Wykład 12.
Elektryczność i magnetyzm. Prawo Gaussa
1. Pole elektryczne
1.1 Wektor natę\
enia pola elektrycznego E.
Pole elektryczne definiuje się jako stosunek siły elektrycznej działającej na
ładunek jednostkowy:
r
r
F
E =
, (1.1.1)
q
gdzie E  natę\
enie pola elektrycznego, F  siła elektryczna (prawo Coulomba),
q ładunek próbny (dodatni).
Z prawa Coulomba otrzymamy pole elektryczne ładunku punktowego (w
pró\
ni):
r
1 q1 q2 Ć 1 q1 q2 r
F = r = r
, (1.1.2)
4Ą �0 r 4Ą �0 r2
�0
gdzie: - przenikalność elektryczna pró\
ni, r odległość między ładunkami, a
pozostałe wielkości opisano na rysunku 1.1.
Rys 1.1 Siły działające między dwoma ładunkami. Prawo Coulomba.
Pola elektryczne wypełnia zasadę superpozycji  natę\
enia pól elektrycznych
dodaję się wektorowo. Je\
eli mamy wiele ładunków, to całkowite pole
elektryczne jest równe:
1
r r r r r
E = E1 + E2 + E3 +K =
"Ei
(1.1.3).
i
gdzie Ei - natę\
enie ładunku punktowego dane jest przez równania 1.1.1 i 1.1.2.
Równie 1.3 mo\
emy zastosować równie\
do obliczenie natę\
enia pola
elektrycznego wytwarzanego przez nieskończoną ilość, nieskończenie małych
ładunków, modyfikując je odpowiednio. Pole elektryczne zdefiniowane jest
wówczas przez całkę (sumę nieskończonej liczby nieskończenie małych
elementów):
r
1 �
3
Ć Ć
E = rd r
+" 2 (1.1.4).
4Ą �0 r
Na koniec, natę\
enie pola elektrycznego związane jest z potencjałem
zale\
nością:
r
E = -grad Ć(r) = -"Ć(r)
, (1.1.5).
Natę\
enie pola elektryczne jest przeciwnie skierowane do gradientu potencjału
skalarnego pola elektrycznego.
1.2 Indukcja pola elektrycznego oraz przenikalność elektryczna ośrodka
Jak będzie wyglądało pole elektryczne w ośrodku ró\
nym od pró\
ni: w cieczach,
gazach, czy ciałach stałych, czyli ośrodkach charakteryzujących się ró\
ną od
jedności względną przenikalnością elektryczną? Musimy prowadzić nową
wielkość. Pole elektryczne definiujemy w takich ośrodkach poprzez wektor
indukcji pola elektrycznego D w sposób następujący:
r r
D = � E
, (1.2.1).
gdzie: D  wektor indukcji pola elektrycznego, E  wektor natę\
enia pola
�
elektrycznego, - przenikalność elektryczna ośrodka.
�
Przenikalność elektryczna ośrodka jest skalarem w ośrodku izotropowym,
czyli takim, którego własności elektryczne są takie same niezale\
nie od kąta w
jakim dokonujemy pomiary. Oznacza to, \
e w ośrodku izotropowym wektory D
i E są do siebie równoległe. W ośrodku anizotropowym, którego własności
elektryczne zale\
ą od kąta, w którym dokonuje się pomiarów, przenikalność
�
elektryczna ośrodka jest tensorem 2-go rzędu (macierzą dwuwymiarową), a
wektory D i E przestają być równoległe.
Przykład bryły izotropowej: kula.
2
Przykład bryły anizotropowej: sześcian, ogólnie ka\
da bryła nie będąca kulą
(sferą).
Przenikalność elektryczna ośrodka definiujemy jako iloczyn
� = �0 �
(1.2.2)
r
�0
gdzie: - przenikalność elektryczna pró\
ni, fundamentalna stała przyrody
�
Względna przenikalność elektryczna ośrodka (stała bezwymiarowa) określa
r
ile razy przenikalność danego ośrodka � jest większa od przenikalności
�0
elektrycznej pró\
ni .
�
�r =
(1.2.2a)
�0
Dla pró\
ni �r =1 . Względna przenikalność elektryczna zale\
y od budowy
cząstek (molekuł) tworzących materiał. Mo\
e być skalarem lub tensorem rzędu
2-go. W zmiennym polu elektrycznym względna przenikalność elektryczna jest
funkcją częstotliwości zmian pola elektrycznego. Dla stałego pola elektrycznego
mamy do czynienia ze stała przenikalnością statyczną. Ze względu na własności
elektryczne materiały dzielimy ją na trzy rodzaje: dielektryki, paraelektryki i
ferroelektryki. Wartości względnej przenikalności elektrycznej dla niektórych
materiałów podano w tabeli 1.
Tabela 1 Wartości względnej przenikalności elektrycznej dla kilku wybranych
materiałów.
ośrodek
�
przenikalność
r
elektryczna
1
pró\
nia
1.00056
powietrze
5,5 10
diament
11,68
krzem (Si)
30
alkohol metylowy (CH3OH)
27
alkohol etylowy (C2H5OH)
80  88
woda (H2O) (temp. 00 - 200 C)
ferroelektryki > 1000
Warto tu przypomnieć związek między elektrycznymi i magnetycznym
własnościami pró\
ni a prędkością światła:
3
1
c =
, (1.2.3)
�0 �0
gdzie: �0  podatność elektryczna, �0  podatność magnetyczna pró\
ni.
Przenikalność elektryczna poprzez indukcję elektryczną D określa odpowiedz

ośrodka (materiału) na przyło\
one zewnętrzne pole elektryczne E.
Przyło\
one pole elektryczne oddziałuje na ośrodek dwojako. Ośrodek wpływa
na oddziaływanie, modyfikując je w istotny sposób, ale te\
pole elektryczne
oddziałuje na ośrodek (zjawisko polaryzacji polaryzacja elektrycznej ośrodka).
Widać to w prędkości światła. W ośrodku o określonej podatności elektryczne i
magnetyczne, wynosi:
1
c =
, (1.2.4)
� �
gdzie: � to podatność elektryczna ośrodka, � podatność magnetyczna ośrodka.
Prędkość światła w ośrodku jest ró\
na (ni\
sza) od prędkości światłą w pró\
ni.
Materiał wpływa na propagację fali elektromagnetycznej (światła). Zmienia
(obni\
a) prędkość światła.
4
2. Prawo Gaussa
Carl Friedrich Gauss (1777 - 1855)
Prawo Gaussa stosujemy dla pola grawitacyjnego oraz pola elektrycznego. Ma
ono analogiczną postać w przypadku obu tych pól, jak\
e przecie\
ró\
nych, W
fizyce (i matematyce) prawo Gaussa definiuje związek strumieniem pola
grawitacyjnego, pola elektrycznego, przechodzącego przez dowolną
powierzchnię zamkniętą, a masą, odpowiednio ładunkiem, zamkniętym
wewnątrz tej powierzchni.
Strumień pola elektrycznego, w ośrodku o przenikalności elektrycznej ośrodka
� , definiujemy następująco:
r r r r
ŚE = E �" A = E �" Acos < (E , A)
(2.1a).
gdy powierzchnia jest płaska i tworzy stały kąt ze z natę\
eniem (patrz rys. 2.1).
W przypadku dowolnej powierzchni (zakrzywionej) strumień definiujemy jako
nieskończoną sumę nieskończenie małych przyczynków (ró\
niczek) strumienia
(patrz rys. 2.1):
r r r r
1
ŚE = dA =
+"E +"D dA (2.1b).
�
A A
ŚE
gdzie: - strumień pola elektrycznego, D, E  wektory pola elektrycznego, A
powierzchnia zamknięta.
5
Rys 2.1 Strumień pola elektrycznego
Prawo Gaussa:
(postać całkowa prawa Gaussa)
r r
1 Q
ŚE = dA =
+"E +"� (r)dV = �
(2.2).
�
A V
gdzie: A  powierzchnia obejmująca objętość V.
Strumień pola elektrycznego przechodzącego przez dowolną powierzchnię
zamkniętą jest proporcjonalny do całkowitego ładunku elektrycznego
zamkniętego przez tą powierzchnię. Inaczej mówiąc, prawo Gaussa głosi, \
e
pole elektryczne jest polem z
ródłowym. Istnieją ładunki elektryczne, które
wytwarzają pole elektryczne.
Prawo Gaussa:
(postać ró\
niczkowa prawa Gaussa)
r
div D = � (r)
lub
r (2.3).
� (r)
div E =
�0 �
gdzie � jest to gęstość ładunku [C/m3]
6
Pole elektryczne jest polem z
ródłowym. Postać prawa Gaussa, czy to całkowa,
czy ró\
niczkowa, są sobie równowa\
ne. Przejście między nimi umo\
liwia
twierdzenie Gaussa  Ostrogradzkiego.
*********************************
Dodatek matematyczny
Twierdzenie Gaussa  Ostrogradskiego
r r r
+"div F dV = +"F dA
(2.4).
V "V
*********************************
W pró\
ni prawo Gaussa będzie wyglądało następująco:
� (r)
div E =
(2.5).
�0
Jeszcze raz prawo Gaussa, czyli I prawo Maxwella.
r r
+"D dA = Q
A
r
(2.6).
div D = �
postać całkowa i ró\
niczkowa.
Prawo Gaussa stosuje się nie tylko do pola elektrycznego. Jest prawdziwe dla
ka\
dego pola, którego natę\
enie zmienia się jak odwrotność kwadratu odległości
~1/r2. Obowiązuje równie\
np. dla pola grawitacyjnego, dla intensywności
promieniowania.
Zadanie: wykazać, \
e prawo Coulomba wynika z prawa Gaussa (patrz rys. 2.2)
Rys. 2.2 Strumień pola elektrycznego dla ładunku punktowego
7
Prawo Gaussa definiuje pole elektryczne jako pole z
ródłowe. Ale wiemy, \
e
natę\
enie pola elektrycznego związane jest potencjałem skalarnym równaniem
1.1.5. Podstawiając to do prawa Gaussa otrzymamy:
�
div(gradĆ) = " �" ("Ć) =
(2.7).
�
Równanie to mo\
emy zapisać:
�
"2Ć =
(2.8),
�
nosi ono nazwę równania Poissona. Jest to równanie ró\
niczkowe rzędu
drugiego. W ogólnym przypadku jest ono trudne do rozwiązania.
Jednak\
e, gdy w ośrodku nie ma ładunków elektrycznych, np. w pró\
ni,
równanie 2.7 upraszcza się:
"2Ć = 0
(2.9),
równanie to nosi nazwę równania Laplace a.
Opisuje ono pole elektryczne w pró\
ni, bez ładunków punktowych.
Zadanie:
Korzystając z prawa Gaussa obliczyć pole elektryczne ładunków
rozmieszczonych na:
a) jednorodna naładowana płaszczyzna
b) naładowanego cylindra o promieniu R
8
Odpowiedz
:
� r
E = dla r < R
2�0
� R2
E = dla r e" R
2�0r
b) naładowanej kuli o promieniu R
Odpowiedz
:
Q r
E = dla r < R
4Ą�0R3
Q
E = dla r e" R
4Ą�0r2
przypadek na zewnątrz kuli jest równowa\
ny polu ładunku punktowego,
przypadek wewnątrz kuli pomo\
e rozwiązać rysunek:
d) dwóch naładowanych, równoległych płaszczyzn
9
3. II równanie Maxwella
Praca wykonana przy przesunięciu ładunku między dwoma punktami wynosi:
r r r r
r2 r2
W (r1 r2) = F dl = q1 r1 E dl
, (3.1),
+" +"
r1
Pole elektryczne jest polem zachowawczym. Praca wykonana po dowolnej
drodze zamkniętej równa się zero.
r r
(3.2),
+"dW = +"E dl = 0 ,
Skorzystamy tutaj z twierdzenia Stokes a.
*********************************
Dodatek matematyczny
Twierdzenie Stokes a
r r r
(3.3).
+"rot F dA = +"F dl
A "A
*********************************
Korzystając z prawa Stokesa mamy:
r r r r
(3.4),
+"E dl =+"rotE dS = 0
L S
Otrzymujemy stąd zale\
ność (postać całkowa i ró\
niczkowa):
10
r
r
+"E dl = 0
L
r
(3.5).
rot E = 0
znaną jako II równanie Maxwella.
4. Dipol elektryczny
Dipol elektryczny: układ dwóch ładunków: +q i  q odległych o stałą odległość d.
Rys. 3.1 Dipol elektryczny
Moment dipolowy cząsteczki jest zdefiniowany jako:
r
r
p = q d
, (4.1),
Na rys 4.2 przedstawiono powierzchnie ekwipotencjalne, czyli potencjał
skalarny dipola elektrycznego.
Pole elektryczne dipola elektrycznego konstruuje się jak suma (wektorowa) pól
elektrycznych pochodzących od ładunku dodatniego q i ujemnego -q.
A
atwiej jednak jest wyznaczyć skalarny potencjał dipola, który jest sumą
(algebraiczną) potencjałów skaranych pochodzących od dodatniego i ujemnego
ładunku (patrz rys. 4.2).
11
Rys. 4.2 Obliczanie potencjału skalarnego dipola elektrycznego
Potencjał w punkcie P wynosi:
q 1 1 q r- - r+
Ć = ( - ) =
(4.2),
4Ą�0 r+ r- 4Ą�0 r+ r- ,
Interesujące wynik otrzymujemy, gdy r >> wówczas. Stosujemy przybli\
enie:
r- - r+ H" d cos� , r-r+ H" r2
, (4.3).
Potencjał dipola elektrycznego zapisujemy następująco:
r
Ć
q d cos� 1 p r
Ć(r) = =
(4.4).
4Ą�0 r2 4Ą�0 r2 ,
Obliczeń dokonano w pró\
ni. W przypadku dipola elektrycznego w ośrodku
nale\
y zmodyfikować wzór 4.4, uwzględniając względną przenikalność
elektryczną ośrodka.
Mając dany potencjał skalarny dipola elektrycznego mo\
emy obliczyć pole
elektryczne na podstawie wzoru 1.1.5:
r r
r
Ć Ć
1 (3( p�" r)r - p)
E(r) = -"Ć(r) =
, (4.4).
4Ą�0 r3
Jest to znany wzór na pole elektryczne dipola elektrycznego.
12
W przypadku, gdy oś Z skierowana jest wzdłu\
osi dipola elektrycznego,
składowa z  owa pola elektrycznego jest równa:
p (3(cos� )2 -1)
Ez=
, (4.4).
4Ą�0 r3
4.1 Oddziaływanie dipola z polem elektrycznym
Umieszczenie dipola elektrycznego o momencie dipolowym p w polu
elektrycznym o natę\
eniu E, powoduje, \
e na dipol zaczyna działać moment siły:
r r
r
M = p � E
, (4.1.1).
Moment siły działający na dipol będzie obracał dipol ustawiając go równolegle
do linii natę\
enia pola elektrycznego, gdy\
w takim poło\
eniu dipol elektryczny
minimalizuje swoją energię potencjalną równą:
r
r
U = - p �" E
, (4.1.2).
Dipol elektryczny m maksymalną energię, gdy dipol jest antyrównoległy do E.
Pole elektryczne działa porządkująco na zbiór chaotycznie skierowanych dipoli
elektrycznych.
4.2 Wektor indukcji pola elektrycznego
Wektor indukcji pola elektrycznego, równie\
określany jako wektor
przesunięcia, jest zdefiniowany jako:
r r r
D = �0 E + P
(4.2.1).
gdzie: P  wektor polaryzacji. Jest on wprost proporcjonalny do natę\
enia pola
elektrycznego, co zapisujemy następująco:
r r
P = �0 � E
(4.2.2).
Po podstawieniu o wzoru 4.2.1 otrzymamy zale\
ność opisującą wartość indukcji
pola elektrycznego:
13
r r r r r
D = �0 E + P = �0 (1 + �) E = �0 � E
(4.2.3).
Współczynnik � = 1+ � nazywamy względną przenikalnością elektryczną
dielektryka, zaś współczynnik � nazywany jest podatnością elektryczną
dielektryka.
4.3 Własności materii a pole elektryczne
Materię dzielimy, ze względu na to jak reaguje na przyło\
one zewnętrzne pole
elektryczne, na dwie główne grupy:
" dielektryki (� e"1 ),
" paraelektryki (� >1 ),
" ferroelektryki( � >>1 ).
To, do jakiej grupy przynale\
y konkretny materiał, zale\
y od jego budowy
molekularnej. W ogólnym przypadku przenikalność elektryczna � jest macierzą
(tensorem drugiego rzędu). Pomiar przenikalności elektrycznej materiału
dostarcza informacji o strukturze cząstek tworzących tą materię.
Tablica Przykładowe wartości przenikalności elektrycznej
Dielektryki Paraelektryki
� �
~81
He 1.00007 woda (H2O)
27
H2 1.00027 etanol (C2H5OH)
N2 1.00058
Dielektryki tworzą materiały, zbudowane z cząsteczek niepolarnych, czyli
cząsteczek, które nie posiadają trwałych elektrycznych momentów dipolowych.
Obecności pola elektrycznego powoduje indukowanie momentu dipolowego,
poprzez przesunięcie środków cię\
kości ładunków dodatnich i ujemnych.
Zjawisko to nosi nazwę polaryzacji elektronowej. Pole elektryczne porządkuje
jednocześnie dipole elektryczne zgodnie z zwrotem pola (wzory 4.1.1 oraz
4.1.2). Jest to polaryzacja kierunkowa.
Cząstki niepolarne to cząstki o budowie symetrycznej, jak: H2, N2, O2, czy gazy
szlachetne. Paraelektryki to materiały, których cząsteczki posiadają trwały
elektryczny moment dipolowy równie\
w nieobecności pola elektrycznego. Są
to tzw. cząstki polarne. Doskonałym przykładem jest cząsteczka wody (H2O)
(patrz rys. 4.3). W nieobecności zewnętrznego pola elektrycznego paraelektryki
nie wykazują pola elektrycznego, poniewa\
dipole elektryczne są zorientowane
w sposób przypadkowy, chaotyczny, i pola dipoli wzajemnie się znoszą.
14
Znamy tak\
e inne rodzaje polaryzacji: jonowa, atomowa ale nie będzie się o
nich rozwodzić, zostawiając to specjalistom.
Rys. 4.3 Cząsteczka wody
Rysunek 4.3 ukazuje budowę cząsteczki wody. Między tlenem (O) a wodorami
(H) występują wiązania wodorowe. Bardzo wa\
ne dla własności wody są
odległości i kąt jaki tworzą jony odoru. Cząstka wody posiada moment
dipolowy. Jest to cząstka polarna. Pole elektryczne działając na cząsteczki
polarne porządkuje uło\
enie dipoli elektrycznych (polaryzacja kierunkowa albo
orientacyjna). Własności elektryczne istotnie wpływają na inne własności
materii. Widać to wyraz
nie na przykładzie wody (patrz rys 4.4). Taka budowa
determinuje niezwykłe własności wody np.: punkt potrójny (w 0.010 C przy
ciśnieniu normalnym) czy anomalna rozszerzalność wody.
Rys. 4.4 Wiązania cząsteczek wody
15
Anomalna rozszerzalność wody - zmniejszanie się objętości wody (i wzrost
gęstości wody) w miarę wzrostu temperatury w przedziale od 00 do 40 Celsjusza.
Oznacza to, \
e lód jest l\
ejszy od wody. Przyczyna dla której kostka lodu nie
tonie w szklance a zbiorniki wodne nie zamarzną do samego dna nawet podczas
największych mrozów.
Trzeci rodzaj materii: ferroelektryki, są materiały wykazujące pole elektryczne
w nieobecności zewnętrznego pola elektrycznego. Charakterystyczną cechą
ferroelektryków jest struktura domenowa, co powoduje np. występowanie
histerezy elektrycznej podobnie jak histerezę magnetyczną obserwujemy dla
ferromagnetyków. Analogicznie, w przypadku pola magnetycznego materię
dzielimy na diamagnetyki, paramagnetyki, ferromagnetyki.
16