Wykład 13.
Elektryczność i magnetyzm. Prąd elektryczny
1. Energia pola elektrycznego
Pole elektryczne zawiera w sobie energię. A
atwo to wykazać na podstawie
r
Ć(r )
poprzednich rozwa\
ań. A
adunek q umieszczony w miejscu o potencjale
U (r) = qĆ(r)
posada energię potencjalną równą . Praca niezbędna do
przemieszczenia ładunku między dwoma punktami o ró\
nicy potencjałów
"Ć(r)
jest równa:
W (r1 r2) = q"Ć = q(Ć(r1) -Ć(r2))
(1.1),
Przypadek dwóch ładunków jest prosty. Mo\
na uogólnić to na przypadek N
ładunków punktowych, ka\
dy qi umieszczony w punkcie ri. Energia potencjalna
takiego układu ładunków jest równa:
N
1
U = V (ri )
(1.2).
"qi
2
i
V (r) = Ć(r)
gdzie potencjał oznaczam tutaj konwencjonalnie przez . Czynnik �
występuj we wzorze 1.2, poniewa\
dwukrotnie sumujemy po ka\
dym ładunku.
W przypadku, gdy ładunków jest bardzo du\
o, gdy mamy ciągły a nie dyskretny
rozkład ładunków, energia potencjalna jest określona przez zale\
ność:
1
U = �(r)V (r)d3r
(1.3),
+"
2
�(r)
gdzie to gęstość ładunku, V(r)  potencjał pola elektrycznego w punkcie r,
a całkowanie odbywa się po całej przestrzeni.
Korzystając z prawa Gaussa:
r r
� (r)
div E = " E =
(1.4),
�
mo\
na wykazać, \
e energia potencjalna ciągłego układu ładunków wynosi:
r
2
1
3
U = � E d r
(1.5),
+"
2
1
przypominam  całkujemy po całej przestrzeni.
Wielkość występującą pod całką nazywamy gęstością energii pola
elektrycznego (energia na jednostkę objętości):
r
2
1
w = � E
(1.5).
2
2. Prąd elektryczny
W pewnej grupie materiałów, zwanych przewodnikami, przyło\
one pole
elektryczne wywołuje przepływ elektronów, zgodnie z ró\
nicą potencjałów
(przyło\
onym napięciem). Zjawisko to opisuje prawo Ohma:
U = I �" R (2.1).
U  napięcie (ró\
nica potencjałów) [V - volt], I  natę\
enie prądu [A - amper],
R  stała, opór w jednostkach [&! - ohm]
Przykład
Układ zmiennoprądowy z kondensatorem. Schemat układu pokazuje rysunek.
y
ródło jest zmiennoprądowe
Odpowiedz
układy (opornika, rezystora) jest następująca:
2
Napięcie i natę\
enie prądu płynącego obwodzie są zgodne w fazie. Zwią\
ek
między napięciem a natę\
eniem prądu podaje prawo Ohma:
U
I =
Z
gdzie Z  impedancja równa oporowi (rezystancji):
Z = R
Impedancja (opór) dla tego obwodu jest stały, nie zale\
y od kierunku prądu ani
od częstości prądu (napięcia)!
Prąd elektryczny  uporządkowany ruch ładunków. Definiujemy go poprzez
wielkość zwaną natę\
eniem prądu elektrycznego, który jest równa:
dQ
I =
(2.2),
dt
zmiana w czasie ładunku przepływającego przez powierzchnię prostopadłą do
przewodnika. W przypadku, gdy płynący prąd jest stały równanie 2.2 sprowadza
się do prostego ilorazu:
Q
I =
(2.3),
t
natę\
enie prądu jest równe ilorazowi ładunku elektrycznego, jaki przepłynął
przez powierzchnię, do czasu przepływu. W układzie SI jednostki są następujące:
1C
1 A =
(2.4),
s
Równania 2.2 i 2.3 opisują prąd elektryczny makroskopowo, jest to prąd
przepływający przez cały przekrój porzeczny przewodnika. Mikroskopowo
opiszemy prąd definiując wektor gęstości prądu:
r
r
d I
j =
(2.4a),
dS
w jednostkach [A/m2]. Natę\
enie prądu jest wektorem o wartości określonej
równaniem 2.3 (lub 2.4) a o zwrocie (i kierunku) płynącego prądu Historycznie
rzecz ujmując, kierunek prądu wyznacza ruch dodatnich ładunków. W metalach,
3
jak miedz
, aluminium, złoto, dodatnie jonu są nieruchome, a w przepływie
prądu biorą udział tylko ujemnie naładowane elektrony (płynąc w przeciwnym
kierunku). W wielu materiałach obserwujemy jednoczesny ruch dodatnich i
ujemnych ładunków np.: elektrolity. Prąd w plaz
mie to przepływ elektronów
oraz dodatnich i ujemnych jonów. Są materiały, półprzewodniki typu p, w
których prąd jest dobrze opisać jako ruch dodatnio naładowanych elektronów,
tzw.  dziur ( holes ).
Prąd elektryczny w przewodniku, opisany prawem Ohma zmienia się, gdy
zmienia się temperatura przewodnika. Dzieje się tak dlatego, i\
opór R, nie jest
stały, ale w istocie zmienia się liniowo w funkcji temperatury:
R(T ) = R0(1+ ą (T - T0))
, (2.5),
gdzie R0 to opór materiału w temperaturze T0. Nale\
y pamiętać, \
e zale\
ność 2.5
jest tylko przybli\
ona i ma ograniczony zakres stosowalności dla przewodników
jednorodnych, izotropowych i przy niewielkich wahaniach temperatur.
Dla przewodnika o długości l, przekroju poprzecznym S, jego opór R będzie
równy:
l
R = �
, (2.6),
S
gdzie � to opór właściwy [&! m] wartość charakterystyczna materiału, z którego
wykonano przewodnik.
Ze względu na opór właściwy materiały dzielimy na przewodniki,
półprzewodniki i izolatory.Wartość oporu właściwego dla kilku materiałów
przedstawia tabela.
Tabela. Oporność właściwa niektórych materiałów
� [&! m]
miedz
(Cu) 1.68 x 10-8
aluminium (Al) 2.65 x 10-8
german (Ge)* 1  500 x 10-3
węgiel, grafit (C)* 3  60 x 10-5
krzem (Si)* 0.1 - 60 x 10-3
szkła 1  10000 x 109
kwarc (SiO2) 7.5 x 1017
* - opór właściwy półprzewodników silnie zale\
y od obecności i koncentracji
domieszek. Własność wykorzystywana w fizyce ciała stałego i przemyśle
półprzewodnikowym
4
Warto zwrócić uwagę, \
e oporność właściwa dla przewodnika i izolatora ró\
nią
się między sobą o 24 rzędy wielkości! Czy istnieją materiały, których opór jest
równy zero?
Tak. Istnieją materiały, które nie mając oporu! Zjawisko nadprzewodnictwa.
Nadprzewodniki wysokotemperaturowe.
Wprowadzają przewodność właściwą, jako odwrotność oporu właściwego
1
� =
, oraz pamiętając, \
e U = El, zaś gęstość prądu j=I/S otrzymamy
�
zale\
ność:
r
r
j = � �" E
, (2.7),
lub
r
r
E = � �" j
, (2.7a).
Jest to ró\
niczkowa (mikroskopowa) postać prawa Ohma. Mówi ona, \
e gęstość
prądu (pole elektryczne) jest proporcjonalna do pola elektrycznego (gęstości
prądu) a współczynnikiem proporcjonalności jest opór (przewodność) właściwy.
� �
W materiałach anizotropowych zarówno jak i są tensorami (macierzami).
2.1 Praca i moc prądu
Opornik o oporze R przekształca energię elektryczną na ciepło. Praca wykonana
przy przesunięciu ładunku dq przy napięci U wynosi:
dW = U �" dq = U �" I dt
, (2.8).
Całkowita praca wykonana w czasie t będzie równa:
t t
W = dW = U �" I dt = U �" I �" t
, (2.9).
+" +"
0 0
Praca ta zamienia się w ciepło. Jest to ciepło Joula  Lentza. Moc prądu wynosi:
dW
P = = U �" I
, (2.9).
dt
5
Jednostką pracy (ciepła) jest 1J (Joul), jednostką mocy jest Wat (kilowat kW,
gigawat GW), 1 W= 1 J/s = 1 V A.
2.2 U\
yteczne prawa i zale\
ności
Zazwyczaj mamy do czynienia z mniej lub bardziej skomplikowaną siecią
elementów elektrycznych (oporników i innych). Do obliczeń sieci u\
yteczne są
dwa prawa Kirchoffa.
I prawo Kirchoffa:
N
= 0
(2.2.1),
"Ii
i
suma prądow wpływających i wypływających z węzła sieci jest równa zero.
II prawo Kirchoffa:
+ �" Ri = 0
(2.2.2),
"�i "Ii
W oczku sieci suma sił elektromotorycznych i spadków napięć jest równa zero
(zasada zachowania energii)
Związek między siłą elektromotoryczną z
ródła prądu a napięciem U i
natę\
eniem I jest następujący
U = � - I �" Rw
(2.2.3),
gdzie Rw  opór wewnętrzny z
ródła.
W wielu sieciach mamy do czynienia z wieloma opornikami połączonymi
równolegle lub (i) szeregowo. Często musimy znalez
ć oporność zastępczą
układu szeregowo lub równolegle połączonych oporników.
A
ączenie szeregowe oporników
Opór zastępczy układu N szeregowo połączonych oporników jest równy:
N
R =
(2.2.4),
"Ri
i
A
ączenie równolegle oporników
6
Opór zastępczy układu N równolegle połączonych oporników jest równy:
N
1 1
=
(2.2.5),
"
R Ri
i
3. Kondensatory
Najprostszy przykład kondensatora  przykład kondensatora płaskiego pokazuje
rys. 3.1
Rys. 3.1 Kondensator płaski
Podłączona bateria transportuje ładunki z jednej płyty kondensatora na drugą,
dopóki napięcie między płytami kondensatora nie zrówna się z napięciem baterii.
Parametr charakteryzujący kondensator to pojemność kondensatora:
Q
C =
(2.2.5),
U
Jednostki 1 F  Farad = 1 Coulomb/ V
Kondensatory magazynują energię w postaci pola elektrycznego. Praca przy
umieszczeniu ładunku dq na kondensatorze o napięciu U wynosi:
dW = U dq = CU dU
(2.2.6),
Dlatego energia naładowania kondensatora o pojemności C i napięciu U jest
równa:
7
U
1 1 Q2
2
E = C U dU = CU = QU =
(2.2.7),
+"
0
2 2 2C
Energia kondensatora jest równa pracy wykonanej przy ładowaniu kondensatora.
Przykład:
1. Kondensator płaski (rys. 3.1) o powierzchni okładek S, odległych o d,
�
wypełniony dielektrykiem dielektrykiem ma pojemność:
S
C = �0�
(2.2.5),
d
2. Kondensator kulisty (rys. 3.1) o promieniach R1 i R2, wypełniony
�
dielektrykiem dielektrykiem ma pojemność:
R1R2
C = 4Ą�0�
(2.2.5),
R1 - R2
A
ączenie równoległe kondensatorów:
Pojemność zastępcza układu N równolegle połączonych kondensatorów jest
równa:
N
C =
(2.2.4),
"Ci
i
A
ączenie szeregowe oporników
Opór zastępczy układu N szeregowo połączonych oporników jest równy:
N
1 1
=
(2.2.5),
"
C Ci
i
8
3.1 Układ z kondensatorem
Rozpatrzmy układ składający się ze z
ródła (zmienne napięcie) i kondensatora
(patrz rysunek).
Odpowiedz
kondensatora jest następująca:
Napięcie jest przesunięte w fazie o 900 w stosunku do natę\
eni prądu. Związek
między napięciem a natę\
eniem prądu jest następujący:
U
I =
(2.1).
XC
gdzie XC  impedancja równa:
1
XC =
(2.1).
�C
Dla tego obwodu impedancja jest funkcją częstości, nie jest stała!
9