Wykład 11. Elektrostatyka.
1. Prawo Coulomba
Elektromagnetyzm, jedno fundamentalnych 4 z fundamentalnych oddziaływań
występujących w przyrodzie
Rys. 1.1 Fundamentalne oddziaływania, przegląd: siła, zasięg, gdzie dominują.
Rys 1.2 Siły działające między dwoma ładunkami. Prawo Coulomba.
Wez
my dwa ładunki q1, q2 odległe od siebie o r (patrz rysunek 1.2)
r
q1 q2 q1 q2 r
Ć
F = k r = k r
(1.1)
2
r r3 ,
1
gdzie k, w układzie SI (w pró\
ni):
2
�ł łł
1 N m2
k = = 8.988 x109 �ł 2 śł
(1.2)
4Ą �0 C
�ł �ł
stała Coulomba.
W pró\
ni postać prawo Coulomba przyjmie postać:
r
1 q1 q2 r
F = r
(1.1)
4Ą �0 r3 ,
W ośrodku ró\
nym od pró\
ni musimy uwzględnić przenikalność elektryczną
ośrodka, stąd:
� = �0 �
(1.3)
r
�0 - przenikalność elektryczna pró\
ni
� - względna przenikalność elektryczna ośrodka (stała bezwymiarowa)
r
Tabela 1 Wartości przenikalności elektrycznej dla kilku wybranych materiałów.
ośrodek
�
przenikalność elektryczna
r
1
pró\
nia
1.0006
powietrze
81
woda (H2O)
27
alkohol etyl. (C2H5OH)
Nale\
y pamiętać, o związku między elektrycznymi i magnetycznym
własnościami pró\
ni a prędkością światła:
1
c =
,
� �0
0
gdzie �0 to podatność elektryczna, �0 podatność magnetyczna pró\
ni.
Oddziaływanie elektryczne ładunków zale\
y od ośrodka, w którym ładunki się
znajdują. Ośrodek wpływa na oddziaływanie, ale te\
pole elektryczne oddziałuje
na ośrodek (polaryzacja elektryczna ośrodka)
2
2. Pole elektryczne
Pojęcie pola elektrycznego. A
adunek oddziałuje z polem wytworzonym przez
drugi ładunek a nie oddziałują bezpośrednio ze sobą.
Pole elektryczne definiuje się jako siłę na jednostkę ładunku:
r r
F = q �" E
r
r
F
(2.1)
E =
q
gdzie E  natę\
enie pola elektrycznego, F  siła z prawa Coulomba (równanie
1.1), q ładunek próbny (dodatni).
Równanie to jest prawdziwe tylko w przypadku, gdy ładunki są nieruchome
(elektrostatyka). Je\
eli ładunki się poruszają, zale\
ność między siła a
natę\
eniem pola elektrycznego opisuje prawo Lorentza.
r r r
r
F = q(E + vxB)
(2.2).
Pola elektryczne dodają się wektorowo. Je\
eli mamy wiele ładunków, to
całkowite pole elektryczne jest równe:
r r r r r
E = E1 + E2 + E3 +K =
"Ei
(2.3).
i
gdzie Ei - natę\
enie ładunku punktowego dane jest przez równania 1.1 i 2.1:
r
1 q1
Ć
E = r
2 , (2.4)
4Ą �0 r
W przypadku, gdy mamy bardzo du\
ą (praktycznie nieskończoną) liczbę
ładunków, to równanie (2.4) przyjmuje postać równania całkowego:
r
1 �
3
Ć Ć
E = rd r
(2.4a).
+" 2
4Ą �0 r
3
Rys. Pola elektryczne
Rys. 2.1 Przykłady pól wektorowych: pole ładunku ujemnego (lewy, dolny),
pole ładunku dodatniego (prawy, dolny).
Rys 2.2 Pole elektryczne otaczające ujemny i dodatni ładunek elektryczny, pole
dipola elektrycznego
Moment dipolowy:
r
r
p = q �" d
4
Rys. Potencjał dipola elektrycznego: widok 3D oraz rzut na płaszczyznę.
Kwadrupol: układ czterech ładunków punktowych. Moment kwadrupolowy
Moment kwadrupolowy (i wy\
sze momenty) odgrywają bardzo wa\
ną rolę we
własnościach dielektrycznych materiałów.
Rys. Potencjał kwadropula elektrycznego: widok 3D oraz rzut na płaszczyznę.
5
Natę\
enie pola elektrycznego spełnia prawo odwrotności kwadratu odległości
1
E H" , patrz rysunek
2
r
Rys. 2.3 Pole elektryczne spełnia prawo odwrotności kwadratu odległości.
Inne wielkości spełniające tę zale\
ność: pole grawitacyjne, natę\
enie
promieniowania.
2. A
adunek elektryczny.
Atomy, cząsteczki zbudowane są z elektronów, protonów i neutronów; dwa
ostatnie, zwane nukleonami, tworzą jądro atomowe. Elektrony, protony oraz
neutrony posiadają następujące ładunki elektryczne:
qe = -(1.60217733 ą 0.00000049) x10-19 [C]
qp = +(1.60217733 ą 0.00000049) x10-19 [C] (2.1)
qn = -0.4 ą1.1 x10-21 x qe
A
adunki protonu i elektronu są sobie równe, w granicy błędu pomiarowego. Dla
wygody definiujemy ładunek elementarny (ujemny) e = qe = -qp :
e = -1.602 x10-19 [C]
(2.2)
Ka\
dy ładunek elektryczny, z którym mamy do czynienia jest całkowitą
wielokrotnością ładunku elementarnego.
6
Rys. 2.4 Neutron i proton  budowa nukleonów.
Masa neutronu jest o około 0.2 % większa od masy protonu. Odpowiada to
energii 1.29 MeV. Proton jest  wieczny . Wolny neutron ma czas \
ycia 10.3
minuty. Ale w jądrze atomu jest stabilny. Kanał rozpadu neutronu pokazano
poni\
ej. Jest to przykład  słabego oddziaływania
Rys. Rozpad neutronu
Rozpad protonu skojarzmy jest z przekształceniem kwarku d w kwark u. Czy
proton mo\
e zamienić się w neutron? Tak, ale nale\
y dostarczyć energię 1.29
MeV. Bardzo krótko po Wielkim Wybuchu (Big Bang), kiedy energia termiczna
była o większa od tej wartości, przejścia n <-> p zachodziły w obu kierunkach, a
ilość n i p była jednakowa.
Przykład: w naszych gniazdkach mamy napięcie U = 220 [V], je\
eli
podłączymy do niego urządzenie o mocy 220 [W], np. bardzo mocną \
arówkę,
to przez to urządzenie popłynie prąd 1 [A]. 1 [C] (Coulomb) to ładunek, jakie
przepływa przez to urządzenie w ciągu 1 s!
7
3. Potencjał pola elektrostatycznego.
Pole elektryczne jest polem wektorowym (rys. 2.1, 2.2) ale równie\
polem
skalarnym.
Pole elektryczne jest polem zachowawczym  praca wykonana przez pole
elektryczne nie zale\
y od drogi, lecz od poło\
eń punktu początkowego i
końcowego. Dlatego praca wykonana dla drogi zamkniętej jest równa zero.
r r
r r
(3.1)
+"F dr = q+"E dr = 0 ,
Równanie 3.1 jest prawdziwe dla ka\
dego pola zachowawczego (np. pola
grawitacyjne). Je\
eli pole jest polem zachowawczym, to znaczy, \
e dla takiego
pola istnieje potencjał i energia potencjalna.
r r
Energię potencjalną w punkcie r , czyli U (r) definiujemy jako:
r r r
" " r
r r r r
U (r ) = F dr = q E dr = -q E dr
, (3.2),
+" +" +"
r r "
jest to praca wykonaną przez siły zewnętrzne przy przenoszeniu ładunku
r
punktowego q z nieskończoności do punktu r .
Przykład: dla dwóch ładunków punktowych odległych o r, energia potencjalna
takiego układu ładunków wynosi:
r r
" "
r r r 1 q1 q2
U (r ) = F dr = q1 r E dr =
, (3.3),
+" +"
r
4Ą �0 r
Praca wykonana przez siły pola przy przesunięciu ładunki z r1 do r2 wynosi:
r r r
r2 " r2
r r r r r
W (r1 r2 ) = F dr = F dr - F dr = U (r1) -U (r2 )
(3.4),
+" +" +"
r1 r1 "
i jest równa ró\
nicy energii potencjalnej w tych punktach.
Ogólna zale\
ność między siłą a energią potencjalną jest następująca:
r
F = -gradU (r) = -"U (r)
, (3.5);
Operator ró\
niczkowy " , zwany operatorem Hamiltona albo operatorem nabla1,
w układzie współrzędnych kartezjańskich [x, y, z] ma szczególnie prostą postać:
1
nabla z semickiego  harfa, przypomina staroegipską harfę
8
�ł " " " łł
" = , ,
�ł"x "y "z śł (3.6).
�ł �ł
w układzie sferycznym [r,�,�] wygląda tak:
�ł " 1 " 1 " łł
" = , ,
�ł"r r "� r sin� "� śł (3.7).
�ł �ł
Mo\
na go traktować jako wektor.
Działanie operatora gradientu na pole skalarne przedstawia rys. 3.1
Rys. 3.1 Pole skalarne zaznaczono przez czerń (wysoka wartość) i biel (niska
wartość). Gradient  niebieskie strzałki wskazują wysokie wartości pola
skalarnego.
Wzór ten się znacząco upraszcza, gdy siła zale\
y tylko od odległości między
oddziałującymi punktami, a nie zale\
y od kątów, a tak jest np. w przypadku siły
Coulomba. Nale\
y zwrócić uwagę, \
e prawo Coulomba jest napisane w układzie
r
r
sferycznym! Siła F(r ) zale\
y tylko od r. Stosują postać operatora Hamiltona z
równania 3.7 do równania 3.5 otrzymamy zale\
ność:
r
dU (r)
Ć
F = - r
, (3.8);
dr
9
Równanie to jest uproszczoną wersją równania 3.5, prawdziwą jedynie dla pól
sferycznie symetrycznych, takich jak pole ładunku punktowego. Pozwala ono
policzyć siłę działającą na ładunek umieszczony w punkcie o energii
potencjalnej U(r). Je\
eli znamy siłę, a chcemy obliczyć energię potencjalną
posłu\
ymy się zale\
nością wynikającą z równania 3.4:
r
r2
r
U (r1) -U (r2 ) = F dr
(3.9),
+"
r1
Równania 3.4  3.8 są słuszne dla ka\
dego pola zachowawczego, np. pola
elektrycznego, pola grawitacyjnego.
r
Potencjał Ć(r ) jest to energia potencjalna przypadająca na jednostkowy ładunek.
Związek między potencjałem potencjałów energią potencjalną jest oczywisty:
U (r)
Ć(r) =
(3.10),
q
Ró\
nica potencjałów w dwóch punktach jest zatem równa:
U (r1) -U (r2 ) W (r1 r2 )
"Ć = Ć(r1) -Ć(r2 ) = =
(3.11),
q q
i jest nazywana napięciem. W układzie SI jednostką napięcia jest 1 V [volt].
Podstawiając do równania 3.11 definicję energii potencjalnej (równ. 3.4)
otrzymamy potencjał będzie określony przez zale\
ność:
r r
" r
r r r
Ć(r ) = E dr = - E dr
, (3.12).
+" +"
r "
Równanie 3.12 jest równaniem całkowym. Związek między potencjałem a
wektorem natę\
enia pola elektrycznego mo\
na równie\
przedstawić w postaci
równania ró\
niczkowego, analogicznego do równ. 3.5:
r
E = -gradĆ(r) = -"Ć(r)
, (3.4).
Przykład: dla ładunku punktowego q potencjał wyniesie:
r
"
r r 1 q
Ć(r ) = E dr =
(3.5).
+"
r
4Ą �0 r
10
Wielkościami charakteryzującymi pole oraz związki między nim i zebrano w
tabeli 1. Związki te są analogiczne dla związków pola grawitacyjnego.
Przykład: dla ładunku punktowego powierzchnie ekwipotencjalne to zbiór
współśrodkowych sfer w środku, których znajduje się ładunek punktowy.
Przedstawiono to na rys. 3.2.
Rys. 3.2 Pole ładunku punktowego, powierzchnia ekwipotencjalna oraz pole
wektorowe.
Powierzchnie ekwipotencjalne  powierzchnie stałego potencjału, spełniające
r
Ć(r ) = const
równanie Praca przy przesunięciu ładunku na pow.
ekwipotencjalnej = 0!
Praca wykonana przy przesunięciu ładunku między ró\
nymi powierzchniami
ekwipotencjalnymi jest ró\
na od zera!
Zadanie: Jakie powierzchnie ekwipotencjalne ma nieskończona, jednorodnie
naładowana nić?
Związki między polem a własnościami ładunków, między wielkościami
wektorowymi oraz wielkościami skalarnymi ukazuje poni\
sza tabelka.
11
Tabela 1. Związki między wielkościami charakteryzującymi pole elektryczne.
własności powiązania własności pola
ładunków
r r
wielkości siła: pole elektryczne
F = qE
r r
wektorowe 1 q1 q2 1 q1
Ć Ć
F = r E = r
2
4Ą �0 r2 4Ą �0 r
r r
związki między
F = -"U (r)
E = -"Ć(r)
nimi
wielkości skalarne energia potencjał;
potencjalna: r 1 q
U (r) = qĆ(r)
Ć(r ) =
1 q1 q2
4Ą �0 r
U (r) =
4Ą �0 r
12