Katedra Mechaniki Budowli Wykład Mechanika Budowli 1 [C16]
Politechnika Gdańska 2006 Marek Krzysztof Jasina
6. Energia potencjalna odkształcenia sprężystego
odkształcalnego elementu prętowego
W przypadku płaskiego układu prętowego (rama płaska) siłami przekrojowymi
są siła normalna (osiowa, podłużna) N , moment zginający M i siła tnąca (po-
przeczna) T (rys. 6.1). W przypadku dz
wigarów załamanych w planie lub
rusztów uwzględnia się moment skręcający M .
s
(dorysować M )
s
Rys. 6.1 Konwencja dodatnich sił przekrojowych (wersja tradycyjna)
Energia potencjalna odkształcenia sprężystego = praca (rzeczywistych) sił we-
wnętrznych na odkształceniach.
22 2
N M T Ms2
2Ep = 2Lw = ds + ds + ds + ds (6.1)
+" +" +"º GA +"
EA EI GIs
ll l l
Liczba 2 pojawia się w powyższym wzorze po lewej stronie zamiast liczby 1 2
po stronie prawej (porównaj wzór z Twierdzenia Clapeyrona).
6.1. Zależności kinematyczne
W przypadku płaskiego układu prętowego (rama płaska) lokalną deformację
osi pręta a co za tym idzie lokalną przemieszczenie przekroju poprzecznego
belki można przedstawić w sposób przedstawiony na poniższych rysunkach.
http://www.okno.pg.gda.pl  26  [e-mail]
Katedra Mechaniki Budowli Wykład Mechanika Budowli 1 [C16]
Politechnika Gdańska 2006 Marek Krzysztof Jasina
Rys. 6.2 Opis lokalnej deformacji belki (dodać z(s), w )
Rys. 6.3 Opis przemieszczenia przekroju poprzecznego belki (dodać z(s), w )
W związku z zależnościami geometrycznymi uwidocznionymi na rysunkach,
odkształcenia związane z deformacją pręta płaskiego zapisać można w poniż-
szy sposób:
µ = dw ds , (6.2)
1 Á = dÕ ds , (6.3)
Å‚ = dv ds +Õ , (6.4)
ºs = d¸ ds gdzie z(s),¸ . (6.5)
http://www.okno.pg.gda.pl  27  [e-mail]
Katedra Mechaniki Budowli Wykład Mechanika Budowli 1 [C16]
Politechnika Gdańska 2006 Marek Krzysztof Jasina
6.2. Zależności konstytutywne
N = E Aµ (6.6)
M = EI Á (6.7)
T = G AÅ‚ º (6.8)
Ms = G Is ºs (6.9)
6.3. Wpływ siły normalnej
( "ds )
Rys. 6.4
1 1
dEp = õ dV , Ep = dV (6.10)
+"õ
2 2
V
N
gdzie: dV = Ads , Ã = , co po podstawieniu do (6.10) daje
A
1 N 1 N 1
Ep = µ Ads = Aµds = N"ds (6.11)
+"+"+"
2 A 2 A 2
lll
gdzie µ ds ="ds .
http://www.okno.pg.gda.pl  28  [e-mail]
Katedra Mechaniki Budowli Wykład Mechanika Budowli 1 [C16]
Politechnika Gdańska 2006 Marek Krzysztof Jasina
6.4. Wpływ momentu zginającego
Rys. 6.5
1 1
dEp = õ dV , Ep = dV (6.12)
+"õ
2 2
V
uwaga - (6.12) jest taki sam jak (6.10)
M y
gdzie: dV = Ads , à = y , µ = ( Á - promieÅ„ krzywizny), co po podstawie-
I Á
niu do (6.12) daje
1 M y 1 M y2 A 1 y2 A ds 1
Ep = y Ads = ds = (6.13)
+" +"+"M = +"M "dÕ
2 I Á 2 I Á 2 I Á 2
l lll
gdzie "dÕ = ds Á - przyrost krzywizny.
6.5. Wpływ siły tnącej
Rys. 6.6
http://www.okno.pg.gda.pl  29  [e-mail]
Katedra Mechaniki Budowli Wykład Mechanika Budowli 1 [C16]
Politechnika Gdańska 2006 Marek Krzysztof Jasina
1 1
dEp = ÄÅ‚ dV , Ep = dV (6.14)
+"ÄÅ‚
2 2
V
T
gdzie: dV = Ads , Ä = , co po podstawieniu do (6.14) daje
dA
11
Ep = Ads = ds (6.15)
+"ÄÅ‚ 2 +"TÅ‚
2
ll
Po dodaniu poszczególnych składowych pracy zgodnie ze wzorami (6.11),
(6.13) i (6.15) otrzymuje siÄ™
2Ep = N"ds + "dÕ + ds + "d¸ (6.16)
s
+" +"M +"TÅ‚ +"M
ll ll
gdzie zgodnie z rysunkami 6.4, 6.5 i 6.6 w wyniku działania sił wewnętrznych
wycinek pręta o długości ds doznaje deformacji, które można zapisać odpo-
wiednio:
M
"dÕ = ds , (6.17)
EI
N
"ds = ds , (6.18)
EA
T
Å‚ ds = º ds , (6.19)
GA
Ms
"d¸ = ds . (6.20)
GIs
Podstawienie zależności (6.17) - (6.20) do (6.16) prowadzi do podanego wcze-
śniej wzoru (6.1)
22 2
N M T Ms2
2Ep = 2Lw = ds + ds + ds + ds . (6.21)
+" +" +"º GA +"
EA EI GIs
ll l l
http://www.okno.pg.gda.pl  30  [e-mail]