MECHANIKA TECHNICZNA
kierunek: ENERGETYKA
Wykład 11
Opracowano na podstawie książki: Brzoska Z. Wytrzymałość materiałów
Rysunki i wybrane zadania są wzięte z tej książki
Treść wykładu dotyczy następujących zagadnień:
- rozciąganie i ściskanie pręta,
- wyboczenie pręta ściskanego,
- naprężenia dopuszczalne,
- warunki wytrzymałościowe.
Rozciąganie i ściskanie pręta
Rozciąganie lub ściskanie elementu konstrukcyjnego następuje pod wpływem
siły wewnętrznej wzdłużnej nazywanej siłą normalną.
N - siła normalna (wzdłużna)  skierowana prostopadle do przekroju
(wzdłuż osi x) wywołuje rozciąganie lub ściskanie elementu; siła jest dodatnia
(+N) gdy wywołuje rozciąganie, tj. mająca zwrot od przekroju i ujemna (-N)
gdy wywołuje ściskanie, tj. mająca zwrot do przekroju,
N  siły normalne
Rys. 11.1
W przekrojach prostopadłych do osi pręta wystąpią naprężenia normalne � .
Naprężenie normalne - � (sigma)  kierunek prostopadły do przekroju
Jednostka naprężenia w układzie jednostek SI:
1N m 1
1Pa = =1kg � � = kg � m-1 � s-2
m2 s2 m2
lub wielokrotność
1
1 MPa = 103 kPa = 106 Pa.
Podczas rozciągania (ściskania) elementu konstrukcyjnego naprężenia w
punktach przekroju prostopadłego do osi pręta są obliczane jako iloraz siły
wewnętrznej normalnej do przekroju i przekroju
N
� = ,
=
=
=
A
gdzie: N  wewnętrzna siła normalna, A  przekrój pręta.
Sens fizyczny naprężenia � : jest to wartość siły działającej prostopadle do
jednostkowego pola przekroju, np. 1m2, cm2, mm2.
Odkształcenie względne, nazywane w skrócie odkształceniem
"l
� = lim .
=
=
=
l0
lo 0



Stąd po uwzględnieniu prawa Hooke a, wydłużenie
� Fl0
"l = �l0 = l0 = .
= = =
= = =
= = =
E EA
Wykres rozciągania stali węglowej
Fprop
�prop. =
=
=
=
A0
Fe
Re =
=
=
=
A0
Fm
Rm =
=
=
=
A0
Rys. 11.2
Fprop
�prop. = - granica proporcjonalności; kres stosowalności
=
=
=
A0
prawa Hooke a.
2
Fe
Re = - granica plastyczności; podczas rozciągania odkształcenie wzrasta
=
=
=
A0
bez przyrostu naprężenia.
Fm
Rm = - doraz
na wytrzymałość na rozciąganie.
=
=
=
A0
Gdy
Re d" � d" Rm ,
d" d"
d" d"
d" d"
to dla materiałów izotropowych
"�p H" 0,5 "� ,
H"
H"
H"
oznacza to, że wówczas współczynnik Poissona wynosi � = 0,5 .
=
=
=
Właściwości mechaniczne wybranych materiałów konstrukcyjnych zawiera
poniższa tabela
W poznawanej przez nas wytrzymałości materiałów, obciążony element
konstrukcji powinien pracować w zakresie odkształceń sprężystych, tj. poniżej
�prop.. Jak wynika z krzywej rozciągania przedstawionej na rys. 10.5,
jednoznacznie jest trudno określić �prop.. Dlatego też określa się w praktyce
3
Fe, tj. siłę bez przyrostu której następuje wyraz
ny przyrost wydłużenia, lub
umowną siłę F0,2, która oznacza, że przy tej sile występuje trwałe odkształcenie
próbki równe 0,2 % . Dla tych sił określa się odpowiednio
- granicę plastyczności Re
Fe
Re = ,
=
=
=
A0
- umowną granicę plastyczności R0,2
F0,2
R0,2 = .
=
=
=
A0
Naprężenie dopuszczalne na rozciąganie kr
współczynnik bezpieczeństwa n
Z uwagi na bezpieczną eksploatację rozciąganego ( ściskanego) elementu
konstrukcji dopuszcza się w nim naprężenia dopuszczalne kr, które są
n krotnie mniejsze od granicy plastyczności R2 lub R0,2 i w niektórych
przypadkach Rm. Stąd
N Re
� = d" kr = ,
= d" =
= d" =
= d" =
A ne
Re Rm
kr = lub kr = .
= =
= =
= =
ne nm
Re Rm
kr = lub kr = .
= =
= =
= =
ne nm
n f 1  współczynnik bezpieczeństwa zależy od różnych warunków, takic jak:
dokładności z jaką jest znane obciążenie, jednorodności materiału, charakteru
obciążeń (stałe czy zmienne), warunków użytkowania, dokładności wykonania i
innych.
W rzeczywistej konstrukcji naprężenie � nie może przekraczać naprężenia
dopuszczalnego kr, czyli
N Re
� = d" kr =
= d" =
= d" =
= d" =
A ne
4
 Jest to warunek wytrzymałościowy na rozciąganie zapewniający bezpieczną
pracę konstrukcji.
Jeżeli podczas próby ściskania wyznaczymy granicę plastyczności Rec, wówczas
warunek wytrzymałościowy na ściskanie ma postać
N Rec
� = d" kc = ,
= d" =
= d" =
= d" =
A ne
gdzie: kc  naprężenie dopuszczalne na ściskanie, ne  współczynnik
bezpieczeństwa na ściskanie.
Z powyższych warunków wynika, że obliczeniom mogą podlegać Nmax 
maksymalna siła rozciągająca (ściskająca), Amin  minimalny przekrój, ne 
współczynnik bezpieczeństwa, przy której pracuje konstrukcja. Można
prowadzić obliczenia dla jednej z ww. gdy znane są dwie pozostałe.
W niektórych konstrukcjach istotne jest wydłużenie elementu, które nie może
przekroczyć wartości dopuszczalnej. Stąd więc konieczny jest warunek na
dopuszczalne wydłużenie (skrócenie)
Nl
"l = d" "ldop..
= d"
= d"
= d"
EA
Sztywność k pręta rozciąganego lub ściskanego w danym przekroju jest to
wartość siły wewnętrznej w tym przekroju, która powoduje jego wydłużenie lub
skrócenie o jednostkową długość
N EA
k = = .
= =
= =
= =
"l l
Wynika stąd, że sztywność pręta zależy tylko od cech geometrycznych elementu
(A  pola przekroju, l  długości) oraz modułu sprężystości liniowej materiału
(modułu Younga).
Przykład 1.
a)
5
b)
c)
Rys. 11.3
Wyznaczyć wartość naprężeń w przekrojach na odcinkach AB, BC, CD,
wydłużenie całego pręta AD i jego odcinka BC, jeśli E = 1,1 �105 MPa.
Rozwiązanie. Kolejne etapy rozwiązywania zadania są następujące:
- sprawdzić czy układ jest statycznie wyznaczalny,
- zakładamy oś x wzdłuż pręta przechodzącą przez środek ciężkości przekroju,
- jeżeli byłoby nieznane siły zewnętrzne bierne to należy je wyznaczyć z
równań statyki (w tym zadaniu brak jest sił zewnętrznych biernych),
6
- na całej długości pręta zaznaczamy przedziały zmienności sił wewnętrznych
xi(N),
- piszemy równania sił wewnętrznych w poszczególnych przedziałach N(xi) i
analizujemy ich przebieg zwracając szczególną uwagę na wartości N na
początku i końcu przedziału oraz na przebieg funkcji między granicami
przedziału,
- sporządzamy wykresy sił wewnętrznych.
Nasz układ jest statycznie wyznaczalny (brak niewiadomych sił  układ jest w
równowadze pod wpływem sił zewnętrznych czynnych. Siły wewnętrzne to
tylko siły normalne, gdyż wszystkie siły zewnętrzne działają wzdłuż osi pręta.
Przedziały zmienności sił wewnętrznych:
- przedział AB, 0 d" x1 d" AB = l2
d" d" =
d" d" =
d" d" =
N(x1) = P = const = 10 kN,
- przedział BC, AB d" x2 d" (x2 - AB)
d" d" -
d" d" -
d" d" -
7
N(x2) = P - Q = (10  20) kN = - 10 kN = const,
- przedział CD, AC d" x3 d" (x3 - AC)
d" d" -
d" d" -
d" d" -
N (x3) = (P  Q + Q) = P = 10 kN = const.
Przedział trzeci na odcinku CD można rozpatrywać od punktu D na lewo do
punktu C. Wówczas 0 d" x3 d" DC
d" d"
d" d"
d" d"
N (x3) = P = 10 kN = const..
Dojście do wyniku na N(x) w tym drugim przypadku jest prostsze. Jest mniejsza
możliwość pomyłek.
Wykres sił wewnętrznych sporządzono na rys. 10.6c
Wartości naprężeń w poszczególnych przedziałach N(x)
Z uwagi na równość sił wewnętrznych w przedziałach AB i CD
NAB, CD 10 kN 10 �"103
�"
�" N
�"
�AB = �CD = = = = 50 = 50 MPa
= = = = = =
= = = = = =
= = = = = =
A
2 cm2 2 �"102 mm2
�"
�"
�"
NBC - 10 kN - �"103 N
- -10 �"
- - �"
- - �"
�BC = = = = -50 = -50 MPa
= = = = - = -
= = = = - = -
= = = = - = -
A
2 cm2 2 �"102 mm2
�"
�"
�"
8
Wydłużenia pręta
NAB �" AB 10 kN �" 20 cm 10 �"103N�" 20 �"10 mm �" mm2 1
�" �" �" �" �" �"
�" �" �" �" �" �"
�" �" �" �" �" �"
"lAB = = = = mm H" 0,09 mm
= = = = H"
= = = = H"
= = = = H"
A �" E 11
�"
�"
�"
2 cm2 �"1,1 �"105 MPa 2 �"102 mm21,1�"105N
�" �" �" �"
�" �" �" �"
�" �" �" �"
NCD �" CD 10 kN �" 50 cm 10 �"103N�" 50 �"10 mm �" mm2 5
�" �" �" �" �" �"
�" �" �" �" �" �"
�" �" �" �" �" �"
"lCD = = = = mm H" 0,23 mm
= = = = H"
= = = = H"
= = = = H"
A �" E 22
�"
�"
�"
2 cm2 �"1,1 �"105 MPa 2 �"102 mm21,1�"105N
�" �" �" �"
�" �" �" �"
�" �" �" �"
NBC �" BC - 10 kN �" 30 cm - 10 �"103N�" 30 �"10 mm �" mm2 - 3
�" - �" - �" �" �" �" -
�" - �" - �" �" �" �" -
�" - �" - �" �" �" �" -
"lBC = = = = mm H" -0,14 mm
= = = = H" -
= = = = H" -
= = = = H" -
A �" E 22
�"
�"
�"
2 cm2 �"1,1 �"105 MPa 2 �"102 mm21,1�"105 N
�" �" �" �"
�" �" �" �"
�" �" �" �"
"lAD = "lAB + "lBC + "lCD = (0,09 - 0,14 + 0,23) mm = 0,18mm
= + + = - + =
= + + = - + =
= + + = - + =
Przykład 2
Lina wyciągu górniczego (rys. 10.6) jest obciążona na dolnym końcu ciężarem
klatki P = 50 kN oraz ma ciężar własny q = 39 kN/m, pole przekroju
A = 3,9 cm2, długość l = 800 m. Obliczyć współczynnik bezpieczeństwa liny i
przemieszczenie uB końca liny (Rm = 1800 MPa, E = 1,8�105 MPa).
Rozwiązanie.
Rys. 11.4
Siły normalne
Z rys. b wynika (�gA = q)
=
=
=
N(x) = P+(l - xa )q ,
-
-
-
9
N(x = 0) = P + l�q = 50 kN + 800 m�39 N/m = (50 + 31,2) kN = 81,2 kN
N(x = l) = P = 50 kN
Naprężenie maksymalne
( = )
Nmax(x = 0) �"
( = ) 81,2 �"103 N
( = ) �"
�"
�max = = H" 208 MPa
= = H"
= = H"
= = H"
A
3,9 �"102 mm2
�"
�"
�"
Współczynnik bezpieczeństwa liny
Rm 1800 MPa
nm = = H" 8,7
= = H"
= = H"
= = H"
�max 208 MPa
Tak duży współczynnik jest wymagany z uwagi na niezawodność
Wydłużenie liny
l l �ł łł
�ł łł
�ł łł
�ł
�ł �ł
�ł �ł
�ł �ł
�ł
l l
N(x)dx 1 1 x2 l �łłł
�ł �łśł
�ł �łśł
�ł �łśł
�łśł
u(x) = = [P + q(l - x)]dx = �łPx +q�ł lx -
= = [ + ( - )] = �ł + -
= = [ + ( - )] = �ł + -
= = [ + ( - )] = �ł + -
+" +"
+" +"
+" +"
+" +"
�ł �łśł
�ł �ł
�ł �łśł
�ł �ł
0 0 0
E �" A E �" A E �" A 2
�" �" �"
�" �" �"
�" �" �"
�ł
�ł
�ł
�ł
0 0
�ł łłśł
�ł łł
�ł łłśł
�ł łł
�ł �ł
�ł �ł
�ł �ł
�ł �ł
ux=0 = 0 ,
=
=
=
=
=
=
l �ł 1 łł
�ł łł
�ł łł
�ł łł
�ł �ł
�ł �ł
�ł �ł
�ł
ux=l = + �" - �łśł
= + �" - �ł
=
= + �" - �ł
= =
=
�ł
�ł
�ł
�ł
=
=
=
�łP + q �" l�ł1 - 2 �łśł =
�ł
�ł
�ł
E �" A
�"
�"
�"
�ł łłśł
�ł łł
�ł łłśł
�ł łł
�ł �ł
�ł �ł
�ł �ł
�ł �ł
800 m 1
�ł50 �"10-3 MN + 39 �"10-6MN/m �" 800m�ł m = 0,75 m = 75 cm
�ł �ł
�ł �ł
�ł �ł
-
-
-
= �" + �" �" = =
= �" + �" �" = =
= �" + �" �" = =
=
�ł �ł
�ł �ł
�ł �ł
�ł �ł
2
�ł łł
�ł łł
�ł łł
�ł łł
1,8 �"105 MN/m2 �" 3,9 �"10-4m2
�" �" �"
�" �" �"
�" �" �"
Przykład 3
Pierścień równomiernie obciązony
10
Rys. 11.5
Na podstawie równania równowagi elementarnego odcinka
-2N sin dą + 2qrdx = 0.
Przy dą 0 i sindą dx wynika, że



N = qr
oraz
N qr
� = = .
= =
= =
= =
A A
Przykładem takiego obciążenia są siły bezwładności q w wirującym
pierścieniu
q = �A�2r ,
=
=
=
gdzie: � A  masa pierścienia na jednostkę długości, � - prędkość kątowa.
Zwiększenie promienia
� qr2 r2 ��2r
"r = r� = r = = �A�2r = ,
= = = = =
= = = = =
= = = = =
E EA EA E
gdzie � = � r - średnia prędkość obwodowa, �2r - przyśpieszenie dośrodkowe.
=
=
=
Stąd
� = ��2
=
=
=
��2r
ęr = .
=
=
=
E
11
Wniosek: naprężenie w wirującym pierścieniu zależy tylko od rodzaju materiału
i kwadratu prędkości obwodowej.
12
Wyboczenie pręta, naprężenia krytyczne, smukłość pręta
Wyboczenie pręta jest związane z powstawaniem momentu zginającego podczas
ściskania. Ma to miejsce wówczas gdy:
- siła ściskająca jest przyłożona mimośrodowo,
- siła ściskająca jest przyłożona nie wzdłuż osi pręta,
- materiał niejednorodny, wady materiałowe, uszkodzony przekrój,,
- chwilowa siła poprzeczna (np. podmuch wiatru, uderzenie poprzeczne, itp.),
- inne
Rys. 11.6
Siła ściskająca jest przyłożona mimośrodowo o wartości ez. Z tego tytułu przy
obciążeniu siłą P powstaje moment zginający
My(x) = P(ez + wB  w(x)
Siła krytyczna jaką można dopuścić można obliczyć ze wzoru
Ą2EJmin
Pkr = .
=
=
=
2
ls
Fizyczny sens Pkr należy rozumieć jako siłę, przy której ściskany
(bez mimośrodu) pręt może mieć dwie różne postacie równowagi: pierwotną, tj.
gdy oś pręta zostaje prosta i nową, tj. o osi wygiętej. To zjawisko nosi nazwę
utraty stateczności lub wyboczenia pręta.
Naprężenie krytyczne
Pkr Ą2EJ
min
�kr = = .
= =
= =
= =
2
A
ls A
Wykorzystując pojęcie promienia bezwładności
Jy
iy = gdyż Jy = i2A ,
= =
= =
= =
y
A
13
oraz definiując pojęcie: smukłość pręta, jako bezwymiarowy stosunek długości
wyboczeniowej i promienia bezwładności
ls
 = ,
=
=
=
iy
otrzymujemy
Ą2E
�kr = .
=
=
=
2
Wykresem tej zależności jest hiperbola nazywana hiperbolą Eulera (rys. 11.8).
Stąd smukłość graniczna
E
gr = Ą .
=
=
=
�prop
Analizę naprężenia krytycznego w funkcji smukłości przedstawiono na
kolejnych dwóch rysunkach.
Rys.11.7
14
Rys. 11.8
Wartość długości wyboczeniowej ls zależy od sposobu zamocowania pręta.
Przedstawia to rys. 11.9
Rys. 11.9
Zjawisko wyboczenia zachodzi także gdy smukłość  p gr , wtedy natomiast
występują odkształcenia trwałe, czyli wyboczenie niesprężyste. Dla 0 f  p gr
( )
postać wykresu �kr() zależy od postaci wykresu ściskania. Jeżeli jest to
( )
( )
materiał z wyraz
ną granicą plastyczności to mamy przebieg po linii ABB`
(rys. 11.7). Punkt B` wyznacza �kr = Re . W materiale nie posiadającym
=
=
=
wyraz
nej granicy plastyczności (rys. 11.8) brak odcinka poziomego BB`.
Przebieg tej krzywej w przybliżeniu opisuje się często parabolą zwaną parabolą
15
Johnsona lub prostą Tetmajera. Ponadto smukłość krytyczna �krjest bliska
wytrzymałości na ściskanie Rc a nie wytrzymałości na rozciąganie Re.
Współczynnik bezpieczeństwa, to
Pkr �kr �" A
�"
�"
�"
nkr = = .
= =
= =
= =
P P
Mając dane dla danego materiału tylko wytrzymałość na ściskanie Rc można
projektować elementy pracujące na wyboczenie korzystając z naprężenia
dopuszczalnego na wyboczenie
k = �kc,
=
=
=
w
gdzie � to współczynnik zmniejszający naprężenia dopuszczalne na ściskanie .
Jest on charakterystyczny dla danego materiału i określonej smukłości.
Projektowanie lub sprawdzanie bezpieczeństwa konstrukcji opiera się na
wykorzystaniu pojęć Pkr, �kr, kr, nkr, kc, � .
Zadanie
Dwuteówka ze stali S235JR ma długość l = ls = 1 m. Momenty bezwładności
przekroju Jy = 117 cm4, Jz = 12,2 cm4, A= 10 cm2 ; orzec czy może ona
przenieść siłę 70 kN.
Rozwiązanie.
l ls 1 m
 = = = H" 91.
= = = H"
= = = H"
= = = H"
iz
Jz 12,2 �"10-8 m4
�"
�"
�"
A
10 �"10-4 m2
�"
�"
�"
Dla tej wartości smukłości  odczytujemy z wykresów tej stali �dop = 79 MPa .
=
=
=
Stąd
Pdop = �dop �" A = 79 MPa �"10 �"10-4 m2 = 0,070 MN = 84 kN f P = 70 kN
= �" = �" �" = = =
= �" = �" �" = = =
= �" = �" �" = = =
Odp. Tak, ten element przeniesie bezpiecznie obciążenie. Współczynnik
bezpieczeństwa wynosi
Pdop 84 kN
n = = = .
= = =1,2
= = =
= = =
P 70 kN
16
Poznane pojęcia:
- warunek wytrzymałościowy na rozciąganie,
- warunek sztywności na rozciąganie,
- siła krytyczna przy wyboczeniu (Eulera),
- smukłość, smukłość krytyczna,
- naprężenie krytyczne na wyboczenie
- współczynnik zmniejszający naprężenie dopuszczalne na ściskanie przy
obliczeniach na wyboczenie.
17