1. D

ANE WYJŚCIOWE

•

S

CHEMAT STATYCZNY

Przekroje prętów – HEB 400:

W =2884 cm

3

,

A

=198 cm

2

,

v

A =h

w

·t

w

=(400-2·24)·13,5=47,52 cm

2

,

ν

w

=1%=0,01.

Stal 18G2A (dla 16<t≤30 mm):

R

e,min

=345 MPa,

min R

m

=490 MPa,

f

d

=295 MPa,

ν

Re

=2%=0,02.

z=2,5.

2. P

ARAMETRY NOŚNOŚCI GRANICZNEJ PRZEKROJÓW PRĘTÓW RAMY

R

e,min

=

e

R -z·D(R

e

)

ν

=

e

e

R

R

D

)

(

R

e,min

=

e

R -z·v·

e

R

e

R =

z

R

e

⋅

−

ν

1

min

,

=

5

,

2

02

,

0

1

345

⋅

−

=363,16 MPa

Ś

rednia nośność na zginanie:

e

pl

e

pl

R

R

W

R

W

M

⋅

=

⋅

⋅

=

α

,

α

p

=

2

1

(1+α

pl

); α

p

=1,05 – dla dwuteowników szerokostopowych HEB,

α

pl

=1,12,

3

3240

1620

2

2

cm

S

S

S

W

t

c

pl

=

⋅

=

⋅

=

+

=

R

M

=M

pl

=1,12·2884·10

-6

·363,16·10

3

=3240·10

-6

·363,16·10

3

=1176,638 kNm.

Ś

rednia nośność na ściskanie:

e

R

R

A

S

⋅

=

=198·10

-4

·363,16·10

3

=7190,57 kN.

Ś

rednia nośność na ścinanie:

e

v

R

R

A

V

⋅

⋅

=

58

,

0

=0,58·47,52·10

-4

·363,16·10

3

=1000,93 kN.

Odchylenie standardowe granicy plastyczności s

Re

oraz wskaźnika zginania przekroju s

W

:

s

Re

=ν

Re

·

e

R =0,02·363,16=7,26 MPa,

q=1,20 N/m

h

=

3,

50

m

h

=

6,

00

m

l=4,00m

1

2

1,5

·

P=1,95N

P=1,30N

0,7

·

q=0,84N/m

H=0,8N

s

W

=ν

W

·W =0,01·2884=28,84 cm

3

.

Odchylenie standardowe nośności przekroju zginanego s

Mpl

:

s

Mpl

=

2

2

Re

W

ν

ν

+

·M

pl

=

2

2

01

,

0

02

,

0

+

·1176,638=26,31 kNm.

3. W

YZNACZENIE NOŚNOŚCI GRANICZNEJ RAMY METODĄ

KINEMATYCZNĄ

3.1.

S

TOPIEŃ STATYCZNEJ NIEWYZNACZALNOŚCI

n=6.

3.2.

L

ICZBA PRZEKROJÓW NIEBEZPIECZNYCH

m=12.

3.3.

L

ICZBA PODSTAWOWYCH MECHANIZMÓW ZNISZCZENIA

r=m-n=12-6=6.

3.3.1.

M

ECHANIZM BELKOWY

–

PRZEKROJE NIEBEZPIECZNE

5,6,7

1

2

3

4

11

10

9

8

6

5

7

12

Na podstawie równania prac przygotowanych
możemy zapisać:

Praca sił zewnętrznych:

L

z

=P·∆+0,7·q·l·

2

∆

.

Praca sił wewnętrznych:

L

w

=M

pl,5

·φ+M

pl,6

·2φ+M

pl,7

·φ=4·M

pl

·φ.

Zakładamy, że przemieszczenie ∆ jest na tyle
małe, że dąży do 0, stąd:

tg φ=

l

∆

⋅

2

≈φ

.

Otrzymujemy więc:

P·∆+0,7·q·l·

2

∆

=4·M

pl

·φ,

P·∆+0,7·q·l·

2

∆

=4·M

pl

·

l

∆

⋅

2

,

1,3N·∆+0,84

m

N

·4m·

2

∆

=4·M

pl

·

∆

∆

⋅

:

4

2

m

,

1,3·N+1,68·N=2·

m

M

pl

,

N=0,6711·

m

M

pl

.

3.3.2.

M

ECHANIZM BELKOWY

–

PRZEKROJE NIEBEZPIECZNE

4,11,10

Postępując podobnie jak powyżej otrzymujemy:

L

z

=1,5·P·∆+q·l·

2

∆

,

L

w

=M

pl,4

·φ+M

pl,11

·2φ+M

pl,10

·φ=4·M

pl

·φ,

tg φ=

l

∆

⋅

2

≈φ

.

Stąd:

1,5·P·∆+q·l·

2

∆

=4·M

pl

·φ,

1,5·P·∆+q·l·

2

∆

=4·M

pl

·

l

∆

⋅

2

,

1,95·N·∆+1,20

m

N

·4m·

2

∆

=4·M

pl

·

∆

∆

⋅

:

4

2

m

,

1,95·N+2,4·N=2,0·

m

M

pl

,

N=0,4598·

m

M

pl

.

5

6

7

P=1,30N

0,7

·

q=0,84N/m

l=4,00m

φ

φ

φ

φ

l=4,00m

φ

φ

φ

φ

q=1,20 N/m

1,5

·

P=1,95N

11

4

10

3.3.3.

M

ECHANIZM PRZECHYŁU

–

PRZEKROJE NIEBEZPIECZNE

1,2,9,12

L

z

=H·∆,

L

w

=M

pl,1

·φ+M

pl,2

·φ+M

pl,9

·φ+M

pl,9

·φ=4·M

pl

·φ

tg φ=

1

h

∆

≈φ

.

Stąd:

H·∆=4·M

pl

·φ,

H·∆=4·M

pl

·

1

h

∆

,

0,8·N·∆=4·M

pl

·

∆

∆

:

5

,

3 m

,

0,8·N=1,143·

m

M

pl

,

N=1,429·

m

M

pl

.

3.3.4.

M

ECHANIZM PRZECHYŁU

–

PRZEKROJE NIEBEZPIECZNE

3,5,7,8

L

z

=H·∆,

L

w

=M

pl,3

·φ+M

pl,5

·φ+M

pl,7

·φ+M

pl,8

·φ=4·M

pl

·φ

tg φ=

1

2

h

h −

∆

≈φ

.

Stąd:

H·∆=4·M

pl

·φ,

H·∆=4·M

pl

·

1

2

h

h −

∆

,

0,8·N·∆=4·M

pl

·

∆

∆

:

5

,

2 m

,

0,8·N=1,6·

m

M

pl

,

N=2,000·

m

M

pl

.

φ

φ

φ

1

12

h

=3

,50

m

h

=6,

00m

H=0,8N

1

12

1

2

H=0,8N

φ

φ

φ

5

3

7

8

φ

h

=6,

00m

2

h

=3

,50

m

1

3.3.5.

M

ECHANIZM OBROTU

–

PRZEKROJE NIEBEZPIECZNE

2,3,4

Postępując podobnie jak powyżej mamy:

L

z

=M·φ=N·0·φ,

L

w

=M

pl,2

·φ+M

pl,3

·φ+M

pl,4

·φ=3·M

pl

·φ.

Z warunku:

L

z

=L

w

,

otrzymujemy:

N·0·φ=3·M

pl

·φ.

Stąd:

N=∞·M

pl

.

3.3.6.

M

ECHANIZM OBROTU

–

PRZEKROJE NIEBEZPIECZNE

8,9,10

Postępując podobnie jak powyżej mamy:

L

z

=M·φ=N·0·φ,

L

w

=M

pl,8

·φ+M

pl,9

·φ+M

pl,10

·φ=3·M

pl

·φ.

Z warunku:

L

z

=L

w

,

otrzymujemy:

N·0·φ=3·M

pl

·φ.

Stąd:

N=∞·M

pl

.

3
2

4

φ

φ

φ

M

M

φ

φ

φ

10

8
9

3.4.

K

OMBINACJE MECHANIZMÓW PODSTAWOWYCH

3.4.1.

L

ICZBA KOMBINACJI

!

5

!

7

!

12

7

12

1

6

12

1

⋅

=













=













+

=













+

n

m

=792.

Mechanizm pełny zadanego schematu to mechanizm o siedmiu przegubach
plastycznych. Siedem przegubów plastycznych to największa liczba przegubów,
przy których mechanizm może być jeszcze mechanizmem pierwszego rzędu.

Poniżej rozważymy kilka kombinacji mechanizmów podstawowych.

3.4.2.

K

OMBINACJA

1.

–

PRZEKROJE NIEBEZPIECZNE

1,6,7,8,10,11,12

L

z

=H·∆+P·x+1,5·P·x+0,7·q·l·

2

x

+ q·l·

2

x

,

l

x

h

⋅

=

∆

2

2

x=

2

2h

l ∆

⋅

,

L

w

=M

pl,1

·φ+M

pl,6

·2φ+M

pl,7

·2φ+

+M

pl,10

·2φ+M

pl,11

·2φ+M

pl,12

·φ=

=10·M

pl

·φ,

tg φ=

2

h

∆

≈φ

.

Stąd:
H·∆+2,5·P·x+1,7·q·l·x=10·M

pl

·φ,

H·∆+2,5·P·

2

2h

l ∆

⋅

+1,7·q·l·

2

4h

l ∆

⋅

=10·M

pl

·

∆

∆

:

2

h

0,8·N+3,25·N·

12

4

+2,04

m

N

·4m·

24

4

=10·M

pl

·

6

1

,

0,8·N+1,0833·N+1,36·N=

6

10

·

m

M

pl

,

N=0,5139·

m

M

pl

.

1

11

10

8

6

7

12

P=1,30N

H=0,8N

1,5

·

P=1,95N

0,7

·

q=0,84N/m

q=1,20 N/m

l=4,00m

h

=

3

,5

0

m

2

1

h

=

6

,0

0

m

x

x

φ

φ

φ

2φ

φ

φ

φ

3.4.3.

K

OMBINACJA

2.

–

PRZEKROJE NIEBEZPIECZNE

1,3,5,8,10,11,12

L

z

=H·∆+1,5·P·x+q·l·

2

x

,

l

x

h

⋅

=

∆

2

1

x=

1

2h

l ∆

⋅

,

L

w

=M

pl,1

·φ+M

pl,3

·φ+M

pl,8

·φ+M

pl,10

·2φ+

+M

pl,11

·2φ+M

pl,12

·φ=

=8·M

pl

·φ,

tg φ=

1

h

∆

≈φ

.

Stąd:

H·∆+1,5·P·x+q·l·

2

x

=8·M

pl

·φ,

H·∆+1,5·P·

1

2h

l ∆

⋅

+q·l·

1

4h

l ∆

⋅

=8·M

pl

·

1

h

∆

|:∆,

0,8·N+1,95·N·

7

4

+1,2

m

N

·4m·

14

4

=8·M

pl

·

5

,

3

1

,

0,8·N+1,1143·N+1,3714·N=

5

,

3

8

·

m

M

pl

,

N=0,6957·

m

M

pl

.

3.4.4.

K

OMBINACJA

3.

–

PRZEKROJE NIEBEZPIECZNE

3,6,7,8,10,11,12

L

z

=H·∆+P·x+0,7·q·l·

2

x

,

l

x

h

h

⋅

=

−

∆

2

1

2

x=

(

)

1

2

2

h

h

l

−

∆

⋅

,

L

w

=M

pl,3

·φ+M

pl,6

·2φ+M

pl,7

·2φ+M

pl,8

·φ=

=6·M

pl

·φ,

tg φ=

1

2

h

h −

∆

≈φ

.

Stąd:

H·∆+P·x+0,7·q·l·

2

x

=6·M

pl

·φ,

H·∆+P·

(

)

1

2

2

h

h

l

−

∆

⋅

+0,7·q·l·

(

)

1

2

4

h

h

l

−

∆

⋅

=

=6·M

pl

·

∆

−

∆

:

1

2

h

h

,

0,8·N+1,3·N·

5

4

+0,84

m

N

·4m·

10

4

=6·M

pl

·

5

,

2

1

,

0,8·N+1,04·N+1,344·N=2,4·

m

M

pl

,

N=0,7538·

m

M

pl

.

1

11

10

8

12

P=1,30N

H=0,8N

1,5

·

P=1,95N

0,7

·

q=0,84N/m

q=1,20 N/m

l=4,00m

h

=

3

,5

0m

2

1

h

=

6,

00

m

5

3

x

2φ

φ

φ

φ

φ

11

10

8

12

P=1,30N

H=0,8N

1,5

·

P=1,95N

0,7

·

q=0,84N/m

q=1,20 N/m

l=4,00m

h

=

3,

50

m

2

1

h

=

6

,0

0m

3

7

6

φ

φ

2φ

φ

φ

x

Dla zadanego układu ramowego minimalny mechanizm zniszczenia to mechanizm
podstawowy [4,10,11]. Nośność graniczna w tym przypadku równa jest:

N=0,4598·

m

M

pl

=0,4598·

m

kNm

638

,

1176

=541,02 kN.

3.5.

W

YZNACZENIE SIŁ PODŁUŻNYCH I POPRZECZNYCH

Wyznaczenie sił wewnętrznych dla ramy w metodzie kinematycznej następuje poprzez
zadanie obciążenia granicznego (N=417,172 kN), wyznaczonego powyżej, w stanie czystego
zginania (rozwiązanie poniżej).

OBCI

ĄŻENIA: MOMENTY:

1

2

3

4

5

6

500,606

500,606

813,485

350,425

350,425

333,738

542,234

1

2

3

4

5

6

-113,943

-201,449

-548,699

879,610

-1321,475

541,598

-538,979

-779,877

-357,722

640,750

-846,946

434,756

-357,722

434,756

846,946

TN

ĄCE: NORMALNE:

3.6.

R

EDUKCJA MOMENTU PLASTYCZNEGO W POSZCZEGÓLNYCH

ELEMENTACH SPRAWCZYCH

Przekrój przy czystym ściskaniu lub rozciąganiu przenosi siłę osiową

R

S

=7190,57 kN, przy

czystym ścinaniu przenosi siłę tnącą

R

V

=100,93 kN.

Przy powstaniu przegubu plastycznego dla przekroju 1 wartości sił: osiowej S

1

i tnącej V

1

wynoszą:

S

1

=2064,421 kN i V

1

=25,002 kN

Przy powstaniu przegubu plastycznego dla przekroju 6 wartości sił: osiowej S

6

i tnącej V

6

wynoszą:

S

6

=650,729 kN i V

6

=393,423 kN

lub

S

6

=650,729 kN i V

6

=148,811 kN.

Przy powstaniu przegubu plastycznego dla przekroju 7 wartości sił: osiowej S

7

i tnącej V

7

wynoszą:

S

7

=650,729 kN i V

7

=1094,273 kN

lub

S

7

=1094,273 kN i V

7

=650,729 kN.

Jeżeli oprócz momentu zginającego (w płaszczyźnie ramy) działa w przekroju siła podłużna S
i siła poprzeczna V, to moment plastyczny dla przekroju dwuteowego należy zredukować
według zależności:

a. – gdy V≤

3

pl

V

i S≤0,1·S

pl

,

to M

pl,zred

=M

pl

;

b. – gdy V≤

3

pl

V

i S>0,1·S

pl

,

to M

pl,zred

=M

pl

·















−

pl

S

S

1

·1,1;

1

2

3

4

5

6

-2064,421

-2064,421

341,993

341,993

341,993

-2695,422

-1094,273

-1094,273

-650,729

-650,729

-650,729

-849,661

-849,661

S

N

1

2

3

4

5

6

25,002

25,002

213,548

-599,937

1214,760

-1601,149

308,736

308,736

650,729

650,729

849,661

148,811

-393,423

-1094,273

-316,991

-316,991

V

N

-2695,422

c. – gdy

3

pl

V

<V≤0,9·V

pl

,

to M

pl,zred

=M

pl

·















⋅

−

⋅

−

pl

pl

V

V

S

S

3

,

0

1

,

1

1

,

1

.

Dla przekroju 5, zanim powstanie przegub plastyczny, nastąpi zniszczenie ramy poprzez
ś

cięcie:

39

,

651

18

,

1073

5

=

R

V

V

>1,

stąd

M

pl,zred,5

=0.

Dla przekroju 6 wystąpi przypadek – b.:

V

6

=14,69 kN ≤

3

pl

V

=

3

39

,

651

=217,13 kN i S

6

=532,59 kN > 0,1·S

pl

=0,1·4679,53=467,95 kN,

stąd:

M

pl,zred,6

=M

pl

·















−

pl

S

S

6

1

·1,1=749,77·













−

53

,

4679

59

,

532

1

·1,1=730,88 kNm;

lub

dla przekroju 6 wystąpi przypadek – b.:

V

6

=126,45 kN ≤

3

pl

V

=

3

39

,

651

=217,13 kN i S

6

=532,59 kN > 0,1·S

pl

=0,1·4679,53=467,95 kN,

stąd:

M

pl,zred,6

=M

pl

·















−

pl

S

S

6

1

·1,1=749,77·













−

53

,

4679

59

,

532

1

·1,1=730,88 kNm.

Dla przekroju 7, zanim powstanie przegub plastyczny, nastąpi zniszczenie ramy poprzez
ś

cięcie:

39

,

651

94

,

1184

7

=

R

V

V

>1,

stąd

M

pl,zred,7

=0.

4. W

YZNACZENIE NOŚNOŚCI GRANICZNEJ RAMY METODĄ STATYCZNĄ

(

METODĄ ROZWIĄZAŃ SPRĘŻYSTYCH

)

4.1.

W

YZNACZENIE NOŚNOŚCI GRANICZNEJ I MOMENTÓW ZGINAJĄCYCH

I

ETAPU

OBCIĄŻENIA RAMY

Dla I etapu wytężenia ustroju do analizy przyjęto schemat statyczny ramy pokazany
poniżej przyjmując jednostkowe obciążenie N=1. Następnie pokazano wykres momentów
zginających M

1

I

w prętach ramy dla N=1.

Z analizy momentów zginających pokazanych na rysunku powyżej wynika, że pierwszy
przegub plastyczny utworzy się w przekroju 10 dla obciążenia:

N

gr,I

=

168

,

3

638

,

1176

1

,

=

i

I

pl

M

M

=371,413 kN.

Dla ramy obciążonej N=N

gr,I

momenty zginające w charakterystycznych przekrojach

wynoszą:

M

N

I,1

=M

1

I,1

·N

gr,I

=0,483·371,413 =179,392

kNm,

M

N

I,2

=M

1

I,2

·N

gr,I

=0,273·371,413 =101,396 kNm,

M

N

I,3

=M

1

I,3

·N

gr,I

=1,042·371,413 =387,012 kNm,

M

N

I,4

=M

1

I,4

·N

gr,I

=1,315·371,413 =488,408 kNm,

M

N

I,5

=M

1

I,5

·N

gr,I

=0,858·371,413 =318,672 kNm,

M

N

I,6

=M

1

I,6

·N

gr,I

=1,536·371,413 =570,490 kNm,

M

N

I,7

=M

1

I,7

·N

gr,I

=2,030·371,413 =753,968 kNm,

M

N

I,8

=M

1

I,8

·N

gr,I

=1,869·371,413 =694,171 kNm,

M

N

I,9

=M

1

I,9

·N

gr,I

=1,298·371,413 =482,094 kNm,

M

N

I,10

=M

1

I,10

·N

gr,I

=3,168·371,413 =1176,636 kNm,

3
3

4
4

6
6

-0,483

-0,273

-1,315

2,109

-3,168

-1,292

1,298

-1,869

2,030

-0,858

1,536

-2,030

-0,858

1,042

M

1

I

1

2

3

4

11

10

9

8

5

6

7

12

H=0,8N

P=1,30N

0,7

·

q=0,84N/m

q=1,20 N/m

h

=

3

,5

0

m

h

=

6

,0

0

m

1

2

l=4,00m

1,5

·

P=1,95N

M

N

I,11

=M

1

I,11

·N

gr,I

=2,109·371,413 =783,310 kNm,

M

N

I,12

=M

1

I,12

·N

gr,I

=1,292·371,413 =479,866 kNm.

Wykresy momentów zginających w ramie dla I etapu obciążenia (dla N=N

gr,I

=371,413 kN)

pokazano poniżej:

4.2.

W

YZNACZENIE NOŚNOŚCI GRANICZNEJ I MOMENTÓW ZGINAJĄCYCH

II

ETAPU OBCIĄŻENIA RAMY

Dla II etapu wytężenia ramy przyjęto schemat ustroju pokazany poniżej, przyjmując
w miejscu powstania przegubu plastycznego (przekrój 10) przegub. Dla takiego schematu
statycznego ustroju przyjęto obciążenie N=1; wyznaczone wartości momentów
zginających przedstawiono na rysunku.

1

2

3

4

5

6

-101,396

-488,480

783,310

-1176,636

-479,866

482,094

-694,171

753,968

-318,672

570,490

-753,968

387,012

M

N

I

1

2

3

4

11

10

9

8

5

6

7

12

P=1,30N

h

=

3

,5

0

m

h

=

6

,0

0

m

1

2

l=4,00m

1,5

·

P=1,95N

gr,I

gr,I

0,7

·

q=0,84N /m

q=1,20 N /m

gr,I

gr,I

H=0,8N

gr,I

-318,672

-179,392

Drugi przegub plastyczny powstanie w przekroju 11 dla przyrostu obciążenia ∆N

gr,II

, które

wynosi:

∆N

gr,II

=

3,668

310

,

783

638

,

1176

1

11

,

11

,

−

=

−

II

N

I

pl

M

M

M

=107,232 kN.

Poniżej pokazano schemat statyczny obciążenia ramy przyrostem obciążenia ∆N

gr,II

w II etapie jej wytężenia oraz wykres momentów zginających w takiej ramie.

1

2

3

4

5

6

-1,617

-0,298

-0,298

-1,617

-1,364

3,668

3,668

3,668

-1,364

-1,685

-0,204

-0,204

-1,685

-0,204

2,758

2,758

-0,204

0,105

1,653

1,653

-2,758

1,653

-2,758

1,067

1,067

M

1

II

1

2

3

4

11

10

9

8

5

6

7

12

H=0,8N

P=1,30N

0,7

·

q=0,84N/m

q=1,20 N/m

h

=

3

,5

0m

h

=

6,

0

0m

1

2

l=4,00m

1,5

·

P=1,95N

Rzędne momentów zginających od przyrostu obciążeń ∆N

gr,II

wynoszą:

M

1

∆

N II

=M

1

II,1

·∆N

gr,II

=1,617·107,232=173,394 kNm,

M

2

∆

N II

=M

1

II,2

·∆N

gr,II

=0,298·107,232=31,955 kNm,

M

3

∆

N II

=M

1

II,3

·∆N

gr,II

=1,067·107,232=114,417 kNm,

M

4

∆

N II

=M

1

II,4

·∆N

gr,II

=1,364·107,232=146,264 kNm,

M

5

∆

N II

=M

1

II,5

·∆N

gr,II

=0,105·107,232=11,259 kNm,

M

6

∆

N II

=M

1

II,6

·∆N

gr,II

=1,653·107,232=177,254 kNm,

M

7

∆

N II

=M

1

II,7

·∆N

gr,II

=2,758·107,232=295,746 kNm,

M

8

∆

N II

=M

1

II,8

·∆N

gr,II

=0,204·107,232=21,875 kNm,

M

9

∆

N II

=M

1

II,9

·∆N

gr,II

=0,204·107,232=21,875 kNm,

M

10

∆

N II

=M

1

II,10

·∆N

gr,II

=0·107,232=0 kNm,

M

11

∆

N II

=M

1

II,11

·∆N

gr,II

=3,668·107,232=393,327 kNm,

M

12

∆

N II

=M

1

II,12

·∆N

gr,II

=1,685·107,232=180,686 kNm.

Na rysunku poniżej pokazano wykresy momentów zginających M

N

II

w stanie

granicznym II etapu obciążenia, gdy w ramie powstaje drugi przegub plastyczny
w przekroju 11.

1

2

3

4

5

6

-173,394

-31,955

-146,264

393,327

-180,686

-21,875

-21,875

295,746

11,259

177,254

-295,746

114,417

1

2

3

4

11

10

9

8

5

6

7

12

h

=

3

,5

0m

h

=

6

,0

0m

1

2

l=4,00m

H=0,8N

gr,II

P=1,30N

gr,II

0,7

·

q=0,84N /m

gr,II

q=1,20 N /m

gr,II

1,5

·

P=1,95N

gr,II

M

∆

N

II

Wykresy te otrzymano dodając rzędne momentów M

N

I

i M

∆

N

II

. Taki wykres momentów

powstaje po obciążeniu ramy:

N

gr,II

=N

gr,I

+∆N

gr,II

=371,413+107,232=478,645 kN.

M

N

II,1

= M

N

I,1

+ M

1

∆

N II

= 179,392 + 173,394 =

352,79

kNm,

M

N

II,2

= M

N

I,2

+ M

2

∆

N II

= 101,396 +

31,955

=

133,35

kNm,

M

N

II,3

= M

N

I,3

+ M

3

∆

N II

= 387,012 + 114,417 =

501,43

kNm,

M

N

II,4

= M

N

I,4

+ M

4

∆

N II

= 488,408 + 146,264 =

634,67

kNm,

M

N

II,5

= M

N

I,5

+ M

5

∆

N II

= 318,672 –

11,259

=

307,41

kNm,

M

N

II,6

= M

N

I,6

+ M

6

∆

N II

= 570,490 + 177,254 =

747,74

kNm,

M

N

II,7

= M

N

I,7

+ M

7

∆

N II

= 753,968 + 295,746 =

1049,71

kNm,

M

N

II,8

= M

N

I,8

+ M

8

∆

N II

= 694,171 +

21,875

=

716,05

kNm,

M

N

II,9

= M

N

I,9

– M

9

∆

N II

= 482,094 –

21,875

=

460,219

kNm,

M

N

II,10

= M

N

I,10

+ M

10

∆N II

= 1176,636 +

0

=

1176,64 kNm,

M

N

II,11

= M

N

I,11

+ M

11

∆N II

= 783,310 + 393,327 =

1176,64 kNm,

M

N

II,12

= M

N

I,12

+ M

12

∆

N II

= 479,866 + 180,686 =

660,55

kNm.

4.3.

W

YZNACZENIE NOŚNOŚCI GRANICZNEJ I MOMENTÓW ZGINAJĄCYCH

III

ETAPU OBCIĄŻENIA RAMY

Dla III etapu wytężenia ramy przyjęto schemat ustroju pokazany poniżej, przyjmując
w miejscach powstania przegubów plastycznych (przekroje 10 i 11) przeguby. Dla takiego
schematu statycznego ustroju przyjęto obciążenie N=1; wyznaczone wartości momentów
zginających przedstawiono na rysunku.

11

10

pl

M

pl

M

M

N

II

Trzeci przegub plastyczny powstanie w przekroju 7 dla przyrostu obciążenia ∆N

gr,III

, które

wynosi:

∆N

gr,III

=

4,961

714

,

1049

638

,

1176

1

7

,

7

,

−

=

−

III

N

II

pl

M

M

M

=25,584 kN.

Poniżej pokazano schemat statyczny obciążenia ramy przyrostem obciążenia ∆N

gr,III

w III etapie jej wytężenia oraz wykres momentów zginających w takiej ramie.

1

2

3

4

5

6

7

-2,486

-3,776

-2,486

-3,776

-4,297

-0,207

-0,207

-4,297

-0,207

4,961

4,961

-0,207

1,756

1,378

1,378

-4,961

2,008

-4,961

4,924

4,924

1,756

-8,700

-8,700

0,600

M

1

III

1

2

3

4

5

6

7

-63,602

-96,605

-109,934

-5,296

-5,296

126,922

35,255

-126,922

51,378

125,976

44,926

44,926

-222,581

15,350

M

∆

N

III

1

2

3

4

11

10

9

8

5

6

7

12

H=0,8N

P=1,30N

0,7

·

q=0,84N/m

q=1,20 N/m

h

=

3,

5

0m

h

=

6

,0

0m

1

2

l=4,00m

1,5

·

P=1,95N

1

2

3

4

11

10

9

8

5

6

7

12

h

=

3

,5

0m

h

=

6

,0

0m

1

2

l=4,00m

q=1,20 N /m

gr,III

gr,III

0,7

·

q=0,84N /m

P=1,30N

gr,III

H=0,8N

gr,III

gr,III

1,5

·

P=1,95N

Rzędne momentów zginających od przyrostu obciążeń ∆N

gr,III

wynoszą:

M

1

∆

N III

=M

1

III,1

·∆N

gr,III

=2,486·25,584=63,602 kNm,

M

2

∆

N III

=M

1

III,2

·∆N

gr,III

=3,776·25,584=96,605 kNm,

M

3

∆

N III

=M

1

III,3

·∆N

gr,III

=4,924·25,584=125,976 kNm,

M

4

∆

N III

=M

1

III,4

·∆N

gr,III

=8,700·25,584=222,581 kNm,

M

5

∆

N III

=M

1

III,5

·∆N

gr,III

=1,756·25,584=44,926 kNm,

M

6

∆

N III

=M

1

III,6

·∆N

gr,III

=1,378·25,584=35,255 kNm,

M

7

∆

N III

=M

1

III,7

·∆N

gr,III

=4,961·25,584=126,922 kNm,

M

8

∆

N III

=M

1

III,8

·∆N

gr,III

=0,207·25,584=5,296kNm,

M

9

∆

N III

=M

1

III,9

·∆N

gr,III

=0,207·25,584=5,296 kNm,

M

10

∆

N III

=M

1

III,10

·∆N

gr,III

=0·25,584=0 kNm,

M

11

∆

N III

=M

1

III,11

·∆N

gr,III

=0·25,584=0 kNm,

M

12

∆

N III

=M

1

III,12

·∆N

gr,III

=4,297·25,584=109,934 kNm.

Na rysunku poniżej pokazano wykresy momentów zginających M

N

III

w stanie granicznym

III etapu obciążenia, gdy w ramie powstaje trzeci przegub plastyczny w przekroju 7.

Wykresy te otrzymano dodając rzędne momentów M

N

I

, M

∆

N

II

i M

∆

N

III

. Taki wykres momentów

powstaje po obciążeniu ramy:

N

gr,III

=N

gr,I

+∆N

gr,II

+∆N

gr,III

=371,413+107,232+25,584=504,229 kN,

M

N

III,1

= M

N

II,1

+ M

1

∆

N III

=

352,786 +

63,602

=

416,388 kNm,

M

N

III,2

= M

N

II,2

+ M

2

∆

N III

=

133,351 +

96,605

=

229,956 kNm,

M

N

III,3

= M

N

II,3

– M

3

∆

N III

=

501,429 +

125,976

=

627,405 kNm,

M

N

III,4

= M

N

II,4

+ M

4

∆

N III

=

634,672 +

222,581

=

857,253 kNm,

M

N

III,5

= M

N

II,5

+ M

5

∆

N III

=

307,413 –

44,926

=

262,487 kNm,

M

N

III,6

= M

N

II,6

+ M

6

∆

N III

=

747,744 +

35,255

=

782,999 kNm,

M

N

III,7

= M

N

II,7

+ M

7

∆N III

= 1049,714 +

126,922

=

1176,636 kNm,

M

N

III,8

= M

N

II,8

+ M

8

∆

N III

=

716,046 +

5,296

=

721,342 kNm,

M

N

III,9

= M

N

II,9

– M

9

∆

N III

=

460,219 –

5,296

=

454,923 kNm,

M

N

III,10

= M

N

II,10

+ M

10

∆N III

= 1176,636 +

0

=

1176,636 kNm,

M

N

III,11

= M

N

II,11

+ M

11

∆N III

= 1176,637 +

0

=

1176,637 kNm,

11

10

pl

M

pl

M

10

M

pl

M

N

III

M

N

III,12

= M

N

II,12

+ M

12

∆

N III

=

660,552 +

109,934

=

770,486 kNm.

4.4.

W

YZNACZENIE NOŚNOŚCI GRANICZNEJ I MOMENTÓW ZGINAJĄCYCH

IV

ETAPU OBCIĄŻENIA RAMY

Dla IV etapu wytężenia ramy przyjęto schemat ustroju pokazany poniżej, przyjmując
w miejscach powstania przegubów plastycznych (przekroje 10, 11 i 7) przeguby. Dla
takiego schematu statycznego ustroju przyjęto obciążenie N=1; wyznaczone wartości
momentów zginających przedstawiono na rysunku.

Czwarty przegub plastyczny powstanie w przekroju 4 dla przyrostu obciążenia ∆N

gr,IV

,

które wynosi:

∆N

gr,IV

=

8,700

253

,

857

636

,

1176

1

4

,

4

,

−

=

−

IV

N

III

pl

M

M

M

=36,711 kN.

Poniżej pokazano schemat statyczny obciążenia ramy przyrostem obciążenia ∆N

gr,IV

w IV etapie jej wytężenia oraz wykres momentów zginających w takiej ramie.

1

2

3

4

5

6

7

-3,576

-6,000

-3,576

-6,000

-6,104

-0,879

-0,879

-6,104

-0,879

-0,879

3,821

4,890

4,946

2,700

3,821

3,821

2,700

-8,700

-8,700

0,600

M

1

IV

1

2

3

4

11

10

9

8

5

6

7

12

H=0,8N

P=1,30N

0,7

·

q=0,84N/m

q=1,20 N/m

h

=

3,

5

0m

h

=

6

,0

0

m

1

2

l=4,00m

1,5

·

P=1,95N

Rzędne momentów zginających od przyrostu obciążeń ∆N

gr,IV

wynoszą:

M

1

∆

N IV

=M

1

IV,1

·∆N

gr,IV

=3,576·36,711=131,279 kNm,

M

2

∆

N IV

=M

1

IV,2

·∆N

gr,IV

=6,000·36,711=220,266 kNm,

M

3

∆

N IV

=M

1

IV,3

·∆N

gr,IV

=2,700·36,711=99,120 kNm,

M

4

∆

N IV

=M

1

IV,4

·∆N

gr,IV

=8,700·36,711=319,386 kNm,

M

5

∆

N IV

=M

1

IV,5

·∆N

gr,IV

=3,821·36,711=140,273 kNm,

M

6

∆

N IV

=M

1

IV,6

·∆N

gr,IV

=4,890·36,711=179,517 kNm,

M

7

∆

N IV

=M

1

IV,7

·∆N

gr,IV

=0·36,711=0 kNm,

M

8

∆

N IV

=M

1

IV,8

·∆N

gr,IV

=0,879·36,711=32,269 kNm,

M

9

∆

N IV

=M

1

IV,9

·∆N

gr,IV

=0,879·36,711=32,269 kNm,

M

10

∆

N IV

=M

1

IV,10

·∆N

gr,IV

=0·36,711=0 kNm,

M

11

∆

N IV

=M

1

IV,11

·∆N

gr,IV

=0·36,711=0 kNm,

M

12

∆

N IV

=M

1

IV,12

·∆N

gr,IV

=6,104·36,711=224,084 kNm.

Na rysunku poniżej pokazano wykresy momentów zginających M

N

IV

w stanie granicznym

IV etapu obciążenia, gdy w ramie powstaje czwarty przegub plastyczny w przekroju 4.

1

2

3

4

5

6

7

-131,279

-220,266

-224,084

-32,269

-32,269

140,263

179,517

181,562

99,120

140,263

-319,386

22,026

M

∆

N

IV

1

2

3

4

11

10

9

8

5

6

7

12

h

=

3,

5

0m

h

=

6,

0

0m

1

2

l=4,00m

P=1,30N

gr,IV

0,7

·

q=0,84N /m

gr,IV

q=1,20 N /m

gr,IV

1,5

·

P=1,95N

gr,IV

H=0,8N

gr,IV

Wykresy te otrzymano dodając rzędne momentów M

N

I

, M

∆

N

II

, M

∆

N

III

i M

∆

N

IV

. Taki wykres

momentów powstaje po obciążeniu ramy:
N

gr,IV

=N

gr,I

+∆N

gr,II

+∆N

gr,III

+∆N

gr,IV

=371,413+107,232+25,584+36,711=540,94 kN,

M

N

IV,1

= M

N

III,1

+ M

1

∆

N IV

=

416,388 +

131,279

=

547,67

kNm,

M

N

IV,2

= M

N

III,2

+ M

2

∆

N IV

=

229,956 +

220,266

=

450,22

kNm,

M

N

IV,3

= M

N

III,3

– M

3

∆

N IV

=

627,405 +

99,120

=

726,52

kNm,

M

N

IV,4

= M

N

III,4

+ M

4

∆N IV

=

857,253 +

319,386

=

1176,64

kNm,

M

N

IV,5

= M

N

III,5

+ M

5

∆

N IV

=

262,487 –

140,273

=

122,21

kNm,

M

N

IV,6

= M

N

III,6

+ M

6

∆

N IV

=

782,999 +

179,517

=

962,52

kNm,

M

N

IV,7

= M

N

III,7

+ M

7

∆N IV

= 1176,636 +

0

=

1176,64

kNm,

M

N

IV,8

= M

N

III,8

+ M

8

∆

N IV

=

721,342 +

32,269

=

753,61

kNm,

M

N

IV,9

= M

N

III,9

– M

9

∆

N IV

=

454,923 –

32,269

=

422,65

kNm,

M

N

IV,10

= M

N

III,10

+ M

10

∆N IV

= 1176,636 +

0

=

1176,64

kNm,

M

N

IV,11

= M

N

III,11

+ M

11

∆N IV

= 1176,637 +

0

=

1176,64

kNm,

M

N

IV,12

= M

N

III,12

+ M

12

∆

N IV

=

770,486 +

224,084

=

994,57

kNm.

Dla obciążenia N

gr,IV

=540,94 kN rama przekształca się w ustrój geometrycznie zmienny;

obciążenie to jest nośnością graniczną konstrukcji.

11

10

pl

M

pl

M

10

M

pl

4

M

pl

M

N

IV

4.5.

W

YZNACZENIE SIŁ POPRZECZNYCH I PODŁUŻNYCH W GRANICZNYM STANIE

OBCIĄŻENIA RAMY

W przypadku działania w rozpatrywanym przekroju, oprócz momentu zginającego, sił
osiowych i poprzecznych opór plastyczny mierzony momentem zginającym ulega redukcji.
Aby redukcje tą przeprowadzić należy znać rzeczywisty rozkład sił osiowych i tnących.
Siły te wyznaczyć możemy dla kolejnych etapów jej wytężenia analogicznie jak momenty
zginające:

- siły poprzeczne:

V

N

n

=V

1

I

·N

gr,I

+V

1

II

·∆N

gr,II

+V

1

IΙI

·∆N

gr,IΙI

+…+V

1

n

·∆N

gr,n

,

- siły osiowe:

S

N

n

=S

1

I

·N

gr,I

+S

1

II

·∆N

gr,II

+S

1

IΙI

·∆N

gr,IΙI

+…+S

1

n

·∆N

gr,n

.

Przyrost sił osiowych w trakcie obciążenia dla poszczególnych etapów wytężenia badanej
ramy przedstawiono na kolejnych rysunkach poniżej:

304,559

304,559

-1838,123

-1838,123

-2399,328

-2399,328

-974,216

-974,216

-579,404

-756,568

-756,568

-579,404

304,559

304,559

-3051,299

-3051,299

-1300,845

-1300,845

-929,641

-706,474

-706,474

-929,641

-2409,669

-2409,669

S

N

I

S

N

II

409,244

409,244

-2568,316

-2568,316

-946,296

-3184,566

-3184,566

-1403,411

-1403,411

-759,356

-946,296

-759,356

-2822,540

-3349,214

-2822,540

-3349,214

-772,279

-772,279

-1524,007

-1524,007

-996,774

-996,774

367,357

367,357

S

N

III

S

N

IV

Przyrost sił tnących w trakcie obciążenia dla poszczególnych etapów wytężenia badanej
ramy przedstawiono na kolejnych rysunkach poniżej:

22,285

756,568

579,404

-1425,483

1081,555

-282,274

22,285

190,164

-534,092

132,594

-350,243

-282,274

579,404
274,846

274,846

-974,216

62,712

929,641

579,404

-1750,825

1480,028

-323,558

62,712

125,517

-496,722

-323,558

579,404
320,205

320,205

-1300,845

331,281

-602,077

53,272

946,296

759,356

-1781,526

1622,020

-355,973

53,272

411,871

-571,376

99,191

-556,307

-355,973

759,356

350,113

350,113

-1403,411

27,831

27,831

1825,766

527,510

-527,323

-1825,579

-1524,007

-615,228

87,994

996,774

-339,526

-339,526

772,278

772,278

404,923

404,923

V

N

I

V

N

III

V

N

II

V

N

IV

4.6.

R

EDUKCJA MOMENTU PLASTYCZNEGO W POSZCZEGÓLNYCH ELEMENTACH

SPRAWCZYCH

Przekrój przy czystym ściskaniu lub rozciąganiu przenosi siłę osiową

R

S

=7190,57 kN, przy

czystym ścinaniu przenosi siłę tnącą

R

V

=1000,93 kN.

Przy powstaniu przegubu plastycznego dla przekroju 10 wartości sił: osiowej S

10

i tnącej V

10

wynoszą:

S

10

=367,357 kN i V

10

=1825,579 kN.

Przy powstaniu przegubu plastycznego dla przekroju 11 wartości sił: osiowej S

11

i tnącej V

11

wynoszą:

S

11

=367,357 kN i V

11

=527,510 kN

lub

S

11

=367,357 kN i V

11

=527,323 kN.

Przy powstaniu przegubu plastycznego dla przekroju 7 wartości sił: osiowej S

7

i tnącej V

7

wynoszą:

S

7

=772,279 kN i V

7

=1524,007 kN

lub

S

7

=1524,007 kN i V

7

=772,278 kN.

Przy powstaniu przegubu plastycznego dla przekroju 4 wartości sił: osiowej S

4

i tnącej V

4

wynoszą:

S

4

=367,357 kN i V

4

=1825,766 kN.

Jeżeli oprócz momentu zginającego (w płaszczyźnie ramy) działa w przekroju siła podłużna S
i siła poprzeczna V, to moment plastyczny dla przekroju dwuteowego należy zredukować
według zależności:

a. – gdy V≤

3

pl

V

i S≤0,1·S

pl

,

to M

pl,zred

=M

pl

;

b. – gdy V≤

3

pl

V

i S>0,1·S

pl

,

to M

pl,zred

=M

pl

·















−

pl

S

S

1

·1,1;

c. – gdy

3

pl

V

<V≤0,9·V

pl

,

to M

pl,zred

=M

pl

·















⋅

−

⋅

−

pl

pl

V

V

S

S

3

,

0

1

,

1

1

,

1

.

Dla przekroju 10, zanim powstanie przegub plastyczny, nastąpi zniszczenie ramy poprzez
ś

cięcie:

93

,

1000

579

,

185

10

=

R

V

V

>1,

stąd

M

pl,zred,10

=0.

Dla przekroju 11 wystąpi przypadek – c.:

3

pl

V

=

3

93

,

1000

=333,643 kN <V

11

=527,510 kN ≤

pl

V

⋅

9

,

0

=

93

,

1000

9

,

0 ⋅

=900,837 kN

stąd:

M

pl,zred,11

=M

pl

·















⋅

−

⋅

−

pl

pl

V

V

S

S

11

11

3

,

0

1

,

1

1

,

1

=1176,638·













⋅

−

⋅

−

93

,

1000

510

,

527

3

,

0

57

,

7190

357

,

367

1

,

1

1

,

1

=

=1042,144 kNm;

lub

dla przekroju 11 wystąpi przypadek – c.:

3

pl

V

=

3

93

,

1000

=333,643 kN <V

11

=527,323 kN ≤

pl

V

⋅

9

,

0

=

93

,

1000

9

,

0 ⋅

=900,837 kN

stąd:

M

pl,zred,11

=M

pl

·















⋅

−

⋅

−

pl

pl

V

V

S

S

11

11

3

,

0

1

,

1

1

,

1

=1176,638·













⋅

−

⋅

−

93

,

1000

323

,

527

3

,

0

57

,

7190

357

,

367

1

,

1

1

,

1

=

=1042,210 kNm;

Dla przekroju 7, zanim powstanie przegub plastyczny, nastąpi zniszczenie ramy poprzez
ś

cięcie:

93

,

1000

007

,

1524

7

=

R

V

V

>1,

stąd

M

pl,zred,7

=0.

Dla przekroju 4, zanim powstanie przegub plastyczny, nastąpi zniszczenie ramy poprzez
ś

cięcie:

93

,

1000

766

,

1825

4

=

R

V

V

>1,

stąd

M

pl,zred,4

=0.

4.7.

W

YZNACZENIE ZREDUKOWANEJ NOŚNOŚCI RAMY Z UWZGLĘDNIENIEM SIŁ

OSIOWYCH I TNĄCYCH

Współczynnik redukcji oporu plastycznego mierzonego momentem zginającym z uwagi
na siły osiowe i tnące obliczamy z zależności:

r

i

=

pl

i

zred

pl

M

M

,

,

.

Dla poszczególnych przekrojów mamy:

r

10

=

638

,

1176

0

10

,

,

=

pl

zred

pl

M

M

=0,

r

11

=

638

,

1176

144

,

1042

11

,

,

=

pl

zred

pl

M

M

=0,886,

r

7

=

638

,

1176

0

7

,

,

=

pl

zred

pl

M

M

=0,

r

4

=

638

,

1176

0

4

,

,

=

pl

zred

pl

M

M

=0.

Nośność ramy jest równa sumie nośności ważonej elementów dla minimalnego
mechanizmu zniszczenia, co możemy ogólnie zapisać w postaci:

N=Σ(a

i

·

r

i

)·M

pl

=Σ(r

i

·N

gr,i

),

gdzie:

a

i

– waga geometryczna i-tego elementu;

a

10

=

638

,

1176

413

,

371

,

=

pl

I

gr

M

N

=0,316









m

1

,

a

11

=

638

,

1176

645

,

478

,

=

pl

II

gr

M

N

=0,407









m

1

,

a

7

=

638

,

1176

229

,

504

,

=

pl

III

gr

M

N

=0,429









m

1

,

a

4

=

638

,

1176

94

,

540

,

=

pl

IV

gr

M

N

=0,460









m

1

.

Po podstawieniu otrzymujemy:

N=r

10

·

N

gr,I

+r

11

·∆

N

gr,II

+r

7

·∆

N

gr,III

+r

4

·∆

N

gr,IV

=

=0+0,886·107,232+0+0=95,008 kN.

4.8.

W

YZNACZENIE OBLICZENIOWEJ NOŚNOŚCI GRANICZNEJ KONSTRUKCJI

Losowa nośność graniczna konstrukcji złożonej równolegle z elementów wynosi:

N(ω)=Σ[r

i

(ω)·N

gr,i

(ω)],

w którym i=1,…,n, gdzie n jest liczbą elementów połączonych równolegle.

Odchylenie standardowe D(N) nośności granicznej konstrukcji wyznaczamy ze wzoru:

( )

(

)

)

(

2

1

2

2

pl

n

i

i

i

M

D

r

a

N

D

⋅

⋅

=

∑

=

.

Odchylenie standardowe momentu plastycznego D(M

pl

):

kNm

W

R

M

D

pl

e

W

pl

31

,

26

10

3240

16

,

363

01

,

0

02

,

0

)

(

6

2

2

2

2

Re

=

⋅

⋅

⋅

+

=

⋅

⋅

+

=

−

ν

ν

.

Odchylenie standardowe nośności granicznej dla Minimalnego Zbioru Krytycznego
wynosi:

(

)

=

⋅

+

+

+

=

pl

M

D

a

r

a

r

a

r

a

r

N

D

2

4

2

4

2

7

2

7

2

11

2

11

2

10

2

10

)

(

kN

49

,

9

31

,

26

)

0

0

407

,

0

886

,

0

0

2

2

=

⋅

+

+

⋅

+

=

.

Obliczeniowa nośność graniczna na poziomie istotności p(z=2,5) jest równa:

kN

N

D

z

N

N

obl

585

,

2

49

,

9

5

,

2

31

,

26

)

(

=

⋅

−

=

⋅

−

=

.

Obliczeniowa nośność graniczna ramy wynosi 2,585 kN na poziomie istotności
p=0,993790.

4.9.

W

YZNACZENIE ŚCIEŻKI RÓWNOWAGI STATYCZNEJ

Przemieszczenia pionowe przekroju 6 badanej ramy dla kolejnych etapów jej wytężenia
wynoszą:

y

I

=y

1

I

·N

gr,I

=0,00002·371,413=7,43 mm,

y

II

=y

I

+y

1

II

·∆N

gr,II

=0,00743+0,0001·107,232=7,43+10,72=18,15 mm,

y

III

=y

II

+y

1

III

·∆N

gr,III

=0,01815+0,0003·25,584=0,01815+0,00768=25,83 mm,

y

IV

=y

III

+y

1

IV

·∆N

gr,IV

=0,02583+0,0005·36,711=0,02583+0,01835=44,18 mm,

Obciążenia kolejnych etapów wytężenia ustroju mają wartości:

N

gr,I

=371,413 kN,

N

gr,II

=478,645 kN,

N

gr,III

=504,229 kN,

N

gr,IV

=540,94 kN,.

Zależność przemieszczenia poziomego w przekroju 7 ramy od obciążenia, gdy formowały
się poszczególne przeguby plastyczne – ścieżkę równowagi statycznej pokazano poniżej:

[kN]

N =371,413

gr,I

gr,II

N =478,645

N =504,229

gr,III

N =540,940

gr,IV

y

=

7

,4

3

I

II

y

=

18

,1

5

y

=

2

5

,8

3

III

IV

y

=4

4

,1

8

[mm]

d

op

f

=

4

00

0

2

50

=

16