Wykład 11. Elektrostatyka.
1. Prawo Coulomba
Elektromangentyzm, jedno fundamentalnych 4 z fundamentalnych oddziaływań
występujących w przyrodzie
Rys. 1.1 Fundamentalne oddziaływania, przegląd: siła, zasięg, gdzie dominują.
Wez
my dwa ładunki q1, q2 odległe od siebie o r (patrz rysunek 1.2)
Rys 1.2 Siły działające między dwoma ładunkami. Prawo Coulomba.
r
q1 q2 q1 q2 r
Ć
F = k r = k r
(1.1)
2
r r3 ,
gdzie k, w układzie SI (w pró\
ni):
1
2
�ł łł
1 N m2
k = = 8.988 x109 �ł 2 śł
(1.2)
4Ą �0 C
�ł �ł
stała Coulomba.
W pró\
ni postać prawo Coulomba przyjmie postać:
r
1 q1 q2 r
F = r
(1.1)
4Ą �0 r3 ,
W ośrodku ró\
nym od pró\
ni musimy uwzględnić przenikalność elektryczną
ośrodka, stąd:
� = �0 �
(1.3)
r
�0 - przenikalność elektryczna pró\
ni
� - względna przenikalność elektryczna ośrodka (stała bezwymiarowa)
r
Tabela 1 Wartości przenikalności elektrycznej dla kilku wybranych materiałów.
ośrodek
�
przenikalność elektryczna
r
1
pró\
nia
1.0006
powietrze
81
woda (H2O)
27
alkohol etyl. (C2H5OH)
Nale\
y pamiętać, o związku między elektrycznymi i magnetycznym
własnościami pró\
ni a prędkością światła:
1
c =
,
� �0
0
gdzie �0 to podatność elektryczna, �0 podatność magnetyczna pró\
ni.
Oddziaływanie elektryczne ładunków zale\
y od ośrodka, w którym ładunki się
znajdują. Ośrodek wpływa na oddziaływanie, ale te\
pole elektryczne oddziałuje
na ośrodek (polaryzacja elektryczna ośrodka)
2
2. Pole elektryczne
Pojęcie pola elektrycznego. A
adunek pierwszy oddziałuje z polem
wytwarzanym przez ładunek drugi (i vice versa), a nie bezpośrednio ze sobą (rys.
1.1).
Pole elektryczne definiuje się jako siłę na jednostkę ładunku:
r r
F = q �" E
r
r
F
(2.1)
E =
q
gdzie E  natę\
enie pola elektrycznego, F  siła z prawa Coulomba (równanie
1.1), q ładunek próbny (dodatni).
Równanie to jest prawdziwe tylko w przypadku, gdy ładunki są nieruchome
(elektrostatyka). Je\
eli ładunki się poruszają, zale\
ność między siła a
natę\
eniem pola elektrycznego opisuje prawo Lorentza.
r r r
r
F = q(E + vxB)
(2.2).
Pola elektryczne dodają się wektorowo. Je\
eli mamy wiele ładunków, to
całkowite pole elektryczne jest równe:
r r r r r
E = E1 + E2 + E3 +K =
"Ei (2.3).
i
gdzie Ei - natę\
enie ładunku punktowego dane jest przez równania 1.1 i 2.1:
r
1 q1
Ć
E = r
, (2.4)
2
4Ą �0 r
W przypadku, gdy mamy bardzo du\
ą (praktycznie nieskończoną) liczbę
ładunków, to równanie (2.4) przyjmuje postać równania całkowego:
r
1 �
3
Ć Ć
E = rd r
(2.4a).
+" 2
4Ą �0 r
3
Rys. Pola elektryczne
Rys. 2.1 Przykłady pól wektorowych: pole ładunku ujemnego (lewy, dolny),
pole ładunku dodatniego (prawy, dolny).
Rys 2.2 Pole elektryczne otaczające ujemny (czerwony) i dodatni (zielony)
ładunek elektryczny, pole dipola elektrycznego
Moment dipolowy:
r
r
p = q �" d
4
Kwadrupol  moment kwadrupolowy
Moment kwadrupolowy (i wy\
sze momenty) odgrywają bardzo wa\
ną rolę we
własnościach dielektrycznych materiałów.
Natę\
enie pola elektrycznego spełnia prawo odwrotności kwadratu odległości
1
E H" , patrz rysunek
2
r
Rys. 2.3 Pole elektryczne spełnia prawo odwrotności kwadratu odległości.
Inne wielkości spełniające tę zale\
ność: pole grawitacyjne, natę\
enie
promieniowania.
2. A
adunek elektryczny.
5
Atomy, cząsteczki zbudowane są z elektronów, protonów i neutronów; dwa
ostatnie, zwane nukleonami, tworzą jądro atomowe. Elektrony, protony oraz
neutrony posiadają następujące ładunki elektryczne:
qe = -(1.60217733 ą 0.000000 49) x10-19 [C]
q = +(1.60217733 ą 0.000000 49) x10-19 [C] (2.1)
p
qn = -0.4 ą1.1 x10-21 x qe
A
adunki protonu i elektronu są sobie równe, w granicy błędu pomiarowego. Dla
wygody definiujemy ładunek elementarny (ujemny) e = qe = -q :
p
e = -1.602 x10-19 [C]
(2.2)
Ka\
dy ładunek elektryczny, z którym mamy do czynienia jest całkowitą
wielokrotnością ładunku elementarnego.
Rys. Neutron i proton  budowa nukleonów.
Przykład: w naszych gniazdkach mamy napięcie U = 220 [V], je\
eli
podłączymy do niego urządzenie o mocy 220 [W], np. bardzo mocną \
arówkę,
to przez to urządzenie popłynie prąd 1 [A]. 1 [C] (Coulomb) to ładunek, jakie
przepływa przez to urządzenie w ciągu 1 s!
3. Potencjał pola elektrostatycznego.
6
Pole elektryczne jest polem wektorowym (rys. 2.1, 2.2) ale równie\
polem
skalarnym.
Pole elektryczne jest polem zachowawczym  praca wykonana przez pole
elektryczne nie zale\
y od drogi, lecz od poło\
eń punktu początkowego i
końcowego. Dlatego praca wykonana dla drogi zamkniętej jest równa zero.
r r
r r
(3.1)
+"F dr = q+"E dr = 0 ,
Równanie 3.1 jest prawdziwe dla ka\
dego pola zachowawczego (np. pola
grawitacyjne). Je\
eli pole jest polem zachowawczym, to znaczy, \
e dla takiego
pola istnieje potencjał i energia potencjalna.
r r
Energię potencjalną w punkcie r , czyli U (r ) definiujemy jako:
r r r
" " r
r r r r
U (r ) = F dr = q E dr = -q E dr
, (3.2),
+" +" +"
r r "
jest to praca wykonaną przez siły zewnętrzne przy przenoszeniu ładunku
r
punktowego q z nieskończoności do punktu r .
Przykład: dla dwóch ładunków punktowych odległych o r, energia potencjalna
takiego układu ładunków wynosi:
r r
" "
r r r 1 q1 q2
U (r ) = F dr = q1 r E dr =
, (3.3),
+" +"
r
4Ą �0 r
Praca wykonana przez siły pola przy przesunięciu ładunki z r1 do r2 wynosi:
r r r
r2 " r2
r r r r r
W (r1 r2 ) = F dr = F dr - F dr = U (r1) -U (r2 )
(3.4),
+" +" +"
r1 r1 "
i jest równa ró\
nicy energii potencjalnej w tych punktach.
Ogólna zale\
ność między siłą a energią potencjalną jest następująca:
r
F = -gradU (r) = -"U (r)
, (3.5);
Operator ró\
niczkowy " , zwany operatorem Hamiltona albo operatorem nabla1,
w układzie współrzędnych kartezjańskich [x, y, z] ma szczególnie prostą postać:
1
nabla z semickiego  harfa, przypomina staroegipską harfę
7
�ł " " " łł
" = , ,
�ł"x "y "z śł
(3.6).
�ł �ł
w układzie sferycznym [r,� ,�] wygląda tak:
�ł " 1 " 1 " łł
" = , ,
�ł"r r "� r sin� "� śł (3.7).
�ł �ł
Mo\
na go traktować jako wektor.
Działanie operatora gradientu na pole skalarne przedstawia rys. 3.1
Rys. 3.1 Pole skalarne zaznaczono przez czerń (wysoka wartość) i biel (niska
wartość). Gradient  niebieskie strzałki wskazują wysokie wartości pola
skalarnego.
Wzór ten się znacząco upraszcza, gdy siła zale\
y tylko od odległości między
oddziałującymi punktami, a nie zale\
y od kątów, a tak jest np. w przypadku siły
Coulomba. Nale\
y zwrócić uwagę, \
e prawo Coulomba jest napisane w układzie
r
r
sferycznym! Siła F(r ) zale\
y tylko od r. Stosują postać operatora Hamiltona z
równania 3.7 do równania 3.5 otrzymamy zale\
ność:
r
dU (r)
Ć
F = - r
, (3.8);
dr
8
Równanie to jest uproszczoną wersją równania 3.5, prawdziwą jedynie dla pól
sferycznie symetrycznych, takich jak pole ładunku punktowego. Pozwala ono
policzyć siłę działającą na ładunek umieszczony w punkcie o energii
potencjalnej U(r). Je\
eli znamy siłę, a chcemy obliczyć energię potencjalną
posłu\
ymy się zale\
nością wynikającą z równania 3.4:
r
r2
r
U (r1) -U (r2 ) = F dr
(3.9),
+"
r1
Równania 3.4  3.8 są słuszne dla ka\
dego pola zachowawczego, np. pola
elektrycznego, pola grawitacyjnego.
r
Potencjał Ć(r ) jest to energia potencjalna przypadająca na jednostkowy ładunek.
Związek między potencjałem potencjałów energią potencjalną jest oczywisty:
U (r)
Ć(r) =
(3.10),
q
Ró\
nica potencjałów w dwóch punktach jest zatem równa:
U (r1) -U (r2 ) W (r1 r2 )
"Ć = Ć(r1) -Ć(r2 ) = =
(3.11),
q q
i jest nazywana napięciem. W układzie SI jednostką napięcia jest 1 V [volt].
Podstawiając do równania 3.11 definicję energii potencjalnej (równ. 3.4)
otrzymamy potencjał będzie określony przez zale\
ność:
r r
" r
r r r
Ć(r ) = E dr = - E dr
, (3.12).
+" +"
r "
Równanie 3.12 jest równaniem całkowym. Związek między potencjałem a
wektorem natę\
enia pola elektrycznego mo\
na równie\
przedstawić w postaci
równania ró\
niczkowego, analogicznego do równ. 3.5:
r
E = -gradĆ(r) = -"Ć(r)
, (3.4).
Przykład: dla ładunku punktowego q potencjał wyniesie:
r
"
r r 1 q
Ć(r ) = E dr =
(3.5).
+"
r
4Ą �0 r
9
Wielkościami charakteryzującymi pole oraz związki między nim i zebrano w
tabeli 1. Związki te są analogiczne dla związków pola grawitacyjnego.
Zadanie: Jakie powierzchnie ekwipotencjalne ma nieskończona, jednorodnie
naładowana nić?
Tabela 1. Związki między wielkościami charakteryzującymi pole elektryczne.
własności powiązania własności pola
ładunków
r r
wielkości siła: pole elektryczne
F = qE
r r
wektorowe 1 q1 q2 Ć 1 q1 Ć
F = r E = r
2 2
4Ą �0 r 4Ą �0 r
r r
związki między
F = -"U (r)
E = -"Ć(r)
nimi
wielkości skalarne energia potencjał;
potencjalna: r 1 q
U (r) = qĆ(r)
Ć(r ) =
1 q1 q2
4Ą �0 r
U (r) =
4Ą �0 r
Powierzchnie ekwipotencjalne  powierzchnie stałego potencjału, spełniające
r
Ć(r ) = const
równanie Praca przy przesunięciu ładunku na pow.
ekwipotencjalnej = 0!
Przykład: dla ładunku punktowego powierzchnie ekwipotencjalne to zbiór
współśrodkowych sfer w środku, których znajduje się ładunek punktowy.
Przedstawiono to na rys. 3.2.
10
Rys. 3.2 Pole ładunku punktowego, powierzchnia ekwipotencjalna oraz pole
wektorowe.
Praca wykonana przy przesunięciu ładunku między ró\
nymi powierzchniami
ekwipotencjalnymi jest ró\
na od zera!
11