Katedra Mechaniki Budowli Wykład Mechanika Budowli 1 [C16]
Politechnika Gdańska 2006 Marek Krzysztof Jasina
8. Twierdzenie o wzajemności prac
i twierdzenia z niego wynikające
8.1. Oznaczenia
"ij - przemieszczenie w miejscu i na kierunku (i) wywołane przyczyną
( j) ,
�ij - przemieszczenie w miejscu i na kierunku (i) wywołane jednostko-
wym obciążeniem działającym w miejscu i na kierunku ( j) ,
2
�ij - przemieszczenie w miejscu i na kierunku (i) wywołane jednostko-
wym przemieszczeniem zadanym w miejscu i na kierunku ( j) ,
Rij - reakcja w miejscu i na kierunku (i) wywołana przyczyną ( j) ,
rij - reakcja w miejscu i na kierunku (i) wywołana jednostkowym obcią-
żeniem działającym w miejscu i na kierunku ( j) ,
2
rij - reakcja w miejscu i na kierunku (i) wywołana jednostkowym prze-
mieszczeniem zadanym w miejscu i na kierunku ( j) ,
Miejsce i kierunek (i) , w którym definiowane jest przemieszczenie lub reakcja
może oznaczać określone miejsce i kierunek albo sumę określonych przemiesz-
czeń i reakcji(zob. "ij na Rys. 8.1)
"ij = "1 j + "2 j (8.1)
Rys. 8.1
http://www.okno.pg.gda.pl  33  [e-mail]
Katedra Mechaniki Budowli Wykład Mechanika Budowli 1 [C16]
Politechnika Gdańska 2006 Marek Krzysztof Jasina
8.2. Twierdzenie o wzajemności prac (E. Betti 1872).
Podstawowym twierdzeniem o wzajemności, z którego bezpośrednio wynikają
wszystkie dalsze, jest twierdzenie o wzajemności prac zwane twierdzeniem
Bettiego.
Rozpatrujemy dwa stany obciążeń działających na układ.
Pierwszy stan oraz wszystkie wielkości statyczne i geometryczne towarzy-
szące pierwszemu stanowi oznaczymy indeksem (i) .
Odpowiednio indeksem ( j) oznaczymy wielkości towarzyszące drugiemu
stanowi.
W związku z powyższym, stosując zapis z dwoma indeksami, w którym
pierwszy indeks oznacza miejsce a drugi przyczynę możemy przyjąć następują-
ce oznaczenia (zob. rys 8.2).
Pni i Rri to obciążenia (siły obciążające) i reakcje w działające  w układzie
(i)  (to znaczy od przyczyny (i) );
Ni , Mi , Ti oraz "dsi , "d�i , "dhi oznaczają powstałe w wyniku ich działa-
nia siły przekrojowe (wewnętrzne) i odpowiadające im odkształcenia;
zaś symbolami "ni i "ri oznaczamy przemieszczenia występujące odpowied-
nio w miejscu i kierunku sił oraz reakcji.
Analogicznie możemy oznaczyć siły, reakcje, siły wewnętrzne, odkształcenia,
oraz przemieszczenia  w układzie ( j)  (to znaczy od przyczyny ( j) );
Rys. 8.2
Ponieważ obciążenia i reakcje działające w obu układach a także odpowiadające
im przemieszczenia są rzeczywiste to mogą być one traktowane jako wirtualne.
http://www.okno.pg.gda.pl  34  [e-mail]
Katedra Mechaniki Budowli Wykład Mechanika Budowli 1 [C16]
Politechnika Gdańska 2006 Marek Krzysztof Jasina
Czyli obciążenia wraz z odpowiadającymi im reakcjami obu układów mogą być
traktowane jako wirtualne. Podobnie można traktować przemieszczenia.
W związku z powyższym i dla prostoty zapisu w dalszej części wywodu pomi-
ja się w zapisie górną kreskę nad danymi oznaczeniami wielkości (np. P , �
zamiast P , � ).
Traktując układ sił i przemieszczeń w stanie (i) jako obciążenia i przemiesz-
czenia wirtualne dla układu ( j) z zasady prac wirtualnych otrzymujemy
(8.2)
"P "nj + "R "rj = Ni"dsj + "d� + "dhj
ni ri i j i
+"+"M +"T
nrll l
oraz
(8.3)
"P "ki + "R "ri = N "dsi + "d�i + "dhi .
kj rj j j j
+"+"M +"T
krll l
Równanie (8.2) można traktować jako reprezentujące pracę wirtualnych obcią-
żeń i sił przekrojowych układu (i) na rzeczywistych przemieszczeniach układu
( j) (porównaj 2) postać zasady prac wirtualnych opisana równaniem (7.5)).
Analogicznie równanie (8.3) można traktować jako reprezentujące pracę rze-
czywistych obciążeń i sił przekrojowych układu ( j) na wirtualnych przemiesz-
czeniach układu (i) (porównaj 1) postać zasady prac wirtualnych opisana rów-
naniem (7.4)).
Biorąc pod uwagę zależności (6.17)  (6.19), zapisane dla stanu (i) oraz dla
stanu ( j) :
Ni Mi Ti
"dsi = ds , "d�i = ds , "dhi = � ds , (8.4)
EA EI GA
N M Tj
j j
"dsj = ds , "d� = ds , "dhj = � ds , (8.5)
j
EA EI GA
równania (8.2) i (8.3) przyjmują postać:
http://www.okno.pg.gda.pl  35  [e-mail]
Katedra Mechaniki Budowli Wykład Mechanika Budowli 1 [C16]
Politechnika Gdańska 2006 Marek Krzysztof Jasina
NN MM TiTj
i j i j
(8.6)
"P "nj +"R "rj = EA ds + EI ds + GA ds ,
ni ri
+"+" +"�
nrll l
N Ni M Mi TjTi
j j
(8.7)
"P "ki + "R "ri = EA ds + EI ds + GA ds .
kj rj
+"+" +"�
krll l
A
atwo można zauważyć, że prawe strony w powyższych równaniach są sobie
równe.
Przyrównując zatem do siebie lewe strony równań (8.6) i (8.7) otrzymujemy
twierdzenie Bettiego o wzajemności prac.
Twierdzenie
Jeżeli na ustrój sprężysty działają dwa niezależne od siebie układy obciążeń
(układy sił), spełniające warunki równowagi, to praca obciążeń pierwszego
układu wykonywana na przemieszczeniach wywołanych drugim układem
obciążeń równa jest pracy obciążeń drugiego układu wykonywanej na prze-
mieszczeniach wywołanych pierwszym układem obciążeń.
(8.8)
"P "nj + "R "rj = "P "ki + "R "ri .
ni ri kj rj
nr kr
Rys. 8.3 Rys. 8.4
23
(8.9)
"P "nj = "P "ki .
ni kj
n=1 k =1
23
(8.10)
"P "nj + RAi "Aj = "P "ki + RBj "Bi .
ni kj
n=1 k =1
http://www.okno.pg.gda.pl  36  [e-mail]
Katedra Mechaniki Budowli Wykład Mechanika Budowli 1 [C16]
Politechnika Gdańska 2006 Marek Krzysztof Jasina
8.3. Twierdzenie o wzajemności przemieszczeń (E. Betti  J.C. Maxwell)
Z twierdzenia Bettiego (równanie (8.8)) wynika wprost twierdzenie o wzajem-
ności przemieszczeń.
Jeżeli założymy, że zarówno w stanie (i) jak i ( j) podpory rozważanego ukła-
du nie ulegają przemieszczeniom, czyli
"ri = "rj = 0 (8.11)
dla wszystkich (r) ,
przyjmując równocześnie, że w obu stanach działają jedynie siły jednostkowe
Pni = 1ni , Pkj = 1kj , (8.12)
wówczas z twierdzenia Bettiego otrzymujemy
(8.13)
"1 �nj = "1 �ki , (�  od obciążenia jednostkowego).
ni kj
nk
Lewa strona powyższej zależności reprezentuje sumę przemieszczeń w miejscu
sił układu (i) wywołane jednostkowymi obciążeniami ze stanu ( j)
(8.14)
"1 �nj = �ij .
ni
n
�1 j +�2 j = �ij (por. Rys. 8.3).
Analogicznie prawa strona równania (8.13) reprezentuje sumę przemieszczeń w
miejscu sił układu ( j) wywołane jednostkowymi obciążeniami ze stanu (i)
(8.15)
"1 �ki = � .
kj ji
k
�1i +�2i +�3i = � (por. Rys. 8.4).
ji
Po uwzględnieniu (8.14) i (8.15), równanie (8.13) można zapisać w postaci
�ij = � . (8.16)
ji
Powyższa zależność opisuje twierdzenie Betti-Maxwella o wzajemności prze-
mieszczeń.
http://www.okno.pg.gda.pl  37  [e-mail]
Katedra Mechaniki Budowli Wykład Mechanika Budowli 1 [C16]
Politechnika Gdańska 2006 Marek Krzysztof Jasina
Twierdzenie
Przemieszczenie w miejscu (i) wywołane jednostkowym obciążeniem
(1j ) działającym w miejscu ( j) jest równe przemieszczeniu w miejscu ( j) wy-
wołane jednostkowym obciążeniem (1i ) działającym w miejscu (i) .
Można założyć, że w każdym z rozpatrywanych poniżej stanów obciążenia
działa tylko jedna obciążająca siła uogólniona.
Rys. 8.5
Rys. 8.6
Ad. Rys 8.5, Rys 8.6
1i �ij = 1 � �! �ij = � (8.17)
j ji ji
Uwaga: zaznaczone na rys 8.6 przemieszczenie �ij jest równe kątowi � , co
ji
oznacza, że praca jednostkowej siły 1i na przemieszczeniu �ij jest równa pracy
momentu 1 na kącie obrotu � .
j ji
http://www.okno.pg.gda.pl  38  [e-mail]
Katedra Mechaniki Budowli Wykład Mechanika Budowli 1 [C16]
Politechnika Gdańska 2006 Marek Krzysztof Jasina
Rys. 8.7
Ad. Rys 8.7
�1 j +�2 j = �ij = � (porównaj ze wzorem (8.1)). (8.18)
ji
8.4. Twierdzenie o wzajemności reakcji (J.W. Rayleigh)
Podobnie, z twierdzenia Bettiego (równanie (8.8)) wynika wprost twierdzenie o
wzajemności reakcji.
Jeżeli założymy, że zarówno w stanie (i) jak i ( j) siły obciążające są równe
zeru, czyli
Pni = Pkj = 0 , (8.19)
dla wszystkich (n) oraz (k) , przyjmując równocześnie, że w obu stanach ob-
ciążenia stanowią jedynie jednostkowe przemieszczenia podpór
"ri = 1ri , "rj = 1rj (8.20)
przynajmniej dla niektórych (r) w każdym stanie, wówczas z twierdzenia
Bettiego otrzymujemy
(8.21)
"r 1rj = "r 1ri .
ri rj
rr
Zgodnie z przyjętymi wcześniej oznaczeniami równanie (8.21) można zapisać w
postaci
rij = rji . (8.22)
Powyższa zależność opisuje twierdzenie Rayleigha o wzajemności reakcji.
http://www.okno.pg.gda.pl  39  [e-mail]
Katedra Mechaniki Budowli Wykład Mechanika Budowli 1 [C16]
Politechnika Gdańska 2006 Marek Krzysztof Jasina
Twierdzenie
Reakcja w miejscu i na kierunku (i) wywołana jednostkowym przemieszcze-
niem (1j ) zadanym w miejscu i na kierunku ( j) jest równa reakcji w miejscu i
na kierunku ( j) wywołanej jednostkowym przemieszczeniem (1i ) zadanym w
miejscu i na kierunku (i) .
Rys. 8.8
Rys. 8.9
Ad. Rys 8.8, Rys 8.9
rij = r . (8.23)
ji
Rys. 8.10
http://www.okno.pg.gda.pl  40  [e-mail]
Katedra Mechaniki Budowli Wykład Mechanika Budowli 1 [C16]
Politechnika Gdańska 2006 Marek Krzysztof Jasina
Ad. Rys. 8.10
rij = r1 j + r2 j = r . (8.24)
ji
8.5. Twierdzenie o wzajemności reakcji i przemieszczeń (M�ller-Breslau)
Z podanego na wstępie twierdzenia Bettiego (równanie (8.8)) wynika również
twierdzenie o wzajemności reakcji i przemieszczeń.
Jeżeli założymy, że w stanie (i) obciążenie stanowią jedynie siły jednostkowe
Pni = 1ni (8.25)
przynajmniej dla jednego (n) ,
a podpory rozważanego układu nie ulegają przemieszczeniom, czyli
"ri = 0 (8.26)
dla wszystkich (r) ,
zaś w stanie ( j) obciążenie stanowią jedynie jednostkowe przemieszczenia
"rj = 1 (8.27)
przynajmniej dla jednego (r) ,
a wszystkie siły równe są zeru
Pki = 0 (8.28)
to wówczas z twierdzenia Bettiego otrzymujemy
2 ri (8.29)
"1 �nj + "r2 1rj = 0 .
ni
nr
Zgodnie z przyjętymi oznaczeniami równanie (8.29) można zapisać w postaci
2 2
�ij =-rji . (8.30)
Powyższa zależność opisuje twierdzenie M�llera-Breslaua o wzajemności
przemieszczeń i reakcji.
Twierdzenie
Przemieszczenie w miejscu i na kierunku (i) wywołane jednostkowym prze-
mieszczeniem (1j ) zadanym w miejscu i na kierunku ( j) jest równe, ze zna-
http://www.okno.pg.gda.pl  41  [e-mail]
Katedra Mechaniki Budowli Wykład Mechanika Budowli 1 [C16]
Politechnika Gdańska 2006 Marek Krzysztof Jasina
kiem przeciwnym, reakcji w miejscu i na kierunku ( j) wywołanej jednostko-
wym obciążeniem (1i ) działającym w miejscu (i) .
Rys. 8.11
2 2
�ij =-rji . (8.31)
http://www.okno.pg.gda.pl  42  [e-mail]