zadanie
la=lb=977mm, lc=343mm, ls=0,7621mm,
d=89 mm
1) Ś=200A, �r=4000 Bs=0,13 T
2) B s=0,2T, �r=4000 Ś= 311 Azwoi
3) B s=0,2T Ś= 369 Azwoi
Obwody magnetyczne z magnesem trwałym
Dane: Bp, Sp, �
Materiał na magnes trwały jest bardzo
drogi, więc szukamy Vm=Smlm=min
N
Prawo przepływu:
l �
m
Hmlm+Hp�=0
S
Obwód jednooczkowy,to
BmSm=BpSp
S
m
Stąd:
2
B � S
� B S B
p p
P P P
V = l S = - = = min
m m m
H � B � (-H B )
m 0 m 0 m m
Kiedy (-HmBm)=max
Obwody magnetyczne z magnesem trwałym
B
B
B
B
R
R
B
m
B
m
H B
m m
H
H
H m
K
Stąd, dla takiego punktu pracy uzyskujemy Vm=min
Indukcja Elektromagnetyczna
Eksperymenty Oersted a i innych pokazały, \
e  elektryczność
mo\
e być z
ródłem magnetyzmu
Wprowadzili prawa rządzące polem
magnetycznym związanych z
przepływem prądu.
Przeprowadzono wiele eksperymentów ( bez sukcesu ), które miały potwierdzić istnienie
efektu odwrotnego. Spodziewano się uzyskać prąd stały.
\
e w zamkniętym obwodzie elektrycznym
W 1831 roku Faraday pokazał,
strumień magnetyczny związany z obwodem
płynie prąd przejściowy je\
eli
zmienia się.
N
2)
S
1)
Zmianę strumienia mo\
na uzyskać na wiele sposobów:
1) włącz/wyłącz zasilanie
S N
2) poruszanie magnesem trwałym
Indukcja Elektromagnetyczna
-
Rozwa\
my poruszający się przewód w się stałym polu magnetycznym.
Siła działająca na ładunek w przewodzie:
F = q(u � B)
Siła ta na jednostkę ładunku stanowi składową z
ródłową natę\
enia pola elektrycznego
F
E = = u � B
zr
q
Mo\
na stwierdzić doświadczalnie, \
e składowa z
ródłowa jest ogólnie ró\
na od zera
e = E dl = (u � B) dl `" 0
zr
+" +"
L(s) L
Nazywa się indukowaną siłą elektromotoryczną e=e(t) - ogólnie zmienna w czasie
Indukowane z
ródłowe pole elektryczne jest wirowe
Indukcja Elektromagnetyczna
Mo\
na ściśle udowodnić, \
e indukowana siła elektromotoryczna w zamkniętym
poruszającym się przewodzie jest równa:
dŚ
e = E dl = -
zr
+"
dt
L(S )
strumień indukcji magnetycznej skojarzony z obwodem L
Ś = B d s
gdzie
+"
S
E dl = E = e czyli
zr
zatem
+" +"
E = E + E
Ogólnie: pot zr
L L
dŚ
E dl = -
+"
dt
L
Prawo indukcji magnetycznej  prawo Faraday a
Indukcja Elektromagnetyczna
Nie jest istotne co jest przyczyną zmiany strumienia:
-poruszający się przewód
-zmienne pole magnetyczne
-kombinacja tych dwóch składników
Reguła Lenza
Ka\
dej zmianie strumienia towarzyszy indukowanie się siły elektromotorycznej,
która w zamkniętym obwodzie wywołuje prąd przeciwdziałający zachodzącym
zmianom.
Ś �
Ś �
i(t)
i(t)
e(t)
e(t)
Indukcja Elektromagnetyczna
mo\
na napisać
dŚ d "B
E dl = - = - B d s = - d s
+" +" +"
dt dt "t
L(S ) S S
korzystając z twierdzenia Stokes a
"B
d s
+"rotE d s = -+"
"t
S S
"B
a z dowolności powierzchni S
rotE = "� E = -
"t
ró\
niczkową postać prawa indukcji magnetycznej
W obecności zmiennego pola magnetycznego pole elektryczne jest wirowe
Prądnicowa reguła prawej dłoni
W odcinku l indukuje się siła
" " "
elektromotoryczna indukcji e
B
E
zr e = E dl C" (u � B) l
zr pr
+"
" " "
l
u
pr
" " "
gdy
B Ą" l i u Ą" B �! e = uBl
pr
Silnikowa reguła lewej dłoni
Je\
eli przez przewód płynie prąd I, to wtedy na przewód działa siła mechaniczna
" " "
F = I(l � B)
B
I
" " "
F
l
" " "
gdy
l Ą" B�! F = IlB
Prądnica prądu przemiennego
Ś = Ś0 sin�t
Zgodnie z prawem Faraday a
e(t) = Ś0� cos�t
Napięcie na zaciskach prądnicy
di(t)
v(t) = i(t)R + L + Ś0� cos�t
dt
Prądnica prądu stałego
Indukcyjność własna
Siła indukowana w cewce wielozwojowej jest sumą
poszczególnych sił elektromotorycznych
dŚk d
e = = -
"e = -" "Ś = - d�
k k
dt dt dt
-Strumień skojarzony cewki
� =
"Ś
k
zwojowej
dŚ
e = -n
to
w przypadku gdy Ś1 = Ś2 = �"�"�" = Śk = Ś
dt
� "~ I lub � = LI
Strumień skojarzony cewki jest proporcjonalny do prądu
Współczynnik proporcjonalności nazywamy indukcyjnością własną cewki
L = 1H
[ ]
� nŚ
L = =
I I
Indukcyjność własna
Tak jak w przypadku kondensatora, indukcyjność własną mo\
emy tak\
e traktować
jako zdolność cewki do magazynowania energii pola magnetycznego
2Wm 1
2
L = �! Wm = LI
2
I 2
drut Pętla kołowa
cylinder
selenoid
Linia 2-przewodowa
toroid
Kabel koncentryczny
płyta
Indukcyjność własna
Obliczyć indukcyjność własną drutu o średnicy 2a i długości l
Metoda 1
Korzystając z prawa Ampera
�I �
I
B(�) = 1
�
"
2 a2
d�
� elementarny strumień
�I �
dŚ = Bd �dz = d �dz
2 a2
Strumień skojarzony
S�
�2 �I �3d �dz
d� = dŚ = dŚ =
a
Sa a2 2 a4
a l
�I �3d �dz �Il
� = =
+"+"
2 a4 8 
0 0
� �l
L = =
to
I 8 
H.Rawa, PWN W-wa 1994
Indukcyjność własna
Metoda 2
2Wm
L =
2
I
1 B2
Wm = B Hdv = dv
+" +"
I
2 2�
"
V V
d�
�
a 2  l
2
2 B2 1 �2I �2 �l
L = dv = �d �d�dz =
2 +" 2 +" +" +"
I 2� I � 4 2a4 8 
V 0 0 0
Wprowadza się pojęcie indukcyjności na
jednostkę długości  indukcyjność
jednostkowa L
a
L �
L ' = =
l 8 
Indukcyjność własna
Kabel koncentryczny
Indukcyjność Lin ju\

policzyliśmy
teraz policzymy Lext
b l
�Id �dz �Il b
dŚ2 = B2d �dz �! �2 = =
+"+"
2 � 2 
a 0
�2 �l b
�l 1 b
�ł łł
stąd
Lext = = ln
L = Lin + Lext =
�ł4 + ln a śł
I 2  a
2 
�ł �ł
Indukcyjność na jednostkę długości L
L � 1 b H
�ł łł
L ' = =
�ł4 + ln a śł
l 2  m
�ł �ł
Indukcyjność własna
Dwu \
yłowa linia transmisyjna
�Il
Lin tak jak poprzednio dla
�! �1 =
0 d" � d" a
8 
d -a l
a d" � d" d - a
dla
�I �Il d - a
�2 = d �dz = ln
+" +"
2 � 2  a
a 0
�Il 1 d - a
�ł łł
�1 + �2 =
Strumień wytworzony przez jedną \
yłę
�ł4 + ln a śł
2 
�ł �ł
Ze względu na symetrię druga \
yła wytwarza taki sam strumień, dlatego całkowity
strumień jest równy
�Il 1 d - a
�ł łł
� = 2 �1 + �2 = + ln = LI
( )
�ł śł
 4 a
�ł �ł
�l 1 d
�ł łł
L =
Je\
eli d>>a to indukcyjność własna wynosi
�ł4 + ln a śł

�ł �ł
Indukcyjność wzajemna
Rozwa\
my dwie zwojnice o prądach I1 i I2
w środowisku liniowym
�1 = �11 + �12 = L1I1 + M12I2
�2 = �22 + �21 = L2I2 + M21I1
L1, L2 - indukcyjność własna zwojnic
M12, M21  indukcyjność wzajemna zwojnic
�
[ ] Vs
L = M = = = H
[ ] [ ]
I A
[ ]
Indukcyjność wzajemna
Je\
eli ośrodek wokół obwodów jest liniowy ( bez obecnosci ferromagnetyków ) to
M12 = M21
Strumień skojarzony z obwodem 1
�1 = �11 + �12 = L1I1 + M12I2
Strumień skojarzony z obwodem 2
�2 = �22 + �21 = L2I2 + M21I1
Przykład
�I2 dl
2
�12 = A dl ; A = stąd
1
+" +"
4  r12
L1 L2
�I2 dl dl � dl dl
1 2 1 2
�12 = = M12I2 �! M12 = M21 =
+" +" +" +"
4  r12 4  r12
L1 L2 L1 L2
Indukcyjność wzajemna
W zale\
ności od zwrotów prądów w obwodach L1 i L2 strumienie własne i wzajemne
mogą się dodawać ( sprzę\
enie dodatnie albo zgodne ) lub odejmować ( sprzę\
enie
ujemne albo przeciwne ).
�1 = L1I1 + M12I2 �1 = L1I1 - M12I2
ńł ńł
�" lub
�ł� = L2I2 + M21I1 �ł� = L2I2 - M21I1
ół 2 ół 2
Zaciski jednakoimienne
Je\
eli prądy do zacisków jednakoimiennych
Jednocześnie wpływają lub wypływają to
strumień własny i wzajemny się dodają .
Wtedy istnieje sprzę\
enie dodatnie
I1
I2
Indukcyjność wzajemna
Siły indukcyjności własnej i wzajemnej
I1
I2
M
d�1 dI1 dI2
U1 = = L1 + M
dt dt dt
U2
U1
d�2 dI2 dI1
U2 = = L1 + M
dt dt dt
Sprzę\
enie dodatnie
Strumienie rozproszenia i sprzęgający ( roboczy )
Sprzę\
enie dodatnie
�1 = L1I1 + MI2 = LS1I1 + n1ŚM = �S1 + n1ŚM
�2 = L2I2 + MI1 = LS 2I2 + n2ŚM = �S 2 + n2ŚM
Gdzie: LS1, LS2  indukcyjność rozproszenia 1,2
�S1 = LS1I1 , �S 2 = LS 2I2 - strumień rozproszenia
ŚM - strumień sprzęgający
M
n1 n2 ŚM = I1n1 + I2n2
( )
LS1 = L1 - M ; LS 2 = L2 - M
n1n2
Mo\
na wyprowadzić:
n2 n1
Sprzę\
enie ujemne
M
ŚM = I1n1 - I2n2 ; �1 = �S1 + n1ŚM oraz �2 = �S 2 - n2ŚM
( )
n1n2
Pozostałe wzory bez zmian
Transformator
Niejednoznaczność napięć
�NAI1
je\
eli i(t)�! Ś(t) =
l
Stosując prawo Faraday a
dŚ 1 dŚ
E dl = i(R1 + R2) = + �! i =
+"
dt R1 + R2 dt
L
Pomineliśmy strumień własny wytworzony przez
indukowany prąd
paradoks napięć
Niejednoznaczność napięć w układzie spowodowana jest faktem, \
e pole
elektryczne w tym układzie jest wirowe.
Jeśli zmienny w czasie strumień magnetyczny przecina kontur wyznaczony
przez układ pomiarowy , to ma to wpływ na rozkład prądów i napięć w tym
układzie.
Transformator idealny
� "
Strumień jest całkowicie zamknięty
w obwodzie magnetycznym.
Je\
eli zwroty obu prądów są
dodatnie , to wytworzone w obu
cewkach strumienie magnetyczne
są skierowane przeciwnie względem
siebie.
Całkowity strumień magnetyczny
N1i1 - N2i2 l
Ś = , R =
Strumień skojarzony z cewką 1 i 2 R � A
� A
�1 = N1Ś = (N12i1 - N1N2i2) = L1i1 - Mi2)
l
� A
2
�2 = N2Ś = (N2i2 - N1N2i1) = L2i2 - Mi1)
l
Transformator idealny
� A
2
L1 = N12L0 , L2 = N2 L0 , M = N1N2L0 , L0 =
l
1
2
M = k(L1L2) , 0 d" k d" 1
W ogólnym przypadku
� "�! k =1
� = skończone�! k <1
d�1 di1 di2
v1 = = L1 - M
dt dt dt
Korzystając z prawa Faraday a
d�2 di2 di1
v2 = = L2 - M
dt dt dt
Transformator idealny , to strumień magnetyczny nie ulega rozproszeniu
N1 N2
M = L2 = L1
N2 N1
I stosunek napięć na obu cewkach jest równy stosunkowi liczby zwojów
Transformator idealny
v1 d�1 dt N1
= =
v2 d�2 dt N2
Gdy �" to L1 i L2" i aby v1 i v2 było skończone to
i1 N2
=
i2 N1
Moc wydzielane ze z
ródła jest równa mocy pobranej przez odbiornik
v1i1 = v2i2 �! � = 1
Je\
eli uzwojenie pierwotne zasilimy napięciem v1(t) a wtórne obcią\
ymy rezystancją R2,
to rezystancja mierzona od strony uzwojenia pierwotnego wynosi
2
�ł �ł
v1 N1 v2 N1
v2 = i2R2
R1 = = = R2
i1 N2 (N2 N1)i2 �ł N2 �ł
�ł łł
Warunki graniczne
Warunki pola magnetycznego na granicy dwóch ośrodków definiujemy z:
B d s = 0
+"
-magnetycznego prawa Gauss a
S (V )
H dl = Is
+"
-prawa Ampere a L(S )
B1n - B2n = 0�! B1n = B2n ; �1H1n = �2H2n
B1t B2t
H1t - H2t = K - = K
�1 �2
Warunki graniczne
Je\
eli K=0 prawo załamania
tgŚ1 �1
=
tgŚ2 �2
Wnikanie pola do ferromagnetyków �1"
�1
tgŚ1 = tgŚ2 "�! Ś1 = 900
�0