Dodatek B
Zestaw zadań II
Elżbieta Dittmajer
Marian Pacholak
Maria Pająk-Majewska
Agata Siwik
B.1. Szereg geometryczny
Zadanie 1.
Dany jest nieskończony ciąg geometryczny taki, że pierwszy wyraz jest równy
3
4
, a suma
wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa
9
4
. Oblicz iloraz tego ciągu.
Rozwiązanie
Oznaczmy przez q iloraz ciągu (a
n
)
. Korzystając ze wzoru na sumę wszystkich wyrazów
nieskończonego ciągu geometrycznego zapisujemy: S =
9
4
=
3
4
1 − q
, czyli q =
2
3
.
Ponieważ dla q =
2
3
mamy 0 < q < 1, liczba
2
3
spełnia warunki zadania.
Zadanie 2.
Dany jest nieskończony ciąg geometryczny o wyrazach dodatnich taki, że pierwszy wyraz
jest równy
3
4
, a trzeci wyraz a
3
jest równy
1
3
. Oblicz sumę wszystkich wyrazów tego ciągu.
Rozwiązanie
Pierwszy wyraz i trzeci wyraz tego ciągu są odpowiednio równe: a
1
=
3
4
, a
3
=
1
3
.
Ponieważ, a
3
= a
1
· q
2
, stąd q
2
=
a
3
a
1
=
4
9
. Zatem q = −
2
3
lub q =
2
3
.
Uwzględniając warunki zadania mamy q =
2
3
.
198
B. Zestaw zadań II
Ponieważ wszystkie wyrazy naszego ciągu są dodatnie oraz
|q| =
2
3
< 1
, zatem
S =
a
1
1 − q
=
3
4
1 −
2
3
=
3
4
·
3
1
=
9
4
.
Odpowiedź: Suma S wszystkich wyrazów tego nieskończonego ciągu geometrycznego o wy-
razach dodatnich jest równa: S =
9
4
.
B.2. Granice ciągów
Zadanie 3.
Oblicz
lim
n
→∞
n
7
− 2n
3
+ 3n
1 + 4n
3
+ 5n
4
+ 6n
7
. Zapisz pierwsze trzy cyfry po przecinku rozwinięcia dzie-
siętnego otrzymanego wyniku.
Rozwiązanie
Obliczamy granicę:
lim
n
→∞
n
7
− 2n
3
+ 3n
1 + 4n
3
+ 5n
4
+ 6n
7
=
lim
n
→∞
n
7
1 −
2
n
4
+
3
n
6
n
7
1
n
7
+
4
n
4
+
5
n
3
+ 6
=
1
6
= 0,166 . . .
Zapisujemy cyfry: 1, 6, 6.
Zadanie 4.
Granica
lim
n
→∞
n
8
− 2n
3
+ 3n
12 + 5n
4
+ 6n
5
jest równa
A. −
∞.
B. −
1
2
.
C. 0.
D. +
∞.
Odpowiedź: D.
Rozwiązanie
Obliczamy granicę:
lim
n
→∞
n
8
− 2n
3
+ 3n
12 + 5n
4
+ 6n
5
=
lim
n
→∞
n
8
1 −
2
n
5
+
3
n
7
n
5
12
n
5
+
5
n
+ 6
=
lim
n
→∞
n
3
1 −
2
n
5
+
3
n
7
12
n
5
+
5
n
+ 6
= +
∞.
Zadanie 5.
Granica
lim
n
→∞
−2n
3
+ 3n
1 + 2n + 3n
2
+ 4n
5
jest równa
A. −
∞.
B. −
1
2
.
C. 0.
D. +
∞.
Odpowiedź: C.
B.2. Granice ciągów
199
Rozwiązanie
Obliczamy granicę:
lim
n
→∞
−2n
3
+ 3n
1 + 2n + 3n
2
+ 4n
5
=
lim
n
→∞
n
5
−2
n
2
+
3
n
4
n
5
1
n
5
+
2
n
4
+
3
n
3
+ 4
=
lim
n
→∞
−2
n
2
+
3
n
4
1
n
5
+
2
n
4
+
3
n
3
+ 4)
=
0
4
= 0.
Zadanie 6.
Oblicz
lim
n
→∞
−2n
3
+ 3n
(1 − 4n)
3
. Zapisz pierwsze trzy cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego
otrzymanego wyniku.
Rozwiązanie
Obliczamy granicę
lim
n
→∞
−2n
3
+ 3n
(1 − 4n)
3
=
lim
n
→∞
n
3
−2 +
3
n
2
n
3
1
n
− 4
3
=
1
32
= 0,03125.
Nie rozwijamy wzoru (1 − 4n)
3
, tylko wyłączamy przed nawias n z każdego z trzech czyn-
ników.
Zapisujemy cyfry: 0, 3, 1.
Zadanie 7.
Ciągi (a
n
)
, (b
n
)
określone są następująco: a
n
=n
4
+5
oraz b
n
=
7n
5
+ 29n − 7
7n
, dla n1. Ob-
licz granicę
lim
n
→∞
(a
n
− b
n
)
. Zapisz pierwsze trzy cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego
otrzymanego wyniku.
Rozwiązanie
Obliczamy granicę:
lim
n
→∞
n
4
+ 5 −
7n
5
+ 29n − 7
7n
=
lim
n
→∞
7n
5
+ 35n − 7n
5
− 29n + 7
7n
=
lim
n
→∞
6n + 7
7n
=
6
7
=0, 85714 . . .
Zapisujemy cyfry: 8, 5, 7.
Zadanie 8.
Ciągi (a
n
)
, (b
n
)
określone są następująco: a
n
=
4
n
2
oraz b
n
=
n
3
+ 2
7(n + 1)
, dla n 1. Ob-
licz granicę
lim
n
→∞
(a
n
· b
n
)
. Zapisz pierwsze trzy cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego
otrzymanego wyniku.
Rozwiązanie
Obliczamy granicę:
lim
n
→∞
4
n
2
·
n
3
+ 2
7(n + 1)
=
lim
n
→∞
4n
3
1 +
2
n
3
7n
3
1 +
1
n
=
4
7
= 0,(571428).
200
B. Zestaw zadań II
Zapisujemy cyfry: 5, 7, 1.
Zadanie 9.
Ciągi (a
n
)
, (b
n
)
określone są następująco: a
n
=
3
n
oraz b
n
=
n
3
+ 2
n + 1
, dla n 1.
Granica
lim
n
→∞
(a
n
· b
n
)
jest równa
A. −
∞.
B. −
1
2
.
C. 0.
D. +
∞.
Odpowiedź: D.
Rozwiązanie
Obliczamy granicę
lim
n
→∞
3
n
·
n
3
+ 2
n + 1
=
lim
n
→∞
3n
3
1 +
2
n
3
n
2
1 +
1
n
=
lim
n
→∞
3n 1 +
2
n
3
1 +
1
n
= +
∞.
Zadanie 10.
Ciągi (a
n
)
, (b
n
)
określone są następująco: a
n
=
3
n
13
oraz b
n
=
n
3
+ 2
n + 1
, dla n 1.
Granica
lim
n
→∞
(a
n
· b
n
)
jest równa
A. −
∞.
B. −
1
2
.
C. 0.
D. +
∞.
Odpowiedź: C.
Rozwiązanie
Obliczamy granicę
lim
n
→∞
3
n
13
·
n
3
+ 2
n + 1
=
lim
n
→∞
3n
3
1 +
2
n
3
n
14
1 +
1
n
=
lim
n
→∞
3 1 +
2
n
3
n
11
1 +
1
n
= 0.
Zadanie 11.
Oblicz
lim
n
→∞
n
2
n + 2
−
3n
3
(n + 2) (3n + 7)
. Zapisz cyfrę jedności i dwie pierwsze cyfry po prze-
cinku rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.
Rozwiązanie
Obliczamy granicę
lim
n
→∞
n
2
n + 2
−
3n
3
(n + 2) (3n + 7)
=
lim
n
→∞
3n
3
+ 7n
2
− 3n
3
(n + 2) (3n + 7)
=
lim
n
→∞
7n
2
(n + 2) (3n + 7)
=
=
lim
n
→∞
7n
2
3n
2
1 +
2
n
1 +
7
3n
=
7
3
= 2,333 . . .
Zapisujemy cyfry: 2, 3, 3.
B.3. Granica ciągu (z parametrem)
201
B.3. Granica ciągu (z parametrem)
Zadanie 12.
Dla liczby p różnej od zera określamy ciąg a
n
=
(9p − 1) n
2
− 4pn + 3p
1 + pn
2
dla n 1. Oblicz, dla
jakiej wartości p granica ciągu (a
n
)
jest równa 2. Zakoduj pierwsze trzy cyfry po przecinku
rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.
Rozwiązanie
Wyznaczamy granicę ciągu (a
n
)
w zależności od p:
lim
n
→∞
(9p − 1) n
2
− 4pn + 3p
1 + pn
2
=
lim
n
→∞
n
2
9p − 1 −
4p
n
+
3p
n
2
n
2
1
n
2
+ p
=
9p − 1
p
.
Zapisujemy równanie:
9p − 1
p
= 2
. Rozwiązaniem równania jest p =
1
7
= 0,(142857)
.
Zapisujemy cyfry: 1, 4, 2.
B.4. Granice funkcji
Zadanie 13.
Granica
lim
x
→3
6 − x
2
x + 3
jest równa
A. −
∞.
B. −
1
2
.
C. 0.
D. +
∞.
Odpowiedź: B.
Rozwiązanie
Obliczamy:
lim
x
→3
6 − x
2
x + 3
=
6 − 3
2
3 + 3
= −
1
2
.
Zadanie 14.
Granica
lim
x
→−3
−
−5x
x + 3
jest równa
A. −
∞.
B. 0.
C. 6.
D. +
∞.
Odpowiedź: A.
Rozwiązanie
Obliczamy granicę:
lim
x
→−3
−
−5x
x + 3
= −
∞.
202
B. Zestaw zadań II
Zadanie 15.
Granica
lim
x
→1
+
x
2
− 1
x − 1
jest równa
A. −
∞.
B. 0.
C. 2.
D. +
∞.
Odpowiedź: C.
Rozwiązanie
Obliczamy granicę
lim
x
→1
+
x
2
− 1
x − 1
=
lim
x
→1
+
(x + 1) = 2
.
Zadanie 16.
Dana jest funkcja f określona wzorem f(x) =
2x
4
+ 13
6 − x
2
dla wszystkich liczb rzeczywistych
x
6= −
√
6
i x 6=
√
6
. Oblicz wartość pochodnej tej funkcji w punkcie x = 1.
Zakoduj cyfrę jedności i pierwsze dwie cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego otrzy-
manego wyniku.
Rozwiązanie
Obliczamy:
f
0
(x) =
2x
4
+ 13
0
6 − x
2
− 2x
4
+ 13
6 − x
2
0
(6 − x
2
)
2
=
=
8x
3
6 − x
2
+ 2x 2x
4
+ 13
(6 − x
2
)
2
.
Zatem f
0
(1) =
8(6 − 1) + 2(2 + 13)
(6 − 1)
2
=
8
· 5 + 2 · 15
25
=
14
5
= 2,8
.
Zapisujemy cyfry: 2, 8, 0.
Zadanie 17.
Uzasadnij, że prosta l o równaniu 10x−y+9 = 0 jest styczna do wykresu funkcji f określonej
wzorem f (x) = 4x
3
− 2x + 1
.
Rozwiązanie
Zapisujemy równanie prostej l w postaci kierunkowej y = 10x + 9.
Wyznaczamy pochodną funkcji f: f
0
(x) = 12x
2
− 2
.
Zauważamy, że dla x = −1 pochodna funkcji f jest równa 10 i równa się współczynnikowi
kierunkowemu prostej l. Dla x=1 mamy f
0
(1)=10
, ale f(1)=3. Punkt (1, 3) nie jest punktem
wspólnym wykresu funkcji f i prostej l, zatem prosta l nie jest styczna do wykresu funkcji
f
w tym punkcie.
Obliczamy wartość funkcji f w punkcie x = −1: f (−1) = −1.
B.4. Granice funkcji
203
Punkt o współrzędnych (−1, −1) należy również do prostej l, więc dana prosta y+1=10 (x + 1),
czyli 10x − y + 9 = 0 jest styczna do wykresu funkcji f, co kończy dowód.
Zadanie 18.
Wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji f(x) = −5x
2
+3x+8
, prostopadłej do prostej
o równaniu x − 17y + 17 = 0.
I sposób rozwiązania
Prosta prostopadła do prostej o równaniu y =
1
17
x + 1
ma postać y = −17x + b.
Szukamy punktu, w którym pochodna funkcji f jest równa współczynnikowi kierunkowemu
stycznej. Obliczamy pochodną funkcji f
f
0
(x) = −10x + 3.
Następnie rozwiązujemy równanie
f
0
(x) = −17,
−10x + 3 = −17,
x = 2.
Obliczamy wartość funkcji w punkcie x = 2: f(2) = −6.
Zatem punkt P = (2, −6) jest punktem styczności.
Wyznaczamy równanie stycznej −6 = −17 · 2 + b, stąd b = 28.
Równanie stycznej ma postać y = −17x + 28.
II sposób rozwiązania
Prosta prostopadła do prostej o równaniu y =
1
17
x+1
ma postać y = −17x+b. Ta prosta nie
jest równoległa do osi paraboli, a więc jest styczna do paraboli wtedy i tylko wtedy, gdy ma
z nią dokładnie jeden punkt wspólny. Należy wyznaczyć współczynnik b tak, aby równanie
−5x
2
+3x+8 = −17x+b
miało jedno rozwiązanie. Zatem wyróżnik równania musi być równy
zero, więc 560 − 20b = 0, a stąd b = 28.
Równanie stycznej ma postać y = −17x + 28.
Zadanie 19.
Wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji f(x) = −5x
2
+ 3x + 8
, równoległej do prostej
o równaniu y = −17x + 9.
I sposób rozwiązania
Prosta równoległa do prostej o równaniu y = −17x + 9 ma postać y = −17x + b.
Szukamy punktu, w którym pochodna funkcji f jest równa współczynnikowi kierunkowemu
stycznej. Obliczamy pochodną funkcji f: f
0
(x) = −10x + 3
.
204
B. Zestaw zadań II
Następnie rozwiązujemy równanie :
f
0
(x) = −17,
−10x + 3 = −17,
x = 2.
Obliczamy wartość funkcji w punkcie x = 2: f(2) = −6.
Zatem punkt P = (2, −6) jest punktem styczności.
Wyznaczamy równanie stycznej −6 = −17 · 2 + b , stąd b = 28. Równanie stycznej ma postać
y = −17x + 28
.
II sposób rozwiązania
Prosta równoległa do prostej o równaniu y = −17x+9 ma postać y = −17x+b. Ta prosta nie
jest równoległa do osi paraboli, a więc jest styczna do paraboli wtedy i tylko wtedy, gdy ma
z nią dokładnie jeden punkt wspólny. Należy wyznaczyć współczynnik b tak, aby równanie
−5x
2
+3x+8 = −17x+b
miało jedno rozwiązanie. Zatem wyróżnik równania musi być równy
zero, więc 560 − 20b = 0, a stąd b = 28. Równanie stycznej ma postać y = −17x + 28.
Document Outline
- Dodatek —zestawy zadań
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
Zbiór zadań matematycznych Z życia bocianów, Liczba par bociana białego w poszczególnych krajach Eur
Zbior zadan z matematyki dla biologow e 0j9u
Zbior zadan z matematyki dla studentow chemii Wyd 5 e 0mkt
więcej podobnych podstron