s�3=0) to odkształcenia:
s� s� s�
' 1 ' 1 ' 1
e�1 =� ; e� =� -� ; e� =� -�
2 3
E E E
s�2
podobnie:
s� s� s�
' 2 ' 2 ' 2
2
s�3 e�1' =� -� ; e� =� ; e� =� -�
2 3
3
E E E
s� s� s�
' 3 ' 3 ' 3
i e�1'' =� -� ; e� =� -� ; e� =�
2 3
E E E
Całkowite odkształcenie względne w kierunku osi 1 wyznaczymy:
s� s� s�
' ' ' 1 2 3
e�1 =� e�1 +� e�1' +� e�1'' =� -� -�
E E E
analogicznie wyznaczając wydłużenia w kierunku 2 i 3 otrzymamy:
1
e�1 =� [�s� -� (s� +� s� )]�
1 2 3
E
1
e� =� [�s� -� (s� +� s� )]� - uogólnione prawo Hooke a dla przestrzennego stanu naprężenia
2 2 1 3
E
1
e� =� [�s� -� (s� +� s� )]�
3 3 2 1
E
dla płaskiego stanu naprężenia (s�3=0):
1
e�1 =� [�s� -�s�2]�
1
E
1
e� =� [�s� -�s�1]� - mamy przestrzenny stan odkształcenia
2 2
E

e� =� -� [�s� +� s� ]�
3 2 1
E
Zależność między kątem odkształcenia postaciowego a naprężeniem stycznym
Możemy ją uzyskać rozpatrując odkształcenia
2
s�2=-s�
elementu znajdującego sie w stanie czystego
ścinania t� = s�
t�
t�
1
g� =� lub t� =� G ��g�
G
s�1=s�
jest to prawo Hooke a dla czystego ścinania
E
G =� moduł sprężystości postaciowej (Kirchhoffa)
2(1 +� )
p� g�
-�
4 2
ponieważ 0<<0,5 E/3Ł�GŁ�E/2 dla stali G@�0,4E
W przypadku trójwymiarowego stanu naprężenia określonego przez s�x, s�y, s�z, t�xy, t�yz, t�zx
przestrzenny stan odkształcenia jest opisany przez 9 wielkości:
e�x, e�y, e�z, g�xy, g�yx, g�xz, g�zx, g�yz, g�zy, lecz wobec g�ij, g�ji,
przestrzenny stan odkształcenia określa 6 składowych:
e�x, e�y, e�z, g�xy, g�xz, g�yz,
t�
1
xy
e�x =� [�s� -� (s� +�s� )]� g� =�
x y z xy
E G
t�
1
yz
oraz e� =� [�s� -� (s� +�s� )]� g� =� - uogólnione prawo Hooke a
y y x z yz
E G
1 t�
zx
e�z =� [�s� -� (s� +�s� )]� g� =�
z y x zx
E G
Przykład Wyznaczyć siłę z jaką prostopadłościan abc oddziaływuje na boczne ściany
kanału płyty doskonale sztywnej. Prostopadłościan mieści się w kanale bez luzu i
wcisku. Dane: P, Q, a, b, c, .
P
Prostopadłościan znajduje się w
przestrzennym stanie naprężenia
c
s�1
s�1 ą� 0
s�2 ą� 0
s�2
s�3 ą� 0
s�3
b
Q
a
i w płaskim stanie odkształcenia
e�1 ą� 0 e�2 =� 0 e�3 ą� 0
Naprężenia składowe:
P Q
s�1 =� s�3 =�
ac ab
1 P Q
ć� ��
e� =� 0 =� [�s� -� (s� +� s� )]� �� s� =� (s� +� s� ) =� +�
�� ��
2 2 3 1 2 3 1
E a c b
Ł� ł�
Siła naporu prostopadłościanu na boczne ścianki płyty:
P Q
ć� ��
R =� s� �� bc =� +� �� bc =� (Pb +� Qc)
�� ��
2
a c b a
Ł� ł�
Energia sprężysta
Ważną własnością materiału jest zdolność gromadzenia w odkształconym sprężyście ciele
energii sprężystej, w którą przemienia się praca sił zewnętrznych L obciążających ciało.
Określa się ją jako energię sprężystości.
Obliczmy energię sprężystą pręta rozciągniętego siłą P o wydłużeniu l�.
L  praca sił zewnętrznych
P
V  energia sprężysta
l
Praca elementarna
P
dL = P dl�
l�
podstawiając:
l�
l�
EA
P
P =� l� i L =� V
l
otrzymamy:
l�
EA EA
dV =� l� dl� po scałkowaniu V =�
��l� dl�
l l
0
2
1 EA Pl 1 P l 1
V =� Pl�
V =� l�2 podstawiając l� =� mamy V =� lub
2 l EA 2 EA 2
Dzieląc całkowita energię sprężystą V przez objętość pręta A��l otrzymamy właściwą energię
sprężystą F� dla stanu jednoosiowego:
2
1 1 s� 1
2
F� =� E �� e� F� =� F� =� s� �� e�
2 2 E 2
obliczmy energie sprężystą ścinania
siła - t�zydydx
z
przesunięcie BB - g�yzdz
t� dydxg� dz
V 1 1
zy yz
B t�zy
F� =� =� =� t� g�
zy zy
dxdydz 2 dxdydz 2
B
t�zx
g�yz
dz 2
1 1 t� 1
2
F� =� t�g� F� =� F� =� Gg�
y
2 2 G 2
x
dy
dx
W przypadku ogólnego stanu naprężenia:
dL = �(s�xdydze�xdx+s�ydxdze�ydy+s�zdxdye�xdz+t�xydydzg�xydx+t�yzdzdxg�yzdy+t�zxdxdyg�zxdz)
dL
F� =�
dxdydz
1
F� =� (�s� e� +� s� e� +� s� e� +� t� g� +� t� g� +� t� g� )�
x x y y z z xy xy yz yz zx zx
2