Formaty zmiennoprzecinkowe
Zapis wykładniczy liczby zmiennoprzecinkowej:
L = M �" PE
M  mantysa liczby, przedstawiona w postaci
znormalizowanej, znajduje się w przedziale [1,P)
P  podstawa systemu liczbowego
E  wykładnik (cecha), ang. exponent
1,23 �" 103(10)
Formaty zmiennoprzecinkowe
Zapis wykładniczy liczby:
L = (-1)S �" M �" 2E
Wykładnik Mantysa
S
Postać znormalizowana
Dla ujednolicenia zapisu i usunięcia wielokrotnych
reprezentacji tej samej liczby przyjęto tzw. postać
znormalizowaną zapisu liczby
Znormalizowana postać liczby zmiennoprzecinkowej to taka,
w której mantysa spełnia nierówność:
1 d" |M| < P
257�"109 = 25,7�"1010 = 2,57�"
�"1011 =0,257�"1012 =0,0257�"1013
�"
�"
Dla systemu binarnego w postaci znormalizowanej mantysa
powinna być z przedziału [1,2), czyli ma postać
1,xxxxxxxx... (jedynka w części całkowitej)
Formaty zmiennoprzecinkowe
k
n
... ...
zc ck-2 ck-3 c2 c1 c0 zm mn-2mn-3 m2 m1 m0
Cecha Mantysa
U2
ZM
Biased
Formaty zmiennoprzecinkowe
Rozmiar wykładnika określa zakres reprezentacji liczb
2 1 0 4 3 2 1 0
ą2-4 � H" ą24
H"
H"
Mantysa H"
3 2 1 0 3 2 1 0
ą2-8 � H" ą28
H"
H"
Mantysa H"
4 3 2 1 0 2 1 0
Mantysa
ą2-16 � H" ą216
H"
H"
H"
U2
Formaty zmiennoprzecinkowe
2
H" 0,001011100
11
1,011100 �" 2-3
U2 ZM
2 1 0 4 3 2 1 0
1,0111 �" 2-3
1 0 1 0 0 1 1 1
3 2 1 0 3 2 1 0
1,011 �" 2-3
1 1 0 1 0 0 1 1
Formaty zmiennoprzecinkowe
k
n
... ...
zm ck-1 ck-2 c2 c1 c0 mn-1mn-2 m2 m1 m0
Cecha Mantysa
(biased) (ZM)
Ograniczenia zapisu zmiennopozycyjnego
Mantysa i cecha są ograniczone rozmiarem słowa
maszynowego
Liczba w zapisie zmiennoprzecinkowym jest
przedstawiona z pewną dokładnością i mo\
e
występować tylko w określonym zakresie
Nie wszystkie liczby rzeczywiste mo\
na przedstawić za
pomocą zapisu zmiennoprzecinkowego
Zakres reprezentowalności
Ograniczenie zakresu wynika ze skończonej długości pola wykładnika
niedomiar niedomiar
ujemny dodatni nadmiar
nadmiar
dodatni
ujemny
Zakres Zakres
reprezentowalności reprezentowalności
liczb ujemnych liczb dodatnich
- Lmax - Lmin 0 Lmin Lmax
Lmin  najmniejsza wartość bezwzględna liczby, którą mo\
na
reprezentować w danym formacie
Lmax  największa wartość bezwzględna liczby, którą mo\
na
reprezentować w danym formacie
Zakres reprezentowalności
niedomiar niedomiar
ujemny dodatni nadmiar
nadmiar
dodatni
ujemny
Zakres Zakres
reprezentowalności reprezentowalności
liczb ujemnych liczb dodatnich
- Lmax - Lmin 0 Lmin Lmax
Zakres liczb, które mogą być reprezentowane w danym
formacie wynosi:
[ - - *" *"
-Lmax , -Lmin ] *" {0} *" [ Lmin , Lmax ]
- - *" *"
- - *" *"
Zakres reprezentowalności
Ograniczenie zakresu wynika ze skończonej długości
pola wykładnika
Niedomiar występuje, gdy wielkość ułamkowa jest
zbyt mała  zazwyczaj jest wtedy aproksymowana
przez zero
Jeśli wynik operacji zmiennoprzecinkowej jest
większy od Lmax lub mniejszy od -Lmax to zaistniałą
sytuację nazywamy błędem nadmiaru
Zakres reprezentowalności
Format z 8-b wykładnikiem (2ą127 ):
Lmax H" ą 1038
Lmin H" ą 10-38
Format z 11-b wykładnikiem (2ą1023 ):
Lmax H" ą 10308
Lmin H" ą 10-308
Dokładność liczb
Zapisać mo\
na tylko niektóre liczby wymierne
Liczby reprezentowane w notacji zmiennoprzecinkowej nie
są rozmieszczone równomiernie na osi liczb jak liczby
stałopozycyjne
 Zagęszczenie liczb jest zmienne i zale\
y od wartości
wykładnika
Mo\
liwe wartości są rozło\
one gęściej na początku osi, a
rzadziej w miarę oddalania się
E E+1 E+2 E+3
Dokładność liczb
W ka\
dym przedziale znajduje się tyle równomiernie
rozło\
onych liczb, na ile kombinacji pozwala długość pola
mantysy
Dla liczb bliskich Lmin dokładność jest największa, ale
zakres najmniejszy, dla liczb bliskich Lmax  dokładność
najmniejsza, a zakres największy
0 Lmin Lmax
E E+1 E+2 E+3
Dokładność liczb
Ograniczenie dokładności wynika ze skończonej
długości mantysy
Wyniki obliczeń muszą być zaokrąglane do
najbli\
szych wartości mo\
liwych do reprezentowania
Dokładność liczb
Dokładność  liczba zapamiętywanych cyfr
znaczących w systemie dziesiętnym
n
d =
log2(10)
n  liczba bitów mantysy
Jeśli mantysa zapisana na 24 bitach:
n = 24
24 24
d = = = 7,2247 H" 7
log2 (10) 3,321928
Arytmetyka liczb zmiennoprzecinkowych
Niemo\
liwe jest zapisanie wszystkich liczb z
dostępnego zakresu
Działania arytmetyczne dają wyniki obarczone
błędem przybli\
enia
Błąd zakresu (niedomiar lub nadmiar) jest
sygnalizowany wyjątkiem
Błąd przybli\
enia nie jest sygnalizowany
Operacje arytmetyczne wymagają skomplikowanych
algorytmów
Własności arytmetyki zmiennoprzecinkowej
Arytmetyka zmiennoprzecinkowa nie jest łączna:
(x + y) + z `" x + (y + z)
(x �" y)�" z `" x �"(y �" z)
ani rozdzielna:
x �"(y + z) `" (x �" y) + (x �" z)
Kolejność wykonywania operacji wpływa na końcowy
wynik
Dodawanie liczb zmiennoprzecinkowych
X + Y = Z
E
X = XS �" 2X
E
Z = ZS �" 2Z
E
Y = YS �" 2Y
Algorytm dodawania
sprowadzić liczby do wspólnego wykładnika
(denormalizacja liczby najmniejszej)
dodać mantysy liczb (ZS=XS+YS)
znormalizować wynik
zaokrąglić wynik
Dodawanie liczb zmiennoprzecinkowych
Sprowadzanie do wspólnego wykładnika (denormalizacja)
25 + 21
1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 0 1 1
1. 1.
25
0 0 0 1 0 0 1 1
0. 1011
25 +
1 0 0 1 1 0 0 1
1.
Denormalizacja polega na przesunięciu mantysy
mniejszej liczby w prawo z jednoczesnym
zwiększaniem wykładnika
Dodawanie liczb zmiennoprzecinkowych
25 + 2-4
1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 0 1 1
1. 1.
25
0 0 0 0 0 0 0 0
0. 1011
25 +
1 0 0 1 1 0 0 1
1.
W przypadku dodawania liczb znacznie ró\
niących się
wartością wykładnika liczba mniejsza mo\
e być
stracona
Im większa jest ró\
nica cech dodawanych liczb, tym
więcej traci się na dokładności mniejszej liczby
Zaokrąglanie
w kierunku liczby najbli\
szej
0
Zaokrąglanie
w kierunku zera
0
Zaokrąglanie
w górę
0
Zaokrąglanie
w dół
0