Katedra Mechaniki Budowli Wykład Mechanika Budowli 1 [C16]
Politechnika Gdańska 2006 Marek Krzysztof Jasina
7. Zasada prac wirtualnych
dla odkształcalnych układów prętowych
Zasada prac wirtualnych wynika z zasady zachowania energii.
Przywołując zależność opisującą pracę sił wewnętrznych na odkształceniach
(6.16) po podstawieniu Å‚ ds ="dh
2Ep = 2Lw = N"ds + "dÕ + + "d¸ , (7.1)
s
+" +"M +"T"dh +"M
ll l l
oraz zapisując pracę sił zewnętrznych na przemieszczeniach (5.2)
2Lz = P´ , (7.2)
"
a następnie przyjmując zasadę zachowania energii w postaci Lz = Lw , można
zapisać
(7.3)
"P´ = N"ds + "dÕ + + "d¸ .
s
+" +"M +"T"dh +"M
ll l l
IstniejÄ… dwie postacie zasady prac wirtualnych.
Na podstawie (7.3) można zapisać.
1) Praca rzeczywistych obciążeń zewnętrznych na przemieszczeniach wirtual-
nych równa jest pracy rzeczywistych sił wewnętrznych na odkształceniach
wirtualnych
(7.4)
"P´ = N"d s + "dÕ + "dh + "d¸ .
s
+"+"M +"T +"M
ll l l
2) Praca wirtualnych obciążeń zewnętrznych na przemieszczeniach rzeczywi-
stych równa jest pracy wirtualnych sił wewnętrznych na odkształceniach rze-
czywistych
(7.5)
"P´ = N"ds + "dÕ + "dh + "d¸ .
s
+" +"M +"T +"M
ll ll
http://www.okno.pg.gda.pl  31  [e-mail]
Katedra Mechaniki Budowli Wykład Mechanika Budowli 1 [C16]
Politechnika Gdańska 2006 Marek Krzysztof Jasina
W dalszej części zapisana będzie 2) postać zasady prac wirtualnych.
Podstawienie zależności (6.17)  (6.20):
M N T Ms
"dÕ = ds , "ds = ds , Å‚ ds = º ds , "d¸ = ds ;
EI EA GA GIs
do wzoru (7.5) prowadzi do poniższej postaci:
M M
s s
(7.6)
"P ´ = NN ds + MM ds + TT ds + GIs ds .
+"+" +"º GA +"
EA EI
ll l l
Uwagi
W układach ramowych (bez skręcania) istotny jest tylko człon związany ze
zginaniem (wpływ sił normalnych i tnących pomijamy). W przypadku 2)
można zapisać
(7.7)
"P ´ = "dÕ = MM ds .
+"M +"
EI
ll
W płaskich łukach i zagadnieniach związanych z temperaturą należy uwzględ-
nić wpływ sił normalnych (wpływ sił tnących pomijamy). W przypadku 2)
można zapisać
(7.8)
"P ´ = N"ds + "dÕ = NN ds + MM ds .
+" +"M +" +"
EA EI
ll l l
Wpływ sił tnących T jest istotny tylko dla tak zwanych wysokich belek gdy
proporcja wysokości przekroju do rozpiętości belki jest znaczna h l e" 0,5 .
W przypadku kratownic (sumujemy po prętach, n - liczba prętów). W przy-
padku 2) można zapisać
nn Ni Ni
Ni"dli = li . (7.9)
"P´ = " "
i=1 i=1
EAi i
i
http://www.okno.pg.gda.pl  32  [e-mail]