MECHANIKA BUDOWLI sem. zimowy, rok akademicki 2010/2011
Zadanie 1. Narysuj odkształconą postać ramy jak na rysunku. Zadanie rozwiąż zasadą prac wirtualnych.
P=12kN
EJ
q=3kN/m
72
2EJ
M0
V =12kN
B
[kNm]
H = 24kN
A
V =12kN
A
6
Wyznaczamy poszczególne przemieszczenia z zasady prac wirtualnych
a) kÄ…t obrotu na podporze A
EJ
1
2EJ
M1
V =1/6[1/m]
B
1
H = 0
A
V =1/6[1/m]
A
6
1 2 3Å"42Å"4Å"1źąƒÄ… 1 224
ÔÄ…A= śą0,5Å"72Å"4Å"1ƒÄ… śą0,5Å"72Å"6Å"2Å"1źą= =224a
2EJ 3 8 EJ 3 EJ
mgr inż. Hanna Weber
4
4
MECHANIKA BUDOWLI sem. zimowy, rok akademicki 2010/2011
b) kąt obrotu w węz
le:
1
EJ
1
2EJ
M2
1/6[1/m]
V =
B
H = 0
A
V =1/6[1/m]
A
6
1
ÔÄ…C= śą0,5Å"72Å"6Å"2Å"1źą=144 =144a
EJ 3 EJ
c) przemieszczenie poziome węzła środkowego:
1
EJ
4
2EJ
M3
V =2/3
B
[m]
H = 1
A
V =2/3
A
6
1 2 3Å"42Å"4Å"1Å"4źąƒÄ… 1 784
uC= śą0,5Å"72Å"4Å"2Å"4ƒÄ… śą0,5Å"72Å"6Å"2Å"4źą= =784a
2EJ 3 3 8 2 EJ 3 EJ
mgr inż. Hanna Weber
4
4
MECHANIKA BUDOWLI sem. zimowy, rok akademicki 2010/2011
e) przemieszczenie poziome podpory B:
1
EJ
4
2EJ
M4
2/3
V =
B
[m]
H = 1
A
V =2/3
A
6
1 2 3Å"42Å"4Å"1Å"4źąƒÄ… 1 784=784a
uB= śą 0,5Å"72Å"4Å"2Å"4ƒÄ… śą0,5Å"72Å"6Å"2Å"4źą=
2EJ 3 3 8 2 EJ 3 EJ
f) kÄ…t obrotu na podporze B
1
1
EJ
2EJ
M5
V =1/6[1/m]
B
H = 0
A
V =1/6[1/m]
A
6
ÔÄ…C=-1 śą0,5Å"72Å"6Å"1Å"1źą=-72 =-72a
EJ 3 EJ
mgr inż. Hanna Weber
4
4
MECHANIKA BUDOWLI sem. zimowy, rok akademicki 2010/2011
Wyznaczone przemieszczenia nanosimy na schemat ramy i rysujemy odkształconą jej postać:
784a
784a
144a
Zadanie 2. Narysuj odkształconą postać ramy jak na rysunku. Zadanie rozwiąż zasadą prac wirtualnych.
P=12kN
q =6kN/m
D
EJ EJ EJ
F
E
q =6kN/m
C
1
EJ
2EJ
P =8kN
1
B
A
H = 32kN
A
M =136kNm 4 4 2
A
V =14kN
A
V =22kN
B
Wyznaczenie reakcji:
8qƒÄ…6P-4P1 8Å"6ƒÄ…6Å"12-4Å"8
P
M =qÅ"4Å"2ƒÄ… PÅ"6-P1Å"4-V Å"4=0 ŚąV = = =22kN
"
C B B
4 4
R =V -qÅ"4ƒÄ…V -P=0 ŚąV =4q-V ƒÄ…P=4Å"6-22ƒÄ…12=14kN
"
y A B A B
mgr inż. Hanna Weber
4
-
7
a
2
4
a
4
1
2
2
4
a
MECHANIKA BUDOWLI sem. zimowy, rok akademicki 2010/2011
Rx=4Å"q1-H ƒÄ…P1=Śą H =4Å"q1ƒÄ… P1=4Å"6ƒÄ…8=32kN
"
A A
L
M =H Å"4ƒÄ…V Å"4-q1Å"4Å"2-M =0 Śą M =4HAƒÄ…4VA-8q=4Å"32ƒÄ…4Å"14-8Å"6=136 kNm
"
C A A A A
Wykres sił tnących:
14
14
12
+ +
8
-
10
e
-
+
T
[kN]
8
32
Wykres momentów zginających:
56
24
56 32
8
M0
[kNm]
136
Całkowanie wykresów:
56
56
+
+
2
=
ql /8
136
136
mgr inż. Hanna Weber
MECHANIKA BUDOWLI sem. zimowy, rok akademicki 2010/2011
8
=
8
+
2
ql /8
Wyznaczenie poszczególnych przemieszczeń z Zasady Prac Wirtualnych:
1) Przemieszczenie poziome punktu D:
1
M1
4
1
4m
0
0
1 1Å"56Å"4 1Å"4ƒÄ… 1Å"136Å"4Å"2Å"4- 2Å"6Å"42Å"4Å"1Å"4źą=1216
uD= śą =1216a
2EJ 2 3 2 3 3 8 2 3EJ
2) Kąt obrotu w węz
le D:
1
M2
0
1
0
0
1 1Å"56Å"4Å"1ƒÄ… 1Å"136Å"4Å"1- 2Å"6Å"42Å"4Å"1źą=176 528
ÔÄ…D= śą = =528a
2EJ 2 2 3 8 EJ 3EJ
mgr inż. Hanna Weber
MECHANIKA BUDOWLI sem. zimowy, rok akademicki 2010/2011
3) przemieszczenie poziome punktu C:
1
M3
1
4m
0
0
1216
uC=uD=uE=uF= =1216a
3EJ
4)Przemieszczenie pionowe punktu C:
1
4m
M4
0
4m
1
0
1 1Å"56Å"4Å"4ƒÄ… 1Å"136Å"4Å"4- 2Å"6Å"42Å"4Å"4źąƒÄ… 1 1Å"56Å"4Å"2Å"4= 3008
vC= śą =3008a
2EJ 2 2 3 8 EJ 2 3 3EJ
5) KÄ…t obrotu z lewej strony przegubu C:
1
1
1
M5
0
1
0
0
1 1Å"56Å"4Å"1ƒÄ… 1Å"136Å"4Å"1- 2Å"6Å"42Å"4Å"1źąƒÄ… 1 1Å"56Å"4Å"1= 288 864
L
ÔÄ…C= śą = =864a
2EJ 2 2 3 8 EJ 2 EJ 3EJ
mgr inż. Hanna Weber
MECHANIKA BUDOWLI sem. zimowy, rok akademicki 2010/2011
6) KÄ…t obrotu z prawej strony przegubu C:
1
1
1
M6
0
1
1/4
1 1Å"56Å"4Å"1- 1Å"136Å"4Å"1ƒÄ… 2Å"6Å"42Å"4Å"1źąƒÄ… 1 1Å"8Å"4Å"1Å"1ƒÄ… 2Å"6Å"42Å"4Å"1Å"1źą
P
ÔÄ…C= śą- śą-1Å"56Å"4Å"2 ƒÄ…
2EJ 2 2 3 8 EJ 2 3 2 3 3 8 2
ÔÄ…P=-688 =-688a
C
3EJ
7) Kąt obrotu węzła E:
1
1
M7
0
1
1/4
1/4
1 1Å"56Å"4Å"1- 1Å"136Å"4Å"1ƒÄ… 2Å"6Å"42Å"4Å"1źąƒÄ… 1 1Å"8Å"4Å"2Å"1- 2Å"6Å"42Å"4Å"1Å"1źą
ÔÄ…E= śą- śą-1Å"56Å"4Å"2Å"1-
2EJ 2 2 3 8 EJ 2 3 2 3 3 8 2
ÔÄ…E=-832 =-832a
3EJ
mgr inż. Hanna Weber
MECHANIKA BUDOWLI sem. zimowy, rok akademicki 2010/2011
8) Przemieszczenie pionowe punktu F:
2
1
2
M8
0
2m
1/2
3/2
1 1Å"136Å"4Å"2ƒÄ… 2Å"6Å"42Å"4Å"2źąƒÄ… 1 1Å"8Å"4Å"2Å"2- 2Å"6Å"42Å"4Å"1Å"2ƒÄ… 1Å"24Å"2Å"2Å"2źą
v = śą-1Å"56Å"4Å"2- śą-1Å"56Å"4Å"2Å"2-
F
2EJ 2 2 3 8 EJ 2 3 2 3 3 8 2 2 3
v =-1568 =-1568a
F
3EJ
9) KÄ…t obrotu w punkcie F
1
1
1
1
M9
0
1
1/4
1/4
1 1Å"136Å"4Å"1ƒÄ… 2Å"6Å"42Å"4Å"1źąƒÄ… 1 1Å"8Å"4Å"2Å"1- 2Å"6Å"42Å"4Å"1Å"1ƒÄ…1Å"24Å"2Å"1źą
ÔÄ…F= śą-1Å"56Å"4Å"1- śą-1Å"56Å"4Å"2Å"1-
2EJ 2 2 3 8 EJ 2 3 2 3 3 8 2 2
ÔÄ…F=-760 =-760a
3EJ
mgr inż. Hanna Weber
MECHANIKA BUDOWLI sem. zimowy, rok akademicki 2010/2011
10) Przemieszczenie poziome punktu B:
4
4
M10
1
1
8m
1
1
1 1Å"56Å"4Å"śą 2Å"4ƒÄ… 1Å"8źąƒÄ…1Å"136Å"4 śą 2Å"8ƒÄ… 1Å"4źą- 2Å"6Å"42Å"4Å"śą 4 8źąźą
uB= śą ƒÄ…
2EJ 2 3 3 2 3 3 3 8 2 2
1 1 2 1 2 2 6Å"42 1 2
ƒÄ… śą Å"56Å"4Å" Å"4ƒÄ… Å"8Å"4Å" Å"4ƒÄ… Å" Å"4Å"2ƒÄ… Å"4Å"4Å" Å"32źą
EJ 2 3 2 3 3 8 2 3
uB=5056 =5056a
3EJ
11) KÄ…t obrotu w punkcie B:
1
1
1
M11
0
1
1
1/4
1/4
1 1Å"136Å"4Å"1ƒÄ… 2Å"6Å"42Å"4Å"1źąƒÄ… 1 1Å"56Å"4Å"2Å"1- 1Å"8Å"4Å"2Å"1- 2Å"6Å"42Å"4Å"1Å"1- 1Å"32Å"4Å"1źą
ÔÄ…B= śą-1Å"56Å"4Å"1- śą-
2EJ 2 2 3 8 EJ 2 3 2 3 3 8 2 2
ÔÄ…B=-1024 =-1024a
3EJ
mgr inż. Hanna Weber
MECHANIKA BUDOWLI sem. zimowy, rok akademicki 2010/2011
Wyznaczone przemieszczenia nanosimy na schemat ramy i rysujemy odkształconą jej postać:
1216a 1216a
1216a
1216a
528a
5056a
mgr inż. Hanna Weber
1568a
3008a
-
7
6
0
-
a
8
3
-
a
8
2
8
3
a
2
2
-
5
a
6
a
4
8
6
8
8
a
a
2
3
8
-
a
4
2
0
1