Strumień pola elektrycznego
i prawo Gaussa
Ryszard J. Barczyński, 2010-2013
Politechnika Gdańska, Wydział FTiMS, Katedra Fizyki Ciała Stałego
Materiały dydaktyczne do użytku wewnętrznego
Strumień pola
elektrycznego
Natężenie pola elektrycznego
niektórych rozkładów ładunku da się znalez
ć w wyjątkowo
prosty sposób, ale musimy w tym celu wprowadzić nowe pojęcie
- strumienia pola elektrycznego
Strumień
Zastanów się, jak opisać strumień wody przepływający przez powierzchnię
A. Prawda, że wyrażenie (A * v * cos Fð ) jest tym, czego szukamy?
Strumień
pola elektrycznego
Podobnie zdefiniujemy wielkość zwaną strumieniem pola elektrycznego
FðE przez powierzchniÄ™ A. Gdy powierzchnia A jest prostopadÅ‚a do wektora
natężenia pola elektrycznego mamy
FðE = A E cos fð = A E = A E
pamiętajmy, że jako kąt wybieramy kąt między wektorem E,
a normalnÄ… do powierzchni A
Strumień
pola elektrycznego
Podobnie zdefiniujemy wielkość zwaną strumieniem pola elektrycznego
FðE przez powierzchniÄ™ A. W ogólnym przypadku mamy
FðE = A E cos fð = A E
pamiętajmy, że jako kąt wybieramy kąt między wektorem E,
a normalnÄ… do powierzchni A
Strumień
pola elektrycznego
Podobnie zdefiniujemy wielkość zwaną strumieniem pola elektrycznego
FðE przez powierzchniÄ™ A. Gdy powierzchnia A jest równolegÅ‚a do wektora
natężenia pola elektrycznego mamy
FðE = A E cos fð = A E = 0
pamiętajmy, że jako kąt wybieramy kąt między wektorem E,
a normalnÄ… do powierzchni A
Strumień pola
elektrycznego
W życiu nic nie jest proste, a powierzchnie
są zwykle dosyć skomplikowane. Całkowity
strumień pola elektrycznego możemy policzyć jako sumę strumieni
czÄ…stkowych:
Śą
Śą
´Ä…= E dS
+"
S
Wektor elementu powierzchni jest zdefiniowany jako wektor
o wartości równej powierzchni elementu,
a o kierunku normalnej (zewnętrznej) do powierzchni.
Strumień pola
elektrycznego
Spróbujemy teraz policzyć wyrażenie na strumień
pola elektrycznego przechodzÄ…cy przez
powierzchnię kulistą, w środku której znajduje
siÄ™ punktowy Å‚adunek q.
Strumień pola
elektrycznego
4Ćą r2
q r q q q
ęą
Śą Śą
Śą
´Ä…= E dA= dA= dA= =ÏÄ…
." ." ."
0
4Ćą ÏÄ…0
4Ćą ÏÄ…0r2 4Ćą ÏÄ…0r2 A r2
A A
Widzimy, że całkowity strumień przez naszą powierzchnię
sferycznÄ… wynosi q/eð0
Strumień pola
elektrycznego
Uogólnimy teraz nasz rezultat i policzymy wyrażenie
na strumień pola elektrycznego przechodzący przez
dowolną zamkniętą powierzchnię.
Strumień pola
elektrycznego
Rozważmy kontur o dowolnym kształcie
otaczajÄ…cy kulÄ™.
Przeprowadz
my stożek o wierzchołku w q,
wycinajÄ…cy z kuli element o powierzchni a, a z konturu element A.
Porównajmy strumienie przez te dwa elementy:
2 2
R r 1
Śą
d ´Ä…A=Er Śą ]cosśąËąźą=ER a=d ´Ä…a
A=Er A cosśąËąźą=[ERśą źą ][aśą źą
r R cosśąËąźą
Strumień pola
elektrycznego
Rozważmy kontur o dowolnym kształcie
otaczajÄ…cy kulÄ™.
Przeprowadz
my stożek o wierzchołku w q,
wycinajÄ…cy z kuli element o powierzchni a, a z konturu element A.
Porównajmy strumienie przez te dwa elementy:
2 2
R r 1
Śą
d ´Ä…A=Er Śą ]cosśąËąźą=ER a=d ´Ä…a
A=Er A cosśąËąźą=[ERśą źą ][aśą źą
r R cosśąËąźą
Strumień pola
elektrycznego
Udowodniliśmy, że strumienie
przez oba elementy są sobie równe.
Ponieważ każdemu elementowi
powierzchni zewnętrznej możemy
przypisać element sfery, zatem
całkowity strumień jest jednakowy dla obu powierzchni.
Strumień pola
elektrycznego
Jeżeli będziemy rozważać wiele ładunków zawartych
w naszej powierzchni możemy zastosować zasadę
superpozycji: natężenie pola elektrycznego od wielu z
ródeł
można przedstawić jako sumę natężeń pola
od pojedynczych z
ródeł
q1 qn q
Śą Śą
Śą Śą Śą
´Ä…= E dS= śąE1ƒÄ…...ƒÄ…EnźądS= ƒÄ…..ƒÄ… =
." ."
ÏÄ…0 ÏÄ…0 ÏÄ…0
S S
Otrzymaliśmy w ten sposób prawo Gaussa:
Strumień pola elektrycznego przez dowolną
powierzchnię zamkniętą jest równy całkowitemu
Å‚adunkowi zawartemu w tej powierzchni podzielonemu
przez µ0:
q
Śą
Śą
E dS=
."
ÏÄ…0
S
Prawo Gaussa
Prawo Gaussa wyprowadziliśmy korzystając
z prawa Coulomba
(w rzeczywistości prawo Gaussa okazuje się ogólniejsze).
Prawo Gaussa umożliwia nam rozwiązanie wielu
- na pozór bardzo skomplikowanych - problemów.
Policzymy...
Prawo Gaussa umożliwia łatwe policzenie natężenia
pola elektrycznego w sytuacjach, gdy potrafimy
wykorzystać symetrię ładunku. Policzmy na przykład
natężenie pola elektrycznego we wnętrzu oraz
w sÄ…siedztwie:

jednorodnego Å‚adunku kulistego;

jednorodnego ładunku w kształcie walca;

nieskończenie rozciągłej cienkiej płyty naładowanej
ze stałą gęstością powierzchniową.
Policzymy...
Policzmy na przykład natężenie pola elektrycznego
we wnętrzu oraz w sąsiedztwie:

jednorodnego Å‚adunku kulistego
Policzymy...
Policzmy na przykład natężenie pola elektrycznego
w sÄ…siedztwie:

jednorodnego długiego ładunku liniowego
Policzymy...
Policzmy na przykład natężenie pola elektrycznego
w sÄ…siedztwie:

nieskończenie rozciągłej cienkiej płyty naładowanej
ze stałą gęstością powierzchniową.
Do przemyślenia
w długie zimowe wieczory
Czy możliwa jest taka konfiguracja pola elektrycznego,
w którym istniał by punkt zapewniający umieszczonemu
tam ładunkowi stan równowagi trwałej ?