Energia potencjalna
Pole elektryczne jest polem zachowawczym  praca w tym polu nie zalezy od
drogi, a tylko od położenia początkowego i końcowego.
Przemieszczając ładunek z pkt. R1 do pkt. r2 siła pola elektrycznego wykonują
pracę:
r� r�
r2 r2
r�
r� r� r� r�
W =� F o� dr =� �� E o� dr =� U (r1) -�U(r2)
�� ��q
r� r�
r1 r1
Możemy na tej podstawie zdefiniować energię potencjalną jako pracę, którą muszą
wykonać siły zewnętrzne, aby przenieś ładunek z odległego obszaru w którym
energia potencjalna równa jest zero ("), do danego pkt. pola.
r r
r� r�
r� r� r�
U(r) =� Fz o� dr =� -�q E o� dr
�� ��
Ą� Ą�
r
r� Q �� dr q ��Q
U (r ) =� -�q =�
Dla ładunku pkt. Q:
��
4p�e� ��r2 4p�e� �� r2
0 0
Ą�
Gdy q, Q róznoimienne energia U(r) jest ujemna  pracę wykonują siły pola
elektrostatycznego.
Obliczamy pracę po zamkniętej drodze L:
r� r�
r� r�
��F o� dl =� 0 �� ��E o� dl =� 0
- 11 -
Pole wektorowe spełniające taką właściwość nosi nazwę pola bezwirowego  pole
elektrostatyczne jest polem bezwirowym.
Potencjał pola elektrostatycznego
Stosunek energii potencjalnej ładunku q do wartości do wartości tego ładunku
nazywany jest potencjałem pola elektrostatycznego.
r�
r� r�
r� U(r) J
��V ł�
V (r) =� Ź� =�
W =� q ��(�V(r1) -�V(r2))�
ę� ś�
q C
�� ��
Dla ładunku pkt. Q:
r� Q
V (r ) =�
4p�e�0 �� r
Dla układu ładunków pkt.:
r� qi
V (r ) =�
r� r�
��
4p�e� �� r1 -� r2
i
0
Związek pomiędzy potencjałem a natężeniem pola elektrycznego:
r
r
r�
r�
r� r� r�
r�
U(r) =� -�q o� dr =� q��V (r) �� r�
V (r) =� -� E o� dr
��E
��
Ą� Ą�
Różnica potencjałów pomiędzy pkt. 1 i 2 wynosi zatem:
r2 r1
r� r�
ć�
r� r� r� r��� r2 r� r�
��-� o� dr ��
V (r2 ) -�V (r1) =� -� o� dr -�
��E ��E ł� =� -���E o� dr
�� ��
Ą� Ą� Ą�
Ł�
- 12 -
Dla pola jednorodnego:
r2
r�
r� r� r�
D�V =� V (r2) -�V (r1) =� -� o� dr
��E
r�Ą�
r� r�
D�V =� -�E o� (r2 -� r1) =� E ��D�r
Pole elektryczne skierowane jest w stronę niższego potencjału.
Przykład (1) Obliczmy różnicę potencjałów dka dwuch płyt o powierzchni s,
znajdujących się w odległości d od siebie, naładowanych przeciwnie ładunkami Q.
Q
r�
s� Q
s� =�
E =� =�
S e�0 e�0 �� S
r�
Q �� d
D�V =� E �� d =�
e�0 �� S
Przykład (2) Kabel koncentryczny (współosiowy) składa się z drutu o promieniu r1
otoczonego wydrążonym przewodnikiem walcowym o promienu r2. Liniowe gęstości
ładunku na tych przewodnikach są ruwne n i  n. Znalez
ć różnicę potencjałów między
tymi dwoma przewodnikami
Ponieważ pole ma kierunek radialny:
r2
D�V =� �� dr
��E
r1
Podstawiając wynik z omówionego przykładu:
r2 r2
l� l� dr l� r2
D�V =� dr =� =� ln
�� ��
2p�e� r 2p�e� r 2p�e� r1
0 0 0
r1 r1
- 13 -
Powierzchnia stałego potencjału
Powierzchnia stałego potencjału wyznacza równanie:
r�
r� r�
r�
r�
V (r) =� const
dV =� 0 E ^� dr
�� �� E o� dr �� 0
Warunek ten oznacza, ze wektor pola jest w każdym punkcie prostopadły do
powierzchni stałego potencjału.
Związek potencjału z natężeniem pola
Mamy:
r�
r2
r� r�
r� r�
D�V =� -� E o� dr �� dV =� -�E o� dr
��
r�
r1
Rozpisując te wyrażenie dla składowych pola:
r�
r�
ś�V ś�V ś�V
dV =� dx +� dy +� dz E o� dr =� Ex �� dx +� Ey �� dy +� Ez �� dz
ś�x ś�y ś�z
Porównując stronami otrzymujemy:
ś�V ś�V ś�V
Ex =� ;E =� ; Ez =�
y
ś�x ś�y ś�z
Znajomość potencjału daje nam równocześnie trzy składowe wektora natężenia pola.
r�
r� r�
ś� ś� ś�
Wprowadzając operator : grad =� i +� j +� k równanie te możemy zapisać w
ś�x ś�y ś�z
zwartej postaci wektorowej:
r�
E =� -�gradV
- 14 -
Przykład Znalez
ć potencjał i natężenie pola elektrycznego wytworzonego przez
ładunek Q rozmieszczony równomiernie na pierścieniu o promieniu R na osi
pierścienia w odległości x od jego środka
dq dq
dV =� =�
4p�e�0r
4p�e�0 R2 +� x2
1 Q
V =� =�
��dV 4p�e�0 R2 +� x2
ś�V 1 Q �� x
Ex =� -� =�
ś�x 4p�e�0 (R2 +� x2)3
- 15 -