TEORIA STANU ODKSZTAA
CENIA 1
1. WEKTOR PRZEMIESZCZENIA
P
x
u
3
'
P
r
r '
x
stan po deformacji
2
stan przed deformacją
x
1
położenie pkt. P przed deformacją P( r ) = P x ,x ,x
( 1 2 3 )
2 2 2 2 1 2 2 2 3
położenie pkt. P po deformacji P ( r ) = P x ,x ,x
( )
2 2
przemieszczenie punktu P PP = u = r - r
2 i i
u = x - x i = 1,2,3
i
u = u x ,x ,x
(
i i 1 2 3 )
wektorowe pole przemieszczeń u = u ( r )
2. ZMIANA ODLEGA
OŚCI MI
DZY PUNKTAMI
P
u
'
P
x
3
u + d u
d r
'
Q
Q
r
r r
+ d
x
2
x stan przed deformacją
stan po deformacji
1
położenie pkt. P po deformacji P2 ( r + u )
położenie pkt. Q po deformacji Q2 ( r + dr + u + du )
kwadrat odległości między punktami P i Q przed deformacją
2
2 2 2
2
ds = dr = dx + dx + dx = dx dx
i i
1 2 3
kwadrat odległości między punktami P' i Q' po deformacji
r + u + P'Q' = r + dr + u + du �! PQ' = dr + du
'
2 2 2 2
2
2
ds = dr + du = dx + du + dx + du + dx + du = dx + du dx + du
( 1 1 2 2 3 3 i i i i )
) ( ) ( ) ( )(
obliczenie różnicy kwadratów odległości punktów po i przed odkształceniem
- różniczka zupełna
"u
i
du = dx = u dx i, j =1, 2, 3
i j i, j j
" x
j
TEORIA STANU ODKSZTAA
CENIA 2
2
2
ds = dx + u dx dx + u dx
( i i, j j )( i i, j j )
2 2
2
ds - ds = 2 u dxi dx + u u dx dxk
i, j j i,j i,k j
u dx dx = u dxi dx
i, j i j j,i j
2 2
2
ds - ds = u dxi dx + u dxi dx + u u dxi dx
i, j j j,i j k,i k, j j
2 2
2
ds - ds = u + u + u u dx dx
( i, j j, i k,i k, j) i j
"
2 2
2
ds - ds = 2e dx dx
i j
i j
1
e" = (ui , j + uj, i + uk , iuk , j)
ij
2
macierz stanu odkształcenia ( II rzędu, symetryczna )
Macierz stanu odkształcenia jest TENSOREM
Dowód: w "nowym " układzie x2 1,x2 2 ,x2 3 , obróconym wzg. układu wyjściowego
( )
"
2 2
2 2 2 k 2 m
ds - ds = 2e dx dx
km
2 k j m j 2 m
dx = ą dx dx = ą dx
i k i
"" "
2 2 2
2e dxk dxm = 2e dxi dx = 2e ą ą dx'k dx'm
j ki mj
km i j i j
"
2
e = ą ą e" pr. transformacji tensora
ki mj
km i j
3. ODKSZTAA
CENIA LINIOWE I K
TOWE
wybieramy 2 włókna : PQ równoległe do osi x1 i PR równoległe do x2. Wyznaczyć długości
tych włókien oraz kąt między nimi po odkształceniu .
x
2
P R
P '
R '
�12
Q
Q '
x
1
długości włókien PQ, PR i QR przed odkształceniem
ńł
PQ = dx
1
�ł
�ł
ds = PR = dx
�ł 2
�ł
2 2
QR = dx + dx
�ł 1 2
ół
"
2
2
długość włókna po odkształceniu ds = ds + 2e dx dx
i j
i j
długości włókien P'Q', P'R', Q'R' po odkształceniu
ńł "
2 2
P Q = dx 1+ 2e11
1
�ł
�ł
2 2 2
ds = P R = d x 1+ 2e"
2
�ł
22
�ł
" 2 " 2 "
2 2
�ł QR = 1+ 2e dx + 1+ 2e d x + 4 e d x dx
1 2
( ) ( )
11 1 22 2 12
ół
TEORIA STANU ODKSZTAA
CENIA 3
zmiana kąta między włóknami P'Q' i P'R' (tw. Carnota , "tw. cosinusów")
"
2 e
12
cos � =
12
""
1+ 2e 1+ 2e
( )( )
11 22
cos� = sin Ą / 2 - �
12 ( 12 )
"
2e
12
�ł Ą �ł
�ł - � = arc sin = ł
�ł
12 12
�ł łł
2
""
1+ 2e 1+ 2e
( )( )
11 22
odkształcenia liniowe (względna zmiana długości włókna PQ)
2 2
PQ - PQ
� = lim
11
dx 0 PQ
i
2 2 i i
P Q - PQ
P Q i
� = lim
nie ma sumowania po "i"
ii
dx 0 PQ
i
i
Q P
i
x i
�ł "
� = lim �ł 1+ 2 e - 1�ł = 1+ 2 e - 1
�ł
ii ii
ii
�ł łł
Q P
i
odkształcenia kątowe
1 �ł Ą �ł
� = lim �ł - � �ł
12 12
�ł łł
dx 0 2 2
1
dx 0
2
x
j
P Q
j
P '
'
Q
j
�
i j
1 �ł Ą �ł
� = lim �ł - � �ł �! 2 � = ł
i j i j i j i j
�ł łł
Q P 2 2
i
Q
i Q P
'
Q j
i
x
i
�ł �ł
"
2e
�ł �ł
2e
i j i j
1 1
� = lim arc sin = arc sin
�ł �ł
i j
Q P 2 2
i ""
�ł �ł 1+ 2e 1+ 2e
( ii)( j j)
1+ 2e 1+ 2e
Q P ( )( )
j ii j j
�ł łł
4. RÓWNANIA GEOMETRYCZNE
związki między przemieszczeniami i odkształceniami
1
e = u + u + u u
(
i j i,j j,i k,i k,i )
2
� = 1+ 2e - 1
ii ii
2e
i j
1
� = arc sin
i j
2
1+ 2 e 1+ 2e
( ii )( j j )
są to nieliniowe równania geometryczne
TEORIA STANU ODKSZTAA
CENIA 4
linearyzacja równań geometrycznych
założenie : pochodne przemieszczeń są wielkościami małymi
x1 L / 2
x2 f = L / 250
2 2
"u �ł "u �ł "u �ł "u �ł
2 2 2 2
L / 250
x = 0 E" = 0008 �! << �! E" 0
.
( 1 ) �ł �ł �ł �ł
" x L / 2 " x " x " x
1 �ł łł 1 �ł łł
1 1
WNIOSEK : kwadraty pochodnych przemieszczeń, jako małe wyższego rzędu można
pominąć.
odkształcenia liniowe
2
2
2
� + 1 = 1+ 2 e �! 1+ 2 � + � = 1+ 2e �! � = e
( ) ii ii ii ii ii
ii
( )
ii
odkształcenia kątowe
2e
i j
1
2 eii << 1 �! � = arc sin
i j
2 1
� = e
dla małych ą arcsin ą E" ą �!
i j i j
liniowe równania geometryczne - równania Cauchy'ego
1
� = u + u
(
i j i, j j,i )
2
� = u � = u � = u
11 1,1 22 2,2 3 3 3,3
1
� = u + u �! ł = 2�
12 ( 1,2 2,1 ) 12 12
2
1
� = u + u �! ł = 2�
13 ( 1,3 3,1 ) 13 13
2
1
� = u + u �! ł = 2 �
23 ( 2,3 3,2 ) 23 23
2
� � �
�ł łł
11 12 13
�ł� śł
tensor odkształcenia T = � �
� 12 2 2 2 3
�ł śł
�ł� � � śł
13 2 3 3 3
�ł �ł
5. KINEMATYCZNE WARUNKI BRZEGOWE
liniowe równania geometryczne ( rów. Cauchy'ego ) - 6 równań różniczkowych cząstkowych
wzg. 3 nieznanych funkcji przemieszczeń
1
� = u + u
(
i j i,j j,i )
2
o s
rozwiązanie ma postać : u = u + u
i
i i
o
u - całka ogólna układu równań różniczkowych jednorodnych (opisuje stan
i
bezodkształceniowy �ij =0 - przemieszczenia punktów bryły sztywnej)
s
u - całka szczególna układu równań różniczkowych niejednorodnych
i
TEORIA STANU ODKSZTAA
CENIA 5
elementarne przekształcenia algebraiczne i różniczkowe prowadzą do całki ogólnej w
postaci
o
u = a + b x + c x
2 3
1
o
u = d - b x + f x
1 3
2
o
u = g - c x - f x
1 2
3
Ostatecznie otrzymujemy zatem rodzinę rozwiązań o 6 parametrach a, b, c, d, f i g.
Parametry te określa się z warunków wynikających ze sposobu podparcia konstrukcji.
Warunki te noszą nazwę kinematycznych warunków brzegowych.
przykłady kinematycznych warunków brzegowych
x
2
h
x
1
=
h
A
x
2
h
x
1
=
h
B
x
2
h
x
1
=
h
C
A. u 0,h = 0 u 0,- h = 0
( )
11 ( )
B. u 0,h = 0 u 0,- h = 0 u 0,- h = 0
( ) ( )
11 2 ( )
"u
2
C. u 0,0 = 0 u 0,0 = 0 0,0 = 0
( )
12 ( ) ( )
" x
1
x2
" x1
x1
" u
2
TEORIA STANU ODKSZTAA
CENIA 6
6. RÓWNANIA NIEROZDZIELNOŚCI ODKSZTAA
CEC

- liniowe równania geometryczne ( rów. Cauchy'ego )
1
� = u + u
(
i j i,j j,i )
2
- 6 równań różniczkowych ze wzg. na niewiadome 3 funkcje przemieszczeń
- rozwiązanie istnieje tylko wówczas, gdy między odkształceniami zachodzą związki zwane
równaniami nierozdzielności.
1 " "
� = u + u ,
(
i j i,j j,i )
2 " x " x
k l
1
� = u + u
(
i j,kl i,jkl j,ikl )
2
przestawienia wskaz
ników :
1
� = u + u
(
kl,i j k ,l i j l,ki j )
2
1
� = u + u � - 1
(
i k , j l i,k j l k ,i j l )( )
2
1
� = u + u � - 1
j l,i k ( j,l i k l, j i k )( )
2
+
� + � - � - � = 0
i j,kl kl,i j ik , jl jl,ik
liczba równań (liczba 4 elementowych wariacji ze zbioru 3 elementowego) wynosi 34 = 81,
ale liczba równań niezależnych wynosi 6
� + � - 2� = 0
11, 2 2 2 2 ,11 12,12
� + � - 2� = 0
11, 33 33 ,11 13 ,13
� + � - 2� = 0
22, 33 33 , 22 23 , 23
� + � - � - � = 0
11, 2 3 2 3 ,11 12,13 13 ,12
� + � - � - � = 0
22,13 13 , 22 21, 23 23 , 21
� + � - � - � = 0
33 ,12 12, 33 31, 32 32, 31
interpretacja geometryczna
TAK


NIE
TEORIA STANU ODKSZTAA
CENIA 7
7. DEFORMACJA SZEŚCIANU JEDNOSTKOWEGO
Problem : Określić deformację sześcianu o jednostkowych krawędziach ("obraz" punktu
materialnego tzn. punktu o przypisanej masie).
A. W układzie współrzędnych określonym przez osie główne tensora odkształcenia
(3)
1
�
1 +
A
3
(2)
1
�
1 +
1
1
�
1 +
2
(1)
po odkształceniu
przed odkształceniem
długości krawędzi sześcianu jednostkowego po odkształceniu
Li - Lio
k
� = i = 12,3
,
i
Lio
Lio = 1 �! Li = 1+ � i = 1,2,3
i
k
zmiana objętości sześcianu
" V = Vk - Vo = 1+ � 1+ � 1+ � - 1 =
( )( )( )
1 2 3
= 1+ � + � + � + � � + � � + � � + � � � - 1 H" � + � + � = �
1 2 3 1 2 1 3 2 3 1 2 3 1 2 3 i
zmiana kątów między krawędziami sześcianu - nie występuje, gdyż dla i `" j, �ij=0.
WNIOSEK :
1) zmiana objętości zwana dylatacją jest równa I niezmiennikowi tensora, jest więc taka
sama w każdym układzie współrzędnych
" V = � = �
i ii
2) nie występuje zmiana postaci
B. W dowolnym układzie współrzędnych
A
1
x
3
1
1
x
2
x
po odkształceniu
przed odkształceniem
1
długości krawędzi sześcianu jednostkowego po odkształceniu
Li - Lio
k
� = i = 1,2,3
i
Lio
Lio = 1 �! Li = 1+ � i = 1,2,3
i
k
TEORIA STANU ODKSZTAA
CENIA 8
zmiana objętości sześcianu - dylatacja
" V = �
ii
zmiana kątów między krawędziami sześcianu
1 Ą Ą
�ł �ł
� = �ł - � �ł �! � = - 2�
i j i j i j i j
�ł łł
2 2 2
WNIOSEK :
1) zmianę objętości, niezależnie od ukł. współrzędnych opisuje I niezmiennik
" V = � = �
i ii
2) występowanie zmiany postaci zależy od układu współrzędnych.
8. DEWIATOR I AKSJATOR SYMETRYCZNEGO TENSORA II RZ
DU
TWIERDZENIE :każdy tensor symetryczny II rzędu można przedstawić w postaci sumy dwóch
tensorów symetrycznych w postaci :
A D
A D
T = T + T �! t = t + t
i j
i j i j
A
A
aksjator T = t I �! t = t �
m m i j
i j
1 0 0
�ł łł
1
�ł0
I = 1 0śł t = t + t + t
(
m 11 2 2 3 3 )
�ł śł
3
�ł0 0 1śł
�ł �ł
t 0 0
�ł łł
m
A �ł śł
T = 0 t 0
m
�ł śł
0 0 t
�ł m śł
�ł �ł
D
DA
dewiator T = T - T �! t = t - t �
i j m i j
i j
t
�ł - t t t
łł
11 m 12 13
D �ł śł
T = t t - t t
12 22 m 23
�ł śł
tt t - t
�ł 13 2 3 3 3 m śł
�ł �ł
9. AKSJATOR I DEWIATOR TENSORA ODKSZTAA
CENIA
�
�ł - � � � � 0 0
łł �ł łł
11 m 12 13 m
�ł �ł śł
D = � � - � �śł A = 0 � 0
�� m
12 22 m 23
�ł śł �ł śł
�� � - � 0 0 �
�ł 13 2 3 3 3 m śł �ł m śł
�ł �ł �ł �ł
I niezmiennik (zmiana objętości) aksjatora i dewiatora
dla aksjatora " V = � + � + � = 3 � = � + � + �
m m m m 11 22 3 3
dla dewiatora " V = � + � + � - 3 � = 0
11 22 3 3 m
WNIOSKI :
1) całą zmianę objętości opisuje aksjator tensora odkształcenia, nie opisuje on zmiany
postaci
2) zmianę postaci opisuje dewiator tensora odkształcenia, nie opisuje on zmiany objętości