10. ANALIZA STANU NAPR
ŻENIA - POJ
CIA PODSTAWOWE 1
�� �� Ł�
10.
10. Analiza stanu naprężenia - pojęcia podstawowe
10.1 Podstawowy zapisu wskaz
nikowego
Elementy konstrukcji znajdują się w przestrzeni fizycznej. Do opisu zjawisk w niej będzie stosowany
prawoskrętny układ współrzędnych kartezjańskich przedstawiony na rysunku 10.1. Na potrzeby opisu zjawisk
zamiast tradycyjnego oznaczenia wprowadzono osie X , X i X . Położenie dowolnego punktu opisują trzy
1 2 3
współrzędne x , x i x , które można zapisać w zapisie wskaz
nikowym
1 2 3
xi , (10.1)
w którym i=1, 2, 3. Indeks i będzie zawsze przyjmował wartości od 1 do 3. Prawoskrętny układ oznacza, że
śruba prawoskrętna kręcąca się od osi X do osi X będzie się wkręcała w kierunku osi X . Podobnie śruba
1 2 3
kręcąca się od osi X do osi X będzie się wkręcała w kierunku osi X . Na koniec, jeżeli śruba będzie się
2 3 1
kręciła od osi X do osi X to będzie się wkręcała w kierunku osi X . Przedstawia to rysunek 10.2.
3 1 2
Z=X3
A
x3
Y=X2
O
x2
Rys. 10.1. Prawoskrętny układ współrzędnych.
Z=X3
Z=X3
Z=X3
Y=X2 Y=X2
Y=X2
Obrót śruby prawoskrętnej
Rys. 10.2. Obrót śruby prawoskrętnej.
Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki AlmaMater
Dr inż. Janusz Dębiński
1
x
1
X
=
X
1
1
1
X
X
X
=
=
=
X
X
X
10. ANALIZA STANU NAPR
ŻENIA - POJ
CIA PODSTAWOWE 2
W analizie konstrukcji często występującą wielkością jest wielkość wektorowa. Wielkością wektorową może
Śą
być siła lub przemieszczenie punktu konstrukcji. Rysunek 10.3 przedstawia przykładowy wektor
A
przyłożony w początku układu współrzędnych. Wektor jest taką wielkością, którą charakteryzuje moduł
wektora, kierunek i zwrot. Jak widać na rysunku 10.3 wektor został przedstawiony za pomocą trzech
współrzędnych wektora na trzy osie przyjętego układu współrzędnych. Wektor przedstawiony na rysunku 10.3
posiada wszystkie trzy współrzędne dodatnie.
Z=X3
A3
A2
Y=X2
O
Rys. 10.3. Składowe wektora A.
Trzy współrzędne wektora można zapisać w formie macierzy kolumnowej w postaci
A1
A2 , (10.2)
[ ]
A3
lub w zapisie wskaz
nikowym
Ai , (10.3)
w którym i=1, 2, 3.
Śą Śą
Jeżeli dwa wektory i są równe to współrzędne wektorów spełniają warunek
A B
Ai=Bi . (10.4)
Śą Śą
Jeżeli pomnożymy wektor przez skalar a, otrzymano wektor współosiowy , który spełnia zależność
A B
Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki AlmaMater
Dr inż. Janusz Dębiński
Śą
A
1
A
1
X
=
X
10. ANALIZA STANU NAPR
ŻENIA - POJ
CIA PODSTAWOWE 3
.
Śą Śą (10.5)
B=a�"A
Równanie (10.5) w zapisie wskaz
nikowym będzie miało postać
Bi=a�"Ai . (10.6)
Śą Śą
Sumowanie dwóch wektorów i można wykonać sumując ich współrzędne. W wyniku otrzyma się
A B
Śą
wektor o współrzędnych
C
Ci=Ai�ąBi . (10.7)
Wektor o module równym jeden nazywamy wektorem jednostkowym. Jeżeli kierunek i zwrot wektora
jednostkowego zgodne są z kierunkiem i zwrotem osi układu współrzędnych to wektor taki nazywamy
wersorem. Wersory przedstawia rysunek 10.4.
Z=X3
Y=X2
e2
Śą
O
Rys. 10.4. Wersory.
Śą
Dowolny wektor można zapisać w postaci sumy
A
3
Śą
(10.8)
A=A1�"Śą1�ąA2�"Śą2�ąA3�"Śą3= Ai�"Śąi .
e e e e
"
i=1
Dla skrócenia zapisu wzoru (10.8) wprowadzono umowę sumacyjną Einstaina. Umowa ta mówi, że jeżeli w
jednomianie występuje dwa razy ten sam wskaz
nik, to oznacza to, że należy wykonać sumowanie względem
wszystkich możliwych wartości tego wskaz
nika. Zgodnie z tą umową wzór (10.8) będzie miał postać
Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki AlmaMater
Dr inż. Janusz Dębiński
3
Śą
e
1
Śą
e
1
X
=
X
10. ANALIZA STANU NAPR
ŻENIA - POJ
CIA PODSTAWOWE 4
Śą
(10.9)
A=Ai�"Śąi ,
e
w którym powtarzający się wskaz
nik i jest wskazówką, że należy wykonać sumowanie dla wartości i
zmieniających się od 1 do 3. Wskaz
nik ten nazywa się wskaz
nikiem sumacyjnym lub niemym, ponieważ
może być on zastąpiony każdym innym symbolem bez zmiany sensu zapisu. Pozostałe wskaz
niki są
wskaz
nikami żywymi. Jeżeli jednak wyrażenia nie mają być sumowane to wskaz
niki należy ująć w nawiasy.
Śą Śą
Iloczynem skalarnym dwóch wektorów i nazywamy skalar, który jest równy iloczynowi modułów
A B
Śą Śą
wektorów i oraz kosinusa kąta zawartego pomiędzy oboma wektorami.
A B
.
Śą Śą
(10.10)
#"Śą#"#"Śą#"
A�"B= A�"B�"cosśą�ąźą
Szczególnym przypadkiem będzie skalarne mnożenie wersorów. W wyniku takiego mnożenia otrzymano
Śą1�"Śą1=Śą2�"Śą2=Śą3�"Śą3=1 (10.11)
e e e e e e
oraz
Śą1�"Śą2=Śą2�"Śą1=Śą1�"Śą3=Śą3�"Śą1=Śą2�"Śą3=Śą3�"Śą2=0 (10.12)
e e e e e e e e e e e e
Śą
gdyż kąty zawarte między wersorami równe są 0 lub Ćą/2 . Wektor można wyrazić
A
Śą
(10.13)
A=A1�"Śą1�ąA2�"Śą2�ą A3�"Śą3 .
e e e
Śą
Wektor można wyrazić
B
Śą
(10.14)
B=B1�"Śą1�ąB2�"Śą2�ąB3�"Śą3 .
e e e
Iloczyn skalarny można wyrazić za pomocą wzoru
Śą Śą
A�"B= A1�"Śą1�ąA2�"Śą2�ąA3�"Śą3 �" B1�"Śą1�ąB2�"Śą2�ąB3�"Śą3 . (10.15)
e e e e e e
śą źą śą źą
Po wykonaniu mnożenia oraz uwzględnieniu (10.11) i (10.12) otrzymano
Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki AlmaMater
Dr inż. Janusz Dębiński
10. ANALIZA STANU NAPR
ŻENIA - POJ
CIA PODSTAWOWE 5
3
Śą Śą
(10.16)
A�"B=A1�"B1�ą A2�"B2�ąA3�"B3= Ai�"Bi=Ai�"Bi .
"
i=1
Śą Śą
Iloczyn skalarny jest działaniem przemiennym, wynik mnożenia skalarnego wektora przez oraz
A B
Śą Śą
wektora przez wektor będzie identyczny.
B A
Wartość iloczynów skalarnych wersorów można zapisać w postaci
1 gdy i= j
.
e e
Śąi�"Śą =�ąij= (10.17)
j
{
0 gdy i`" j
Wartość d nazywamy symbolem Kroneckera. Symbol ten ma duże znaczenie w mechanice ciała stałego.
ij
Jedno z ważnych zastosowań symbolu Kroneckera można przedstawić na przykładzie równania
Ai=�ąij j . (10.18)
�"B
Wskaz
nik j jest wskaz
nikiem niemym i wzór (10.18) można przedstawić w postaci
Ai=�ąi1�"B1�ą�ąi2�"B2�ą�ąi3�"B3 . (10.19)
Wzór (10.19) można przedstawić w postaci
A1=�ą11�"B1�ą�ą12�"B2�ą�ą13�"B3
A2=�ą21�"B1�ą�ą22�"B2�ą�ą23�"B3 . (10.20)
A3=�ą31�"B1�ą�ą32�"B2�ą�ą33�"B3
Uwzględniając wartości delty Kroneckera wzór (10.20) można zapisać
A1=B1 dla i=1
.
A2=B2 dla i=2 (10.21)
A3=B3 dla i=3
Ostatecznie wzór (10.18) można zapisać
Ai=�ąij�"B =Bi . (10.22)
j
Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki AlmaMater
Dr inż. Janusz Dębiński
10. ANALIZA STANU NAPR
ŻENIA - POJ
CIA PODSTAWOWE 6
Z powyższego przykładu wynika, że działanie symbolem Kroneckera na wektor B powoduje w nim zmianę
j
wskaz
nika j na i. Symbol Kroneckera nazywa się symbolem zmiany wskaz
nika.
Wartość delty Kroneckera przy jednakowych wskaz
nikach wynosi
.
�ąii=�ą11�ą�ą22�ą�ą33=1�ą1�ą1=3 (10.23)
Śą Śą Śą
Iloczynem wektorowym dwóch wektorów i nazywamy wektor , którego moduł wynosi
A B C
.
(10.24)
#"Śą#" #"Śą#"#"Śą#"
C = A�"B�"sinśą�ąźą
Śą Śą Śą
Moduł wektora równa się polu równoległoboku, który można zbudować na wektorach i .
C A B
Śą Śą Śą
Wektor jest prostopadły do płaszczyzny, na której znajdują się wektory i . Natomiast zwrot
C A B
Śą Śą
wektora spełnia regułę śruby prawoskrętnej, która mówi, że kręcąc śrubą od wektora w kierunku
C A
Śą Śą
wektora śruba będzie się wkręcała zgodnie ze zwrotem wektora . Przedstawia to rysunek 10.5.
B C
�ą
Śą
A
Rys. 10.5. Iloczyn wektorowy.
Iloczyn wektorowy nie jest działaniem przemiennym czyli
.
Śą Śą Śą Śą (10.25)
A�B=-B�A
Iloczyn skalarny wersora przez siebie wynosi
e e e e e e
Śą1�Śą1=Śą2�Śą2=Śą3�Śą3=0
(10.26)
e e
Śą1 Śą2
Iloczyn skalarny wersora przez wynosi
Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki AlmaMater
Dr inż. Janusz Dębiński
Śą
C
Śą
B
10. ANALIZA STANU NAPR
ŻENIA - POJ
CIA PODSTAWOWE 7
e e e e e
Śą1�Śą2=-Śą2�Śą1=Śą3 . (10.27)
e2 e3
Śą Śą
Iloczyn skalarny wersora przez wynosi
Śą2�Śą3=-Śą3�Śą2=Śą1 . (10.28)
e e e e e
e3 e1
Śą Śą
Iloczyn skalarny wersora przez wynosi
e e e e e
Śą3�Śą1=-Śą1�Śą3=Śą2 . (10.29)
Śą Śą
Iloczyn wektorowy dwóch wektorów i można zapisać w postaci
A B
Śą Śą
A�B= A1�"Śą1�ąA2�"Śą2�ąA3�"Śą3 � B1�"Śą1�ąB2�"Śą2�ąB3�"Śą3 . (10.30)
e e e e e e
śą źą śą źą
Wzór ten po wymnożeniu będzie miał postać
Śą Śą
A�B=A1�"B1�"Śą1�Śą1�ąA1�"B2�"Śą1�Śą2�ąA1�"B3�"Śą1�Śą3
e e e e e e
.
�ąA2�"B1�"Śą2�Śą1�ąA2�"B2�"Śą2�Śą2�ąA2�"B3�"Śą2�Śą3
e e e e e e
(10.31)
�ąA3�"B1�"Śą3�Śą1�ąA3�"B2�"Śą3�Śą2�ą A3�"B3�"Śą3�Śą3
e e e e e e
Uwzględniając (10.26), (10.27), (10.28) i (10.29) wzór (10.31) będzie miał postać
Śą Śą
A�B= �"B3-A3�"B2 Śą1�ą �"B1-A1�"B3 Śą2�ą �"B2-A2�"B1 Śą3 . (10.32)
śąA źą�"e śąA źą�"e śąA źą�"e
2 3 1
Wzór (10.32) można zapisać w postaci wyznacznika
e e e
Śą1 Śą2 Śą3
Śą Śą
A�B=
A1 A2 A3 .
(10.33)
#" #"
B1 B2 B3
W zapisie wskaz
nikowym iloczyn wektorowy można zapisać w postaci
Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki AlmaMater
Dr inż. Janusz Dębiński
10. ANALIZA STANU NAPR
ŻENIA - POJ
CIA PODSTAWOWE 8
Śą Śą
A�B=eijk�"Śąi�"A �"Bk , (10.34)
e
j
w którym e stanowi symbol permutacyjny, który można wyrazić jako
ijk
0 gdy i= j lubi=k lub j=k
.
eijk= (10.35)
�ą1 gdy i , j , k przedstawiają permutację dodatnią
{
-1 gdy i , j , k przedstawiają permutację ujemną
Permutacja dodatnia oznacza kolejne występowanie liczb 1, 2, 3. Permutacja ujemna oznacza kolejne
występowanie liczb 3, 2, 1. Przedstawia to rysunek 10.6.
1 1
3 2 3 2
Permutacja dodatnia Permutacja ujemna
Rys. 10.6. Permutacja dodatnia i ujemna.
Na podstawie rysunku 10.6 permutacja dodatnia oznaczają kolejność liczb
,
(10.36)
123, 231 , 312
natomiast permutacja ujemna oznacza kolejność liczb
.
(10.37)
132, 321 , 213
10.2 Transformacja układu współrzędnych
W rozdziale tym podane zostaną wzory opisujące transformację (obrót) układu współrzędnych.
Pierwotnym układem jest układ X X X . Układ transponowany (obrócony) to układ X X X . Oba układy
1 2 3 1' 2' 3'
zostały pokazane na rysunku 10.7. Osie układu współrzędnych X X X tworzą z osiami X X X kąty,
1' 2' 3' 1 2 3
których kosinusy kierunkowe opisuje zależność
.
ai ' j=cosśą xi ' , x źą (10.38)
j
Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki AlmaMater
Dr inż. Janusz Dębiński
10. ANALIZA STANU NAPR
ŻENIA - POJ
CIA PODSTAWOWE 9
Z=X3
Z=X3
Y=X2
e2
Śą
Y=X2
O
Rys. 10.7. Układ pierwotny i transponowany (obrócony).
Kosinusy kierunkowe tworzą tablicę
x1 x2 x3
x1 ' a1 ' 1 a1' 2 a1' 3
(10.39)
x2 ' a2 ' 1 a2 ' 2 a2 ' 3
x3 ' a3 ' 1 a3' 2 a3' 3
nazywaną macierzą transformacji układu współrzędnych. Macierz ta nie jest macierzą symetryczną,
ponieważ
.
Ai ' j`"A (10.40)
j' i
Oznacza to na przykład, że kosinus kąta między osią X i osią X (a ) jest różny od kosinusa kąta między osią
1' 3 1'3
X i osią X (a ).
3' 1 3'1
e e
Śąi ' Śą
Wartość kosinusa kierunkowego równa się iloczynowi skalarnemu wersora i
j
e e #" �"cosśą
Śąi '�"Śą =#"1#"�"1#" xi ' , x źą=cosśą xi ' , x źą=ai ' j . (10.41)
j j j
Śą
W układzie X X X znajduje się wektor , który można zapisać równaniem (10.8) lub (10.9).
1 2 3 A
Współrzędna A w układzie osi X X X równa się rzutowi tego wektora na oś X . Przedstawia to rysunek
2' 1' 2' 3' 2'
10.8. Współrzędna A wynosi
2'
.
Śą
(10.42)
A2'=#"A#"�"cosśą�ąźą
Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki AlmaMater
Dr inż. Janusz Dębiński
3
Śą
e
'
X
3
=
'
Z
'
X
2
=
'
Y
'
3
'
e
2
Śą
e
Śą
O
1
Śą
e
'
1
e
Śą
1
1
'
X
X
1
=
=
X
X
X
=
'
X
10. ANALIZA STANU NAPR
ŻENIA - POJ
CIA PODSTAWOWE 10
Z=X3
Z=X3
A3
�ą
A2
Y=X2 Y=X2
O
Rys. 10.8. Rzut wektora na oś układu transponowanego.
Śą
Śą2 '
e
Kosinus kąta a można wyznaczyć z iloczynu wektorowego wektora i . Kosinus ten wynosi
A
.
Śą Śą Śą
(10.43)
A�"Śą2'=#"A#"�"1#"
e #" �"cosśą�ąźą=#"A#"�"cosśą�ąźą
Wzory (10.42) i (10.43) są sobie równe czyli można zapisać
Śą
(10.44)
A2'=A�"Śą2' .
e
Podstawiając równanie (10.8) do (10.44) otrzymano
A2'= A1�"Śą1�ą A2�"Śą2�ąA3�"Śą3 �"Śą2' . (10.45)
e e e e
śą źą
Po wymnożeniu wzór (10.45) będzie miał postać
A2'=A1�"Śą1�"Śą2'�ąA2�"Śą2�"Śą2 '�ąA3�"Śą3�"Śą2 ' . (10.46)
e e e e e e
Uwzględniając (10.41) wzór (10.46) będzie miał postać
A2 '=A1�"a2' 1�ąA2�"a2' 2�ąA3�"a2' 3 . (10.47)
Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki AlmaMater
Dr inż. Janusz Dębiński
'
X
3
=
'
Z
'
X
2
=
'
Y
Śą
A
Śą
A
'
A
2
'
2
e
Śą
O
1
A
1
1
X
X
=
=
X
X
'
1
X
=
'
X
10. ANALIZA STANU NAPR
ŻENIA - POJ
CIA PODSTAWOWE 11
Wzór (10.47) można zapisać wskaz
nikowo w postaci
.
A2'=a2' j�"A (10.48)
j
Ogólnie wzór (10.48) można zapisać w postaci
.
Ai '=ai ' j�"A (10.49)
j
Wzór (10.49) możemy także uogólnić na współrzędne punktu x x x i x x x
1 2 3 1' 2' 3'
xi '=ai ' j�"x (10.50)
j
Inaczej kosinusy kierunkowe można wyznaczyć obliczając pochodną cząstkową funkcji współrzędnej x
1'
względem x . Pochodna ta wynosi
1
" x1' "
= x1�"a1' �ąx2�"a1' 2�ąx3�"a1' 3 =a1' 1 . (10.51)
śą źą
" x1 " x1 1
Ogólnie można zapisać
" xi '
=ai ' j . (10.52)
" x
j
Wzór (10.52) w zapisie wskaz
nikowym będzie zapisana w postaci (pochodną oznacza się przecinkiem)
" xi '
=xi ' , j=ai ' j . (10.53)
" x
j
Obrót układu współrzędnych, podobnie jak obrót bryły sztywnej w przestrzeni trójwymiarowej, ma tylko trzy
stopnie swobody. Oznacza to, że tylko trzy spośród dziewięciu kosinusów kierunkowych są niezależne.
e
Śą1'
Współrzędne wersora w układzie X X X równają się odpowiednim kosinusom kierunkowym.
1 2 3
e
Śą1'
Przedstawia to rysunek 10. Wersor możemy wyrazić za pomocą wzoru
Śą1'=e1�"Śą1�ąe2�"Śą2�ąe3�"Śą3=a1' 1�"Śą1�ąa1' 2�"Śą2�ąa1' 3�"Śą3 . (10.54)
e e e e e e e
Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki AlmaMater
Dr inż. Janusz Dębiński
10. ANALIZA STANU NAPR
ŻENIA - POJ
CIA PODSTAWOWE 12
Z=X3
cosśą�ąźą=a1' 1
e3
cosśą�ąźą=a1' 2
ąą
cosśąąąźą=a1' 3
�ą Y=X2
e2
�ą
e1
Rys. 10.9. Współrzędne wersora osi X .
1'
Wzór (10.54) można zapisać w postaci
.
Śąi '=ai ' p�"Śą (10.55)
e e
p
Wzór (10.55) można zapisać także w postaci
Śą =a �"Śąq . (10.56)
e e
j ' j ' q
Mnożąc skalarnie wersory (10.55) i (10.56) otrzymano
Śąi '�"Śą = ai ' p�"Śą �" a �"Śąq =ai ' p�"a �" Śą �"Śąq . (10.57)
e e e e e e
śą źą śą źą śą źą
j' p j' q j' q p
Na podstawie definicji symbolu Kroneckera (10.17) można zapisać
Śąi '�"Śą =�ąi ' j ' (10.58)
e e
j'
oraz
e e
Śą �"Śąq=�ąpq . (10.59)
p
Uwzględniając (10.58) i (10.59) wzór (10.57) będzie miał postać
Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki AlmaMater
Dr inż. Janusz Dębiński
X
'
1
=
'
X
'
e
Śą
1
O
1
X
=
X
10. ANALIZA STANU NAPR
ŻENIA - POJ
CIA PODSTAWOWE 13
�ąi ' j '=ai ' p�"a �"�ąpq . (10.60)
j' q
Korzystając z delty Kroneckera jako operatora zmiany wskaz
nika wzór (10.61) będzie miał postać
ai ' p�"a =�ąi ' j ' . (10.61)
j ' p
Wzór (10.61) nazywa się warunkami ortogonalności (osie układu współrzędnych są prostopadłe).
Sumowanie we wzorze (10.61) będzie się odbywało po wskaz
niku p. Wzór (10.61) będzie miał postać
ai ' 1�"a �ąai ' 2�"a �ąai ' 3�"a =�ąi ' j' . (10.62)
j' 1 j ' 2 j' 3
Jeżeli i'=1' oraz j'=1' to wzór (10.62) będzie miał postać
.
a1' 1�"a1 ' 1�ąa1' 2�"a1' 2�ąa1' 3�"a1' 3=�ą1' 1'=1 (10.63)
Jeżeli i'=2' oraz j'=2' to wzór (10.62) będzie miał postać
.
a2' 1�"a2' 1�ąa2' 2�"a2' 2�ąa2' 3�"a2' 3=�ą2' 2'=1 (10.64)
Jeżeli i'=3' oraz j'=3' to wzór (10.62) będzie miał postać
.
a3' 1�"a3' 1�ąa3' 2�"a3' 2�ąa3' 3�"a3' 3=�ą3' 3'=1 (10.65)
Jeżeli i'=1' oraz j'=2' lub i'=2' oraz j'=1' to wzór (10.62) będzie miał postać
.
a1' 1�"a2' 1�ąa1' 2�"a2 ' 2�ąa1' 3�"a2' 3=�ą1' 2'=0 (10.66)
Jeżeli i'=1' oraz j'=3' lub i'=3' oraz j'=1' to wzór (10.62) będzie miał postać
.
a1' 1�"a3' 1�ąa1' 2�"a3' 2�ąa1' 3�"a3' 3=�ą1' 3'=0 (10.67)
Jeżeli i'=2' oraz j'=3' lub i'=3' oraz j'=2' to wzór (10.62) będzie miał postać
Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki AlmaMater
Dr inż. Janusz Dębiński
10. ANALIZA STANU NAPR
ŻENIA - POJ
CIA PODSTAWOWE 14
.
a2' 1�"a3' 1�ąa2' 2�"a3' 2�ąa2' 3�"a3' 3=�ą2' 3'=0 (10.68)
Wzory (10.63), (10.64) oraz (10.65) powstają z przemnożenia wyrazów z kolejnych wierszy tablicy (10.39)
przez siebie. Wzory (10.66), (10.67) oraz (10.68) powstają z przemnożenia wyrazów z wiersza pierwszego
przez drugi, wiersza pierwszego przez trzeci oraz wiersza drugiego przez trzeci.
Wzory (10.63) do (10.68) stanowią sześć zależności wiążących między sobą kosinusy kierunkowe. Widać
więc, że tylko trzy kosinusy kierunkowe są niezależne.
10.3 Pojęcie tensora
Śą Śą
Dane są dwa wektory i , które transformują się zgodnie ze prawem transformacji (10.49) w
A B
postaci (zamianie uległ wskaz
nik niemy)
Ai '=ai ' p�"Ap ,
(10.69)
B =a �"Aq . (10.70)
j ' j ' q
Śą Śą
Tworząc iloczyn współrzędnych wektorów i w postaci
A B
A1 A1�"B1 A1�"B2 A1�"B3
Ai�"B = �" B1 B2 B3 = =Cij
A2 A2�"B1 A2�"B2 A2�"B3 (10.71)
[ ]
j
[ ] [ ]
A3 A3�"B1 A3�"B2 A3�"B3
otrzymano układ dziewięciu liczb C , który nazywa się diadą natomiast iloczyn wszystkich współrzędnych
ij
Śą Śą
wektorów i nazywa się iloczynem tensorowym lub iloczynem zewnętrznym. Diada C będzie
A B ij
miała postać
C11 C12 C13
Cij=
C21 C22 C23 . (10.72)
[ ]
C31 C32 C33
Diada w układzie obróconym przyjmie postać
Ci ' j '=Ai '�"B =ai ' p�"Ap�"a �"Bq=ai ' p�"a �"Ap�"Bq , (10.73)
j' j ' q j' q
którą można zapisać
Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki AlmaMater
Dr inż. Janusz Dębiński
10. ANALIZA STANU NAPR
ŻENIA - POJ
CIA PODSTAWOWE 15
.
Ci ' j'=ai ' p�"a �"C (10.74)
j ' q pq
Równanie (10.74) stanowi prawo transformacji tensora natomiast diadę C transformującą się zgodnie z
pq
równaniem (10.74) nazywa się tensorem rzędu drugiego.
W celu usystematyzowania wprowadza się wielkości o różnym charakterze, a mianowicie
1. Tensory rzędu zerowego, do których zalicza się skalary. Skalar jest to pojedyncza liczba, której wartość
zależy od miejsca nie zależy natomiast od obrotu układu współrzędnych. Przykładem skalara jest gęstość
materiału lub temperatura.
2. Tensory rzędu pierwszego, czyli wektory. Przykładem wektora może być wektor siły, wektor
przemieszczenia punktu, wektor prędkości czy wektor przyśpieszenia.
3. Tensory rzędu drugiego. Przykładem tensora rzędu drugiego jest tensor naprężenia, który zostanie
dokładnie omówiony w następnym rozdziale. Pojedyncze składowe tego tensora takie jak naprężenie
normalne s , naprężenie styczne t zostały już omówione we wcześniejszych wykładach.
X XZ
Symbol Kroneckera jest także tensorem rzędu drugiego. Można go zapisać w postaci
1 0 0
.
�ąij= (10.75)
0 1 0
[ ]
0 0 1
Tensor (10.75) jest tensorem jednostkowym oraz symetrycznym, ponieważ
.
�ąij=�ą (10.76)
ji
Jest on także izotropowy, ponieważ jego postać nie zmienia się podczas obrotu układu współrzędnych czyli
zachodzi równość
�ąij=�ąi ' j' . (10.77)
4. Tensory rzędu trzeciego, powstają z pomnożenia tensora rzędu drugiego przez wektor w postaci
Bij�"Ck=Aijk . (10.78)
Tensor ten zawiera 27 wielkości skalarnych, które transformować się będą według
Ai ' j ' k '=ai ' p�"a �"ak ' r�"Apqr . (10.79)
j' q
Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki AlmaMater
Dr inż. Janusz Dębiński
10. ANALIZA STANU NAPR
ŻENIA - POJ
CIA PODSTAWOWE 16
Z powyższego zestawienia wynika, że skalar określa jedna liczba (30), wektor określają trzy liczby (31), tensor
rzędu drugiego określa dziewięć liczb (32), a tensor rzędu trzeciego określa dwadzieścia siedem liczb (33).
Można więc stwierdzić, że tensor n-tego rzędu będzie określać 3n liczb. Prawo transformacji tensora n-tego
rzędu będzie miało postać, która jest uogólnieniem prawa transformacji dla tensora rzędu drugiego. Prawo to
ma następującą postać
Ai ' j' k ' ... n '=ai ' p�"a �"ak ' r ... an ' s�"Apqr...s . (10.80)
j ' q
10.4 Działania na tensorach
Pierwszym działaniem, które można wykonać na tensorach jest dodawanie i odejmowanie tensorów.
Działanie to można przeprowadzić tylko dla tensorów tego samego rzędu. Można je zapisać
Cij=AijąBij . (10.81)
Aby udowodnić, że wynik dodawania jest również tensorem należy sprawdzić czy tensor C spełnia prawo
ij
transformacji tensora
,
Cij=AijąBij=ai ' p�"a �"Apqąai ' p�"a �"B (10.82)
j' q j' q pq
które można zapisać w postaci
Cij=ai ' p�"a �" ąB (10.83)
śąA źą=a �"a �"C .
j' q pq pq i ' p j' q pq
Jak widać ze wzoru (10.83) C spełnia prawo transformacji tensora, jest więc to wielkość tensorowa.
ij
Drugim działaniem wykonywanym na tensorach jest mnożenie tensorów. Takie mnożenie nazywa się
iloczynem zewnętrznym. Mnożąc tensor drugiego rzędu i wektor można otrzymać tensor trzeciego rzędu
.
Cijk=Ai�"B (10.84)
jk
Prawo transformacji tensora ma w tym przypadku postać
Ci ' j ' k '=ai ' p�"Ap�"a �"ak ' r�"Bqr , (10.85)
j' q
którą można ostatecznie zapisać jako
Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki AlmaMater
Dr inż. Janusz Dębiński
10. ANALIZA STANU NAPR
ŻENIA - POJ
CIA PODSTAWOWE 17
.
Ci ' j' k '=ai ' p�"a �"ak ' r�" Ap�"Bqr =ai ' p�"a �"ak ' r�"C (10.86)
śą źą
j ' q j' q pqr
Trzecim działaniem jest zwężenie lub kontrakcja tensora. Działanie to można wykonać tylko dla
tensorów rzędu wyższego niż dwa. Działanie to można pokazać na przykładzie tensora A . Przyjmując, że j=k
ijk
otrzymano wyrażenie A . Powtórzenie się wskaz
nika j oznacza sumowanie, co daje w wyniku
ijj
Aijj=Ai11�ąAi22�ąAi33 . (10.87)
Rozpisując wzór (10.87) po wskaz
niku i można otrzymać układ trzech liczb tworzących tensor pierwszego
rzędu w postaci
A111�ąA122�ąA133 dla i=1
.
A211�ąA222�ąA233 dla i=2 (10.88)
A311�ąA322�ąA333 dla i=3
Wynik zwężania tensora trzeciego rzędu można zapisać następująco
Aijj=Ci . (10.89)
Prawo transformacji tensora ma w przypadku zwężenia postać (przyjęto, że j=k)
Ai ' j' j '=ai ' p�"a �"a �"Apqr , (10.90)
j' q j' r
pomiędzy kosinusami kierunkowymi zgodnie ze wzorem (10.61) zachodzi zależność
a �"a =�ąqr . (10.91)
j ' q j' r
Uwzględniając (10.91) wzór (10.90) będzie miał postać
Ai ' j ' j'=ai ' p�"�ąqr�"Apqr . (10.92)
Traktując symbol Kroneckera jako symbol zmiany wskaz
nika wzór (10.92) będzie miał postać
Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki AlmaMater
Dr inż. Janusz Dębiński
10. ANALIZA STANU NAPR
ŻENIA - POJ
CIA PODSTAWOWE 18
.
Ai ' j' j '=ai ' p�"Apqq=ai ' p�" Ap11�ąAp22�ąAp33 =ai ' p�"C (10.93)
śą źą
p
Szczególnym przypadkiem zwężania tensora jest zwężanie tensora drugiego rzędu, który można przedstawić w
postaci
Aii=A11�ąA22�ą A33 , (10.94)
który jest sumą współrzędnych diagonalnych tensora A . Sumę tą nazywa się także śladem macierzy.
ij
Czwartym działaniem jest nasuwanie tensorów. Możemy je wykonać dla tensorów dowolnych rzędów.
Działanie to zostanie podstawione na podstawie tensora czwartego rzędu, który można otrzymać mnożąc
(iloczyn zewnętrzny) tensor trzeciego rzędu A i tensor pierwszego rzędu (wektor) B .
ijk m
Aijk�"Bm=Cijkm . (10.95)
Jeżeli w iloczynie zewnętrznym (10.95) przyjmie się przykładowo k=m to w wyniku takiego mnożenia
nazywanego iloczynem wewnętrznym otrzyma się tensor drugiego rzędu w postaci
Aijk�"Bk=Cijkk=Dij . (10.96)
Prawo transformacji tensora w przypadku nasuwania tensorów ma postać
Ci ' j' k ' k '=Ai ' j' k '�"Bk '=ai ' p�"a �"ak ' r�"Apqr�"ak ' s�"Bs , (10.97)
j ' q
który można zapisać w postaci
Ci ' j' k ' k '=ai ' p�"a �"ak ' r�"ak ' s�" Apqr�"Bs . (10.98)
śą źą
j' q
pomiędzy kosinusami kierunkowymi zgodnie ze wzorem (10.61) zachodzi zależność
ak ' r�"ak ' s=�ąrs . (10.99)
Uwzględniając (10.99) wzór (10.98) można zapisać w postaci
Ci ' j' k ' k '=ai ' p�"a �"�ąrs�" Apqr�"Bs =ai ' p�"a �"Apqr�"Br . (10.100)
śą źą
j' q j' q
Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki AlmaMater
Dr inż. Janusz Dębiński
10. ANALIZA STANU NAPR
ŻENIA - POJ
CIA PODSTAWOWE 19
Wzór (10.100) można ostatecznie zapisać jako
.
Ci ' j' k ' k '=ai ' p�"a �"Apqr�"Br=ai ' p�"a �"C =ai ' p�"a �"D (10.101)
j ' q j' q pqrr j' q pq
10.5 Tensory drugiego rzędu
W dalszych wykładach najczęściej będą stosowane tensory drugiego rzędu. W związku z tym w punkcie
tym zostaną podane podstawowe wiadomości o tensorach drugiego rzędu. W tensorze tym można wyodrębnić
główną przekątną pokazaną na rysunku 10.10.
A11 A12 A13
Aij=
A21 A22 A23
[ ]
A31 A32 A33
Rys. 10.10. Główna przekątna tensora drugiego rzędu.
Tensor drugiego rzędu będzie tensorem symetrycznym, jeżeli zamiana wskaz
ników miejscami nie zmienia
wartości współrzędnych, to znaczy gdy
.
Aij=A (10.102)
ji
Jeżeli zamiana wskaz
ników miejscami powoduje zmianę znaku współrzędnej to tensor jest nazywany
tensorem skośnie symetrycznym. Opisuje to zależność
.
Bij=-B (10.103)
ji
Dla współrzędnych, które mają jednakowe wskaz
niki zależność (10.103) jest spełniona jeżeli te współrzędne
równają się zero czyli
.
B11=B22=B33=0 (10.104)
Dowolny tensor drugiego rzędu C można rozłożyć na dwa tensory drugiego rzędu, z których jeden jest
ij
symetryczny
Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki AlmaMater
Dr inż. Janusz Dębiński
G
łó
w
p
n
r
z
a
e
k
ą
t
n
a
10. ANALIZA STANU NAPR
ŻENIA - POJ
CIA PODSTAWOWE 20
1�"
,
Cśąijźą= Cij�ąC (10.105)
śą źą
ji
2
a drugi skośnie symetryczny
1�"
.
C[ij]= Cij-C (10.106)
śą źą
ji
2
Szczególnym przypadkiem tensora drugiego rzędu jest tensor kulisty nazywany także aksjatorem. W
tensorze kulistym współrzędne znajdujące się na przekątnej (współrzędne o jednakowych wskaz
nikach) są
jednakowe a pozostałe współrzędne (współrzędne o różnych wskaz
nikach) są równe zero. Najprostszym
tensorem kulistym jest symbol Kroneckera opisanego wzorem (10.75). Z każdego dowolnego symetrycznego
tensora drugiego rzędu można wydzielić jego część kulistą, którą opisuje wzór
1�"A 0 0
pp
3
1
1�"A 0 ,
AśąOźą= �"App�"�ąij= (10.107)
0
ij pp
3 3
1�"A
[ ]
0 0
pp
3
w którym
App=A11�ąA22�ąA33 (10.108)
jest sumą wyrazów na głównej przekątnej.
Tensor będący różnicą tensora drugiego rzędu i tensora kulistego nazywa się dewiatorem. Można go
przedstawić w postaci
1
A11- �"App A12 A13
3
1�"A
1�"A
AśąDźą=Aij- �"�ąij= (10.109)
A21 A22- A23 .
ij pp pp
3 3
1
[ ]
A31 A32 A33- �"App
3
Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki AlmaMater
Dr inż. Janusz Dębiński
10. ANALIZA STANU NAPR
ŻENIA - POJ
CIA PODSTAWOWE 21
Suma współrzędnych na głównej przekątnej w dewiatorze wynosi
1�"A
AśąDźą=Akk- �"�ąkk . (10.110)
kk kk
3
Zgodnie ze wzorem (10.23) mamy
,
�ąkk=3 (10.111)
czyli ostatecznie suma współrzędnych na głównej przekątnej wynosi
1�"A
.
AśąDźą= Akk- �"3=0 (10.112)
kk kk
3
10.6 Przykłady liczbowe
10.6.1 Przykład numer 1
Dany jest tensor drugiego rzędu
6 -3 8
.
Aij= -6 9
(10.113)
12
[ ]
10 0 7
Rozłożyć go na tensor symetryczny i skośnie symetryczny.
Zgodnie z wzorem (10.105) część symetryczna będzie miała postać
6�ą6 -3�ą12 8�ą10
2 2 2
12�ąśą-3źą śą-6 źą�ąśą-6źą 9�ą0
,
Aśąijźą= (10.114)
2 2 2
10�ą8 0�ą9 7�ą7
[ ]
2 2 2
która ostatecznie będzie miała postać
Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki AlmaMater
Dr inż. Janusz Dębiński
10. ANALIZA STANU NAPR
ŻENIA - POJ
CIA PODSTAWOWE 22
6 4,5 9
.
Aśąijźą= -6 4,5
(10.115)
4,5
[ ]
9 4,5 7
Zgodnie z wzorem (10.106) część skośnie symetryczna będzie miała postać
6-6 -3-12 8-10
2 2 2
12-śą-3źą śą-6źą-śą-6 źą 9-0
,
A[ij]= (10.116)
2 2 2
10-8 0-9 7-7
[ ]
2 2 2
która ostatecznie będzie miała postać
0 -7,5 -1
.
A[ij]= (10.117)
7,5 0 4,5
[ ]
1 -4,5 0
Suma (10.115) i (10.117) równa się oczywiście tensorowi A czyli
ij
6 4,5 9 0 -7,5 -1 6 -3 8
.
Aij= -6 4,5 7,5 0 4,5 12 -6 9
�ą = (10.118)
4,5
[ ] [ ] [ ]
9 4,5 7 1 -4,5 0 10 0 7
10.6.2 Przykład numer 2
Dany jest tensor symetryczny
6 -3 8
.
Bij= -3 -4 9
(10.119)
[ ]
8 9 7
Rozłożyć tensor B na aksjator i dewiator.
ij
Zgodnie ze wzorem (10.108) suma współrzędnych na głównej przekątnej wynosi
Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki AlmaMater
Dr inż. Janusz Dębiński
10. ANALIZA STANU NAPR
ŻENIA - POJ
CIA PODSTAWOWE 23
.
B =6�ąśą-4źą�ą7=9 (10.120)
pp
Tensor kulisty (aksjator) będzie wynosił
1�"9�"�ą 3 0 0 .
AśąOźą= = (10.121)
0 3 0
ij ij
3
[ ]
0 0 3
Dewiator będzie wynosił
6-3 -3 8 3 -3 8
.
BśąDźą= -3 -4-3 9 -3 -7 9
= (10.122)
ij
[ ] [ ]
8 9 7-3 8 9 4
Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki AlmaMater
Dr inż. Janusz Dębiński