MATERIAŁY POMOCNICZE

DO MATURY

Z MATEMATYKI

2

1. Zbiory. Działania na zbiorach.
Zbiór, element zbioru – pojęcia pierwotne.
Jeśli x należy do ( jest elementem ) zbioru A, to piszemy x

∈A, jeśli y nie należy do zbioru A,

piszemy y

∉A.

Każdy zbiór jest wyznaczony przez swoje elementy.
Zbiór skończony – zbiór o skończonej liczbie elementów.
Zbiór pusty ( symbol

∅ ) – zbiór, do którego nie należy żaden element.

Zbiór nieskończony – zbiór, który nie jest ani skończony, ani pusty.

Równość zbiorów:

A = B

⇔ (dla każdego x : x∈A ⇔ x∈B )

Zawieranie się zbiorów, podzbiory:

A

⊂ B ⇔ ( dla każdego x: x∈A ⇒ x∈B )

Zbiory rozłączne - zbiory nie mające żadnego elementu wspólnego.

Suma zbiorów A

∪

∪

∪

∪ B:

x

∈A ∪ B ⇔ ( x∈A lub x∈B )

Iloczyn zbiorów A

∩

∩

∩

∩ B:

x

∈A ∩ B ⇔ ( x∈A i x∈B )

Różnica zbiorów A \ B:

x

∈A \ B ⇔ ( x∈A i x∉B )

Dopełnienie zbioru A ( symbol A’ ):
Jeśli wszystkie rozpatrywane przez nas zbiory są podzbiorami ustalonego zbioru X, to zbiór X
nazywamy przestrzenią.

Jeśli X jest przestrzenią i A

⊂ X, to A’ = X \ A

Iloczyn kartezjański ( produkt ) zbiorów A

×××× B:

Parę elementów (x,y), w której wyróżniono element x jako pierwszy nazywamy parą
uporządkowaną.

( x, y )

∈A×B ⇔ ( x∈A i y∈B )

Zestawienie niektórych praw rachunku zbiorów:

nazwa prawa

treść prawa

przemienność dodawania

A

∪ B = B ∪ A

przemienność iloczynu

A

∩ B = B ∩ A

łączność dodawania

(A

∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)

łączność iloczynu

(A

∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)

rozdzielność mnożenia względem dodawania

(A

∪ B) ∩ C =(A ∩ C) ∪ (B ∩ C)

rozdzielność dodawania względem mnożenia

(A

∩ B) ∪ C =(A ∪ C) ∩ (B ∪ C)

prawa
de’Morgana

(A

∩ B)’ = A’ ∪ B’

(A

∪ B)’ = A’ ∩ B’

3

2. Układy równań i nierówności.
Wartość bezwzględna liczby rzeczywistej







<

−

≥

=

0

a

gdy

a

0

a

gdy

a

a

Nierówności z wartością bezwzględną

x

< a , to x

∈( -a, a )

x

> a , to x

∈( -∞, -a ) ∪ ( a, ∞ )

a

x

≤ , to x

∈[ -a, a ]

a

x

≥ , to x

∈( -∞, -a ] ∪ [ a, ∞ )

Rozwiązywanie układów równań liniowych

Rozwiązaniem układu równań liniowych ( stopnia pierwszego ) z dwiema niewiadomymi
nazywamy każdą uporządkowaną parę liczb spełniających oba równania układu.

Dany jest układ równań







=

+

=

+

2

2

2

1

1

1

c

y

b

x

a

c

y

b

x

a

(*)

Wyznacznikami układu nazywamy liczby:

W =

2

2

1

1

b

a

b

a

= a

1

⋅ b

2

- a

2

⋅ b

1

;

W

x

=

2

2

1

1

b

c

b

c

= c

1

⋅ b

2

- c

2

⋅ b

1

;

W

y

=

2

2

1

1

c

a

c

a

= a

1

⋅ c

2

- a

2

⋅ c

1

;

Układ równań (*) nazywamy układem równań:
a) niezależnych

⇔ W ≠ 0, to układ ma dokładnie jedno rozwiązanie dane wzorami:

x =

W

W

x

, y =

W

W

y

,

geometryczną interpretacją układu są dwie proste przecinające się,

b) zależnych

⇔ W = 0 i W

x

= 0 i W

y

= 0, to układ ma nieskończenie wiele rozwiązań ( x, y )

takich, że x

∈R, a y = −

1

1

b

a

x +

1

1

b

c

;

geometryczną interpretacją układu są dwie proste pokrywające się;

c) sprzecznych

⇔ W = 0 i W

x

≠ 0 lub W

y

≠ 0, zbiór rozwiązań układu jest zbiorem pustym,

geometryczną interpretacją układu są dwie różne proste równoległe.

4

3. Funkcja kwadratowa.

Funkcją kwadratową ( trójmianem kwadratowym ) nazywamy funkcję f określoną wzorem

postaci

f(x) =ax

2

+bx+c,

gdzie a, b, c

∈ R i a ≠ 0.

Kanoniczną postacią trójmianu kwadratowego nazywamy postać

a

4

a

2

b

x

a

)

x

(

f

2

∆

−











 +

=

,

gdzie

∆

=b

2

-4ac. Liczbę

∆

nazywamy wyróżnikiem trójmianu.

Miejsca zerowe funkcji kwadratowej:

•

funkcja kwadratowa ma dwa różne miejsca zerowe x

1

, x

2

wtedy i tylko wtedy, gdy

∆

>0, wtedy

a

2

b

x

1

∆

−

−

=

,

a

2

b

x

2

∆

+

−

=

,

•

funkcja kwadratowa ma dokładnie jedno miejsce zerowe x

1

wtedy i tylko wtedy, gdy

∆

=0,

a

2

b

x

1

−

=

,

•

funkcja kwadratowa nie ma miejsc zerowych wtedy i tylko wtedy, gdy

∆

<0.

Iloczynowa postać funkcji kwadratowej:

•

jeżeli

∆

>0, to trójmian kwadratowy y = ax

2

+bx+c (a

≠

0) można przedstawić w postaci iloczynu

y = a(x-x

1

)(x-x

2

),

gdzie x

1

, x

2

oznaczają miejsca zerowe trójmianu;

•

jeżeli

∆

=0, to trójmian kwadratowy y= ax

2

+bx+c (a

≠

0) można przedstawić w postaci iloczynu

y = a(x-x

1

)

2

,

gdzie x

1

jest miejscem zerowym trójmianu.

Wzory Viete’a

Jeżeli trójmian kwadratowy y= ax

2

+bx+c (a

≠

0) ma miejsce zerowe (dwa lub jedno) x

1

, x

2

, to

a

b

x

x

2

1

−

=

+

,

a

c

x

x

2

1

=

⋅

.

Wykres

funkcji kwadratowej y= ax

2

+bx+c, gdzie a

≠

0, jest krzywą zwaną parabolą. Wierzchołek

paraboli ma współrzędne:













∆

−

−

=

a

4

,

a

2

b

W

.

Dla a < 0 wierzchołek paraboli jest maksimum funkcji kwadratowej, natomiast dla a > 0

wierzchołek paraboli jest minimum funkcji kwadratowej.

a > 0

a >0

a > 0

a < 0

a < 0

a < 0

∆

< 0

∆

= 0

∆

> 0

∆

< 0

∆

= 0

∆

> 0

5

4. Wielomiany

Wielomianem

stopnia n jednej zmiennej nazywamy funkcję W:R

→

R określoną wzorem

postaci:

W(x)=a

0

+a

1

x+a

2

x

2

+...+a

n

x

n

,

gdzie a

0

, a

1

, a

2

, ..., a

n

∈

R i a

n

≠

0, n

∈

N.

Liczby a

0

, a

1

, a

2

, ..., a

n

nazywamy współczynnikami wielomianu W.

Dwa wielomiany są równe wtedy i tylko wtedy, gdy są tego samego stopnia i mają równe

współczynniki przy odpowiednich potęgach zmiennej.

Wielomian W jest podzielny przez wielomian W

1

jeśli istnieje wielomian Q taki, że

W(x) = W

1

(x)

⋅

Q(x) dla każdego x

∈

R.

Dla każdej pary wielomianów W i W

1

takich, że stopień wielomianu W

1

jest dodatni, istnieje

dokładnie jeden układ wielomianów Q i R, dla których W(x)=W

1

(x)

⋅

Q(x)+R(x) ( dla każdego

x

∈

R ) i stopień wielomianu R jest mniejszy od stopnia wielomianu W

1

lub wielomian R jest

zerowy. Wielomian R nazywa się resztą z dzielenia wielomianu W przez wielomian W

1

.

Reszta z dzielenia wielomianu W przez dwumian postaci ( x – r ), gdzie r

∈

R, jest równa liczbie

W(r).

Twierdzenie Bézouta.

Liczba a jest pierwiastkiem wielomianu W wtedy i tylko wtedy, gdy

wielomian W jest podzielny przez dwumian ( x –a ).

Jeżeli liczba wymierna

q

p

jest miejscem zerowym wielomianu W(x)=a

0

+a

1

x+a

2

x

2

+...+a

n

x

n

, gdzie

a

n

≠

0, to q jest dzielnikiem współczynnika a

n

, zaś p jest dzielnikiem współczynnika a

0

.

6

5. Funkcja wykładnicza i logarytmiczna
Funkcją wykładniczą

jednej zmiennej nazywamy funkcję f: ( R )

→

R

+

określoną wzorem postaci:

f ( x ) = a

x

, gdzie a

∈

R

+

.

Własności funkcji wymiernej:

Funkcja f ( x ) = a

x

przyjmuje tylko wartości dodatnie;

Funkcja f ( x ) = a

x

jest rosnąca gdy a > 1;

Funkcja f ( x ) = a

x

jest stała gdy a = 1;

Funkcja f ( x ) = a

x

jest malejąca gdy 0 < a < 1.

Równania i nierówności wymierne:

Jeżeli a > 0 i a

≠

1 oraz a

x

= a

y

to x = y;

Jeżeli a > 1 oraz a

x

> a

y

( a

x

< a

y

) to x > y ( x < y );

Jeżeli a > 1 oraz a

x

≥

a

y

( a

x

≤

a

y

) to x

≥

y ( x

≤

y );

Jeżeli 0 < a < 1 oraz a

x

> a

y

( a

x

< a

y

) to x < y ( x > y );

Jeżeli 0 < a < 1 oraz a

x

≥

a

y

( a

x

≤

a

y

) to x

≤

y ( x

≥

y ).

Logarytm dodatniej liczby b przy podstawie a ( a > 0 i a

≠

1 ) jest to wykładnik potęgi, do której

należy podnieść a, żeby otrzymać b:

log

a

b = z

⇔

a

z

= b.

Z określenia logarytmu wynika, że log

a

1 = 0, log

a

a = 1.

Funkcją logarytmiczną

jednej zmiennej nazywamy funkcję f: ( R

+

)

→

R określoną wzorem

postaci:

f ( x ) = log

a

x, gdzie a

∈

R

+

\{1}.

Własności funkcji wymiernej:

Funkcja f ( x ) = log

a

x jest rosnąca gdy a > 1;

Funkcja f ( x ) = log

a

x jest malejąca gdy 0 < a < 1.

Twierdzenia o logarytmach:

Jeśli a, b, c

∈

R

+

i a

≠

1, to log

a

(b

⋅

c) = log

a

b + log

a

c oraz log

a

c

b

= log

a

b - log

a

c;

Jeśli a, b

∈

R

+

, a

≠

1 i r

∈

R, to log

a

b

r

= r log

a

b;

Jeśli a, b, x

∈

R

+

, a

≠

1 i b

≠

1, to log

a

b =

a

log

b

log

x

x

( zmiana podstawy logarytmu ).

7

6. Funkcje trygonometryczne

Jeśli

α

jest miarą kąta skierowanego

α

=

XOP

, P jest dowolnym punktem końcowego ramienia

tego kąta ( P

≠

O, x i y są współrzędnymi P,

r

PO

=

, to

sin α

α

α

α =

r

y

, cos α

α

α

α =

r

x

, tg α

α

α

α =

x

y

( gdy x ≠

≠≠

≠ 0 ), ctg α

α

α

α =

y

x

( gdy y ≠

≠≠

≠ 0 ).

Związki między funkcjami tego samego kąta x:

sin

2

x + cos

2

x = 1,

dla x

∈

R,

tg x =

x

cos

x

n

i

s

,

dla x

≠

(2k+1)

⋅

2

Π

, k

∈

C,

ctg x =

x

sin

x

cos

,

dla x

≠

k

Π

, k

∈

C,

tg x

⋅

ctg x = 1,

dla x

≠

k

⋅

2

Π

, k

∈

C.

Funkcje trygonometryczne kąta podwójnego:

sin 2x = 2

⋅

sin x

⋅

cos x,

cos 2x = cos

2

x - sin

2

x = 1 - 2sin

2

x = 2 cos

2

x – 1,

tg 2x =

x

tg

1

x

tg

2

2

−

,

dla x

≠

(2k+1)

⋅

4

Π

i x

≠

(2k+1)

⋅

2

Π

, k

∈

C,

ctg 2x =

x

ctg

2

1

x

ctg

2

−

,

dla x

≠

k

⋅

2

Π

, k

∈

C.

Funkcje trygonometryczne są okresowe. Okresem zasadniczym funkcji sinus i cosinus jest 2

Π

,

a okresem zasadniczym funkcji tangens i cotangens jest

Π

.

Równania trygonometryczne są to równania, w których niewiadome występują pod znakami

funkcji trygonometrycznych.

Tabela zawiera rozwiązania najprostszych równań trygonometrycznych:

Równanie

Rozwiązanie

x

0

jedyne rozwiązanie równania

należące do przedziału

sin x = a,

|

a

|

<1

x = k

Π

+(-1)

k

x

0

, k

∈

C

(

)

2

2

,

Π

Π

−

cos x = a,

|

a

|

<1

x = 2k

Π

±

x

0

, k

∈

C

( 0,

Π

)

tg x = a, a

∈

R

x = k

Π

+ x

0

, k

∈

C

(

)

2

2

,

Π

Π

−

ctg x = a, a

∈

R

x = k

Π

+ x

0

, k

∈

C

( )

0

,

2

Π

−

∪

( )

2

,

0

Π

8

7. Funkcje wymierne. Równania i nierówności wymierne.

Funkcją wymierną

jednej zmiennej nazywamy funkcję F: ( R \ A )

→

R określoną wzorem

postaci:

( )

)

x

(

W

)

x

(

W

x

F

1

=

,

gdzie W i W

1

są wielomianami, zaś A jest zbiorem wszystkich miejsc zerowych wielomianu W

1

.

Równaniem wymiernym

nazywamy równanie postaci:

0

)

x

(

W

)

x

(

W

1

= ,

gdzie W i W

1

są wielomianami.

Rozwiązaniem równania

0

)

x

(

W

)

x

(

W

1

= nazywamy każdą liczbę r, dla której W

1

(r)

≠

0 i W(r)=0.

Nierównością wymierną

nazywamy nierówność postaci

0

)

x

(

W

)

x

(

W

1

> , lub

0

)

x

(

W

)

x

(

W

1

< , lub

0

)

x

(

W

)

x

(

W

1

≥ , lub

0

)

x

(

W

)

x

(

W

1

≤ ,

gdzie W i W

1

są wielomianami.

Nierówności

0

)

x

(

W

)

x

(

W

1

> ,

0

)

x

(

W

)

x

(

W

1

<

są równoważne odpowiednio nierównościom w postaci iloczynu:

W(x)

⋅

W

1

(x)>0, W(x)

⋅

W

1

(x)<0.

Natomiast nierówności

0

)

x

(

W

)

x

(

W

1

≥ ,

0

)

x

(

W

)

x

(

W

1

≤

są równoważne odpowiednio układom:







≠

≥

⋅

0

)

x

(

W

0

)

x

(

W

)

x

(

W

1

1

,







≠

≤

⋅

0

)

x

(

W

0

)

x

(

W

)

x

(

W

1

1

.

9

8. Ciągi

Zasada indukcji matematycznej ( zupełnej )

Jeżeli twierdzenie, które dotyczy liczb naturalnych, jest
(1)

prawdziwe dla ustalonej liczby naturalnej n

0

,

(2)

jeżeli dla każdej liczby naturalnej k

≥

n

0

z założenia prawdziwości twierdzenia dla k wynika,

że jest ono prawdziwe dla liczby następnej k + 1,
to twierdzenie jest prawdziwe dla każdej liczby naturalnej n

≥

n

0

.

Ciągiem nieskończonym

nazywamy funkcję określoną na zbiorze liczb naturalnych dodatnich

( N \ { 0 } ). Wartości tej funkcji nazywamy wyrazami ciągu i oznaczamy f ( n ) = a

n

. Jeżeli wyrazy

ciągu są liczbami rzeczywistymi , to ciąg nazywamy

ciągiem liczbowym

.

Ciąg o wyrazach a

1

, a

2

,..., a

n

, ... oznaczamy ( a

n

).

Ciąg liczbowy ( a

n

) nazywamy:

ciągiem rosnącym

wtedy i tylko wtedy gdy dla każdego n

∈

N\{0} zachodzi a

n

< a

n+1

;

ciągiem malejącym

wtedy i tylko wtedy gdy dla każdego n

∈

N\{0} zachodzi a

n

> a

n+1

;

ciągiem niemalejącym

wtedy i tylko wtedy gdy dla każdego n

∈

N\{0} zachodzi a

n

≤

a

n+1

;

ciągiem nierosnącym

wtedy i tylko wtedy gdy dla każdego n

∈

N\{0} zachodzi a

n

≥

a

n+1

.

Ciągi rosnące lub malejące nazywamy

monotonicznymi

.

Granice ciągu

Liczba g jest

granicą ciągu

liczbowego ( a

n

) wtedy i tylko wtedy, gdy do każdego otoczenia

liczby g należą wszystkie wyrazy tego ciągu z wyjątkiem skończonej ich ilości.

ε

<

−

∧

∨

∧

⇔

=

>

>

ε

∞

→

g

a

g

a

lim

n

M

n

M

0

n

n

.

Ciąg liczbowy ( a

n

) jest

rozbieżny do +

∞

∞

∞

∞

wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczby A

wszystkie wyrazy tego ciągu oprócz skończonej ich ilości są większe od A..

A

a

a

lim

n

M

n

M

A

n

n

>

∧

∨

∧

⇔

+∞

=

>

∞

→

.

Ciąg liczbowy ( a

n

) jest

rozbieżny do -

∞

∞

∞

∞

wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczby B

wszystkie wyrazy tego ciągu oprócz skończonej ich ilości są mniejsze od B..

B

a

a

lim

n

M

n

M

B

n

n

<

∧

∨

∧

⇔

+∞

=

>

∞

→

.

Prawdziwe są następujące twierdzenia:

1.

Jeżeli

a

a

lim

n

n

=

∞

→

i

b

b

lim

n

n

=

∞

→

, to:

a)

)

b

a

(

lim

n

n

n

+

∞

→

= a + b, b)

)

b

a

(

lim

n

n

n

−

∞

→

= a – b,

c)

)

b

a

(

lim

n

n

n

⋅

∞

→

= a

⋅

b, d) jeżeli

0

b

lim

n

n

≠

∞

→

, to

b

a

n

b

n

a

n

lim

=

∞

→

.

2.

Jeżeli dla każdego n

∈

N\{0} a

n

> 0 i

0

a

lim

n

n

=

∞

→

, to

+∞

=

∞

→

n

a

1

n

lim

.

3.

Jeżeli dla każdego n

∈

N\{0} a

n

< 0 i

0

a

lim

n

n

=

∞

→

, to

−∞

=

∞

→

n

a

1

n

lim

.

4.

Jeżeli

∞

=

∞

→

n

n

a

lim

, to

0

lim

n

a

1

n

=

∞

→

.

5.

Jeżeli

0

a

lim

n

n

=

∞

→

i ciąg ( b

n

) jest ciągiem ograniczonym, to

0

)

b

a

(

lim

n

n

n

=

⋅

∞

→

.

10

9. Ciągi arytmetyczny i geometryczny

Ciąg arytmetyczny

Ciąg ( a

n

) nazywamy

arytmetycznym

wtedy i tylko wtedy, gdy różnica między dowolnym

wyrazem ciągu a wyrazem bezpośrednio go poprzedzającym, jest stała dla danego ciągu.

a

n+1

- a

n

= r

Dla dowolnego ciągu ( a

n

) przez S

n

oznaczamy sumę pierwszych n wyrazów tego ciągu, tzn.

S

n

= a

1

+ a

2

+ ... + a

n

.

Jeżeli ciąg ( a

n

) jest ciągiem arytmetycznym o różnicy r, to prawdziwe są wzory:

dla każdego n

∈

N\{0} a

n

= a

1

+ ( n – 1 ) r,

dla każdego n

∈

N\{0} a

n

=

2

a

a

1

n

1

n

+

−

+

,

dla każdego n

∈

N\{0} S

n

=

n

2

a

a

n

1

⋅

+

=

n

2

r

)

1

n

(

a

2

1

⋅

−

+

.

Ciąg geometryczny

Ciąg ( a

n

) nazywamy

geometrycznym

wtedy i tylko wtedy, gdy a

1

≠

0 i iloraz dowolnego

wyrazu tego ciągu i wyrazu bezpośrednio go poprzedzającego, jest dla danego ciągu stały.

n

1

n

a

a

+

= q

Jeżeli ciąg ( a

n

) jest ciągiem geometrycznym o ilorazie q

≠

0, to prawdziwe są wzory:

dla każdego n

∈

N\{0} a

n

= a

1

⋅

q

n-1

,

dla każdego n

∈

N\{0} a

n

2

= a

n-1

⋅

a

n+1

,

jeżeli q

≠

1, to S

n

= a

1

q

1

q

1

n

−

−

,

jeżeli q = 1, to S

n

= n

⋅

a

1

.

Dla ciągu geometrycznego ( a

n

) spełniającego warunek



q



< 1 zachodzi:

0

a

lim

n

n

=

∞

→

,

=

∞

→

n

n

S

lim

q

1

a

q

1

q

1

a

lim

1

n

1

n

−

=















−

−

∞

→

.

11

10. Granica funkcji. Funkcje ciągłe.

1. Granica funkcji w punkcie

Liczba g jest

granicą funkcji

f w punkcie x

0

wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ciągu ( x

n

)

takiego, że x

n

∈

D

f

, x

n

≠

x

0

i

0

n

n

x

x

lim

=

∞

→

jest

g

)

x

(

f

lim

n

n

=

∞

→

.

2. Granice jednostronne funkcji w punkcie

a) Liczbę a nazywamy

granicą lewostronną funkcji

f w punkcie x

0

wtedy i tylko wtedy, gdy

dla każdego ciągu ( x

n

) spełniającego warunki x

n

∈

D

f

, x

n

< x

0

i

0

n

n

x

x

lim

=

∞

→

jest

a

)

x

(

f

lim

n

n

=

∞

→

.

b) Liczbę b nazywamy

granicą prawostronną funkcji

f w punkcie x

0

wtedy i tylko wtedy, gdy

dla każdego ciągu ( x

n

) spełniającego warunki x

n

∈

D

f

, x

n

> x

0

i

0

n

n

x

x

lim

=

∞

→

jest

b

)

x

(

f

lim

n

n

=

∞

→

.

c) Istnienie granic jednostronnych funkcji w punkcie x

0

i ich równość jest równoważna istnieniu

granicy funkcji w punkcie x

0

.

3. Granica niewłaściwa funkcji w punkcie

a) Funkcja f ma w punkcie x

0

granicę niewłaściwą +

∞

∞

∞

∞

wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego

ciągu ( x

n

) takiego, że

0

n

n

x

x

lim

=

∞

→

, x

n

∈

D

f

i x

n

≠

x

0

jest

+∞

=

∞

→

)

x

(

f

lim

n

n

.

b) Funkcja f ma w punkcie x

0

granicę niewłaściwą -

∞

∞

∞

∞

wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego

ciągu ( x

n

) takiego, że

0

n

n

x

x

lim

=

∞

→

, x

n

∈

D

f

i x

n

≠

x

0

jest

−∞

=

∞

→

)

x

(

f

lim

n

n

.

4. Twierdzenia o granicy funkcji w punkcie

Jeżeli

a

)

x

(

f

lim

0

x

x

=

→

i

b

)

x

(

g

lim

0

x

x

=

→

, to:

a)

))

x

(

g

)

x

(

f

(

lim

0

x

x

+

→

= a + b,

b)

))

x

(

g

)

x

(

f

(

lim

0

x

x

−

→

= a – b,

c)

))

x

(

g

)

x

(

f

(

lim

0

x

x

⋅

→

= a

⋅

b,

d) jeżeli b

≠

0, to

b

a

)

x

(

g

)

x

(

f

lim

0

x

x

=

→

.

5. Granica funkcji w +

∞

oraz w -

∞

a) Mówimy, że

granicą funkcji y = f(x) w +

∞

∞

∞

∞

jest liczba g wtedy i tylko wtedy, gdy dla

każdego ciągu ( x

n

) spełniającego warunki x

n

∈

D

f

i

+∞

=

∞

→

n

n

x

lim

jest

g

)

x

(

f

lim

n

n

=

∞

→

.

b) Mówimy, że

granicą funkcji y = f(x) w -

∞

∞

∞

∞

jest liczba g wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego

ciągu ( x

n

) spełniającego warunki x

n

∈

D

f

i

−∞

=

∞

→

n

n

x

lim

jest

g

)

x

(

f

lim

n

n

=

∞

→

.

6. Ciągłość funkcji

Funkcja f jest

ciągła w punkcie

x

0

∈

D

f

wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje granica funkcji w

punkcie x

0

i

)

x

(

f

)

x

(

f

lim

0

x

x

0

=

→

.

Funkcja f jest

ciągła w zbiorze

Z

⊂

D

f

wtedy i tylko wtedy, gdy jest ciągła w każdym punkcie

zbioru Z.

Jeżeli funkcje f i g są ciągłe w punkcie x

0

, to funkcje f + g, f - g, f

⋅

g też są ciągłe w tym

punkcie, i jeżeli g(x

0

)

≠

0, to funkcja

g

f

też jest ciągła w x

0

.

12

11. Pochodna funkcji i jej zastosowania

Ilorazem różnicowym

funkcji f odpowiadającym przyrostowi argumentu

∆

x = x

1

– x

0

, gdzie

x

0

, x

1

∈

D

f

i x

0

≠

x

1

, nazywamy liczbę

x

)

x

(

f

)

x

x

(

f

0

0

∆

−

∆

+

.

Jeżeli przy powyższym istnieje granica

x

)

x

(

f

)

x

x

(

f

lim

0

0

0

x

∆

−

∆

+

→

∆

i jest liczba skończoną, to tę

liczbę nazywamy

pochodną funkcji w punkcie

x

0

i oznaczamy f ’(x

0

).

Jeżeli funkcja ma pochodną w punkcie x

0

, to mówimy, że jest w tym punkcie

różniczkowalna

.

Jeżeli funkcja y = f(x) jest określona w pewnym otoczeniu punktu x

0

i ma w tym punkcie

pochodną, to prosta o równaniu:

y = f ’(x)

⋅

( x – x

0

) + f(x

0

)

jest prostą styczną do wykresu funkcji f w punkcie P ( x

0

, f(x

0

) ). f ’(x

0

) jest tangensem kąta

nachylenia tej stycznej do osi 0X.

Jeżeli przez X oznaczymy zbiór tych argumentów, dla których istnieje pochodna funkcji f,

wówczas funkcję, która każdemu x

∈

X przyporządkowuje liczbę f ’(x) nazywamy

pochodną

funkcji

f. Dziedziną funkcji f ’ jest zbiór X.

Jeżeli funkcje f i g są różniczkowalne w zbiorze X, to:

a)

( k

⋅

f )’ = k

⋅

f ’, dla k

∈

R

b)

( f + g )’ = f ’ + g’

c)

( f - g )’ = f ’ - g’

d)

( f

⋅

g )’ = f ’

⋅

g + g’

⋅

f

e)

2

'

g

f

'

g

g

'

f

g

f

⋅

−

⋅

=













Pochodne niektórych funkcji:

a)

( c )’ = 0

b)

( x

m

)’ = m x

m-1

, dla m

∈

W \{0}

c)

( sin x )’ = cos x

d)

( cos x )’ = - sin x

e)

( tg x )’ =

x

cos

1

2

f)

( ctg x )’ = -

x

sin

1

2

Jeśli funkcja f jest różniczkowalna w każdym punkcie pewnego zbioru X

⊂

R, a funkcja g w

każdym punkcie y

0

= f(x) zbioru wartości funkcji f, to dla x

∈

X

pochodna funkcji złożonej

h = g ◦ f równa się iloczynowi pochodnej funkcji zewnętrznej g i pochodnej funkcji wewnętrznej f:

( g ◦ f )’(x) = g’(f(x))

⋅

f ’(x).

Jeżeli funkcja f jest różniczkowalna w zbiorze Z

⊂

D

f

i pochodna funkcji f jest różniczkowalna,

to pochodną funkcji f ’ nazywamy

drugą pochodną

funkcji f i oznaczamy f ’’.

13

12. Badanie funkcji

1.

Twierdzenia o monotoniczności funkcji

Niech funkcja f będzie różniczkowalna w przedziale ( a, b ), wtedy dla każdego x

∈

( a, b )

-

jeżeli f ’(x) > 0, to funkcja f jest rosnąca w przedziale ( a, b );

-

jeśli f jest rosnąca w przedziale ( a, b ), to f ’(x)

≥

0;

-

jeżeli f ’(x) < 0, to funkcja f jest malejąca w przedziale ( a, b );

-

jeśli f jest malejąca w przedziale ( a, b ), to f ’(x)

≤

0.

2.

Ekstremum funkcji

Mówimy, że funkcja ma w punkcie x

0

∈

D

f

minimum ( maksimum )

, jeśli dla każdego x

należącego do pewnego otoczenia punktu x

0

zawartego w dziedzinie funkcji zachodzi f(x) > f(x

0

)

( f(x) < f(x

0

) ). Maksimum i minimum nazywamy

ekstremum

funkcji.

Warunek konieczny ekstremum.

Jeżeli funkcja f ma ekstremum w punkcie x

0

∈

( a, b ) i jest w

tym punkcie różniczkowalna, to

f ’(x

0

) = 0.

Warunek wystarczający ekstremum

. Jeżeli funkcja f ma pochodną w pewnym otoczeniu punktu

x

0

, przy czym

f ’(x) > 0 gdy x < x

0

i f ’(x) < 0 gdy x > x

0

to w punkcie x

0

funkcja f ma

maksimum

; jeżeli natomiast

f ’(x) < 0 gdy x < x

0

i f ’(x) > 0 gdy x > x

0

to w punkcie x

0

funkcja f ma

minimum

.

3.

Najmniejsza i największa wartość funkcji w przedziale

Mówimy, że funkcja f określona w przedziale < a, b > osiąga w tym przedziale wartość

największą ( najmniejszą )

, jeśli istnieje punkt x

0

∈

< a, b > taki, że dla każdego x

∈

< a, b > i

x

≠

x

0

spełniony jest warunek f(x)

≤

f(x

0

) ( f(x)

≥

f(x

0

) ).

Aby wyznaczyć największą ( najmniejszą ) wartość funkcji w przedziale < a, b >, należy znaleźć

wszystkie maksima ( minima ) lokalne w tym przedziale oraz obliczyć f(a) i f(b); największa
( najmniejsza ) z tych liczb jest liczbą poszukiwaną.

4.

Asymptoty wykresu funkcji

Prostą, której odległość od wykresu danej funkcji f zmierza do zera w nieskończoności nazywamy

asymptotą

wykresu funkcji f.

Prostą o równaniu x = a nazywamy

asymptotą pionową

wykresu funkcji f, jeżeli funkcja f jest

określona przynajmniej z jednej strony punktu a oraz

±∞

=

+

→

)

x

(

f

lim

a

x

albo

±∞

=

−

→

)

x

(

f

lim

a

x

.

Jeżeli istnieją skończone granice

m

x

)

x

(

f

lim

x

=

±∞

→

oraz

b

]

mx

)

x

(

f

[

lim

x

=

−

±∞

→

, to prostą o równaniu

y = mx+b nazywamy

asymptotą ukośną

( albo

poziomą

przy m = 0 ) wykresu funkcji f.

14

12. Badanie funkcji cd.

5.

Schemat badania funkcji

5.1

Wyznaczamy dziedzinę funkcji

5.2

Obliczamy granice na końcach dziedziny

5.3

Wyznaczamy asymptoty wykresu funkcji

5.4

Wyznaczamy pierwszą pochodną i jej dziedzinę

5.5

Obliczamy miejsca zerowe pierwszej pochodnej

5.6

Określamy znak pierwszej pochodnej, wyznaczamy przedziały monotoniczności i ekstrema
funkcji

5.7

Wyznaczamy punkty przecięcia wykresu funkcji z osiami układu współrzędnych i wartości
funkcji w punktach wyznaczonych w 5.5, 5.6

5.8

Zbieramy wyniki z poprzednich punktów w tabeli

5.9

Szkicujemy wykres funkcji

15

13. Funkcja homograficzna

Funkcją homograficzną

nazywamy funkcję postaci

f(x) =

d

cx

b

ax

+

+

gdzie c

≠

0 i a

⋅

d - b

⋅

c

≠

0.

Dziedziną funkcji homograficznej jest zbiór D =











−

c

d

\

R

.

Wykresem funkcji homograficznej jest

hiperbola

.

Proste o równaniach x =

c

d

−

oraz y =

c

a

są asymptotami tej hiperboli.

hiperbola o równaniu y =

x

1

hiperbola o równaniu y = -

x

1

Aby narysować funkcję homograficzną musimy jej postać f(x) =

d

cx

b

ax

+

+

przekształcić do postaci

f(x) =

w

x

u

t

+

+

, wtedy wykres funkcji y =

x

u

przesuwamy o wektor [ -w, t ].

Pochodna funkcji homograficznej jest równa f ’(x) =

2

)

d

cx

(

c

b

d

a

+

⋅

−

⋅

, ponieważ z założenia licznik

jest różny od zera, więc pochodna funkcji nie przyjmuje wartości równej zero, czyli funkcja
homograficzna nie posiada ekstremum. Znak pochodnej zależy od znaku licznika ( czyli wyrażenia
a

⋅

d - b

⋅

c ). Wynika z tego, że:

funkcja homograficzna jest w przedziałach ( -

∞

,

c

d

−

) oraz (

c

d

−

, +

∞

) rosnąca, gdy a

⋅

d - b

⋅

c > 0,

funkcja homograficzna jest w przedziałach ( -

∞

,

c

d

−

) oraz (

c

d

−

, +

∞

) malejąca, gdy a

⋅

d - b

⋅

c < 0.

16

14. Geometria analityczna – wektory, proste

Współrzędnymi wektora

u

r

w prostokątnym układzie współrzędnych XOY nazywamy miary jego

składowych. Jeżeli punkt A( x

A

, y

A

) jest początkiem, a punkt B( x

B

, y

B

) jest końcem wektora

u

r

, to

współrzędnymi wektora

u

r

są liczby: a = x

B

- x

A

, b = y

B

- y

A

.

Zapisujemy to symbolicznie:

u

r

[ a, b ] lub

u

r

= [ a, b ].

Jeżeli wektor

u

r

= [ a, b ], to długość wektora

u

r

wyraża się wzorem:

2

2

b

a

u

+

=

r

.

Jeżeli punkt A( x

A

, y

A

) i punkt B( x

B

, y

B

), to środek S odcinka

AB

ma współrzędne:

x

S

=

2

x

x

A

B

+

, y

S

=

2

y

y

A

B

+

.

Jeśli

α jest miarą kąta skierowanego uporządkowanej pary niezerowych wektorów (

u

r

,

v

r

)

współrzędnych

u

r

= [ a

1

, a

2

],

v

r

= [b

1

, b

2

], to:

cos

α =

v

u

b

a

b

a

2

2

1

1

r

r

⋅

+

, sin

α =

v

u

b

a

b

a

1

2

2

1

r

r

⋅

−

.

Jeżeli wektory

u

r

i

v

r

mają współrzędne

u

r

= [ a

1

, a

2

],

v

r

= [b

1

, b

2

], to ich iloczyn skalarny wyraża się

wzorem

u

r

⋅

v

r

= a

1

⋅ b

1

+ a

2

⋅ b

2

.

Wyznacznikiem niezerowej pary wektorów

u

r

i

v

r

o współrzędnych

u

r

= [ a

1

, a

2

],

v

r

= [b

1

, b

2

]

nazywamy liczbę d(

u

r

,

v

r

) =

2

1

2

1

b

b

a

a

= a

1

⋅ b

2

- a

2

⋅ b

1

.

Jeżeli punkty A( x

A

, y

A

), B( x

B

, y

B

) i C( x

C

, y

C

) są wierzchołkami trójkąta, to pole trójkąta

∆ABC

wyraża się wzorami:

P =

)

AC

,

AB

(

d

2

1

=

)

BC

,

BA

(

d

2

1

=

)

CB

,

CA

(

d

2

1

,

P =

)

y

x

y

x

(

)

y

x

y

x

(

)

y

x

y

x

(

C

A

A

C

B

C

C

B

A

B

B

A

2

1

−

+

−

+

−

.

Współczynnikiem kierunkowym prostej nieprostopadłej do osi OX nazywamy tangens kąta nachylenia

tej prostej do osi OX.

Równaniem kierunkowym prostej l nieprostopadłej do osi OX nazywamy równanie postaci y = ax+b,

gdzie a oznacza współczynnik kierunkowy prostej l, zaś b rzędną punktu, w którym l przecina oś OY.

Jeżeli punkty A( x

A

, y

A

) i B( x

B

, y

B

) należą do prostej l, to równanie prostej l ma postać:

y - y

A

=

B

A

B

A

x

x

y

y

−

−

( x – x

A

), gdy x

A

≠ x

B

, lub

( y - y

A

)

⋅( x

A

– x

B

) – ( y

A

– y

B

)

⋅( x – x

A

) = 0.

Każde równanie postaci Ax+By+C = 0, gdzie A

2

+B

2

≠ 0 jest równaniem ogólnym prostej. Wektor

u

r

= [ A, B ] jest wektorem prostopadłym do tej prostej.

Odległość punktu P ( x

0

, y

0

) od prostej o równaniu Ax+By+C = 0 wyraża się wzorem:

d =

2

2

0

0

B

A

C

By

Ax

+

+

+

.

Warunki równoległości prostych

Dwie proste o równaniach y = a

1

x +b

1

i y = a

2

x +b

2

są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy a

1

= a

2

.

Dwie proste o równaniach Ax+By+C = 0 i A

1

x+B

1

y+C

1

= 0 są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy

AB

1

– BA

1

= 0.

Warunki prostopadłości prostych

Dwie proste o równaniach y = a

1

x +b

1

i y = a

2

x +b

2

są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy a

1

⋅ a

2

= -1.

Dwie proste o równaniach Ax+By+C = 0 i A

1

x+B

1

y+C

1

= 0 są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy

AA

1

+ BB

1

= 0.

17

15. Geometria analityczna – krzywe stopnia drugiego

Okrąg

Równanie okręgu o środku ( a, b ) i promieniu r ma postać ( x – a )

2

+ ( y – b )

2

= r

2

.

Równanie postaci x

2

+ y

2

-2ax – 2by + c = 0

przedstawia okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy a

2

+b

2

– c > 0,

promieniem okręgu jest r =

c

b

a

2

2

−

+

, zaś środkiem punkt ( a, b ).

Równanie stycznej do okręgu o środku ( a, b ) i promieniu r w punkcie ( x

0

, y

0

) należącym do okręgu, ma

postać ( x

0

– a )( x – a )+( y

0

– b )( y – b ) = r

2

.

Elipsa

Niech dane będą dwa punkty F

1

, F

2

oraz liczba dodatnia a taka, że 2a > F

1

⋅F

2

. Elipsą nazywamy zbiór

tych wszystkich punktów P płaszczyzny, dla których PF

1

+ PF

2

= 2a.

Jeśli punkty F

1

, F

2

należą do osi OX, zaś początek układu współrzędnych jest środkiem odcinka

2

1

F

F

, to

równanie elipsy ma postać

1

b

y

a

x

2

2

2

2

====

++++

, gdzie b

2

= a

2

– c

2

i

|c| = OF

1

.

Elipsa ta ma środek symetrii w punkcie ( 0, 0 ) i dwie osie symetrii proste OX i OY.

Równanie stycznej do elipsy w punkcie ( x

0

, y

0

) należącym do elipsy, ma postać:

1

b

y

y

a

x

x

2

0

2

0

====

++++

.

Punkty F

1

, F

2

nazywamy ogniskami elipsy.

Cięciwą elipsy nazywamy każdy odcinek, którego końce należą do elipsy. Średnicą elipsy nazywamy

każdą cięciwę, do której należy środek symetrii elipsy. Osią wielką nazywamy najdłuższą z jej średnic. Osią
małą nazywamy najkrótszą z jej średnic. Wierzchołkami elipsy nazywamy punkty wspólne elipsy i jej osi
symetrii.

Mimośrodem elipsy nazywamy liczbę e =

a

c

, zaś kierownicami elipsy proste o równaniach:

x =

c

a

2

i x = -

c

a

2

.

Hiperbola

Niech dane będą dwa punkty F

1

, F

2

oraz liczba dodatnia a taka, że 2a < F

1

⋅F

2

. Hiperbolą nazywamy zbiór

tych wszystkich punktów P płaszczyzny, dla których

PF

1

- PF

2

= 2a.

Jeśli punkty F

1

, F

2

należą do osi OX, zaś początek układu współrzędnych jest środkiem odcinka

2

1

F

F

, to

równanie hiperboli ma postać

1

b

y

a

x

2

2

2

2

====

−−−−

, gdzie b

2

= c

2

– a

2

i

|c| = OF

1

.

Hiperbola ta ma środek symetrii w punkcie ( 0, 0 ) i dwie osie symetrii proste OX i OY.

Równanie stycznej do hiperboli w punkcie ( x

0

, y

0

) należącym do hiperboli, ma postać:

1

b

y

y

a

x

x

2

0

2

0

=

==

=

−

−−

−

.

Punkty F

1

, F

2

nazywamy ogniskami hiperboli.

Asymptotami hiperboli są elipsy proste o równaniach: y =

a

b ⋅x i y = -

a

b ⋅x.

Parabola

Jest to krzywa, która w pewnym układzie XOY ma równanie y

2

= 2px, gdzie p

≠ 0, 2p jest parametrem

paraboli. Punkt F =













0

,

a

b

jest ogniskiem paraboli. Prosta o równaniu x = -

2

p

jest kierownicą paraboli.

Punkt ( 0, 0 ) jest wierzchołkiem paraboli.

Parabola jest zbiorem wszystkich punktów płaszczyzny równo odległych od jej ogniska i od jej

kierownicy. Jedyną osią symetrii paraboli jest prosta OX.

Równanie stycznej do paraboli y

2

= 2px

w punkcie ( x

0

, y

0

) należącym do paraboli, ma postać:

y ⋅⋅⋅⋅ y

0

= p⋅⋅⋅⋅ ( x + x

0

).

18

16. Planimetria - własności podstawowych figur planimetrycznych

Odległość punktu od prostej.

Odległość punktu od figury niepustej – długość promienia największego otoczenia kołowego

tego punktu wewnątrz którego nie ma punktów tej figury. Gdy otoczenie takie nie istnieje,
odległość jest zerem.

Odległość punktu od prostej równa się odległości tego punktu od jego rzutu prostokątnego na tę

prostą.

Położenie prostej m względem okręgu o(A,r).

m jest styczną do o(A,r)

⇔

odl. A od m = r,

m jest sieczną o(A,r)

⇔

odl. A od m < r,

m jest zewnętrzną dla o(A,r)

⇔

odl. A od m > r.

Styczna do okręgu (tzn. prosta mająca z nim dokładnie jeden punkt wspólny) jest prostopadła do

promienia łączącego punkt styczności ze środkiem okręgu.

Dwa okręgi.

Jeśli okręgi o(A,a) i o(B,b) są różne i a

≥

b, to

o(A,a) i o(B,b) są wzajemnie zewnętrzne

⇔

AB > a + b,

o(A,a) i o(B,b) są zewnętrznie styczne

⇔

AB = a + b,

o(A,a) i o(B,b) przecinają się

⇔

a - b < AB < a + b,

o(A,a) i o(B,b) są wewnętrznie styczne

⇔

a - b = AB,

o(B,b)

⊂

k(A,a)

⇔

a - b > AB.

Związki miarowe w trójkącie prostokątnym.

Jeśli

AC

⊥

CB

i

CD

⊥

AB

, to a

2

=

DB

c ⋅

, sin

α

=

c

a

, cos

α

=

c

b

, tg

α

=

b

a

, ctg

α

=

a

b

, b

2

=

AD

c ⋅

,

a=

α

⋅ sin

c

=

α

⋅ tg

b

, h

2

=

DB

AD ⋅

, b=

α

⋅ cos

c

=

α

⋅ ctg

a

, c

2

= a

2

+b

2

(tw. Pitagorasa), c=

α

sin

a

=

α

cos

b

.

Związki miarowe w dowolnym trójkącie.

Wzór sinusów:

r

2

sin

c

sin

b

sin

a

=

γ

=

β

=

α

, gdzie r – długość promienia okręgu opisanego na

∆

ABC.

Wzór cosinusów: a

2

= b

2

+ c

2

- 2bc cos

α

.

Symetralne wszystkich boków trójkąta przecinają się w jednym punkcie O, który jest środkiem

okręgu przechodzącego przez punkty A, B, C, czyli okręgu opisanego na tym trójkącie.

Długość promienia opisanego na trójkącie r =

S

4

abc

, gdzie S jest polem trójkąta;

Dwusieczne wszystkich kątów wewnętrznych trójkąta przecinają się w jednym punkcie, który

jest środkiem okręgu stycznego do wszystkich boków trójkąta, czyli okręgu wpisanego w trójkąt.

Długość promienia okręgu wpisanego w trójkąt

p

S

=

ρ

, gdzie S – pole, p – połowa obwodu trójkąta.

Odcinek łączący środki dwu boków trójkąta jest równoległy do trzeciego boku i równy jego

połowie.

19

16. Planimetria - własności podstawowych figur planimetrycznych cd.

Najważniejsze wiadomości o wielokątach.

Czworokąt – wielokąt o czterech bokach.
Suma miar kątów wewnętrznych dowolnego czworokąta jest równa 360

O

.

Trapez – czworokąt mający przynajmniej dwa boki równoległe.
Trapez równoramienny – trapez mający dwa boki przeciwległe nierównoległe i równe.
Jeżeli w trapezie dwa przeciwległe boki nie są równoległe, to

1.

suma kątów wewnętrznych leżących przy każdym z tych boków jest kątem

półpełnym,
2.

odcinek łączący środki tych boków jest równoległy do podstaw (tzn. boków

równoległych), a jego długość równa się połowie sumy długości obu podstaw.

W trapezie równoramiennym kąty przy każdej podstawie są przystające.
Trapez równoramienny ma jedną oś symetrii.

Czworokąt wpisany w okrąg i czworokąt opisany w kręgu.

Czworokąt wypukły można wpisać w krąg

⇔

sumy miar kątów przeciwległych w tym czworokącie

są równe(każda z nich jest równa 180

o

).

Czworokąt wypukły można opisać na kręgu

⇔

sumy długości boków przeciwległych w tym

czworokącie są równe.

Odcinki, proste i kąty w związku z okręgiem
Kąt między cięciwą i styczną

Kąt ostry między cięciwą i styczną przechodzą przez koniec cięciwy jest równy połowie kąta

środkowego opowiadającego cięciwie.

Kąt środkowy i kąty wpisane oparte na tym samym łuku

Wszystkie kąty wpisane okrąg i oparte na tym samym łuku są równe każdy z nich jest równy

połowie kąta środkowego opartego na tym łuku

Kąt wpisany w półokrąg (oparty na średnicy) jest prosty.

20

17. Rachunek prawdopodobieństwa

Kombinatoryka

Permutacje

–

każdy n - wyrazowy

ciąg

utworzony ze wszystkich elementów n elementowego

zbioru.

P = n!

Kombinacje

–

każdy k - elementowy

podzbiór

n - elementowego zbioru.

)!

k

n

(

!

k

!

n

k

n

C

k
n

−

=













=

Wariacje bez powtórzeń

–

każdy k - wyrazowy

ciąg

utworzony z różnych elementów n -

elementowego zbioru.

)!

k

n

(

!

n

V

k

n

−

=

Wariacje z powtórzeniami

–

każdy k - wyrazowy

ciąg

utworzony z elementów n - elementowego

zbioru.

k

k

n

n

W

=

Własności prawdopodobieństwa

P(A)

≥

0,

P(

∅

) = 0,

P(

Ω

) = 1,

jeżeli A

⊂

B to P(A)

≤

P(B),

dla każdego A

⊂

Ω

jest P(A)

≤

1,

P(A’) = 1- P(A),

P(A

∪

B) = P(A) + P(B) – P(A

∩

B).

Klasyczna definicja prawdopodobieństwa

Jeżeli wszystkie zdarzenia elementarne są jednakowo prawdopodobne to prawdopodobieństwo
każdego zdarzenia A jest ilorazem liczby zdarzeń sprzyjających temu zdarzeniu przez liczbę

wszystkich zdarzeń elementarnych.

P(A) =

Ω

A

,

gdzie A - liczba zdarzeń sprzyjających zdarzeniu A,

Ω

- liczba wszystkich zdarzeń

elementarnych.

Prawdopodobieństwo warunkowe

Prawdopodobieństwo zdarzenia A pod warunkiem zajścia zdarzenia B jest to liczba

P(A / B) =

)

B

(

P

)

B

A

(

P

∩

Prawdopodobieństwo całkowite ( zupełne )

Jeśli B

1

, B

2

, ... ,B

n

są zdarzeniami wyłączającymi się parami oraz ich suma jest zdarzeniem

pewnym, to dla dowolnego zdarzenia A zachodzi wzór:

P(A) = P(A / B

1

)

⋅

P(B

1

) + P(A / B

2

)

⋅

P(B

2

) + ... + P(A / B

n

)

⋅

P(B

n

)

Niezależność zdarzeń

Zdarzenia A i B nazywamy niezależnymi, jeżeli P(A

∩

B) = P(A)

⋅

P(B).

W przeciwnym przypadku mówimy, że zdarzenia A i B są zależne.

Schemat Bernoulliego

– ciąg powtórzeń tego samego doświadczenia

Prawdopodobieństwo otrzymania dokładnie k sukcesów w n próbach Bernoulliego wynosi:

P

n

(k) =













k

n

⋅

p

k

⋅

q

n-k

,

gdzie p

–

prawdopodobieństwo sukcesu, q = 1- p

-

prawdopodobieństwo porażki, k = 0, 1, ... ,n.

21

22

S P I S T R E Ś C I

1. ZBIORY. DZIAŁANIA NA ZBIORACH.

2

2. UKŁADY RÓWNAŃ I NIERÓWNOŚCI.

3

3. FUNKCJA KWADRATOWA.

4

4. WIELOMIANY

5

5. FUNKCJA WYKŁADNICZA I LOGARYTMICZNA

6

6. FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE

7

7. FUNKCJE WYMIERNE. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI WYMIERNE.

8

8. CIĄGI

9

9. CIĄGI ARYTMETYCZNY I GEOMETRYCZNY

10

10. GRANICA FUNKCJI. FUNKCJE CIĄGŁE.

11

11. POCHODNA FUNKCJI I JEJ ZASTOSOWANIA

12

12. BADANIE FUNKCJI

13

12. BADANIE FUNKCJI CD.

14

13. FUNKCJA HOMOGRAFICZNA

15

14. GEOMETRIA ANALITYCZNA – WEKTORY, PROSTE

16

15. GEOMETRIA ANALITYCZNA – KRZYWE STOPNIA DRUGIEGO

17

16. PLANIMETRIA - WŁASNOŚCI PODSTAWOWYCH FIGUR
PLANIMETRYCZNYCH

18

16. PLANIMETRIA - WŁASNOŚCI PODSTAWOWYCH FIGUR
PLANIMETRYCZNYCH CD.

19

17. RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA

20