WYKA
AD 14
5. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE
5.1. Pojęcia ogólne
5A1 (Definicja). Równanie względem niewiadomej funkcji i jej pochodnych
nazywamy różniczkowym (RR). RR o funkcji niewiadomej jednej zmennej nazywamy
RR zwyczajnym (RRZ), równanie o funkcji dwóch lub większej liczby zmiennych
nazywamy RR cząstkowym (RR o pochodnych cząstkowych). Rzędem RR nazywamy
największy rząd n pochodnych (istotnie) występujących w tym równaniu. Mamy tu na
myśli takie równania, w których zostały wykonane wszystkie możliwe redukcje i
skrócenia mogące mieć wpływ na ustalenie liczby n .
5A2 (Przykłady).
2.1. Równanie o postaci
y(n) f (x, y, y',..., y(n 1)) , (1)
n 1
gdzie f :D , D , jest równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n (tu x
jest zmienną niezależną oraz y y(x) jest funkcją (zmienną zależną)).
n 2
2.2. Rozważmy funkcję F :G , gdzie G . Wtedy równanie o postaci
F(x, y, y ',..., y(n)) 0 (2)
jest najogólniejszą formą RRZ rzędu n w obszarze G (czasami zakładają że równanie
(2) jest rozwiązalne w tym obszarze względem y(n) ), inaczej mówiąc RRZ rzędu n
wiąże (istotnie) zmienną nizależną x , zmienną zależną y i jej pochodne aż do rzędu n .
2.3. Równanie o postaci
y(n) a1(x) y(n 1) ... an 1(x) y ' an(x) y f (x) (3)
jest ogólną formą (na zbiorze X ) RR liniowego zwyczajnego (RRL) rzędu n
jednorodnego gdy f (x) 0 dla x X albo niejednorodnego gdy f (x) 0 dla x X
(funkcje a1(x),...,an(x) nazywamy współczynnikami, a funkcję f (x) nazywamy
wyrazem wolnym (prawą częścią) tego równania.
2.4. Równania
y' f (x, y), (4)
F(x, y, y') 0 (5)
są odpowiednio równaniem rozwiązanym względem pochodnej i ogólną postacią RRZ
rzędu pierwszego.
2.5. Równanie
y'' f (x, y, y') (6)
jest RRZ rzędu drugiego rozwiązanym względem starszej pochodnej oraz wyrażenie
F(x, y, y', y'') 0 (7)
jest ogólną formą tego równania.
2.6. Równanie 0 y'' y' y f (x) jest RRL rzędu pierwszego.
2.7. Równanie struny
2 2
u u
t2 x2
jest RR cząstkowym rzędu drugiego.
Uwaga. Dalej pod nazwą  RR będzimy rozumieć wyłącznie RRZ.
5A3 (Definicja). Funkcję y y(x), x X , nazywamy rozwiązaniem RR (2) na
przedziale X jeżeli na tym przedziale funkcja ta jest n -krotnie różniczkowalna i
zamienia to równanie w tożsamość: F(x, y(x), y'(x),..., y(n)(x)) 0 dla x X . Wykres
rozwiązania RR nazywamy krzywą całkową tego RR, a znajdowanie rozwiązań RR
nazywamy całkowaniem tego równania.
n 1
5A4 (Definicja). Zagadnieniem (początkowym) Cauchy ego (w obszarze D
dla RRZ (1) rzędu n nazywamy zagadnienie następujące: znależć rozwiązanie y y(x)
tego równania które spełnia warunki początkowe:
y(x0) y0, y '(x0) y1,...., y(n 1)(x0) yn 1 , (8)
00
1 n 1 n
gdzie (x0, y0, y0,..., y0 1) D przy czym liczby x0, y0, y0,..., y0 1, zwane wartościami
początkowymi, są dane.
5A5 (Definicja). Rozwiązaniem ogólnym (w obszarze D X D1, X , D1 n )
RR (1) rzędu n nazywamy funkcję y (x,C1,C2,...,Cn) zmiennej nizależnej x i n
zmiennych C1,C2,...,Cn , które są dowolnymi stałymi, jeżeli funkcja ta spełnia warunki:
1) przy ustalonych wartościach dowolnych stałych C1,C2,...,Cn funkcja Ć jest
rozwiązaniem RR (1) w przedziale X;
2) funkcja y (x,C1,C2,...,Cn) rozstrzyga dowolne zagadnienie Cauchy ego (w
1 n
obszarze D), tzn. dla każdego układu wartości początkowych ( x0, y0, y0,..., y0 1) D
wartości C1,C2,...,Cn można tak dobrać, aby otrzymać rozwiązanie y y(x,C1,C2,...,Cn)
spełniające warunki początkowe (8).
5A6 (Definicja). Rozwiązanie, które otrzymamy z rozwiązania ogólnego RR przy
ustalonych wartościach dowolnych stałych, nazywamy rozwiązaniem szczególnym.
5A+B7 (Definicja). Wyrażenie (x, y,C1,C2,...,Cn) 0 nazywamy całką ogólną
RR (1), jeżeli ono określa rozwiązanie ogólne jako funkcję uwiklaną. Podobnie to
wyrażenie przy ustalonych C1,C2,...,Cn określa całkę szczególną.
5A8 (Przykłady).
8.1. Rozważmy RR rzędu pierwszego y' f (x) . Jeżeli funkcja f jest ciągła na
przedziale X, to na tym przedziale istnieje nieskończenie wiele rozwiązań (rodzina
krzywych całkowych) y=Ć(x,C)=F(x)+C, gdzie F jest jakąkolwiek funkcją pierwotną
funkcji f w przedziale X, a funkcja Ć zmiennej x i dowolnej stałej C jest rozwiązaniem
ogólnym tego równania (w obszarze X ). Jeżeli zażądamy dodatkowo, aby funckcja
y=Ć(x, C) spełniała warunek początkowy y(x0)=y0, x0 X , to otrzymamy C y0 F(x0)
oraz
x
y(x) F(x) y0 F(x0) y0 f (t)dt
x0
jest rozwiązaniem szczególnym.
8.2. Jeżeli będziemy całkowali RR rżędu 4
y(iv) 24 y''' 24x 6C1 y'' 12x2 6C1x 2C2
y' 4x3 3C1x2 2C2x C3 y x4 C1x3 C2x2 C3x C4
to otrzymamy rozwiązanie ogólne o postaci y x4 C1x3 C2x2 C3x C4 jako
funkcję zmiennej x i dowolnych stałych C1,C2,C3,C4 .
5A+B9 (Definicja). Zagadnieniem brzegowym w obszarze
D X D1 ... Dn Rn 1 dla RR (1) nazywamy zagadnienie następująco:
x X
znależc rozwiązanie y y(x), , tego równania spełniająco warunki brzegowe:
y(xk ) yk , gdzie xk X , yk Dk , dla k=1, ..., n. Dla RRL (3) możemy zalożyć, że
Dk dla k=1, ..., n.
Uwaga. Dla RR rzędu drugiego (n=2) zagadnienie brzegowe jest następująco: wśród
krzywych całkowych RR znależć tę, która przechodzi przez punkty P1(x1, y1), P2(x2, y2) .
lub ogólnej wśród rozwiązań tego równania znależć to, które spełnia warunki:
y(x1) y(x2) , y(x1) y(x ) , gdzie x1, x2 X oraz liczby
11 12 1 21 22 2 2
, , , , , są dane.
11 12 21 22 1 2
5A10 (Prykład). Dla RR y'' sin x rozwiązać podane zagadnienia brzegowe:
a) y(0) 0, y 1;
2
3
b) y(0) y 3; y(0) y( ) 3, y'(0) y y 3.
2 2 2 2
Rozwiązanie: a)
0 y(0) c2
y' cos x c1 y sin x c1x c2
1 y( ) 1 c1 c2
22
0 y(0) c2
y' cos x c1 y sin x c1x c2
1 y( ) 1 c1 c2
22
c1 c2 0 y sin x jest szukanym roswiązaniem. Podobnie rozwiązujemy
zagadnienie brzegowe b).
5A+C11 (Twierdzenie o istnieniu i jednoznaczności rozwiązań). Rozważmy RR
2
(4) rzędu 1: y' f (x, y)w obszarze D oraz niech (x0, y0) D . Jeżeli funkcja f oraz
f
jej pochodna cząstkowa są ciągłe na obszarze D, to zagadnienie początkowe
y
y' f (x, y), y(x0) y0, ma dokladnie jedno rozwiązanie (inaczej mówiąc, istnieje
otoczenie O(x0) i dokładnie jedno rozwiązanie y y(x), x O(x0), RR (4) spełniająco
warunek początkowy y(x0) y0 czyli w geometrycznej interpretacji: dla każdego punktu
(x0, y0) D istnieje otoczenie O(x0, y0) D i w tym otoczeniu istnieje przy czym
dokładnie jedna krzywa całkowa RR (4), która przechodzi przez punkt (x0, y0) .
Uwaga. Sformułowanie analogicznego twierdzenia dla RR (4) rzędu n jest
bardziej skomplikowane, ale dla RRL (3) w obszarze X D1 n 1 zagadnienie
początkowe (8) ma (przy czym dokładnie jedno) rozwiązanie, jeżeli wyraz wolny f(x)
oraz współczynniki a1(x),...,an(x) są ciąqłe dla x X (a,b).
5B12 (Definicja). Rozwiązanie RR nazywamy osobliwym, jeżeli w każdym punkcie
tego rozwiązania nie ma jednoznaczności rozwiązania zagadnienia początkowego
Cauchy ego.
5A+B13 (Przykłady).
13.1. Rozważmy RR
2
3
y' 3 y . (9)
2 2 1
dy
3 3 3
Stąd mamy: 3y y dy 3 dx 3y 3x 3C y (x C)3 jest
dx
rozwiązaniem ogólnym. Wtedy rozwiązanie y 0 jest rozwiązaniem osobliwym,
poniewaz przez każdy punkt
(x0,0) wykresu tego rozwiązania
przechodzą dwie krzywę całkową
o równaniach:
y 0 oraz y (x x0)3 .
13.2. Rozważmy RR
(y')2 y' 2 0. Ćwiczenie
(A+B): sprawdzić, czy ma
to równanie rozwiązania
osobliwe, rozwiązania ogólne.
5A+B14 (Interpretacja geometryczna RR pierwszego rzędu). Rozważmy RR (4):
y' f (x, y) lub
P(x, y)dx Q(x, y)dy 0 (10)
(to jest formą różniczkową RR w obszarze D R2). Każdemu punktowie (x, y) tego
obszaru jest zatem przyporządkowany kierunek stycznej do krzywej całkowej
przechodzącej przez ten punkt i nachylonej do osi Ox pod kątem, którego tangens jest
P(x, y)
równy f (x, y) (czyli - dla RR (10)) lub nachylonej do osi Oy pod kątem o
Q(x, y)
1 Q(x, y)
tangensu
(czyli - dla RR (10)). RR określa wtedy na obszarze D pole
f (x, y) P(x, y)
dy
kierunków (odcinków) które są stycznymy. Kierunek jest określony, jeżeli istnieje
dx
dx dy dx
lub . Jeżeli w pewnym punkcie obszaru D nie istnieje zarówno jak i , to punkt
dy dx dy
taki jest (nazywamy) osobliwym. Zatem całkowanie RR wygodnie rozumieć w szerszym
sensie: całkować RR na obszarze D, znaczy znależć na tym obszarze (oprócz punktów
osobliwych) wszystkie krzywe całkowe, które w każdym swym punkcie będą styczne do
odpowiednego kierunku RR. Przy wykonamiu tego zadania oraz przy rysowaniu pola
kierunków stycznych jest pożyteczne pojęcie izokliny RR, tzn. zbioru punktów
płaszcyzny (obszaru D), w których styczne do krzywych całkowych tego równania mają
jednakowy kierunek.
dy x dx y
5A+B15 (Przykład). Rozważmy RR: xdx ydy 0 lub .
dx y dy x
x
Mamy zatem równania izoklin: k const lub
y
y
const :
x
Stąd otrzymamy rodzinę krzywych całkowych:
5A+B16 (Uwaga). RR (10) o różniczkach jest równoważne dwóm RR o
pochodnych:
dy P(x, y) dx Q(x, y)
lub .
dx Q(x, y) dy P(x, y)
5A+B17 (Przyklady z geometrii i fizyki prowadzące do RR).
17.1. Z geometrii (równanie rodziny
krzywych). Znależeć rodziną krzywych, dla
których odcinek stycznej zawarty między osiami
układu współrzędnych dzieli się na równe części
w punkcie styczności.
Niech y y(x) będzie równaniem szukanej
krzywej oraz punkt M (x, y) będzie punktem
styczności. Mamy zatem równanie stycznej
Y y y'(x)(X x) , gdzie punkt (X,Y ) leży na
stycznej. Wtedy:
yy
przy Y 0 X x A(x ,0) ,
y''
y
przy X 0 Y y xy' B(0, y xy')
y
xA xB x
y' ,
x xM
Mamy: 22 .
yA yB y xy'
y yM
22
Stąd otrzymamy równanie rodziny krzywych:
xy' y 0 . (11)
17.2. Z fizyki. Mamy punktowe
żródło stwiatła. Znależć formę
reflektora, dla którego promieni tego
żródła wracają od reflektora wiązką
promieni równoległych.
Rozważmy oś Ox ze żródło o
początku i która będzie równoległa
wiąskę promieni. Niech punkt M (x, y)
będzie dowolnym punktem reflektora.
Niech dalej kąt będzie kątem między
promieniem padającym do reflektora i
promieniem, wracającym od reflektora
oraz kąt będzie kątem między stycznej i promieniem wracającym w punkcje M . Z
fizuki wiemy, że kąt spada jest równy kątu odbicia. Wtedy .Stąd mamy:
2 2
2 oraz
y 2tg
tg tg( 2 ) tg2
x 1 tg2 tg y'
2 y' x x2 y2
y ( y')2 2xy' y 0 y'
1 ( y')2 y
2
x x2 y
y' .
(z fizyki y y' 0) y
2
x x2 y
Mamy wtedy równanie reflektora: y'
y
5.2. Równania różniczkowe rzędu pierwszego.
Pamiętamy, że równanie o postaci F(x, y, y') 0 jest ogólną formą RR rzędu
pierwczego oraz rozwiązanie ogólne RR y' f (x, y) rzędu 1 ma postać y (x,C) i
jest funkcją zmiennej niezależnej x i dowolnej stałej C.
5A18 (RR o zmiennych rozdzielonych). W ten sposób nazywamy RR o postaci
M (x) N(y)
y' (2)
P(x) Q(y)
o funkcji niewiadomej y y(x) lub ogólnej równanie o postaci różniczkowej
P(x)Q(y)dy M (x)N(y)dx (2*)
o funkcji niewiadomej y y(x) , x (a,b) , lub o funkcji niewiadomej x x( y) ,
y (c,d) . Stąd wynika, że jeżeli N( y0) 0 dla pewnego y0 (c,d) , to funkcija stała
y(x) y0 , x (a,b) , jest jednym z rozwiązań równania (2) oraz (2*), natomiast jeżeli
M (x0) 0 dla pewnego x0 (a,b), to funkcija stała x(y) x0 jest jednym z rozwiązań
RR (2*). Założmy teraz, że zmienna x jest różna od pierwiastków funkcji P oraz zmienna
y różni się od pierwiastków funkcji N. Wówczas zapisujemy (2*) w postaci rozdzielonej
Q(y) M (x)
(od której pochodzi nazwa): dy dx , całkujemy zatem
N( y) P(x)
Q(y) M (x)
dy dx C (3)
N( y) P(x)
i otrzymamy całke ogólną (tutaj C jest dowolną stąła, całki rozumiane są jako dowolne,
lecz ustałone, funkcje pierwotne). Jeżeli mamy rozwiązać zagadnienie początkowe
y x
Q(t) M (t)
Cauchy ego y(x0) y0 , to możemy skorzystać z całki szczególną: dt dt .
N(t) P(t)
y0 x0
Twierdzenie (A+C: istnienie i jednoznaczność rozwiązań). Jeżeli funkcji
def def
M (x) N(y)
(x) , x (a,b), ( y) , y (c,d), są ciągłe, pry czym (y) 0 dla
P(x) Q( y)
y (c,d) , to zagadnienie początkowe y(x0) y0 dla równania y' (x) ( y) , gdzie
2
(x0, y0) D {(x, y) : x (a,b), y (c,d)}, ma dokładnie jedno rozwiązanie, to
znaczy przez każdy punkt prostokąta D przechodzi jedna (i tylko jedna) krzywa całkowa
tego równania.
Przykład. Rozważmy równanie (11) w 3A+B17:
dy y dy dx C
xy' y 0 ln y ln x ln C y jest rodziną
dx x y x x
krzywych (giperbole) całkowych (rozwiązanie ogólne). Zamiast stałej dowolnej, którą
oznaczamy jedną litęra, napisaliśmy tu ln C . Oczywiście, każdą stałę można zapisać w
takiej postaci. Rozwiązając zagadnienie Cauchy ego: y(1) 1, otrzymamy
C 1
1 C 1 y jest rozwiązaniem szczególnym. Uwzględniając warunek
1 x
początkowy y(0) 0 otrzymamy rozwiązanie y(x) 0.
Czy to jest rozwiązaniem szczególnym? Czy to jest rozwiązaniem osobliwym?
5A19 (Równanie jednorodne). W ten sposób nazywamy RR o postaci
y
y' ( ) (4)
x
gdzie funkcja jest ciągła w przedziale (a,b) , lub o postaci
y' f (x, y) , (4*)
2
gdzie f (tx,ty) f (x, y) dla dowolnego t , (x, y) D , lub o postaci
różniczkowej
M (x, y)dx N(x, y)dy 0, (4**)
gdzie M (tx,ty) tkM (x, y), N (tx,ty) tkN (x, y), t , k 1 ,(x, y) D .
RR jednorodne można za pomocą podstawienia
y u x (5)
sprowadzić do RR o zmiennych rozdzielonych.
Dowód na prykład dla równania (4*), mamy:
du
y' (ux)' u'x u f (x,ux) f (1,u) x f (1,u) u
dx
du dx
(równanie o zmiennych rozdzielonych).
f (1,u) u x
x x2 y2
Przykład. Rożważmy RR (12) w 3A+B17: y' . Mamy:
y
tx (tx)2 (ty)2 x x2 y2
f (tx,ty) f (x, y). Więc jest wtedy to równanie
ty y
jednorodnym.
1 1 u2
Podstawiając y u x, otrzymamy po redukcji . Stąd wynika:
u'x u
u
du 1 1 u2 1 u2 1 u2
xu
dx u u
udu dx
1 u2 1 u2 x
1 du dx
1 1 u2 1 u2 x
d(1 1 u2 ) dx
x
1 1 u2
C
ln 1 1 u2 ln x ln C ln
x
y2 C y2 C y2 C2 C
1 1 1 ( 1)2 2
x2 x x2 x x2 x2 x
y2 C2 2Cx.
Stąd wynika, że reflektorami szukanymi są paraboli.
5A20 (RRL rzędu pierwszego). W ten sposób nazywamy RR o postaci
y' p(x)y f (x) (6)
gdzie p(x) i f (x) są to funkcje dane, określone (i ciągłe) w pewnym przedziale (a,b) .
dy
RRL jednorodne p(x)y 0 (funkcja f (x) 0 ) jest RR o zmiennych rozdzielonych.
dx
dy
Rozdzielamy więc zmienne i całkujemy p(x)dx ln y p(x)dx C
y
p(x)dx
y C e jest rozwiązaniem ogólnym RRL jednorodnego. W ogólnym przypadku
RRL (6) niejednorodne ( f (x) 0) sprowadzamy do RR o zmiennych rozdzielonych
''
korzystając z metody u . W tym celu wprowadzamy dwie nowe funkcje
''
niewiadome u u(x) i (x) za pomocą podstawienia:
y u . (7)
'
Wówczas y' u' u i zgodnie z (6) mamy:
' '
u' u p(x)u f (x) u' u( p(x) ) f (x). (8)
Na funkcje (x) nałożmy teraz dodatkowy warunek
'
p(x) 0 (9)
dzięki któremu równanie (8) stanie się układem RR o zmiennych rozdzielonych:
p(x)dx p(x)dx p(x)dx p(x)dx
u C f (x)e dx y u Ce e f (x)e dx (10)
jest rozwiązaniem ogólnym.
Przykłady: 1) xy' y 0 jest RRL jednorodnym, mamy
dy dy dx
x y ln y ln x ln c y Cx jest rozwiązaniem ogólnym;
dx y x
2) xy' y x2 jest RRL niejednorodnym,
a) metoda standardowa:
' '
xy' y x2 y u x(u' u ) u x2 xu' u(x )
d dx
'
x 0
du
x
x2 x 1 u x C
du dx
xu' x2 xx2
dx
y u x2 Cx jest rozwiązaniem ogólnym,
xy' y y y
b) WM-metoda: 1 ( )' 1 x C y x2 Cx .
x2 x x
Twierdzenie (A+B) o istnieniu i jednoznaczności rozwiązań RRL. Jeżeli funkcje
p(x) i f (x) są ciągłe w przedziale (a,b) , to wzór (10) przedstawia całke ogólne
równania (6), a ponadto przez każdy punkt (x0, y0) obszaru
2
D {(x, y) : x (a,b), y } przechodzi dokładnie jedna krzywa całkowa tego
równania.
5A+B21 (RR Bernoulliego). W ten sposób nazywamy RR o postaci
y' p(x)y q(x)yr (11)
Uwaga. Gdy r 0, RR (11) jest RRL niejednorodnym, gdy zaś r 1 jest RRL
jednorodnym. W ogólnym przypadku RR (11) można także sprowadzić (B) przez
podstawienie z y1 r do równania liniowego ze wsględu na inną funkcję niewiadomą z.
''
Ale zwykłą metodą rozwiązania RR (11) jest metoda ''u . Mamy:
' '
y u y' u' u p(x)u q(x)ur r u' u( p(x) )
'
p(x) 0 p(x)dx du p(x)dx
q(x)ur r (8) e (e )r 1q(x)dx
ur
u' q(x)ur r
(to jest RR o zmiennych rozdzielonych).
Przykład. Znależć całkę ogólną równania (Bernoulliego):
xy' y y2 ln x (12)
'
x 0
'
Mamy: y u xu' u(x ) u2 2 ln x
'
xu u2 2 ln x
1 ln x
u' u2 . Po całkowaniu tego równania otrzymamy (A+B):
xx2
x
u , gdzie C jest dowolną stałą. Wracając do zmiennej y otrzymujemy całkę
1 ln x Cx
1
ogólną: y .
1 ln x Cx
Ćwiczenie (A+B). Czy funkcja y(x) 0 jest a) rozwiązaniem, b) rozwiązaniem
szczególnym RR (12) w przedziale (1, ) ?
5B+C22 (RR zupełne). W ten sposób nazywamy RR
P(x, y)
y' (13)
Q(x, y)
lub o postaci różniczkowej P(x, y)dx Q(x, y)dy 0 , gdy istnieje funkcja u(x,y) klasy C2
2
w obszarze D , ktorej różniczka zupełna równa się lewej stronie tego równania:
uu
du(x, y) P(x, y)dx Q(x, y)dy , a więc gdy (poziom C): P, Q .
xy
Stąd mamy
P Q
Twierdzenie. Równanie (13) jest zupełne wtedy i tylko wtedy, gdy .
y x
Twierdzenie. Jeżeli funkcje P(x, y) i Q(x, y) klasy C1 w prostokącie
P Q
2
D {(x, y) : x (a,b), y (c,d )} spełniają warunek
oraz funkcja Q(x, y)
y x
nie przyjmuje wartości zero w żadnym punkcie tego prostokąta, to wzór u(x, y(x)) c,
gdzie c jest dowolną stałą, a funkcja u(x, y) jest określona następująco
x y
u(x, y) P(t, y)dt Q(x0,t)dt, (x0, y0) D , przedstawia całke ogólne RR (13), a
x0 y0
ponadto przez każdy punkt (x0, y0) prostokąta D przechodzi dokładnie jedna krzywa
całkowa tego równania.
5A+C23 (Uwaga). W praktyce jest użyteczna następująca klasyfikacja
RR rzędu 1:
nazwa metoda całkowania
postać: y' f (x, y)
1) f (x, y) (x) (y) RR o zmiennych rozdzielamy zmienne i
rozdzielonych całkujemy
2) f (tx,ty) f (x, y) RR jednorodne podstawienie y u x
3) f (x, y) p(x)y q(x) RRL podstawienie y u
RR Bernoulliego podstawienie y u
4) f (x, y) p(x)y q(x) yr
P(x, y) RR zupełne całka ogólna
5) f (x, y)
u x, y x c , gdzie
Q(x, y)
x
P Q
(poziom C)
u(x, y) P(t, y)dt
y x
x0
y
Q(x0,t)dt
y0
Uwaga. Podstawienie y u x jest przypadkiem szczególnym podstawienia
y u przy x.
Przykład. Znależć całke ogólne równania
(x3 xy2 1)dx (x2 y y3)dy 0 . (14)
PQ
Ponieważ 2xy więc w dowolnym obszarze prostokątnym D bez punktów osi
yx
Ox są spełnione wszystkie zalożenia poprzedniego twerdzenia. Mamy zatem
x y
x4 x2 y2 x02 x02 y2
u(x, y) (x3 xy2 1)dx (x02 y y3)dy x
4 2 4 2
x0 y0
x02 y2 y4 x02 y02 y02 x4 x2 y2 y4
x0 C1 x C2.
2 4 2 4 4 2 4
x4 y4 x2 y2
Wtedy wzór x C przedstawia całkę ogólną równania (14).
42
5C24 (Czynnik całkujący). Funkcja (x, y) jest czynnikiem całkującym równania
P(x, y)dx Q(x, y)dy 0, (15)
gdy równanie
(x, y)P(x, y)dx (x, y)Q(x, y)dy 0 (16)
( P) ( Q)
jest RR zupełnym w pewnym obszarze D. Mamy zatem Stąd mamy
yx
Q P
P Q () . (17)
y x x y
Równanie (17) o pochodnych cząstkowych , niełatwe do rozwiązania w ogólnym
x y
przypadku. Zadanie to upraszcza się, gdy funkcją (x, y) jest funkcją tylko jednej
zmiennej x lub tylko jednej zmiennej y.
5B25 (Uwaga). Istnieją inne metody niż metoda "u " całkowania RRL
y' p(x)y f (x) . (18)
25.1. Metoda uzmienienia stalej. Rozwiązanie tego RR przedstawiamy w postaci
p(x)dx
y(x) c(x)e , (19)
gdzie funkcję c(x) staramy się tak dobrać, aby wzór (19) przedstawiał rozwiązanie
ogólne RR . Jeżeli podstawimy (19) w RR (18):
p(x)dx p(x)dx p(x)dx
c'(x)e c(x)e ( p(x)) p(x)c(x)e f (x) to otrzymamy
p(x)dx p(x)dx
c'(x)e f (x) . Stąd c(x) f (x)e dx C.
 25.2. Metoda czynnika całkującego. Pomnożmy obie strony równania (18) przez
p( x )dx p( x)dx p( x)dx p( x)dx
e :
wyrażenie y'e p(x)y e f (x)e . Wtedy
p(x)dx p(x)dx
(ye )' f (x)e . Zatem całkujemy
p(x)dx p(x)dx p(x)dx p(x)dx
ye f (x)e dx C y e (C f (x)e dx).