2008-10-06
3. Równania pola
elektromagnetycznego
Oddziaływanie pola elektromagnetycznego z materią
Pole elektromagnetyczne jest opisywane zazwyczaj za pomocÄ…
następujących 5 pól wektorowych:
" gęstości prądu J,
" natężenia pola elektrycznego K,
" natężenia pola magnetycznego H,
" indukcji elektrycznej D,
" indukcji magnetycznej B.
Występowanie pola elektromagnetycznego jest wykrywane pośrednio  za pomocą
jego oddziaływania energetycznego z otaczającą materią. Siła z jaką pole działa na
swobodny ładunek q poruszający się z prędkością v (siła Lorentza)
jest określona wzorem
[ K ] = V/m
[ B ] = Vs/m2
A
adunek q musi byd dostatecznie mały, również w sensie jego rozmiarów
geometrycznych, aby można było mówid o punktowym oddziaływaniu. A
adunek
elektryczny jest wielkością kwantowaną  najmniejszy możliwy ładunek to ładunek
elektronu qe=1.6 ·10-19 C .
Paweł Witczak, TEORIA POLA ELEKTROMAGNETYCZNEGO, WEEIA PA
, 2008 2
1
2008-10-06
Doświadczenia Ampere a i Faraday a
Współczesna teoria pola elektromagnetycznego wywodzi się z fundamentalnych
eksperymentów przeprowadzonych przez Ampere a i Faraday a
Doświadczenie Ampere a.
Przepływ prądu elektrycznego w przewodniku
qv
- ruch ładunku q z prędkością v, powoduje
H
powstanie pola magnetycznego H wokół
przewodnika.
v
Doświadczenie Faraday a.
Zmiana pola magnetycznego wewnÄ…trz
K
obwodu elektrycznego - np. ruch magnesu
z prędkością v, powoduje powstanie pola
elektrycznego K na zaciskach obwodu
Paweł Witczak, TEORIA POLA ELEKTROMAGNETYCZNEGO, WEEIA PA
, 2008 3
Pole elektryczne w dielektryku
Dielektrykiem nazywamy ciało, które nie przewodzi prądu elektrycznego
czyli o konduktywności =0 S/m. Umieszczenie dielektryka w polu elektrycznym
powoduje nieznaczne przesunięcie przestrzenne ładunku cząsteczek dielektryka
w taki sposób, że elementarne ładunki dodatni i ujemny są względem siebie
przesunięte o pewien odcinek l  efekt działania siły Lorentza.
Taki układ ładunków nazywamy dipolem,
-q
którego moment pe jest równy q l. Objętościowa
gęstośd elektrycznego momentu dipolowego
l
jest nazywana wektorem polaryzacji elektrycznej Pe
+q
Własności materialne określa związek pomiędzy wektorami polaryzacji i natężenia pola
(dla środowisk izotropowych)
gdzie  przenikalnośd elektryczna próżni, * C/Vm ]
0
 podatnośd elektryczna, * - ]
Paweł Witczak, TEORIA POLA ELEKTROMAGNETYCZNEGO, WEEIA PA
, 2008 4
2
2008-10-06
Wektor indukcji dielektrycznej
Indukcją dielektryczną D nazywamy sumę wektorów
Podstawiając zależności określające wektor polaryzacji elektrycznej mamy
nosi nazwę względnej przenikalności elektrycznej.
r
Własności dielektryczne materiałów mających budowę krystaliczną, np. kwarc,
zależą zarówno od kierunku działania pola K, jak i od kierunku obserwacji (pomiaru)
pola D. Materiały takie są nazywane anizotropowymi a równanie wiążące wektory K, D
jest w postaci macierzowej
Dalsze rozważania dotyczyd będą wyłącznie środowisk izotropowych,
tzn. = 0 dla i j oraz = .
ij ii r 0
Paweł Witczak, TEORIA POLA ELEKTROMAGNETYCZNEGO, WEEIA PA
, 2008 5
Pole magnetyczne
Oddziaływanie pola magnetycznego z materią polega na zmianie rozkładu pola w próżni
po wprowadzeniu w pewien obszar przestrzeni elementu materialnego.
Dipolem magnetycznym nazywamy pole magnetyczne
H
pochodzÄ…ce od elementarnego konturu l
i
ograniczajÄ…cego powierzchniÄ™ S(l)
i wiodÄ…cego prÄ…d i. Momentem magnetycznym
S
dipola nazywamy wyrażenie pm=i S un S
un S
Objętościowa gęstośd magnetycznego
momentu dipolowego jest nazywana
wektorem polaryzacji magnetycznej Pm
Własności materialne określa związek pomiędzy wektorami polaryzacji i natężenia pola
(dla środowisk izotropowych)
gdzie  przenikalnośd magnetyczna próżni, * Vs/Am ]
0
 podatnośd magnetyczna, * - ]
m
Paweł Witczak, TEORIA POLA ELEKTROMAGNETYCZNEGO, WEEIA PA
, 2008 6
3
2008-10-06
Wektor indukcji magnetycznej
Indukcją magnetycznej B nazywamy sumę wektorów
Podstawiając zależności określające wektor polaryzacji magnetycznej mamy
nosi nazwę względnej przenikalności magnetycznej, a = 4 10-7 H/m
r 0
jest przenikalnością magnetyczną próżni, .
Materiały ferromagnetyczne mają budowę krystaliczną, dlatego ich własności
magnetyczne zależą zarówno od kierunku działania pola H, jak i od kierunku obserwacji
(pomiaru) pola B. Materiały takie są nazywane anizotropowymi a równanie wiążące
wektory H, B jest w postaci macierzowej
Dalsze rozważania dotyczyd będą wyłącznie środowisk izotropowych,
tzn. = 0 dla i j oraz = .
ij ii r 0
Paweł Witczak, TEORIA POLA ELEKTROMAGNETYCZNEGO, WEEIA PA
, 2008 7
Materiały magnetyczne (1)
W zależności od wartości podatności magnetycznej materiały dzielimy na:
m
" diamagnetyki ( < 0)  np. woda = -9·10-6, zÅ‚oto = -34·10-6, grafit = -200·10-6
m m m m
" paramagnetyki (0 < << 1)  np. tlen = 2·10-6, aluminium = 20·10-6,
m m m
wolfram = 78 10-6
m
" ferromagnetyki ( >> 1)  żelazo = 5·103, nikiel = 0.6·103, kobalt = 0.3·103
m m m m
stopy na bazie żelaza i niklu oraz żelaza i kobaltu mogą
mied podatnoÅ›d rzÄ™du nawet = 20·103
m
W obliczeniach technicznych przyjmuje się, że podatnośd magnetyczna
diamagnetyków i paramagnetyków jest równa zeru.
Równomierne zewnętrzne pole H
H H
paramagnetyk ferromagnetyk
Paweł Witczak, TEORIA POLA ELEKTROMAGNETYCZNEGO, WEEIA PA
, 2008 8
4
2008-10-06
Materiały magnetyczne (2)
Materiały magnetyczne dzielimy na:
" miękkie czyli takie w których indukcja magnetyczna B po ustaniu zewnętrznego
pobudzenia polem H jest równa zeru (lub ma nieznaczną wartośd),
B
Bnas
zastępcza krzywa
B(H)
Br
0
H
Br  indukcja remanencji
(pozostałośd magnetyczna)
W obliczeniach magnetycznych tych materiałów stosuje się zastępczą (jednowartościową )
charakterystykÄ™ B(H)
" twarde czyli takie w których indukcja magnetyczna B po ustaniu
zewnętrznego pobudzenia polem H jest istotnie różna od zera.
Paweł Witczak, TEORIA POLA ELEKTROMAGNETYCZNEGO, WEEIA PA
, 2008 9
Fizyka trwałego namagnesowania
He
Elektron o Å‚Ä…dunku qe poruszajÄ…cy siÄ™ po orbicie
z prędkością v może byd utożsamiany (na gruncie
klasycznej elektrodynamiki) z prądem o natężeniu
v qe zamykającym się wzdłuż orbity. Prąd ten
i
powoduje powstanie pola magnetycznego
o natężeniu He. Otrzymaliśmy elementarny dipol
Se
magnetyczny (orbitalny) o momencie vqe Se,
v qe
odpowiadajÄ…cy za zjawisko diamagnetyzmu.
Hs
Oprócz ruchu orbitalnego elektron wiruje wokół
swej osi z pewną częstością (posiada tzw. spin).
e
Ruch obrotowy ładunku elektrycznego można
traktowad jak przepływ prądu o natężeniu is wokół
osi obrotu. PrÄ…d ten powoduje powstanie wiÄ…zki
is
pola magnetycznego Hs skoncentrowanej w osi obrotu.
Otrzymaliśmy elementarny dipol magnetyczny (spinowy) ,
e
odpowiadajÄ…cy za zjawiska para- i ferromagnetyzmu.
Paweł Witczak, TEORIA POLA ELEKTROMAGNETYCZNEGO, WEEIA PA
, 2008 10
5
2008-10-06
Nasycenie magnetyczne
Pm
Ferromagnetyki majÄ… strukturÄ™ krystalicznÄ…, a ponadto cechujÄ… siÄ™
właściwością, iż spontanicznie tworzą obszary (o rozmiarach rzędu mm),
nazywane domenami,w których wektor polaryzacji Pm ma identyczny
kierunek. Przy braku zewnętrznego pola magnetycznego wypadkowy Hz
wektor polaryzacji wielu domen jest równy zeru.
Pm
Pojawienie się zewnętrznego pola magnetycznego Hz powoduje
zmianÄ™ na przeciwny kierunku spinowego momentu dipolowego
w niektórych sąsiadujących domenach. Efekt ten jest odwracalny
Hz
i zachodzi praktycznie bez pobierania energii.
Hz
Pm
Dalszy wzrost natężenia pola Hz, oprócz uporządkowania polaryzacji
w poszczególnych domenach , rozpoczyna proces obrotu dipoli
magnetycznych w domenach w kierunku wymuszajÄ…cego pola.
Efekt ten zachodzi kosztem pewnej porcji energii pobranej ze z
ródła Hz
Hz
pola.
Pm
Po osiągnięciu przez pole zewnętrzne wartości nasycenia
Pmr
Hzs, kiedy wszystkie momenty dipolowe są równoległe
z wymuszeniem, wektor polaryzacji Pm osiąga swoją wartośd
Hz
maksymalną. Jeżeli pole zewnętrzne zostaje usunięte, to
Hzs
w ferromagnetyku zostaje pozostałośd magnetyczna Pmr.
Paweł Witczak, TEORIA POLA ELEKTROMAGNETYCZNEGO, WEEIA PA
, 2008 11
Pętla histerezy magnetycznej
magnesu trwałego NdFeB
Pm B
Powrotne krzywe
magnesowania
Br
HcB  natężenie koercji
odmagnesowujÄ…ce
Pierwotne krzywe
HcP  natężenie koercji
magnesowania
H
rozmagnesowujÄ…ce
HcP HcB 0
VACODYM 722 HR
Br = 1.37 T
HcB = 1.02 MA/m
Paweł Witczak, TEORIA POLA ELEKTROMAGNETYCZNEGO, WEEIA PA
, 2008 12
6
2008-10-06
Pole przepływowe
W środowisku przewodzącym wektory K, J są powiązane zależnością
 konduktywnośd, *S/m+=*A/Vm]
Natężeniem prądu elektrycznego i przepływającego przez powierzchnię S
nazywamy strumieo wektora gęstości prądu J przez tę powierzchnię
J
unS
S
Dla dostatecznie małej powierzchni S można przyjąd, że wektor J jest stały na tej
powierzchni. Uwzględniając również dla niewielkiego przedziału czasu t, że i= q/ t
otrzymuje siÄ™
Elementarny ładunek q jest równy V= Sn l, gdzie jest gęstością ładunku.
StÄ…d
oraz
Paweł Witczak, TEORIA POLA ELEKTROMAGNETYCZNEGO, WEEIA PA
, 2008 13
Równania Maxwella (1863 r.)
Postad różniczkowa równao Maxwella
J  gęstośd prądu przewodzenia, *A/m2]
"D/"t  gęstośd prądu przesunięcia, *A/m2]
Całkując obustronnie po wybranej powierzchni (otwartej) S otrzymuje się:
I  natężenie prądu przewodzenia, *A+
i  natężenie prądu przesunięcia, *A+
 strumieo magnetyczny, * Wb]=[Vs]
Paweł Witczak, TEORIA POLA ELEKTROMAGNETYCZNEGO, WEEIA PA
, 2008 14
7
2008-10-06
Całkowe tożsamości Maxwella
Stosując twierdzenie Stokes a do lewej strony równao całkowych mamy
Wzór ten nosi nazwę (przy i =0) prawa Ampere a (prawa przepływu)
Wzór ten nosi nazwę prawa Faraday a , e jest nazywane siłą elektromotoryczną, *V+
Paweł Witczak, TEORIA POLA ELEKTROMAGNETYCZNEGO, WEEIA PA
, 2008 15
Warunki z
ródłowości pola
Wektory indukcji pola elektromagnetycznego spełniają następujące zależności
 gęstośd ładunku elektrycznego, *Q/m3]
Całkując po dowolnej objętości V i stosując twierdzenie Gauss a otrzymuje się
Mówimy, że pole indukcji elektrycznej jest z
ródłowe, a z
ródłem strumienia
indukcji elektrycznej jest Å‚adunek elektryczny.
Pole indukcji magnetycznej jest bezz
ródłowe
Paweł Witczak, TEORIA POLA ELEKTROMAGNETYCZNEGO, WEEIA PA
, 2008 16
8
2008-10-06
Prawo zachowania Å‚adunku
DokonujÄ…c operacji obustronnej dywergencji na I prawie Maxwell a otrzymuje siÄ™
kolejno
Całkując powyższe równanie w pewnej objętości V o brzegu S
Równanie to interpretujemy jako:
Suma prądu wypływającego z objętości V przez jej powierzchnię brzegową
równa się ubytkowi w czasie ładunku zawartego w tej objętości
Paweł Witczak, TEORIA POLA ELEKTROMAGNETYCZNEGO, WEEIA PA
, 2008 17
9