WYKA
AD 4
1.3. Przestrzeni. Odwzorowania. Rząd macierzy. Twierdzenie Croneckera-
Capellego
n
1.3.1. Przestrzeń . Przestrzeń wektorowa. Baza przestrzeni wektorowej
n n
1A78 (Przestrzeń ). Niech oznacza zbiór wszystkich ciągów
n-elementowych o wyrazach należących do , to jest zbiór uporządkowanych
n-ek liczb rzeczywistych. Ciągi takie będziemy zapisywali w kolumnach
n n 1
X xij n 1 (to jest = ) i nazywali wektorami (kolumnowymi). Wtedy
j
działania z wektorami (dodawanie wektorów, mnożenie przez liczbę (skalar)) są
zdefiniowane tak samo jak odpowiednie działania z macierzami:
x11 x12
X1 X2 [xi1 xi2]n 1 ... , X1 [ xi1]n 1.
xn1 xn2
n
Zbiór z tak zdefiniowanymi działaniami nazywamy przestrzenią liniową lub
n
wektorową (n-wymiarową). Element X może być utożsamiany z punktem
n
w przestrzeni czyli z wektorem o początku w zerze i końcu w tym właśnie
2
punkcie (jest to wektor wodzący tego punktu). Przestrzeń nazywamy
płaszczyzną (liczbową).
1A+B79 (Definicja). Przestrzenią wektorową nad ciałem F nazywamy zespół
złożony z dowolnego zbioru , z ciała F i dwu działań: dodawania
(wewnętrznego) określonego w zbiorze i mnożenia przez liczbę ze zbioru F
(zewnętrznego) spełniających następujące postulaty:
79.1) dodawanie wektorów jest działaniem przemiennym:
x+y=y+x
i łącznym:
(x y) z x (y z) dla dowolnych x, y, z ;
79.2) istnieje element zerowy 0: x 0 x dla dowolnego x ;
79.3) dla każdego elementu x istnieje element x przeciwny
(odwrotny): x ( x) 0 ;
79.4) mnożenie przez liczbę jest rozdzielne względem dodawania w zbiorze :
(x y) x y ( F; x, y )
i względem dodawania w zbiorze F:
( )x x x ( , F; x );
79.5) ( x) ( )x ( , F; x );
79.6) w F istnieje element jednostkowy 1 taki, że 1 x x, x .
Elementy nazywamy wtedy wektorami.
1A+B+C80 (Przykłady).
80.1) jest przestrzenią wektorową nad (tzn. nad sobą);
80.2) zbiór wektorów jako skierowanych odcinków na płaszczyz
nie ze
standardowymi działaniami dodawania i mnożenia przez liczbę nad
współrzędnymi;
n
80.3) jest przestrzenią wektorową nad ;
m n
80.4) zbiór wszystkich macierzy o wymiaru m n nad ;
80.5) zbiór ciągów zbieżnych;
80.6) zbiór C[0,1] wszystkich ciągłych funkcji określonych w zbiorze [0,1] itd.
1A81 (Definicja). Niech ; xj n, xj xij n 1 dla j 1,2,..,k .
j
Wyrażenie x1 2x2 ... xk nazywamy kombinacją liniową wektorów
1 k
x1, x2,...xk ze współczynnikami , ,... . Jeżeli ... 0, to
1 2 k 1 2 k
kombinacja jest trywialna, w przeciwnym przypadku kombinację nazywamy
nietrywialną.
1A82 (Definicja). Wektory x1, x2,...xk nazywamy liniowo zależnymi, jeżeli
istnieje ich nietrywialna liniowa kombinacja zerowa, to jest jeżeli istnieją liczby
, ,... , nie wszystkie równe 0, takie że
1 2 k
x1 x2 ... xk 0. (1)
1 2 k
W przeciwnym przypadku: x1 2x2 ... xk 0 ... 0
1 k 1 2 k
wektory x1, x2,...xk nazywamy liniowo niezależnymi.
Zauważmy, że wektory x1, x2,...xk są liniowo niezależne wtedy i tylko wtedy
gdy układ (1) równań xi1 1 ... xik k 0 (i 1,2,..,n) ma tylko jedno
rozwiązanie (zerowe).
1A+B83 (Twierdzenie). Wektory x1, x2,...xn n są liniowo niezależne wtedy i
tylko wtedy, gdy det xij n n 0 , gdzie x xi j n 1 dla j 1,2,..,n.
j
1A+B84 (Twierdzenie). Wektory x1, x2,...xk są liniowo zależne wtedy i tylko
wtedy, gdy co najmniej jeden z nich można wyrazić przez kombinację liniową
pozostałych wektorów.
n
1A85 (Definicja). Bazą przestrzeni liniowej będziemy nazywali zbiór n
liniowo niezależnych wektorów tej przestrzeni.
1A+B86 (Definicja). Bazą przestrzeni liniowej nazywamy taki zbiór liniowo
niezależnych wektorów, że dowolny wektor tej przestrzeni można wyrazić przez
kombinację liniową wektorów bazy.
Przestrzeń wektorową posiadającą bazę skończoną nazywamy przestrzenią
skończenie wymiarową. Wtedy ilość elementów bazy nazywamy wymiarem
przestrzeni i oznaczamy symbolem dim . Przestrzeń nieposiadającą bazy
skończonej nazywamy przestrzenią nieskończenie wymiarową.
Wtedydim .
Dla przestrzeni skończenie wymiarowej bazę tworzy zbiór wektorów złożony z
największej liczby liniowo niezależnych wektorów tej przestrzeni. Wtedy bazą
n
przestrzeni liniowej będzie zbiór n liniowo niezależnych wektorów tej
przestrzeni.
1A+B+C87 (Ćwiczenie). Zbadać, które przestrzenie z 1A+B+C80 są skończenie
wymiarowe i znalez
ć ich bazę.
1A+B88 (Definicja). Niepusty podzbiór M przestrzeni wektorowej nad
ciałem F nazywamy podprzestrzenią przestrzeni , jeżeli
88.1) x, y M x y M ,
88.2) F; x M x M
(dodawanie i mnożenie przez liczbę nie wywodzi z M ).
Zbiór M jest wtedy sam przestrzenią wektorową nad ciałem F .
1A89 (Definicja). Wektory e1,e2,...,en n tworzą bazę standardową
(kanoniczną), jeżeli macierz ei j n n jest jednostkowa, gdzie ej ei j n 1 dla
j=1,& ,n.
n
1A+B90 (Twierdzenie). Każdy wektor przestrzeni można zapisać jako
kombinację liniową wektorów bazy. Współczynniki tej kombinacji (to jest
rozwinięcia wektora w tej bazie) dla danego wektora są wyznaczone
jednoznacznie i nazywa się współrzędnymi tego wektora w tej bazie.
Niech wektory e1,e2,...,en n i e'1,e'2,...,e'n n tworzą dwie różne bazy w
n
. Biorąc dowolny wektor x x1e1 ... xnen x'1 e'1 ... x'n e'n o
współrzędnych x1, x2,...xn w starej bazie e1,e2,...,en i x'1,..., x'n w nowej bazie
n
e'1,...,e'n w przestrzeni (w szczególności, e' e1 je1 ... en jen dla
j
j=1,& ,n), otrzymujemy:
n n n n n n
x xiei x ' e' x ' eijei ( eijx ' )ei .
j j j j
i 1 j 1 j 1 i 1 i 1 j 1
Z powyższego oraz z jednoznaczności współrzędnych (1A+B90) wynika, że
n
xi ei jx ' dla i=1,& ,n. Wtedy
j
j 1
x1 x '1
1A+B91 (Twierdzenie: zmiana bazy). Niech x i x ' będą
xn x 'n
wektorami współrzędnych wektora x w odpowiednio (starej) bazie e1,e2,...,en i
n
w (nowej) bazie e'1,...,e'n w przestrzeni . Wtedy możemy zapisać relację
między starymi x1, x2,...xn i nowymi x'1, x'2,...x'n współrzędnymi:
1
x Ex ', x ' E x , (2)
gdzie macierz E eij n n nazywamy macierzą zmiany bazy. W (2) j -a
kolumna macierzy E jest kolumną współrzędnych j -go wektora e' nowej bazy
j
w starej bazie.
n
1A92 (Definicja). Baza v1,...,vn przestrzeni jest bazą własną macierzy A,
jeśli każdy wektor bazy jest wektorem własnym macierzy A. Jeżeli baza własna
istnieje, macierz A nazywamy macierzą prostej struktury.
1A+B93 (Twierdzenie). Niech A będzie macierzą struktury prostej o wymiaru
n n i v1,...,vn jej bazą własną, S v1,...,vn jest macierzą zmiany bazy (baza
własna jest nową bazą). Wtedy macierz
0 ... 0
1
0 ... 0
2
1
S AS diag ,...,
1 n
0 0 ...
n
jest macierzą diagonalną, gdzie ,..., są wartościami własnymi macierzy A.
1 n
1.3.2. Odwzorowanie liniowe. Jądro i obraz przekształcenia liniowego
n m
1A94 (Definicja). Odwzorowanie f : nazywamy liniowym, jeśli
spełnia ono następujące własności:
n
94.1) x, y : f (x y) f (x) f (y) (addytywność);
n
94.2) x , : f ( x) f (x) (jednorodność).
n
1A95 (Przykład). Odwzorowanie f (x) Ax , gdzie A ai j m n, x , jest
n m
liniowe ( f : ).
Okazuje się, że przykład 1A95 opisuje wszystkie takie odwzorowania liniowe
n m
( ).
n m
1A+B96 (Twierdzenie). Każde odwzorowanie liniowe f : ma postać
f (x) Ax dla pewnej macierzy A.
Dowód (B). Niech wektory e1,e2,...en n i e'1,e'2,...e'm m tworzą bazę w
n m
i odpowiednio i A f (e1),..., f (en) , gdzie
m
f (ej) ei je'i m (3)
i 1
Wtedy
n n m m n
f (x) f (x1e1 ... xnen) xj f (ej) xj eije'i ( eijxj)e'i
(3)
j 1 j 1 i 1 i 1 j 1
m
m
yie'i y .
i 1
n
Stąd mamy yi ei j xj dla i 1,...,m czyli y Ax f (x) , gdzie
j 1
x1 y1
nm
x , y , Macierz A f (e1),..., f (en) nazywamy
xn ym
n m
reprezentacją macierzową odwzorowania f : odpowiednio w bazach
n m
e1,e2,...en w i e'1,e'2,...e'm w .
1B+C97 (Fakt). Wszystkie przestrzenie jednego wymiaru nad jednym ciałem są
n
izomorficzne między sobą i są izomorficzne przestrzeni F (przestrzeń ciągów
x1,..., xn elementów ciała ).
F
1A98 (Definicja). Odwzorowanie liniowe T : M przestrzeni wektorowych
i M nazywamy przekształceniem liniowym tych przestrzeni (niektórzy
autorzy uważają, że M ). Wtedy jądrem KerT przekształcenia liniowego T
nazywamy zbiór wektorów przestrzeni przechodzących w wektor zerowy
przestrzeni M . Symbolicznie KerT x :T (x) 0 .
KerT nigdy nie jest zbiorem pustym, mamy zawsze 0 KerT .
Obrazem Im T przekształcenia liniowego T : M nazywamy zbiór
wektorów przestrzeni M , w których T przeprowadza wektory przestrzeni .
Symbolicznie Im T y M : y T (x), x .
ImT nie jest nigdy zbiorem pustym (wektor zerowy przestrzeni M jest zawsze
elementem tego zbioru).
1A99 (Przykład). Niech T : M będzie przekształceniem liniowym. Wtedy
istnieje macierz A ai j m n taka, że T(x) A x . Mamy zatem:
KerT Ker A jest zbiorem rozwiązań układu jednorodnego Ax 0, a
n
ImT Im A jest zbiorem wektorów b , dla których układ niejednorodny
A x b ma rozwiązanie.
1A+B100 (Twierdzenie). Niech A będzie reprezentacją macierzową
n n
przekształcenia liniowego T : , a S będzie macierzą zmiany bazy w
n 1
. Wtedy macierz S AS jest reprezentacją macierzową tego przekształcenia
w nowej bazie.
Dowód. Mamy: x S x', y S y', y T(x) Ax. Stąd wynika:
1 1 1
y' S y S Ax S AS x'.
1B101 (Twierdzenie). Jądro przekształcenia liniowego T : M jest
podprzestrzenią przestrzeni , a obraz T jest podprzestrzenią przestrzeni M .
1A+B+C102 (Ćwiczenie).
102.1. Sprawdzić liniową zależność wektorów:
1 1 1 1
a) a, b, c; b) b, c, d; jeżeli a 1 , b 2 , c 1 , d 3 ;
0 0 3 3
oraz znalez
ć współrzędne wektora d w bazie a, b, c. Sprawdzić, czy wektor
d jest kombinacją liniową wektorów b i c .
102.2. W jaki sposób można zbadać, czy podane wektory tworzą bazę
przestrzeni.
102.3. Znalez
ć wartości i wektory własne macierzy A oraz reprezentację
macierzową przekształcenia liniowego y Ax w bazie własnej.
102.4. W jaki sposób można sprawdzić liniowość danego odwzorowania i
przedstawić w postaci macierzowej.
x
3
102.5. Zbadać, czy zbiór y : x y z będzie podprzestrzenią
z
3
przestrzeni , znalez
ć bazę.
102.6. Niech Pn oznacza zbiór wielomianów stopnia s, s n, i f : Pn Pn 1 :
p(x) a0xn a1xn 1 ... an 1x an f (p) na0xn 1 (n 1)a1xn 2 ... an 1.
Znalez
ć reprezentację macierzową odwzorowania f.
1.3.3. Rząd macierzy. Twierdzenie Croneckera-Capellego
def
Niech A aij m n a1,...,an będzie macierzą o m wierszach i n
kolumnach nad zbiorem (ciałem poziom C) liczb rzeczywistych . Każda j-ta
kolumna a macierzy jest ciągiem elementów a1 j,...,amj (ciała ) i może być
j
m
traktowana jako element (wektor) przestrzeni . Wtedy mówimy, że kolumny
ai ,...,ai macierzy A są liniowo zależne, jeżeli istnieją nie wszystkie równe zeru
1 k
liczby rzeczywiste , , takie, że ai ... ai 0 . W przeciwnym
1 k 1 k
1 k
przypadku tzn. jeżeli ai ... ai 0 to 0, mówimy,
1 k 1 2 k
1 k
że kolumny są liniowo niezależne. Podobnie definiujemy liniową zależność,
niezależność wierszy.
1A103 (Definicja). Rzędem (kolumnowym) macierzy A nazywamy największą
liczbę kolumn macierzy A liniowo niezależnych. Na oznaczenie tej liczby
używamy symbolu rank A lub rzk A.
Dokładniej: rzk A p , jeżeli istnieje wśród kolumn macierzy A p kolumn
liniowo niezależnych i jeżeli każde p 1 kolumn są liniowo zależne.
m n
1B+C104 (Twierdzenie). Niech A . Wtedy rząd kolumnowy macierzy A
m
jest równy wymiarowi podprzestrzeni przestrzeni generowanej przez
kolumny macierzy A , to jest rzk A dim{ a1 ... an : ;i 1,...,n};
1 n i
wymiarem przestrzeni wektorowej nazywamy najwęższą liczbę liniowo
niezależnych wektorów tej przestrzeni.
m
1B105 (Uwaga). Przestrzeń jest m -wymiarowa, a macierz A ma n
kolumn. Tym samym wymiar przestrzeni generowanej przez kolumny macierzy
A nie może przekraczać ani liczby m , ani liczby n. Zatem rzk A min{m,n}.
1A+B106 (Uwaga). Macirzy A przy dowolnie ustalonych bazach e1,...,en i
n m
e'1,...,e'm przestrzeni i odpowiada przekształcenie liniowe
n m
TA : , TA(x) Ax. Rzędem rzTA przekształcenia liniowego TA
nazywamy wymiar przestrzeni ImTA. Elementami j-ej kolumny macierzy A są
przy tym współrzędne względem bazy e'1,...,e'm wektora TA(ej ) . Maksymalna
ilość liniowo niezależnych wektorów TA(e1),...,TA(en) jest tym samym równa
rzędowi macierzy A. Z drugiej strony liczba ta jest równa wymiarowi
przestrzeni ImTA. Zatem rzTA rzk A dimIm A i to niezależnie od wyboru
n m
baz przestrzeni i .
1A+B107 (Twierdzenie: operacje elementarne na kolumnach). Rzędu
kolumnowego macierzy A nie zmienia żadna z trzech następujących operacji:
107.1) przestawienie dwu dowolnych kolumn,
107.2) pomnożenie przez liczbę różną od zera którejkolwiek kolumny,
107.3) dodanie do którejś kolumny innej kolumny pomnożonej przez dowolną
liczbę ciała .
Schemat dowodu. Dla 107.1): wektory a1,...,ai,...,a ,...,ak są liniowo
j
niezależne (wektory a1,...,a ,...,ai,...,ak są liniowo niezależne); dla 87.2):
j
wektory a1,...,ak są liniowo niezależne
(
a1 ... ai 1 iai i 1ai 1 ... ak 0
1 i 1 k
... ... 0) ( a1 ... ai 1 i ( ai ) ai 1 ...
1 i 1 i i 1 k 1 i 1 i 1
i
ak 0 ... ... 0)
k 1 i 1 i 1 k
wektory a1,...,ai 1, ai,ai 1,...,ak są liniowo niezależne( 0) ; dla 87.3):
a1,...,ai,...,a ,...,ak są liniowo niezależne a1,..., ai,...,aj a ai,...,ak są
j
B
liniowo niezależne. T�
1A+B108 (Uwaga). W podobny sposób można zdefiniować (określić) rząd
wierszowy rzwA macierzy A jako największą liczbę wierszy liniowo
niezależnych, jeżeli będziemy traktować ciągi elementów ai1,...,a (i 1,...,m)
i n
n
jako wektory (o współrzędnych ai1,...,a ) przestrzeni . Rzędu wierszowego
i n
macierzy nie zmienia żadna z trzech następujących operacji (nazywamy je
operacjami elementarnymi na wierszach):
108.1) przestawienie dwu dowolnych wierszy,
108.2) pomnożenie któregokolwiek wiersza przez dowolny element ciała
różny od zera,
108.3) dodanie do któregokolwiek wiersza innego wiersza pomnożonego przez
dowolny element ciała .
1A109 (Definicja). Rzędem macierzy A nazywamy podwyznacznik (minor) tej
macierzy największego stopnia różny od zera i oznaczamy jako rank A lub
rz A.
1A+C110 (Twierdzenie: rząd macierzy). Rząd kolumnowy i rząd wierszowy
macierzy A są równe między sobą i są równe rzędowi macierzy A , to jest
rank A rz A rz A.
kw
1A111 (Uwaga: obliczenie rzędu). Operacje elementarne na wierszach można
powtarzać oraz łączyć ze sobą i z analogicznymi operacjami na kolumnach
dowolną ilość razy. Otrzymane na tej drodze nowe macierze mają zawsze ten
sam rząd, co macierz A. Można wykazać (A+B), że za pomocą operacji
Ir 0
elementarnych każda macierz A jest sprowadzalna do postaci E ,
0 0
gdzie Ir oznacza macierz jednostkową stopnia r, a zera wskazują, że wszystkie
elementy tej macierzy są zerami, to jest eij 0 dla i j , gdzie E eij . Wtedy
obliczenie rzędu macierzy A nie sprawia już żadnych trudności:
rank A rank E r .
1B112 (Uwaga). Macierz A aij m n nazywamy równoważną macierzy
B bij m n , jeżeli istnieją macierze (kwadratowe) nieosobliwe P i Q takie, że
A=PBQ. Wtedy dwie macierze o m wierszach i n kolumnach są równoważne
wtedy i tylko wtedy gdy ich rzędy są równe, w szczególności macierz E jest
Ir 0
równoważną macierzy A: PAQ E jeżeli r rankA.
0 0
1A+B113 (Własności rzędu). Niech A jest macierzą o m wierszach i n
kolumnach.
113.1. Rząd dowolnej macierzy A jest równy rzędowi jej macierzy
transponowanej AT , to jest rank A rank AT .
113.2. Macierz kwadratowa stopnia n jest nieosobliwa wtedy i tylko wtedy gdy
jej rząd wynosi n. Rząd macierzy odwrotnej również równy jest n.
113.3. Dla dowolnych dwu macierzy A i B, dla których określony jest iloczyn
AB, zachodzi nierówność rank(AB) min{rank A,rank B}. Jeżeli A jest
macierzą kwadratową nieosobliwą, to rank(AB) rank B , a jeżeli B jest
macierzą kwadratową nieosobliwą, to rank(AB) rank A.
1B+C114 (Własności rzędu). Niech A jest macierzą o m wierszach i n
kolumnach, a TA : Rn Rm jest przekształceniem liniowym: TA(x) Ax . Wtedy
114.1) rankA rzk A rzwA rankTA dimImTA min m,n ;
114.2) rankA n dimKerTA ;
gdzie KerT Ker A jest zbiorem (jądro przekształcenia TA) rozwiązań układu
jednorodnego Ax 0
, a ImT Im A jest zbiorem (obraz przekształcenia TA)
m
wektorów b , dla których układ niejednorodny A x b ma rozwiązanie.
1B+C115 (Uwaga). W sposób podobny 1A103, 1A+B108, 1A109 można
określić rząd macierzy nad ciałem liczb zespolonych i w ogólności nad
dowolnym ciałem F.
Wracamy teraz do układów równań liniowych:
a11x1 a12x2 ... a1n xn b1,
a21x1 a22x2 ... a2n xn b2,
am1x1 am2x2 ... amn xn bm
czyli w postaci macierzowej
A x b , (4)
gdzie
x1 b1
m n n m
A aij , x ,b
m n
.
xn bm
Macierz o m wierszach i n+1 kolumnach
a11 ... a1n b1
def
A,b
am1 ... amn bm
powstającą z macierzy współczynników układu (4) przez dołączenie kolumny
wyrazów wolnych nazywamy macierzą uzupełnioną układu (4). Stąd mamy
kryterium rozwiązalności układu (4).
1A+B116 (Twierdzenie Kroneekera-Capellego). Układ równań liniowych (4)
ma co najmniej jedno rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy rząd macierzy tego
układu równy jest rzędowi macierzy uzupełnionej, to znaczy
rank[A,b] rank A . (5)
Schemat dowodu. Niech A a1,...,an , gdzie wektory a1,...,an oznaczają
kolejne kolumny macierzy A współczynników. W przyjętych oznaczeniach
układ (1) jest równoważny równaniu
x1a1 ... xnan b
. (6)
Układ (6) posiada więc co najmniej jedno rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy
wektor b daje się przedstawić, jako kombinacja liniowa wektorów a1,...,an , a to
właśnie oznacza, że rzędy macierzy układu i macierzy uzupełnionej są równe. T�
1A+B117 (Wniosek). Aby układ równań liniowych (4) dla dowolnych wyrazów
wolnych posiadał co najmniej jedno rozwiązanie, potrzeba i wystarczy, by rząd
macierzy układu był równy ilości równań (wierszów):
rank A m .
'
1B118 (Uwaga). Warunek (5) jest równoważny warunkowi br 1 0 w metodzie
1A+B58 eliminacji Gaussa.
1B+C119 (Uwaga). Twierdzenie Kroneekera-Capellego pozostaje prawdziwe
dla układów równań liniowych nad dowolnym ciałem F.
1A+B+C120 (Ćwiczenia).
n n n n
120.1. Macierz A nazywamy podobną do macierzy B jeżeli
1
istnieje nieosobliwa macierz kwadratowa T taka, że A T BT . Macierze A i B
są podobne wtedy i tylko wtedy, gdy reprezentują jedno przekształcenie liniowe
n
przestrzeni w różnych bazach.
120.2. Niech A aij m n m n , gdzie m n i rank A m. Sprawdzić
wtedy że macierz jest nieosobliwa.
AAT
120.3. Sprawdzić liniowość odwzorowania, które możemy opisać
geometrycznie jako obrót o kąt dookoła punktu (0, 0). Znalez
ć reprezentację
macierzową tego odwzorowania oraz reprezentację macierzową w bazie
własnej.
1A+B121 (Ćwiczenia).
1 2 3 4 5 6
7 8 9 10 11 12
121.1. Obliczyć rząd macierzy A .
12 11 10 9 8 7
6 5 4 3 2 1
121.2. Dla jakich wartości parametru p układ równań
(1 p)x1 x2 x3 x4 1 a(a 1)
2x1 2x2 2x3 2x4 2
4x1 (6 p)x2 4x3 4x4 4
6x1 6x2 6x3 px4 6
a) ma rozwiązanie,
b) ma tylko jedno rozwiązanie?