Ćwiczenie 5: Funkcja napre żeń Airy ego dla p as-
kiego stanu napre żenia (PN, PSN)
opracowa a Ma gorzata Stojek
Teoria dla metod odwrotnych w rozwiazywaniu PSN
metoda odwrotna polega na:
1. zalożeniu pewnej funkcji napre żeń lub wprost pewnego stanu napre żenia
2. poszukiwaniu obcia żeń wywolujacych ten stan
Zastosujemy ja do funkcji Airye go, kt ra zakladamy w postaci wielomianu.
Można też wiele zagadnień rozwiazać za pomoca funkcji napre żeń Airy ego w
postaci wielomian w harmonicznych i biharmonicznych, ale zagadnienia
te wykraczaja poza zakres czasowy naszych ćwiczeń.
napre żeniowe warunki brzegowe wsp lrzedne tensora napre żenia dla zadanej
funkcji Airy ego F w przypadku braku sil masowych sa r wne
"2F "2F "2F
Ãx = , Ãy = , Äxy = -
"y2 "x2 "x"y
czyli tensor ma postać
"2F "2F
-"x"y
Fyy -Fxy
"y2
TÃ = =
"2F
-Fxy Fxx
-"x"y "2F
"x2
Wykorzystujac wzory (7.13) na wsp lrzedne normalnej i stycznej do konturu
nx cos Õ
=
ny sin Õ
otrzymujemy og lne wzory na warunki brzegowe dla zadanych wartości obcia żenia
normalnego pnn
"2F "2F "2F
pnn = (ny)2 - 2 nynx + (nx)2 (1)
"x2 "x"y "y2
i stycznego pns
"2F "2F "2F
pns = - nynx + (ny)2 - (nx)2 (2)
"x2 "y2 "x"y
do konturu obszaru. Możemy unikna ć automatyzmu wzor w (1, 2) w przypadku
gdy kontur jest r wnolegly do osi ukladu. W wczas dla n = [nx, ny] , stosujemy
wprost wzory (7.28)
pnx Ãx Äxy nx Fyy -Fxy nx
= = (3)
pny Äxy Ãy ny1 -Fxy Fxx ny
y
y
a) b)
C B C B
x
a a
0
x
D A D 0 A
a
a
c) d) y
y
B
A
r
x
a
0
x
C 0 A
a a
Figure 1: .
czyli
pnx nxFyy - nyFxy
=
pny -nxFxy + nyFxx
Przyk ad 1 Życzkowski Krzżs, strona 154
Jak należy obcia żyć tarcze (Rys.1), aby biharmoniczna funkcja F(x, y) = A (x3 + y2x)
byla dla nich funkcja napre żeń Airy ego?
Skladowe tensora napre żenia wynosza
"2F
Ãx = =
"y2
"2F
Ãy = =
"x2
"2F
Äxy = - =
"x"y
czyli tensor ma postać
TÃ = (4)
ad a)
krawedz
AB Wektor normalnej zewnetrznej ma wsp lrzedne n = [ , ]
Wsp rzedne wektora napre żenia na tym brzegu w uk adzie global-
2
nym wynosza (3)
pnx
=
pny
a
zaś po uwzglednieniu, że x = mamy ostatecznie
2
pnx
=
pny
a
krawedz
BC n = [ , ] , y =
2
pnx
=
pny
krawedz
CD n = [ , ] , x = -a
2
pnx
=
pny
krawedz
DA n = [ , ] , y = -a
2
pnx
=
pny
Uwaga: Jak widać w tym przypadku nie ma potrzeby stosowania wzor w (1, 2).
Zwr ćmy uwage, że na krawedziach r wnoleglych do osi y zachodzi
pnn, pns,
natomiast na krawedziach r wnoleglych do osi x
pns, pnn,
Znak pnn, pns jest określony przez osie uk adu w asnego, utworzonego przez
wektory normalnej zewnetrznej i stycznej do konturu. Kierunek stycznej jest taki,
że przemieszczajac sie w tym kierunku obszar mamy po lewej stronie. Rysunek
2 przedstawia graficzna interpretacje powyższych wynik w i rzeczywiste wektory
obcia żenia normalnego i stycznego do kolejnych fragment w konturu.
ad b) Tym razem skorzystamy z gotowych wzor w (1, 2), kt re dla naszego
tensora (4)
Fyy -Fxy
TÃ = =
-Fxy Fxx
przyjmuja postać
pnn = ( ) n2 - 2 ( ) (ny) (nx) + ( ) n2
y x
pns = ( ) (ny) (nx) + ( ) n2 - n2
y x
3
(a) (b)
y y
pnn pns
x
x
Figure 2: .
krawedz
AB Wektor normalnej zewnetrznej ma wsp lrzedne n = [ , ] .
Wsp rzedne wektora napre żenia na tym brzegu w uk adzie lokalnym
wynosza
pnn =
pns =
a
zaś po uwzglednieniu, że x = mamy ostatecznie
2
pnn =
pns =
krawedz
BC n = [ , ] , y = a
pnn =
pns =
krawedz
CD n = [ , ] , x = -a
2
pnn =
pns =
krawedz
DA n = [ , ] , y = 0
pnn =
pns =
Uwaga: Por wnanie wynik w dla krawedzi CD wykazuje, że
pnn = ( ) pnx
pns = ( ) pny
4
(a) (b)
y y
pnn pns
x x
Figure 3: .
Jest to oczywisty wynik jeżeli zauważymy, że lokalny uklad wsp lrzednych zwiazany
z ta krawedzia jest w stosunku do ukladu globalnego obr cony o Ä„. Graficzna in-
terpretacja rezultat w jest podana na rysunku 3.
ad c) W tym przypadku skorzystamy od razu ze wzor w (1, 2), gdyż nor-
malne do krawedzi AB i BC nie sa r wnolegle do osi globalnego ukladu wsp lrzed-
nych.
pnn = ( ) n2 - 2 ( ) (ny) (nx) + ( ) n2
y x
pns = ( ) (ny) (nx) + ( ) n2 - n2
y x
krawedz
AB Wektor normalnej zewnetrznej ma wsp lrzedne n = [ , ] .
Wsp rzedne wektora napre żenia na tym brzegu w uk adzie lokalnym
wynosza
pnn =
pns =
wartości w punktach
" A(a, 0)
pnn =
pns =
" B(0, a)
pnn =
pns =
5
" pnn = 0 dla punktu D, w kt rym zachodzi
( )
czyli y = ( ) , skad po uwzglednieniu r wnania krawedzi
y = ( ) otrzymujemy
( )
skad mamy D( , )
krawedz
BC n = [ , ]
pnn =
pns =
wartości w punktach
" B(0, a)
pnn =
pns =
" C(-a, 0)
pnn =
pns =
" pnn = 0 dla punktu E, w kt rym zachodzi
( )
czyli y = ( ) , skad po uwzglednieniu r wnania krawedzi
y = ( ) otrzymujemy
( )
skad mamy E( , )
krawedz
CA n = [ , ] , y = 0
pnn =
pns =
czyli
pns =
pnn(C) =
pnn(A) =
Graficzna reprezentacja wynik w jest przedstawiona na rysunku 4
6
y y
x x
Figure 4: .
ad d) W tym przypadku znowu skorzystamy od razu ze wzor w (1, 2),
pnn = ( ) n2 - 2 ( ) (ny) (nx) + ( ) n2 (5)
y x
pns = ( ) (ny) (nx) + ( ) n2 - n2
y x
gdyż wsp lrzedne jednostkowego wektora normalnego do konturu i skierowanego
na zewnatrz obszaru, zmieniaja sie wraz z punktem na konturze. Dla dowol-
nego punktu B(x, y) leżacego na okregu o promieniu r, wprowadzamy wsp lrzedne
biegunowe (r, Õ) i otrzymujemy
n = [ , ]
x =
y =
Wstawiajac te wartości do (5) otrzymujemy
pnn =
pns =
Podsumowanie wynik w
7
" wsp lrzedne wektora w ukladzie lokalnym zwiazanym z normalna i styczna
do zorientowanego konturu
pnn =
pns =
" dlugość wektora |pn|
|pn| = p2 + p2 =
nn ns
" kat Ä… miedzy wektorem pn [pnn, pns] a normalna do konturu n[1, 0]
pn ć% n
cos Ä… = =
pn
skad
Ä… =
Rysunek 5 przedstawia wektory napre żenia pn dla wielokrotności Ą/4
Õ = kÄ„/4, k = 0, 1, . . . , 7
8