J

estem wielbicielem stylu pisania Ryszarda Kapuœ-
ciñskiego. Realizuje on to, co kiedyœ powiedziano
o Bu³acie Okud¿awie, odchodz¹cym ju¿ w zapom-

nienie gruziñskim pieœniarzu: ma genialn¹ umiejêtnoœæ
skrótu filozoficznego.

* * *

„Lapidaria” Kapuœciñskiego s¹ dla mnie dobr¹

ksi¹¿k¹. Jako matematyk, umiem podaæ definicjê ksi¹¿-
ki dobrej. Ksi¹¿ka jest dobra, je¿eli:
1. chcieliœmy j¹ przeczytaæ po raz pierwszy,
2. dla ka¿dej liczby naturalnej

n > 1, je¿eli przeczytaliœ-

my j¹ po raz

n-ty, to chcemy j¹ przeczytaæ po raz

(

n+1).

A zatem dzisiej-

szy artyku³ bêdzie
„w stylu Kapuœciñskie-
go”. Zaczynamy od kil-
ku ciekawych zadañ.

* * *

Regularne p³ywanie.
W czasie pobytu w sa-
natorium wróci³em do
regularnego p³ywania. P³ywam wolno, bo ju¿ nie te la-
ta... Wiem, ¿e przez pierwsze pó³ godziny mogê przep-
³yn¹æ w 3 minuty dwie d³ugoœci basenu. Przez nastêp-
ne pó³ godziny p³ynê ju¿ wolniej: na ka¿d¹ d³ugoœæ ba-
senu zu¿ywam dwie minuty. Ale, pomyœla³em sobie,
skoro najpierw dwie d³ugoœci w trzy minuty, a potem
jedn¹ w dwie minuty, to œrednio daje to trzy d³ugoœci
basenu na 5 minut, a zatem 36 na godzinê.

Zrobi³em tak, jak sobie wyliczy³em. Na œcianie

p³ywalni wisia³ du¿y zegar i mog³em precyzyjnie kon-
trolowaæ swój czas. Najpierw dwie d³ugoœci na 3 minu-
ty, potem jedna d³ugoœæ na dwie minuty. Okaza³o siê
jednak, ¿e przep³yn¹³em nie 36, a 35 d³ugoœci basenu.

Po kilku dniach p³ywa³em ju¿ nieco szybciej. Naj-

pierw 5 d³ugoœci basenu w 7 minut, a po pewnym cza-
sie (i zmêczeniu) 3 d³ugoœci w 5 minut. Pomyœla³em so-
bie, ¿e œrednio da to 8 d³ugoœci na 12 minut, czyli 40 na
godzinê. Zatem pierwsze 20 d³ugoœci pop³ynê szybciej,
a potem zwolniê, ¿eby œrednia by³a taka, jak zaplano-
wa³em. Potem nastêpne 20 d³ugoœci w wolniejszym
tempie. Kontrolowa³em czas ... i znów nie wysz³o. Sto-
j¹c pod prysznicem po wyjœciu z p³ywalni, zrozumia-
³em, dlaczego. Po prostu dodawa³em u³amki tak, jak z³y
uczeñ: licznik do licznika, mianownik do mianownika.

* * *

Liczba Ramanujana.

Matematycy potrafi¹ powiedzieæ

coœ ciekawego o ka¿dej liczbie, a na dowód, ¿e to
prawda, opowiadaj¹ zwykle anegdotkê o Ramanujanie,
bardzo znanym matematyku hinduskim z prze³omu XIX
i XX wieku. Le¿a³ on kiedyœ w szpitalu i odwiedzi³ go
tam przyjaciel, znany angielski matematyk Hardy. Wy-
wi¹za³ siê taki mniej wiêcej dialog:
– Och, jak to mi³o, ¿e jesteœ! Czy przyszed³eœ piechot¹?
– Nie, nie, przyjecha³em taksówk¹.
– Taksówk¹? A jaki mia³a numer?
– ¯aden szczególny, 1729.
– Jak to „¿aden szczególny!” – wykrzykn¹³ oburzony

Ramanujan. – To przecie¿ najmniejsza liczba natural-
na, któr¹ mo¿na roz³o¿yæ na sumê szeœcianów na
dwa sposoby!!

Tyle anegdotka. Przypomnijmy, ¿e w arytmetyce

s³owo „szeœcian” oznacza trzeci¹ potêgê, np. 2

3

= 8.

Mamy

1729 = 1

3

+ 12

3

.

Jaki jest ten drugi sposób:

1729 =

x

3

+

y

3

,

który mia³ na myœli Ramanujan?

* * *

Ciekawostka statystyczna sprzed 100 lat

Boles³aw Prus jest autorem, jak sam przyznaje,

quasi-matematycznej formu³y charakteryzuj¹cej popu-
larnoœæ pisma. Otó¿ popularnoœæ pisma jest wed³ug
Prusa równa

, przy czym:

L

p

– œrednia liczba np. dziennie rozchodz¹cych siê
numerów danego pisma,

L

o

– œrednia dzienna og³oszeñ,

P

r

– liczba egzemplarzy wszystkich pism rozchodz¹-
cych siê dziennie w danym kraju,

C

p

– cena prenumeraty,

C

o

– cena przeciêtna og³oszeñ (np. za cm

2

).

Prus pisze, ¿e za pomoc¹ tej formu³y mo¿na po-

równywaæ popularnoœæ pism tego samego kraju albo
i ró¿nych krajów. Nadto mo¿na oceniæ zmiany, jakie za-
chodz¹ w popularnoœci pisma skutkiem podniesienia
lub obni¿enia ceny prenumeraty.

Mo¿emy ten – nie ca³kiem mo¿e przystaj¹cy do

wspó³czesnej rzeczywistoœci – wzór wykorzystaæ do
sprawdzenia, czy nasi uczniowie rozumiej¹ wzory ma-
tematyczne. Oto przyk³adowe pytania:
1. Zwiêkszamy cenê prenumeraty. Czy popularnoœæ pis-

ma spadnie, czy zmaleje?

2. Zwiêkszamy cenê og³oszeñ. Czy popularnoœæ pisma

spadnie, czy zmaleje?

3. Za³ó¿my, ¿e dla pewnego pisma mamy takie dane:

L

p

= 100000,

L

o

= 1000,

C

p

= 1 (np. 1 euro),

C

o

= 1

(np. 1 euro). Podnosimy cenê prenumeraty do 2 euro.
Ile og³oszeñ powinniœmy zamieszczaæ, ¿eby wed³ug
formu³y Prusa utrzymaæ popularnoœæ pisma na tym
samym poziomie?

4. Uda³o nam siê zdobyæ rynek i rozprowadzamy dwa

razy tyle egzemplarzy, co przedtem. O ile mo¿emy
zmieniæ cenê prenumeraty, by utrzymaæ popularnoœæ
pisma na tym samym poziomie?

)

(

o

p

r

o

p

C

C

P

L

L

+

+

4

49

9

m a t e m a t y k a

TEKST TRUDNY

!!!

Lapidaria

matematyczne

M i c h a ł S z u r e k

5. Liczba og³oszeñ spad³a o po³owê. Jak skalkulowaæ

cenê og³oszeñ, ¿eby utrzymaæ popularnoœæ pisma na
tym samym poziomie?

U³ó¿ inne pytania zwi¹zane ze wzorem Boles³a-

wa Prusa.

* * *

Ryszard Kapuœciñski

1)

nazywa paradoksem

Schella (Jonathan Schell, wspó³czesny amerykañski
eseista) zjawisko, ¿e wzrost informacji powoduje
zwiêkszanie siê niewiedzy ludzi. „Mo¿e i ¿yjemy
w epoce informacji, ale ta informacja najwidoczniej
przechowywana jest gdzie indziej ni¿ w umys³ach oby-
wateli. Wygl¹da na to, ¿e podczas gdy komputery s¹
zapchane informacj¹, w umys³ach straszy coraz wiêk-
sza pustka.

Manowce nauczania „komputerowego”: czêsto

myli siê treœæ z form¹. Zamiast „jak pisaæ”, dyskutuje-
my o tym, jak redagowaæ i uczymy sztuki prezentacji .
Wiemy, jak pojemna jest pamiêæ, a nie wiemy, co ma
byæ w tej pamiêci.

Wœród m³odzie¿y zaczyna dominowaæ postawa

komputerowa: nie jest to zwyczajna biernoϾ, tylko wy-
czekiwanie, ¿e ktoœ do czegoœ zachêci. Ale uwaga: na
jednej z najstarszych glinianych tabliczek znajduj¹ siê
¿ale starszego cz³owieka, ¿e „dzisiejsza m³odzie¿ to ju¿
nie taka, jak kiedyœ bywa³o”. Tak, dawniej trawa by³a
zieleñsza, a niebo bardziej niebieskie.

* * *

Od lat przeprowadzam ze studentami I roku ek-

speryment statystyczny. Na wyk³adzie niespodziewa-
nie mówiê: proszê wyj¹æ kartki. Niech ka¿dy napisze
na niej dowoln¹ liczbê naturaln¹ mniejsz¹ ni¿ 100. Gdy
zdziwieni pytaj¹, o co chodzi, najpierw odbieram kar-
tki, a potem wyjaœniam: psychologowie dawno zauwa-
¿yli, ¿e na polecenie: podaj jak¹œ liczbê, czêœciej poda-
jemy liczbê nieparzyst¹ i zaraz zobaczymy, jak to u Pañ-
stwa bêdzie... Wynik zawsze potwierdza mi tê teoriê.
Dane te wykorzystujê potem do æwiczeñ ze statystyki.
Eksperyment dnia 3 listopada 2005 roku na studentach
geografii Uniwersytetu Warszawskiego da³ wynik: 40
osób wybra³o liczbê nieparzyst¹ (28 dziewcz¹t i 12
ch³opców), 13 parzyst¹ (7 ch³opców, 6 dziewcz¹t).

Æwiczenie

. ZnajdŸ pojazd, który ma nieparzyst¹

liczbê kó³. Zapasowego ko³a w samochodzie nie liczymy.

* * *

Urodzony w Polsce Jacob Bronowski (1908–1974)

przedstawi³ interesuj¹cy punkt widzenia, bardzo dob-
rze pasuj¹cy do matematyki w³aœnie: wiedza jako algo-
rytm i wiedza jako metafora

2)

. Pierwsza czêœæ tej myœli

jest jasna: wiedza daje nam umiejêtnoœci, bardzo czês-
to sprowadzane do algorytmów. Potrafiê rozwi¹zaæ
równanie, obliczyæ pole przekroju graniastos³upa, wyz-
naczyæ stê¿enie potrzebnego roztworu, obliczyæ nie-
zbêdne parametry projektowanego mostu, zmieniæ ko³o

w samochodzie, upiec placek ze œliwkami, jeŸdziæ na
rowerze, p³ywaæ, graæ w bryd¿a, pos³ugiwaæ siê kom-
puterem. Tu „wiem” jest bliskie „potrafiê”.

O co chodzi w zwrocie „wiedza jako metafora”?

Bronowski pisa³: „Podstaw¹ zarówno poezji, jak i od-
krycia naukowego jest zdolnoϾ do pojmowania niepo-
dobnego jako podobnego i podobnego jako niepodob-
nego”. Przekraczaj¹c barierê epistemologiczn¹, musimy
przecie¿ opisywaæ nowe za pomoc¹ starego i dopiero
po pewnym czasie zmieniamy sposób pojmowania. ¯e-
by coœ zrozumieæ, musimy tê rzecz, pojêcie, myœl,
przedstawiæ w innej postaci. Zastosowaæ stare do no-
wego. Dlatego w³aœnie zdobywanie wiedzy to nieus-
tanne pisanie metafor. Dlatego mo¿na powiedzieæ, ¿e
ca³a nasza wiedza i ca³e nasze rozumienie jest metafo-
ryczne. Dlatego jest tak piêkne. Spójrzmy na jedn¹
z g³êbokich metafor, zawart¹ w wierszu wybitnego po-
ety angielskiego romantyzmu Williama Wordswortha
(1770–1850) ¯onkile. W przek³adzie Stanis³awa Barañ-
czaka ten fragment brzmi:

Znów gwiazdozbiory kwiatów œwie¿e
Ku oczom duszy blask swój wyœl¹.

Jak wiemy, metafora to opisywanie jednej rzeczy

w terminach odnosz¹cych siê do innej. Kwiaty nie two-
rz¹ przecie¿ gwiazdozbiorów, a dusza nie ma oczu. Mi-
mo to nie tylko wiemy, o co chodzi, ale jeszcze jesteœ-
my pe³ni podziwu dla poety, który powi¹za³ tak odleg³e
sprawy.

* * *

O jaki wiek chodzi w poni¿szym fragmencie?

OdpowiedŸ w przypisie!

Wiek (...) jest wiekiem wielkich wysi³ków

i osi¹gniêcia wspania³ych rezultatów przez myœl ludz-
k¹, jest wiekiem wielkich zmagañ siê ducha ludzkiego.
Dziêki pracy opartej na doœwiadczeniu, owianej du-
chem wolnoœci i pêdzonej zmys³em przedsiêbiorczoœci,
bilans zdobyty przez niego jest w ró¿nych dziedzinach
bardzo powa¿ny, a czêsto nawet imponuj¹cy. Przewrót,
dokonany przez ten wiek, zw³aszcza w dziedzinie nauk
przyrodniczych i techniki, jest wrêcz prze³omowy. Kosz-
tem tej szalonej ekspansji, intensywnoϾ pracy ducha
dla siebie i nad sob¹ doznaje powa¿nego uszczerbku,
co te¿ obliczu jego nadaje piêtno znamienne

3)

.

* * *

Wpad³ mi w rêce tekst wyst¹pienia wybitnego

rosyjskiego matematyka V. J. Arnolda na konferencji
w Rzymie poœwiêconej matematyce XXI wieku. Arnold
jest jednym z najwybitniejszym matematyków œwiato-
wych. Tacy jak on wytyczaj¹ kierunki rozwoju nauki.

Nie mnie, drobnemu ¿uczkowi, krytykowaæ lwa.

A jednak pozwolê sobie najpierw na pewn¹ uszczypli-
woœæ, a potem na jeszcze wiêcej. Jeszcze za g³êbokiego
PRL-u s³ysza³em takie okreœlenie kraju demokratyczne-
go: to taki kraj, gdzie profesor sam sobie œciera tablice.
Na Kongresie Miêdzynarodowej Unii Matematycznej

W U S A u n i w e r s y t e t y z a t r u d n i a j ą

w i ę c e j l u d z i n i ż r o l n i c t w o

m a t e m a t y k a

5

50

0

Nie można się oprzeć wrażeniu, że formuły matematyczne mają niezależny od nas byt

i inteligencję, że są mądrzejsze niż my sami, nawet mądrzejsze niż ich odkrywcy

i że możemy wywnioskować z nich więcej niż poprzednio w nich zawarto.

Heinrich Rudolph Hertz, fizyk, 1857–1894

w 1983 roku Arnold mia³ dwóch asystentów, którzy za
niego to robili. Ka¿dy z asystentów by³ zreszt¹ docentem.

Ale przera¿a mnie sposób widzenia matematyki

przez Arnolda. Widzi on wszystko w krzywym zwier-
ciadle i, z ca³ym szacunkiem, panie profesorze Arnold,
wychodzi z Pana Homo sovieticus. Mo¿e to jednak ja
jestem naiwny. Najpierw pisze Arnold, ¿e „dowody
w matematyce s¹ tym, czym spelling (a nawet kaligra-
fia) w poezji. Pomy³ki s¹ wa¿ne i kszta³c¹ce, b³êdy s¹
mo¿e i tak samo wa¿ne, jak dowody. Najwa¿niejsze jest
zrozumienie”.

Ze znakomitego matematyka wychodzi tu jego

rosyjska dusza. Nie sposób nie mieæ z³ych skojarzeñ,
gdy czytamy, ¿e b³êdy musz¹ byæ, s¹ nieuniknione,
s¹ czêœci¹ systemu. Jeœli siê pomylimy, to odwo³amy,
a w razie czego i zrehabilitujemy...

Dalej Arnold pisze:
„Matematyka est omnis divisa in partes tres

4)

:

kryptografia (finansowana przez CIA, KGB itp.), hydro-
dynamika (finansowana przez przemys³ atomowych ok-
rêtów podwodnych) i mechanika niebieska (finansowa-
na przez wojsko i wszystkie instytucje, które maj¹ coœ
wspólnego z rakietami, na przyk³ad NASA). Kryptogra-
fia stworzy³a teoriê liczb, geometriê algebraiczn¹ nad
cia³ami skoñczonymi, kombinatorykê i komputery. Pro-
genitury hydrodynamiki to analiza zespolona, równania
ró¿niczkowe cz¹stkowe, teoria grup i algebr Liego, teo-
ria kohomologii i wszelkie obliczenia.

Z mechaniki niebieskiej wywodz¹ siê: algebra li-

niowa, uk³ady dynamiczne, topologia, rachunek waria-
cyjny i geometria symplektyczna. Istnienie tajemni-
czych, subtelnych i niedaj¹cych siê racjonalnie wyjaœ-
niæ zwi¹zków miêdzy tymi ró¿nymi dziedzinami jest
najbardziej zagadkow¹ i najbardziej zachwycaj¹c¹ ce-
ch¹ matematyki”.

Jak wiadomo, na rozwój matematyki (i wielu in-

nych nauk) dobry wp³yw ma wojna. Niechêtnie o tym
myœlimy – to przecie¿ naprawdê przykre. Buntujemy siê
otwarcie, i powinniœmy siê buntowaæ, gdy czytamy
u Arnolda, ¿e „mo¿na mieæ nadziejê, ¿e nadchodz¹ca
konfrontacja militarna i lokalne konflikty nuklearne do-
prowadz¹ do lepszego zrozumienia roli nauki przez
spo³eczeñstwa i do paradoksalnego rozkwitu matema-
tyki œwiatowej, podobnego do tego, jaki zdarzy³ siê
w Rosji po okropnej rewolucji bolszewickiej”.

Z ca³ym szacunkiem dla wybitnego matematyka,

ale jedyny komentarz, jaki mi tu przychodzi do g³owy, to
stwierdzenie Szwejka, ¿e to bêdzie wspaniale, panie po-
ruczniku, gdy obaj polegniemy za Najjaœniejszego Pana.

!

1)

Ryszard Kapuściński, Lapidaria, Czytelnik, 1997.

2)

Jacob Bronowski, The ascent of man. Futura MacDonald & Co. Lon-
don & Sydney (1973).

3)

Zygmunt Łempicki, Oblicze duchowe wieku XIX, w: Kultura i wycho-
wanie, rocznik 1 (1933–34), wyd. Zarząd Główny Towarzystwa Nau-
czycieli Szkół Średnich i Wyższych.

4)

To łacińskie zdanie (Cała Galia jest podzielona na trzy części) jest po-
czątkiem listu Cezara do Senatu O wojnie galijskiej. Tekst ten był dla
wielu pokoleń uczniów liceum obowiązkową czytanką. W obecnym
slangu młodzieżowym można powiedzieć, że stał się kultowy. Wracał
do niego często Julian Tuwim:

Szkoło, szkoło, gdy cię wspominam
Oczy mam pełne łez.
Galia est omnis divisa
In partes tres.

5

51

1