Egzamin z Analizy Matematycznej I –przyk÷

ady pyta´n otwartych.

1. Sformu÷

owa´c de…nicj ¾

e ci ¾

agu monotonicznego, ograniczonego i zbie·

znego. Poda´c znane zwi ¾

azki

miedzy tymi w÷

asno´sciami.

2. Sformu÷

owa´c twierdzenie o trzech ci ¾

agach. Obliczy´c lim

n!1

( 1)

n

n

2

+2

n

:

3. Poda´c de…nicj ¾

e asymptoty uko´snej/pionowej wykresu funkcji. Naszkicowa´c wykres funkcji f :

R ! R takiej, ·

ze lim

x!1

(f (x) + x) = 0; lim

x!1

f (x) = f (1) = 0 i lim

x!1

+

f (x) =

1:

4. Poda´c de…nicj ¾

e funkcji ci ¾

ag÷

ej w punkcie. Naszkicowa´c wykres funkcji f : [0; +1)! R takiej, ·

ze

C

f

= D

f

n f2g i lim

x!2

f (x) = 1.

5. Sformu÷

owa´c twierdzenie Weierstrassa dla funkcji ci ¾

ag÷

ych.

Uzasadni´c, ·

ze twierdzenie odwrotne

jest fa÷

szywe.

6. Poda´c przyk÷

ad funkcji, która

(a) jest ci ¾

ag÷

a i nie osi ¾

aga najwi ¾

ekszej warto´sci, za´s min

x2D

f

f (x) = 0;

(b) jest ci ¾

ag÷

a, ograniczona i nie osi ¾

aga najwi ¾

ekszej ani najmniejszej warto´sci;

(c) jest okre´slona na przedziale [0; 3] i nie osi ¾

aga najwi ¾

ekszej ani najmniejszej warto´sci.

Wyja´sni´c dlaczego dla tych funkcji nie dzia÷

a tw. Weierstrassa.

7. Wykaza´c, ·

ze równanie 3x

3

x + 1 = 0 ma co najmniej jeden pierwiastek w przedziale [ 1; 1]:

Sformu÷

owa´c twierdzenie, z którego ten fakt wynika.

8. Sformu÷

owa´c warunek konieczny zbie·

zno´sci szeregów liczbowych. Czy jest to równie·

z warunek

wystarczaj ¾

acy? Uzasadni´c odpowied´z.

9. Poda´c de…nicj ¾

e bezwzgl ¾

ednej i warunkowej zbie·

zno´sci szeregów liczbowych. Poda´c przyk÷

ad sz-

eregu, który jest

(a) zbie·

zny warunkowo;

(b) zbie·

zny bezwzgl ¾

ednie.

10. Sformu÷

owa´c kryterium d’Alemberta dla szeregów liczbowych. Zbada´c zbie·

zno´s´c szeregu

X

n!(n+2)

(n+1)!

.

11. Sformu÷

owa´c i udowodni´c kryterium Cauchy’ego zbie·

zno´sci szeregów liczbowych.

12. Sformu÷

owa´c i udowodni´c kryterium porównawcze zbie·

zno´sci szeregów.

13. Je´sli szeregi liczbowe o wyrazach ogólnych a

n

i b

n

s ¾

a zbie·

zne, to co mo·

zna powiedzie´c o zbie·

zno´sci

szeregów:

(a)

X

(a

n

+ b

n

);

(b)

X

(3a

n

4b

n

);

(c)

X

1

a

n

; gdy a

n

6= 0 dla n 2 N;

(d)

X

a

n

b

n

:

Uzasadni´c odpowiedzi.

14. Sformu÷

owa´c kryterium Leibniza dla szeregów liczbowych. Uzasadni´c, ·

ze jest to wniosek z kry-

terium Dirichleta.

1

15. Poda´c de…nicj ¾

e szeregu naprzemiennego. Jakie kryteria mo·

zemy stosowa´c do badania tego typu

szeregów. Zbada´c zbie·

zno´s´c szeregów:

(a)

X

( 1)

n

(

n

n 1

)

n

;

(b)

X

cos(n )

p

n 1

:

16. Sformu÷

owa´c ca÷

kowe kryterium zbie·

zno´sci szeregów liczbowych. Zbada´c zbie·

zno´s´c szeregu

X

1

p

n

przy pomocy tego kryterium.

17. Poda´c de…nicj ¾

e zbie·

zno´sci jednostajnej szeregu funkcyjnego.

18. Sformu÷

owa´c kryterium Weierstrassa jednostajnej zbie·

zno´sci szeregów funkcyjnych. Zbada´c zbie·

zno´s´c

szeregu

X

ln(nx)

x

n

na zbiorze [2; +1):

19. Je´sli funkcje f

n

: X ! R, gdzie n 2 N, s ¾

a ci ¾

ag÷

e i szereg funkcyjny

X

f

n

jest zbie·

zny jednostajnie

na zbiorze X, to jego suma jest na tym zbiorze funkcj ¾

a

(a) ograniczon ¾

a;

(b) ci ¾

ag÷¾

a;

(c) ró·

zniczkowaln ¾

a;

(d) ca÷

kowaln ¾

a?

20. Przy jakich za÷

o·

zeniach szereg funkcyjny mo·

zna ró·

zniczkowa´c/ca÷

kowa´c wyraz po wyrazie?

21. Poda´c de…nicj ¾

e promienia zbie·

zno´sci szeregu pot ¾

egowego. Co mo·

zna powiedzie´c o zbie·

zno´sci sz-

eregu pot ¾

egowego w punktach x

3

=

2; x

4

=

1; x

5

= 4; je´sli

(a) jest on zbie·

zny w x

1

= 2 i rozbie·

zny w x

2

=

3;

(b) jego promie´n zbie·

zno´sci R = 2;

(c) jego promie´n zbie·

zno´sci R = +1:

22. Poda´c de…nicj ¾

e pochodnej funkcji w punkcie i jej interpretacj ¾

e geometryczn ¾

a.

23. Sformu÷

owa´c i udowodni´c warunek konieczny ró·

zniczkowalno´sci funkcji w punkcie. Czy twierdzenie

odwrotne jest prawdziwe? Uzsadni´c odpowied´z.

24. Wyprowadzi´c wzór na pochodn ¾

a funkcji:

(a) f (x) = arcsin x;

(b) f (x) = arctg x;

(c) f (x) = ln x;

(d) iloczynu dwóch funkcji:

25. Poda´c twierdzenie Rolle’a z dowodem i interpretacj ¾

a geometryczn ¾

a.

26. Sformu÷

owa´c i udowodni´c twierdzenie Lagrange’a.

27. Sformu÷

owa´c i udowodni´c warunek wystarczaj ¾

acy monotoniczno´sci funkcji.

28. Sformu÷

owa´c

warunek

wystarczaj ¾

acy

wypuk÷

o´sci

funkcji.

Naszkicowa´c

wykres

funkcji

f : R ! R takiej, ·

ze f

00

(x) > 0 dla x < 0; f

00

(x) < 0 dla x 2 [0; 3]; f

00

(x) = 0 dla x > 3:

29. Poda´c de…nicj ¾

e maksimum lokalnego w÷

a´sciwego. Poda´c przyk÷

ad funkcji, która posiada w x

0

= 1

ekstremum lokalne w÷

a´sciwe i

(a) jest ci ¾

ag÷

a tylko prawostronnie w x

0

;

(b) nie posiada pochodnej w x

0

;

(c) f

00

(x

0

) > 0;

(d) f

0

(x)

0 dla x > x

0

:

30. Podaj twierdzenie Fermata (warunek konieczny istnienia ekstremum lokalnego) z dowodem.

31. Poda´c przyk÷

ad ilustruj ¾

acy, ·

ze twierdzenie odwrotne do tw. Fermata jest fa÷

szywe.

2

32. Poda´c de…nicj ¾

e maksimum globalnego w÷

a´sciwego. Wyznaczy´c ekstrema globalne funkcji

(a) f (x) = e

x

3

na zbiorze [ 1; 1];

(b) f (x) = x

2

2x na zbiorze [0; 3]:

33. Niech

f (x) =

x

2

+ 1;

x 2 f 4g [ [ 2; 3] ;

e

2x

;

x 2 (3; +1):

Sprawdzi´c, czy funkcja f jest

(a) ci ¾

ag÷

a;

(b) ró·

zniczkowalna;

(c) ograniczona;

(d) ca÷

kowalna.

34. Poda´c de…nicj ¾

e punktu przegi ¾

ecia funkcji i sformu÷

owa´c warunek konieczny istnienia punktu przegi ¾

e-

cia.

35. Poda´c de…nicj ¾

e funkcji pierwotnej i ca÷

ki nieoznaczonej na przedziale.

Obliczy´c

Z

(

x 1

sin x

)

0

dx i

(

Z

x 1

sin x

dx)

0

:

36. Niech F b ¾

edzie funkcj ¾

a pierwotn ¾

a funkcji f na przedziale [a; b]: Sprawdzi´c, czy

(a)

Z

f (x)dx = F (x) + C; gdzie C 2 R;

(b)

Z

f (x)dx = F (x);

(c)

R

f

0

(x)dx = f (x); gdy f 2 C

1

[a; b];

(d) f

0

(x) = F (x):

37. Niech F b ¾

edzie funkcj ¾

a pierwotn ¾

a funkcji f na przedziale [0; 3]: Sprawdzi´c, czy

(a)

3

Z

0

f (x)dx = F (0)

F (3);

(b)

_

c2[0;4]

f (c) =

1
4

4

Z

0

f (x)dx;

(c) funkcja G(x) =

x

Z

0

f (t)dt dla x 2 [0; 4] jest

ci ¾

ag÷

a;

(d)

x

Z

0

f (t)dt = F (x)

F (0) dla x 2 [0; 4]:

38. Niech f (x) = sin x; g(x) = cos x: Czy

(a) f jest funkcj ¾

a pierwotn ¾

a g;

(b) g jest funkcj ¾

a pierwotn ¾

a f ;

(c) f g i f

g s ¾

a funkcjami ca÷

kowalnymi na dowolnym przedziale [a; b];

(d) (

Z

0

f (x)dx) (

Z

0

g(x)dx) =

Z

0

f (x)g(x)dx:

Uzasadni´c odpowiedzi.

39. Dla ca÷

ki nieoznaczonej sformu÷

owa´c i udowodni´c

(a) twierdzenie o ca÷

kowaniu przez podstawianie;

(b) twierdzenie o ca÷

kowaniu przez cz ¾

e´sci.

3

40. Wyprowadzi´c wzory na ca÷

ki:

(a)

Z

1

x

2

+k

dx, gdzie k > 0;

(b)

Z

1

p

k x

2

dx, gdzie k > 0;

(c)

Z

1

p

k+x

2

dx; gdzie k 6= 0;

(d)

Z

1

(x 1)

n

dx; gdzie n 2 N.

41. Sformu÷

owa´c twierdzenie o ca÷

kowaniu przez podstawianie dla ca÷

ki oznaczonej.

42. Sformu÷

owa´c dwie wybrane w÷

asno´sci ca÷

ki oznaczonej Riemanna.

43. Sformu÷

owa´c jeden z warunków wystarczaj ¾

acych

(a) ci ¾

ag÷

o´sci funkcji w punkcie;

(b) istnienia ca÷

ki nieoznaczonej funkcji na dowolnym przedziale;

(c) ca÷

kowalno´sci funkcji na przedziale domkni ¾

etym i ograniczonym;

(d) ograniczono´sci funkcji na przedziale domkni ¾

etym.

44. Sformu÷

owa´c i udowodni´c twierdzenie o ca÷

ce oznaczonej funkcji

(a) parzystej;

(b) nieparzystej.

45. Obliczy´c

Z

1

0

1

x

2

+ 1

dx:

Poda´c interpretacj ¾

e geometryczn ¾

a tej ca÷

ki.

46. Obliczy´c

Z

8

0

1

3

p

x

dx:

Poda´c interpretacj ¾

e geometryczn ¾

a tej ca÷

ki.

47. Okre´sli´c typ podanych ca÷

ek i obliczy´c

(a)

+1

Z

1

1

x

2

+ 4

dx;

(b)

4

Z

0

1

x

2

dx;

(c)

0

Z

2

1

p

4

x

2

dx;

(d)

1

Z

0

1

p

4

x

2

dx:

48. Obliczy´c pole trapezu krzywoliniowego ograniczonego liniami

y =

1

x

;

y = 0;

x =

e;

x =

1:

49. Poda´c de…nicj ¾

e szeregu Fouriera. Jakie warunki musi spe÷

nia´c funkcja; aby by÷

a rozwijalna w szereg

Fouriera w przedziale [ t; t]?

50. Sformu÷

owa´c de…nicj ¾

e szeregu Taylora funkcji f .

Poda´c warunek wystarczaj ¾

acy rozwijalno´sci

funkcji w szereg Taylora.

Uwagi: Dowody twierdze´n–na ocen ¾

e 4 lub wy·

zsz ¾

a.

4