Zbior zadan z matematyki dla biologow e 0j9u

Modele z czasem dyskretnym

Przykłady i zadania z tego rozdziału ilustruj ˛

a materiał zawarty w rozdziałach 12 i 15

ksi ˛

a˙zki.

14.1.

Metoda pajęczynowa

RZYKŁAD

14.1. Na poni˙zszych rysunkach zilustrowano metod˛e paj˛eczynow ˛

= f (x

)

= f (x

)

= f (x

)

= f (x

)

= f (x)

= f (x

)

= f (x

)

= f (x

)

= f (x)

Na rysunkach przedstawiono wykresy dwóch funkcji y

= f (x) (lini ˛a ci ˛agł ˛a) oraz

prostej y

= x lini ˛a przerywan ˛a. Przeci˛ecia si˛e tych krzywych to punkty stacjonarne

równania ró˙znicowego x

= f (x

). Aby zobaczy´c, w jaki sposób zachowuje si˛e

rozwi ˛

azanie, post˛epujemy zgodnie z przedstawionym opisem.

Startujemy z dowolnego punktu x

poło˙zonego na osi 0X. Przesuwamy si˛e pio-

nowo w gór˛e (lub w dół), a˙z napotkamy wykres funkcji f . Osi ˛

agn˛eli´smy wysoko´s´c

f (x

)

= x

, aby x

odznaczy´c na osi 0X przesuwamy si˛e poziomo (w prawo lub

w lewo), a˙z napotkamy wykres prostej y

= x. Teraz znajdujemy si˛e nad punktem

na osi 0X. Dalej powtarzamy t˛e procedur˛e i obserwujemy, jak rozwi ˛

azanie si˛e za-

chowuje. Na powy˙zszych rysunkach rozwi ˛

azanie zbli˙za si˛e do punktu stacjonarnego;

w pierwszym przypadku oscyluj ˛

ac dookoła (na kolejnym rysunku po lewej stronie

przedstawiono przykład zachowania si˛e w czasie x

w tym przypadku), za´s w drugim

pozostaj ˛

ac zawsze po tej samej stronie punktu stacjonarnego (na rysunku po prawej

stronie przedstawiono przykład zachowania si˛e w czasie x

w tym przypadku).

Zbiór zadań z matematyki dla biologów

0.8

0.85

0.9

0.95

1.05

1.1

1.15

0.8

0.805

0.81

0.815

0.82

0.825

0.83

0.835

RZYKŁAD

14.2.

Zbada´c stabilno´s´c punktów stacjonarnych równania x

3
2

− x

)

= f (x

OZWI ˛

AZANIE

. Znajd´zmy najpierw punkty stacjonarne. S ˛

a to te punkty, w któ-

rych x

= x

, czyli te, dla których x

3
2

x(1

− x). St ˛ad wynika, ˙ze albo ¯x

= 0,

albo

¯x

= 1 −

2
3

1
3

Zgodnie z twierdzeniem 15.1 z ksi ˛

a˙zki, punkty s ˛

a stabilne, je´sli

′

(

¯x)| < 1. Za-

tem, aby zbada´c stabilno´s´c tych punktów, obliczmy warto´s´c pochodnej prawej strony
równania w tych punktach. Mamy:

′

(x)

−

⇒ f ( ¯x

)

= f (0) =

> 1,

f (

¯x

)

= f

−1 =

< 1.

Widzimy, ˙ze f (

¯x

) > 1, zatem punkt stacjonarny

¯x

jest niestabilny, natomiast

punkt

¯x

jest lokalnie asymptotycznie stabilny, gdy˙z

−1 < f

′

(

¯x

) < 1, a poniewa˙z

0 < f

′

(

¯x

), to rozwi ˛

azania zbli˙zaj ˛

a si˛e do tego punktu, pozostaj ˛

ac po jednej jego

stronie (nie oscyluj ˛

ac).

To samo mo˙zna zrobi´c, korzystaj ˛

ac z metody paj˛eczynowej, rysuj ˛

ac wykres funk-

cji prawej strony. Co wi˛ecej, metoda paj˛eczynowa, czy raczej rysunek, mo˙ze rozstrzyg-
n ˛

a´c stabilno´s´c punktu w przypadku gdy

′

(

¯x)| = 1 i kryterium analityczne nie daje

000000000000000

111111111111111

000000000000000

111111111111111

00000000

11111111

00000000

11111111

00000000

11111111

00000000

11111111

00000000

11111111

0000000

1111111

odpowiedzi. Spójrzmy na rysunek zamiesz-
czony obok. Lini ˛

a ci ˛

agł ˛

a zaznaczono pro-

st ˛

a y

= x, natomiast lini ˛a przerywan ˛a

= −x + 2a. Linie kropkowane, to odpo-

wiednio proste x

= a i y = a. Rozwa˙zmy

takie równanie ró˙znicowe x

= f (x

), ˙ze

f (a)

= a (czyli punkt ¯x = a jest punktem

stacjonarnym). Zauwa˙zmy, ˙ze w zale˙zno-

´sci od poło˙zenia punktu (x

, f (x

)), mo˙ze-

my wydedukowa´c, gdzie b˛edzie znajdował
si˛e punkt (x

, f (x

)). Mianowicie, je-

´sli punkt (x

, f (x

)) b˛edzie znajdował si˛e

w obszarze zaznaczonym pionowymi kres-

Kup książkę

14. Modele z czasem dyskretnym

kami, to punkt x

b˛edzie bli˙zej a, ale po tej samej stronie a co x

. Je´sli punkt

, f (x

)) b˛edzie znajdował si˛e w obszarze zaznaczonym poziomymi kreskami, to

punkt x

b˛edzie si˛e znajdował po drugiej stronie punktu stacjonarnego, ale tak˙ze bli-

˙zej punktu a ni˙z x

. Ponadto zauwa˙zmy, ˙ze je´sli punkt (x

, f (x

) b˛edzie znajdował si˛e

w obszarze zakreskowanym w kratk˛e lub lini ˛

a łaman ˛

a, to x

b˛edzie dalej od punktu

a ni˙z x

, odpowiednio po drugiej stronie lub po tej samej stronie punktu stacjonarnego.

St ˛

ad mo˙zna wywnioskowa´c, co nast˛epuje: je´sli wykres funkcji f znajduje si˛e

(w otoczeniu punktu stacjonarnego) w obszarze zakreskowanym pionowo, to punkt
stacjonarny jest lokalnie stabilny i rozwi ˛

azania zbli˙zaj ˛

a si˛e do a, pozostaj ˛

ac po tej

samej stronie (nie ma oscylacji). Gdy wykres funkcji f znajduje si˛e w obszarze
zakreskowanym poziomo, to punkt jest lokalnie stabilny, ale rozwi ˛

azania zbli˙zaj ˛

si˛e do niego, oscyluj ˛

ac wokół a. W przypadku gdy wykres znajduje si˛e w obszarze

zaznaczonym lini ˛

a z ˛

abkowan ˛

a, punkt jest niestabilny i rozwi ˛

azania oddalaj ˛

a si˛e od

a, pozostaj ˛

ac po tej samej stronie punktu stacjonarnego. Gdy wykres jest w ob-

szarze zakratkowanym, rozwi ˛

azanie oddala si˛e od punktu stacjonarnego (który jest

niestabilny), oscyluj ˛

ac wokół a.

Czytelnikowi pozostawiamy zastanowienie si˛e i sprawdzenie (za pomoc ˛

a metody

paj˛eczynowej), co si˛e dzieje, gdy wykres funkcji znajduje si˛e po obu stronach punktu
stacjonarnego w obszarach ró˙znie zakreskowanych.

RZYKŁAD

14.3.

Rozwa˙zmy model opisuj ˛

acy ograniczony wzrost populacji.

W modelu logistycznym szybko´s´c wzrostu per capita malała wraz ze wzrostem za-
g˛eszczenia populacji. Rozs ˛

adnie jest przyj ˛

a´c, ˙ze wzrost per capita nie mo˙ze by´c

mniejszy ni˙z

−1 („co najwy˙zej jedna ´smier´c na jednego osobnika”). We´zmy zatem

funkcj˛e, która b˛edzie funkcj ˛

a malej ˛

ac ˛

a i b˛edzie d ˛

a˙zyła do

−1 w niesko´nczono´sci.

Wybieramy funkcj˛e f (N )

= ae

−bN

− 1 (oczywi´scie nie jest to jedyny mo˙zliwy czy

słuszny wybór – mo˙zna wybiera´c tak˙ze inne funkcje o własno´sciach wymienionych
powy˙zej). Wtedy otrzymujemy:

= ae

−bN

− 1.

Przyjmuj ˛

ac teraz b

i a

= e

, otrzymujemy:

= e

−

− 1 = e

(

−

N
K

) − 1.

A zatem:

− N

= N

−

− 1

H⇒

= N

−

Zauwa˙zmy, ˙ze w tym modelu K mo˙zna traktowa´c jako pojemno´s´c ´srodowiska.

Gdy N

> K przyrost per capita jest ujemny (czyli liczebno´s´c populacji si˛e zmniej-

sza), podczas gdy dla N

< K jest dodatni (czyli liczebno´s´c populacji si˛e zwi˛eksza).

Kup książkę

Zbiór zadań z matematyki dla biologów

Znale´z´c punkty stacjonarne i zbada´c ich stabilno´s´c.

OZWI ˛

AZANIE

. Szukamy punktów stacjonarnych, czyli takich ¯

N , ˙ze ¯

N e

−

N
K

. St ˛

ad od razu wida´c, ˙ze albo ¯

= 0, albo:

−

N
K

= 1 H⇒

−

= 0 H⇒ ¯

= K.

Zach˛ecamy Pa´nstwa do zbadania stabilno´sci tych punktów metod ˛

a paj˛eczynow ˛

po narysowaniu w jakim´s programie wykresu funkcji y

= xe

r(1

−x/K)

. My tutaj prze-

prowadzimy rozumowanie analityczne. Policzymy pochodn ˛

a prawej strony:

F (N )

= Ne

(

−

N
K

) H⇒ F

′

(N )

= e

(

−

N
K

) −

(

−

N
K

W punkcie ¯

= 0 mamy F

′

(0)

= e

> 1, zatem ten punkt jest niestabilny.

W punkcie ¯

= K mamy F

′

(K)

= 1 − r, zatem ten punkt jest asymptotycznie

stabilny dla r

∈ (0, 2) (bo wtedy |F

′

(K)

| < 1), niestabilny dla r > 2 (bo wte-

dy F

′

(K) <

−1). Dla r = 2 z wykresu funkcji (i metody paj˛eczynowej) mo˙zna

wywnioskowa´c, ˙ze punkt jest asymptotycznie stabilny. Mianowicie, wykres funkcji
mie´sci si˛e (w otoczeniu punktu (K, F (K)) w obszarze zakreskowanym poziomo na
rysunku w przykładzie 14.2.

RZYKŁAD

14.4. Przypu´s´cmy, ˙ze w lesie wyst˛epuj ˛

a dwa gatunki drzew. Nazwijmy

je A i B. W ka˙zdym roku pewna liczba drzew ka˙zdego z gatunków umiera. Przypu-

´s´cmy, ˙ze ´srednio co roku umiera jedno na 50 drzew gatunku A i jedno na 10 drzew

gatunku B. Czwarta cz˛e´s´c zwolnionych miejsc jest zajmowana przez drzewa gatun-
ku A, za´s trzy czwarte przez drzewa gatunku B (mo˙zemy o tym my´sle´c jak o prawdo-
podobie´nstwie: drzewa gatunku A zajmuj ˛

a wolne miejsca z prawdopodobie´nstwem

25%, a drzewa gatunku B z prawdopodobie´nstwem 75%). Oznaczaj ˛

ac przez A

i B

liczebno´s´c populacji drzew gatunku A i B w roku t, konstruujemy model.

Liczebno´s´c drzew gatunku A roku t

+ 1 mo˙zemy policzy´c nast˛epuj ˛aco: ta cz˛e´s´c

drzew tego gatunku, które prze˙zyły wynosi 0,98A

; 0,02 drzew umarło i zwolniło

miejsca, z których to 25% zaj˛eły młode drzewa gatunku A (b˛edzie ich 0,02

· 0,25A

);

dodatkowo młode drzewa gatunku A zaj˛eły 25% miejsc zwolnionych przez umarłe
drzewa gatunku B (tych jest 0,10B

), czyli tych młodych drzew b˛edzie 0,10

· 0,25B

St ˛

ad otrzymujemy równanie:

= (0,98 + 0,02 · 0,25)A

+ 0,10 · 0,25B

Analogicznie konstruujemy równanie opisuj ˛

ace liczebno´s´c drzew gatunku B w ro-

ku t

+ 1. Mamy:

= 0,02 · 0,75A

+ (0,90 + 0,10 · 0,75)B

Kup książkę

14. Modele z czasem dyskretnym

St ˛

ad otrzymujemy nasz model – układ równa´n:

= 0,985A

+ 0,025B

= 0,015A

+ 0,975B

Otrzymany liniowy układ równa´n mo˙zemy zapisa´c w postaci macierzowej jako:

0,985

0,025

0,015

0,975

}

T˛e macierz oznaczmy literk ˛

a M. Co mo˙zna powiedzie´c o strukturze tego lasu po dłu-

gim czasie?

OZWI ˛

AZANIE

. Zauwa˙zmy najpierw, ˙ze – je´sli we´zmiemy wektory

−1

5
3

oraz policzymy iloczyn macierzy M i wektora v

, a tak˙ze macierzy M i wektora v

to otrzymamy:

0,985

0,025

0,015

0,975

−1

0,96

−0,96

= 0,96v

oraz

0,985

0,025

0,015

0,975

5
3

= 1 · v

Przypu´s´cmy teraz, ˙ze pocz ˛

atkowym stanem układu (w chwili t

= 0) jest wektor

= w

= αv

+ βv

. Stan układu w chwili t opisuje wektor w

Zauwa˙zmy, ˙ze wtedy w

= Mw

. Zatem:

= Mw

= M(αv

+ βv

)

= αMv

+ βMv

= 0,96αv

+ βv

Jak łatwo zauwa˙zy´c, powtarzaj ˛

ac powy˙zsze rachunki, otrzymamy:

= (0,96)

αv

+ βv

→∞

−−−→ βv

A wi˛ec, dla du˙zych t struktura gatunkowa lasu b˛edzie zbli˙zała si˛e do takiej, gdy

stosunek liczebno´sci drzew gatunku A do drzew gatunku B wynosi 5 do 3.

W zadaniu 14.4 proszeni s ˛

a Pa´nstwo o wyliczenie zachowania si˛e tego układu dla

konkretnych danych pocz ˛

atkowych.

RZYKŁAD

14.5. Rozwa˙zmy ro´slin˛e, która ˙zyje maksymalnie dwa lata. W pierw-

szym roku ˙zycia młode ro´sliny wydaj ˛

a nasiona, z których w roku nast˛epnym rozwijaj ˛

si˛e nowe ro´sliny. Z nasion wysianych przez dwie młode ro´sliny rozwija si˛e w roku na-

Kup książkę

Zbiór zadań z matematyki dla biologów

st˛epnym ´srednio jedna młoda ro´slina. Czwarta cz˛e´s´c młodych ro´slin prze˙zywa zim˛e
i w nast˛epnym roku wydaje nasiona. Z nasion jednej starej ro´sliny (czyli w drugim
roku ˙zycia) w nast˛epnym roku kiełkuj ˛

a ´srednio dwie nowe młode ro´sliny.

Zaproponowa´c model opisuj ˛

acy rozwój tej populacji i przedyskutowa´c jej zacho-

wanie, gdy n

→ ∞, zakładaj ˛ac, ˙ze pocz ˛atkowo zag˛eszczenie młodych ro´slin wynosi

6, a starych ro´slin 3.

OZWI ˛

AZANIE

. Przez x

oznaczmy zag˛eszczenie młodych ro´slin (ro´slin

w pierwszym roku ˙zycia) w n-tym roku. Niech y

oznacza zag˛eszczenie starych ro´slin

(ro´slin w drugim roku ˙zycia) w n-tym roku. Z danych zadania wynika, ˙ze zag˛eszcze-

nie młodych ro´slin w roku n

+ 1 wynosi x

+ 2y

, natomiast starych ro´slin

jest tyle, ile młodych przetrwało zim˛e, czyli y

. St ˛

ad otrzymujemy:

+ 2y

Wstawiaj ˛

ac drugie równanie do pierwszego, dostajemy x

+ 2 ·

−1

Szukamy rozwi ˛

aza´n postaci x

= λ

(por. ksi ˛

a˙zka, podrozdz. 12.5 i 15.5). Wstawiamy

= λ

do ostatniego równania i otrzymujemy:

−1

H⇒ λ

−

= 0.

Równanie to ma dwa rozwi ˛

azania: λ

= 1 i λ

= −

. Zatem rozwi ˛

azania s ˛

postaci:

= A · 1

+ B ·

−

· A +

· B ·

−

−1

(⋆)

Stałe A i B wyznaczamy z danych pocz ˛

atkowych. Mamy:

= 6,

· x

+ 2 · y

· 6 + 2 · 3 = 9.

St ˛

ad otrzymujemy układ równa´n:

dla n

= 0 :

+ B = 6,

dla n

= 1 :

−

= 9.

Rozwi ˛

azujemy układ, znajduj ˛

ac A

= 8 i B = −2. Wstawiamy wyliczone A i B do

układu (⋆) i otrzymujemy ostateczn ˛

a posta´c rozwi ˛

azania naszego modelu:

= 8 +

−

−1

= 2 +

−

Kup książkę

14. Modele z czasem dyskretnym

Teraz łatwo ju˙z zobaczy´c, ˙ze gdy n ro´snie, to zag˛eszczenie młodych ro´slin x

zbli˙za si˛e do 8, za´s zag˛eszczenie starych ro´slin zbli˙za si˛e do 2.

RZYKŁAD

14.6. Rozwa˙zmy populacj˛e, któr ˛

a mo˙zna podzieli´c na trzy równe klasy

wiekowe. Pierwsz ˛

a klas˛e stanowi ˛

a osobniki niedojrzałe, niezdolne do rozmna˙zania,

w´sród których panuje tak du˙za ´smiertelno´s´c, ˙ze tylko co szesnasty osobnik przechodzi
do klasy nast˛epnej – osobników w pełni dojrzałych. Ka˙zdy z dojrzałych osobników,
przed osi ˛

agni˛eciem wieku starczego, daje ´srednio 31 nowych osobników gatunku.

´Smiertelno´s´c w tej klasie wiekowej jest ni˙zsza, tak ˙ze wiek starczy osi ˛aga co drugi

osobnik. W wieku starczym osobniki mog ˛

a si˛e jeszcze rozmna˙za´c, ale ich zdolno-

´sci reprodukcyjne zostały zmniejszone, tak ˙ze do ko´nca ˙zycia ka˙zdy z nich ´srednio

wyda 15 nowych osobników tego gatunku. Skonstruowa´c model opisuj ˛

acy rozwój

opisanej wy˙zej populacji. Wyznaczy´c zag˛eszczenie osobników w ka˙zdej grupie wie-
kowej osobników niedojrzałych po 10 okresach, wiedz ˛

ac, ˙ze na pocz ˛

atku zag˛eszcze-

nie osobników niedojrzałych wynosi 10, zag˛eszczenie osobników dojrzałych 4, za´s
zag˛eszczenie osobników starych wynosi 2.

OZWI ˛

AZANIE

. Niech x

oznacza zag˛eszczenie osobników niedojrzałych w

n-tym okresie (zwró´cmy uwag˛e, ˙ze w zadaniu nie jest powiedziane, ile lat wynosi taki
okres – mo˙ze to by´c zarówno jeden rok, jak i mo˙zemy rozwa˙za´c wielko´s´c populacji
w okresach, na przykład, pi˛etnastoletnich), niech y

oznacza zag˛eszczenie osobników

dojrzałych w n-tym okresie, z

oznacza za´s zag˛eszczenie osobników w wieku star-

czym w n-tym okresie. Osobniki niedojrzałe w okresie n

+ 1 pojawiły si˛e za spraw ˛a

osobników dojrzałych (31x

) i starych (15z

): x

= 31y

+ 15z

W kolejnym okresie zag˛eszczenie osobników dojrzałych jest zwi ˛

azane z osobni-

kami niedojrzałymi w poprzednim okresie, które prze˙zyły i dzi˛eki takiemu samemu

rozumowaniu wyliczymy zag˛eszczenie osobników w wieku starczym: y

. St ˛

ad mo˙zemy wyliczy´c, ˙ze:

−1

H⇒ x

−1

−2

Stosuj ˛

ac technik˛e pokazan ˛

a w ksi ˛

a˙zce (por. podrozdz. 12.5 i 15.5 w ksi ˛

a˙zce),

szukamy rozwi ˛

aza´n postaci x

= λ

. Wstawiamy x

= λ

do ostatniego równania:

−1

−2

H⇒ λ

−

= 0.

Pierwiastkami tego równania s ˛

a liczby: λ

= −

, λ

= −

oraz λ

. Zatem

rozwi ˛

azanie jest postaci:

= A ·

−

+ B ·

−

+ C ·

Kup książkę

Zbiór zadań z matematyki dla biologów

Teraz, korzystaj ˛

ac z wiedzy o pocz ˛

atkowym zag˛eszczeniu ka˙zdej grupy wiekowej,

mo˙zemy wyznaczy´c stałe A, B i C. Zauwa˙zmy, ˙ze:

= 31y

+ 15z

= 154,

= 31y

+ 15z

= 31 ·

+ 15 ·

395

Korzystaj ˛

ac z wyprowadzonego wzoru na x

, otrzymujemy:

dla n

= 0 :

= 10 = A + B + C,

dla n

= 1 :

= 154 = −A ·

− B ·

+ C ·

dla n

= 2 :

395

= A ·

+ B ·

+ C ·

Mamy układ trzech równa´n liniowych z trzema niewiadomymi. Rozwi ˛

azuj ˛

ac go (co,

w tym przypadku, jest zaj˛eciem ˙zmudnym), otrzymujemy rozwi ˛

azanie:

= −

525

4896

A zatem:

= −

525

−

4896

St ˛

ad mamy, ˙ze zag˛eszczenie populacji osobników niedojrzałych po 10 okresach wy-

nosi x

≈ 3222.

14.2.

Pytania i zadania

ADANIE

14.1. Korzystaj ˛

ac z metody paj˛eczynowej, zbada´c zachowanie si˛e rozwi ˛

za´n równania ró˙znicowego x

= f (x

) w zale˙zno´sci od warunku pocz ˛

atkowego

∈ R.

a) f (x)

= x

+ x,

b) f (x)

= x

− x,

c) f (x)

= ln x + 1,

d) f (x)

= e

−1

e) f (x)

= 1 − 2x(x − 1),

f) f (x)

= 2x(1 − x).

ADANIE

14.2. Znajd´z punkty stacjonarne równania ró˙znicowego x

= f (x

)

i zbadaj ich stabilno´s´c, gdy funkcja f jest dana wzorem:

a) 1

−

x(1

− x),

b) 1

−

x(1

− x),

c) x(2x

− 1),

+ 5,

e) log

+ 1,

f) 5

−1

Kup książkę

14. Modele z czasem dyskretnym

ADANIE

14.3. Rozwa˙zmy pewn ˛

a populacj˛e wykazuj ˛

ac ˛

a cechy społeczne. Je´sli za-

g˛eszczenie populacji jest mniejsze od pewnej liczby L, to przyrost per capita jest
ujemny. Załó˙zmy tak˙ze, ˙ze dla zbyt licznej populacji, gdy jej liczebno´s´c przekracza
K, to przyrost per capita tak˙ze jest ujemny. Natomiast je´sli liczebno´s´c populacji mie-

´sci si˛e mi˛edzy L i K, to przyrost jest dodatni. Przy zało˙zeniu, ˙ze L < K, i przyjmuj ˛

najprostsz ˛

a funkcj˛e spełniaj ˛

ac ˛

a powy˙zsze zało˙zenia, mianowicie N (N

− L)(K − N),

zbudowa´c dyskretny model opisuj ˛

acy rozwój tej populacji, znale´z´c punkty stacjonar-

ne i zbada´c ich stabilno´s´c.

ADANIE

14.4. Dla modelu opisanego w przykładzie 14.4 znale´z´c graniczn ˛

a liczeb-

no´s´c drzew gatunku A i B oraz liczebno´sci tych populacji w kilku pierwszych latach,
gdy pocz ˛

atkowa liczebno´s´c drzew jest nast˛epuj ˛

aca:

a) A

= 700, B

= 100,

b) A

= 100, B

= 700.

Wskazówka. Znale´z´c warto´sci współczynników α i β, które pojawiły si˛e w przy-

kładzie 14.4 przy rozwi ˛

azywaniu układu równa´n αv

+ βv

, czyli α

+ 5β =

oraz

−α + 3β = B

ADANIE

14.5. Pewna ro´slina ˙zyje maksymalnie dwa lata. Z ro´slin młodych, które

wykiełkowały, trzy czwarte do˙zywa drugiego roku. Ro´sliny młode mog ˛

a wyda´c na-

siona, tak ˙ze w roku nast˛epnym wykiełkuje ´srednio półtora nowej ro´sliny na ka˙zd ˛

młod ˛

a ro´slin˛e. Ro´sliny stare (w wieku dwóch lat) wydaj ˛

a nasiona, z których kiełkuje

w nast˛epnym roku ´srednio cztery trzecie młodej ro´sliny na ka˙zd ˛

a star ˛

a ro´slin˛e. Skon-

struowa´c model opisuj ˛

acy dynamik˛e tej populacji i przedyskutowa´c zachowanie si˛e

rozwi ˛

aza´n po wielu latach, przyjmuj ˛

ac, ˙ze pocz ˛

atkowe zag˛eszczenie ro´slin w wieku

jednego roku wynosi 5, natomiast zag˛eszczenie ro´slin w wieku dwóch lat jest rów-
ne 15.

ADANIE

14.6. Rozwa˙zamy populacj˛e, któr ˛

a dzielimy na trzy równe grupy wie-

kowe. Pierwsza grupa to osobniki niedojrzałe, które nie mog ˛

a si˛e rozmna˙za´c i w´sród

nich panuje do´s´c wysoka ´smiertelno´s´c, tak ˙ze jedynie jedna dziewi ˛

ata cz˛e´s´c z nich do-

˙zywa wieku dojrzałego. Grupa druga – osobniki dojrzałe, które mog ˛

a si˛e rozmna˙za´c,

i w czasie zanim si˛e zestarzej ˛

a, wydaj ˛

a ´srednio 7 potomków na osobnika. ´Smiertel-

no´s´c w tej grupie jest zaniedbywalnie mała, tak ˙ze mo˙zemy przyj ˛

a´c, ˙ze wszystkie

osobniki dojrzałe do˙zywaj ˛

a wieku starczego. Grupa trzecia, to osobniki w wieku star-

czym. Niektóre z tych osobników mog ˛

a si˛e jeszcze rozmna˙za´c, wydaj ˛

ac do ko´nca

swojego ˙zycia ´srednio dwóch potomków na głow˛e.

Skonstruowa´c model opisuj ˛

acy rozwój tej populacji i przedyskutowa´c, jaka b˛e-

dzie struktura wiekowa populacji po długim czasie, je´sli pocz ˛

atkowo zag˛eszczenie

osobników niedojrzałych wynosi 100, dojrzałych 20, za´s starych 20.

Wskazówka. Pierwiastkami wielomianu, który skonstruuj ˛

a Pa´nstwo w trakcie

rozwi ˛

azywania zadania s ˛

a liczby: λ

= 1, λ

= −2/3, λ

= −1/3.

Kup książkę

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Zbior zadan z matematyki dla studentow chemii Wyd 5 e 0mkt
Zbiór zadań chemicznych dla geologów 12
Zbiór zadań matematycznych Z życia bocianów, Liczba par bociana białego w poszczególnych krajach Eur
Zbiór zadań chemicznych dla geologów 12
Zbiór zadań chemicznych dla geologów 12
Zbior zadan testowych Olimpiada biologiczna Praca zbiorowa

więcej podobnych podstron