WYKA
ADY Z MECHANIKI BUDOWLI 1
RÓWNANIE PRACY WIRTUALNEJ
Olga Kopacz, Adam A
odygowski, Wojciech Pawłowski,
Michał Płotkowiak, Krzysztof Tymber
Konsultacje naukowe: prof. dr hab. JERZY RAKOWSKI
Poznań 2002/2003
MECHANIKA BUDOWLI 4
RÓWNANIE PRACY WIRTUALNEJ
Rozdział ten poświęcony jest wyprowadzeniu twierdzenia o pracy wirtualnej,
przygotowanej. W dalszej jego części omówimy praktyczne zastosowanie tego twier-
dzenia.
SÅ‚owa kluczowe: praca wirtualna, przemieszczenie wirtualne
1. TWIERDZENIE 1
1.1. Twierdzenie
Jeżeli na układ działa obciążenie rzeczywiste spełniające (warunki równo-
wagi), to obciążenie zewnętrzne wykonuje na przemieszczeniu wirtualnym pracę
równą pracy uogólnionych sił przekrojowych na wirtualnych odkształceniach
(na wirtualnych przemieszczeniach wewnętrznych).
1.2. Interpretacja
Przyjmujemy dowolny układ pozostający w równowadze
Rys.1.2.1. Rzeczywisty model układu prętowego, obciążony rzeczywistymi siłami
p(x) pod wpływem, których doznaje przemieszczeń
Politechnika PoznaÅ„ska® Kopacz, A
odygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymber
 WYKA
ADY Z MECHANIKI BUDOWLI 2
RÓWNANIE PRACY WIRTUALNEJ
Rys.1.2.2. Ten sam układ ale z wymuszonym przemieszczeniem wirtualnym u(x)
(kinematycznie dopuszczalnym)
Lw = Lz
Lz - praca wszystkich rzeczywistych sił czynnych obciążających układ oraz
biernych pracujÄ…cych na przemieszczeniach wirtualnych (wymuszonych
kinematycznie)
LW - praca wszystkich sił wewnętrznych rzeczywistych na odkształceniach
wirtualnych (na wirtualnych przemieszczeniach wewnętrznych)
p(x)u(x)dx + "k =
" "Rk
+"
n k
s
Å„Å‚ üÅ‚
= N(x)µ(x)dx + (x)Ç(x)dx + (x)Å‚ (x)dxżł
òÅ‚
"ół
+" +"M +"ºT
(1.2.1)
n
s ss þÅ‚
przy czym:
N M T
µ(x) = , Ç(x) = , Å‚ (x) =
EA EJ GA
(1.2.2)
1.3. Wyprowadzenie
Przyjmujemy dowolny pręt (Rys.1.3.1.) o długości skończonej l i końcach
i,k oraz dowolnie obciążony siłami zewnętrznymi p(x):
Politechnika PoznaÅ„ska® Kopacz, A
odygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymber
 WYKA
ADY Z MECHANIKI BUDOWLI 3
RÓWNANIE PRACY WIRTUALNEJ
Rys.1.3.1.
Wyobraz
my sobie następnie bardzo mały fragment tego pręta o długości dx
(Rys.1.3.2.). Działają na niego siły uogólnione wewnętrzne przyjmujące
dowolną kombinację normalnych, tnących i momentów.
Rys.1.3.2.
Upraszczając obliczenia sprowadzamy tę sytuację do następujących
przypadków:
1) Zakładamy, że dowolne obciążenie pręta siłą p(x) powoduje powstanie
tylko sił biernych poziomych Qi i Qk, wobec czego na nasz element dx będzie
działała tylko uogólniona siła normalna (podłużna, osiowa) N(x) (Rys.1.3.3.):
Politechnika PoznaÅ„ska® Kopacz, A
odygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymber
 WYKA
ADY Z MECHANIKI BUDOWLI 4
RÓWNANIE PRACY WIRTUALNEJ
Rys.1.3.3.
Zapisując równanie równowagi dla tego elementu (tzn. w każdym punkcie tego
pręta) otrzymujemy zapis:
X = 0 Ò! N(x) + dN(x) - N(x) + p(x)dx = 0
"
dN(x) + p(x)dx = 0 / : dx
dN(x)
+ p(x) = 0
(1.3.1)
dx
Następnie wprowadzamy do tego pręta pewne wirtualne przemieszczenie
(Rys.1.3.4.), zgodne z działaniem uogólnionych sił normalnych. Pamiętajmy, że
musi ono spełnić warunek kinematycznej dopuszczalności, musi być niezależne
od wszelkich obciążeń zewnętrznych oraz od czasu, małe w porównaniu z
wymiarami prÄ™ta i ciÄ…gÅ‚e. Przyjmiemy jego wartość równÄ…: ´ u(x)
Politechnika PoznaÅ„ska® Kopacz, A
odygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymber
 WYKA
ADY Z MECHANIKI BUDOWLI 5
RÓWNANIE PRACY WIRTUALNEJ
Rys.1.3.4.
Pomnóżmy równanie (1.3.1) obustronnie przez ´ u(x) i scaÅ‚kujmy w granicach
od x = 0 do x = L
dN(x)
îÅ‚
+ p(x)Å‚Å‚´ u(x) = 0
ïÅ‚ śł
dx
ðÅ‚ ûÅ‚
l
dN(x)
+"´ u(x)îÅ‚ dx + p(x)Å‚Å‚dx = 0
ïÅ‚ śł
ðÅ‚ ûÅ‚
0
l l
dN(x)
+"´ u(x) dx dx + +"´ u(x) p(x)dx = 0
(1.3.2)
0 0
l
dN(x)
aby obliczyć całkę: u(x) dx skorzystamy z całkowania przez części,
+"´ dx
0
zdv = zv -
+" +"vdz
dN(x)
z = ´ u(x) dv = dx
dx
d(´ u(x)) dN(x)
dz = v = dx = N(x)
+"
dx dx
l l
dN(x) d(´ u(x))
l
N(x) dx
/
+"´ u(x) dx = ´ u(x)N(x) - +"
0
dx
0 0
Politechnika PoznaÅ„ska® Kopacz, A
odygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymber
 WYKA
ADY Z MECHANIKI BUDOWLI 6
RÓWNANIE PRACY WIRTUALNEJ
Równanie (1.3.2) uzyska więc postać:
l l
l d(´ u(x))
´ u(x)N(x) - N(x) dx + p(x)´ u(x)dx = 0
/
0 +" +"
dx
0 0
l l
d(´ u(x))
NL´ uL - N0´ u0 - N(x) dx + p(x)´ u(x)dx = 0
+" +"
dx
0 0
l l
d(´ u(x))
Qk u -(- Qi u )+ p(x)´ u(x) = N(x) dx
k i
+" +"
dx
0 0
(1.3.3)
Znaki wynikają z tego, że znak dodatni siły N0 jest przeciwny do
założonego dodatniego Qi a znak dodatni siły NL jest zgodny z
założonym dodatnim Qk (Na rys 1.3.5. przyjęto zasadę zgodności
dodatnich zwrotów sił Qi i Qk oraz przemieszczeń im odpowiada-
jÄ…cych)
Rys.1.3.5. Znakowanie
l l
Qk u + Qi u + p(x)´ u(x)dx = N(x)µ (x)dx
k i (1.3.4)
+" +"
0 0
Qk u + Qi u - całkowita praca sił zewnętrznych (biernych) na
k i
przemieszczeniach wirtualnych
l
p(x)´ u(x)dx - caÅ‚kowita praca siÅ‚ zewnÄ™trznych (czynnych) na
+"
0
przemieszczeniach wirtualnych
l l
d(´ u(x))
N(x) dx = N(x)µ (x)dx - caÅ‚kowita praca siÅ‚ we-
+" +"
dx
0 0
wnętrznych (normalnych) na odkształceniach wirtualnych (na wirtual-
nych przemieszczeniach wewnętrznych)
Politechnika PoznaÅ„ska® Kopacz, A
odygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymber
 WYKA
ADY Z MECHANIKI BUDOWLI 7
RÓWNANIE PRACY WIRTUALNEJ
Wobec oznaczeń:
l
Lz = Qk u + Qi u + p(x)´ u(x)dx
k i
+"
0
l
LW = N(x)µ (x)dx
+"
0
mamy:
LZ = LW (1.3.5)
Wniosek:
l
u + u + (x)u (x)dx = N(x)µ(x)dx
j i n
"Qj "Pi "qn
+"
j i n (1.3.6)
0
Warto zaznaczyć, że we wzorze tym nadal obowiązują zależności
fizyczne odpowiadajÄ…ce stanowi wirtualnemu:
N(x)
µ (x) =
EA
2) Zakładamy, że dowolne obciążenie pręta siłą p(x) powoduje powstanie
sił biernych pionowych Ti i Tk, wobec czego na nasz element dx będzie działała
uogólniona siła tnąca (poprzeczna) T(x) (Rys.1.3.6.):
Politechnika PoznaÅ„ska® Kopacz, A
odygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymber
 WYKA
ADY Z MECHANIKI BUDOWLI 8
RÓWNANIE PRACY WIRTUALNEJ
Rys.1.3.6.
Zapisując równanie równowagi dla tego elementu (tzn. w każdym punkcie tego
pręta), otrzymujemy:
"Z = 0
- T (x) + T (x) + dT (x) + p(x)dx = 0
dT (x) + p(x)dx = 0 / dx
dT (x)
+ p(x) = 0
dx
(1.3.7)
Następnie wprowadzamy do tego pręta wirtualne przemieszczenie (spełniające te
same warunki, co wcześniej) zgodne z działaniem uogólnionych sił poprzecz-
nych (tnÄ…cych), o niezerowej wartoÅ›ci równej: ´ v(x)
Rys.1.3.7.
Pomnóżmy równanie (1.3.7) obustronnie przez ´ v(x) i scaÅ‚kujmy w granicach
od x = 0 do x = L
dT (x)
îÅ‚
+ p(x)Å‚Å‚´ v(x) = 0
ïÅ‚ śł
(1.3.8)
dx
ðÅ‚ ûÅ‚
Stosując przekształcenia jak wcześniej z tym, że w całkowaniu przez części bę-
dzie:
v = T (x)
Politechnika PoznaÅ„ska® Kopacz, A
odygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymber
 WYKA
ADY Z MECHANIKI BUDOWLI 9
RÓWNANIE PRACY WIRTUALNEJ
l l
l d(´ v(x))
´ v(x)T (x) - (x) p(x)´ v(x)dx = 0
/
0 +"T dx dx + +"
0 0
l l
d(´ v(x))
TL´ v (x) - T0´ v (x) - (x) p(x)´ v(x)dx = 0
L 0
+"T dx dx + +"
0 0
l l
d(´ v(x))
Tk v -(- Ti vi)+ p(x)´ v(x)dx = (x)
k
+" +"T dx dx
(1.3.9)
0 0
Znaki wynikają z tego, że znak dodatni siły T0 jest przeciwny do założo-
nego dodatniego Ti a znak dodatni siły TL jest zgodny z założonym do-
datnim Tk (Na rys 1.3.8. przyjęto zasadę zgodności dodatnich zwrotów
sił Ti i Tk oraz przemieszczeń im odpowiadających)
Rys.1.3.8. Znakowanie
l l
Tk v + Ti v + p(x)´ v(x)ds = (x)Å‚ (x)ds
k i
sr
+" +"T
0 0
Wobec oznaczeń:
l
Lz = Tk v + Ti v + p(x)´ v(x)dx
k i
+"
0
l
LW = (x)Å‚ (x)dx
sr
+"T
0
mamy:
LZ = LW (1.3.10)
Politechnika PoznaÅ„ska® Kopacz, A
odygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymber
 WYKA
ADY Z MECHANIKI BUDOWLI 10
RÓWNANIE PRACY WIRTUALNEJ
Wniosek:
l
v + v + (x)v (x)dx = (x)Å‚ (x)dx
j i n
"Tj "Pi "qn sr
+"T
j i n
0
gdzie:
Å‚ = ºÅ‚
sr
(1.3.11)
Warto zaznaczyć, że we wzorze tym nadal obowiązują zależności fi-
zyczne odpowiadajÄ…ce stanowi wirtualnemu:
T (x)
Å‚ (x) =
EA
3) Zakładamy czyste zginanie tzn. dowolne obciążenie pręta m(x) powodu-
je powstanie tylko sił biernych w postaci momentów zginających Mi i Mk, stąd
na nasz myślowo wycięty element będzie działał tylko uogólniony moment
zginajÄ…cy M(x) (Rys.1.3.9.):
Rys.1.3.9.
Politechnika PoznaÅ„ska® Kopacz, A
odygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymber
 WYKA
ADY Z MECHANIKI BUDOWLI 11
RÓWNANIE PRACY WIRTUALNEJ
Zapisując równanie równowagi otrzymujemy:
"M = 0
M (x) - M (x) - dM (x) + m(x)dx = 0
- dM (x) + m(x)dx = 0 /(-dx)
dM (x)
- m(x) = 0
dx
(1.3.12)
Postępując analogicznie jak w poprzednich przypadkach, wprowadzamy wirtual-
ne przemieszczenie zgodne z działaniem uogólnionych momentów zginających
o wartoÅ›ci równej: ´Õ(x)
Rys.1.3.10.
Pomnóżmy równanie (1.3.12) obustronnie przez ´Õ(x) i scaÅ‚kujmy w granicach
od x = 0 do x = L
dÕ
îÅ‚
- m(x)Å‚Å‚´Õ(x) = 0
ïÅ‚ śł
(1.3.13)
dx
ðÅ‚ ûÅ‚
Stosując przekształcenia jak wcześniej z tym, że w całkowaniu przez części bę-
dzie:
v = M (x)
Politechnika PoznaÅ„ska® Kopacz, A
odygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymber
 WYKA
ADY Z MECHANIKI BUDOWLI 12
RÓWNANIE PRACY WIRTUALNEJ
l l
l d(´Õ(x))
´Õ(x)M (x) + (x)
/
0 +"M dx dx - +"m(x)´Õ(x)dx = 0
0 0
ll
d(´Õ(x))
M ´Õ (x) - M ´Õ (x) + (x)
L L 0 0
+"M dx dx - +"m(x)´Õ(x)dx = 0
00
l l
d(´Õ(x))
- M Õ - M Õi -
k k i
+"m(x)´Õ(x)dx = -+"M (x) dx dx /(-1)
0 0
Znaki wynikają z tego, że dodatni moment M0 jest zgodny z założonym
dodatnim momentem Mi a dodatni moment ML jest przeciwny do założone-
go dodatniego Mk (Na rys 1.3.11. przyjęto zasadę zgodności dodatnich
zwrotów Mi i Mk oraz przemieszczeń im odpowiadających)
Rys.1.3.11. Znakowanie
l l
d(´Õ(x))
M Õ + M Õi +
k k i
+"m(x)´Õ(x)dx = +"M (x) dx dx
(1.3.14)
0 0
l l
M Õ + M Õ +
k k i i
+"m(x)´Õ(x)dx = +"M (x)Ç(x)dx
0 0
Wobec oznaczeń:
l
Lz = M Õ + M Õ +
k k i i
+"m(x)´Õ(x)dx
0
l
LW = (x)Ç (x)dx
+"M
0
(1.3.15)
mamy:
LZ = LW
Wniosek:
Politechnika PoznaÅ„ska® Kopacz, A
odygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymber
 WYKA
ADY Z MECHANIKI BUDOWLI 13
RÓWNANIE PRACY WIRTUALNEJ
l
(1.3.16)
Õ + Õ + (x)Õ (x)dx = (x)Ç(x)dx
"M j j "Pi i "qn n
+"M
j i n
0
Warto zaznaczyć, że we wzorze tym nadal obowiązują zależności fi-
zyczne odpowiadajÄ…ce stanowi wirtualnemu:
M (x)
Ç(x) =
EA
4) Zakładamy, że dowolne obciążenie pręta p(x) powoduję powstanie do-
wolnych sił biernych w postaci uogólnionych sił poziomych, pionowych i
momentów zginających (Rys.1.2.9.):
Rys.1.3.12.
Politechnika PoznaÅ„ska® Kopacz, A
odygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymber
 WYKA
ADY Z MECHANIKI BUDOWLI 14
RÓWNANIE PRACY WIRTUALNEJ
Zapisując równania równowagi dla tego elementu (tzn. w każdym punkcie tego
pręta), otrzymujemy:
X = 0 Ò!
"
"Y = 0 Ò!
"M = 0 Ò!
(1.3.17)
jak wcześniej z tym, że moment od sił tnących pomijamy, gdyż ramię
tych sił jest bliskie zeru.
PodsumowujÄ…c: korzystajÄ…c z zasady superpozycji dokonujemy sumowania po-
wyższych rozwiązań:
R " + Pi u + (x)u(x)dx =
i
" j j " "qn
j i n
îÅ‚ Å‚Å‚
= N(x)µdx + (x)Å‚ dx + M (x)Çdxśł
"ïÅ‚
+" +"ºT +"
n
ðÅ‚ s s s ûÅ‚ (1.3.18)
praca sił zewnętrznych = praca sił wewnętrznych na
na przemieszczeniach wirtualnych odkształceniach wirtualnych
gdzie:
- całkowita praca sił biernych (reakcji) na przemieszcze-
R "
" j j
j
niach (osiadaniach) wirtualnych
- całkowita praca sił skupionych na przemieszczeniach
Pi u
i
"
i
wirtualnych
(x)u(x)dx - całkowita praca obciążeń ciągłych na przemiesz-
"qn
n
czeniach wirtualnych
Warto zaznaczyć, że we wzorze tym nadal obowiązują zależności fi-
zyczne odpowiadajÄ…ce stanowi wirtualnemu:
N(x) T (x) M (x)
µ(x) = , Å‚ (x) = , Ç(x) =
EA EA EA
Politechnika PoznaÅ„ska® Kopacz, A
odygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymber
 WYKA
ADY Z MECHANIKI BUDOWLI 15
RÓWNANIE PRACY WIRTUALNEJ
1.4. Przykład
Obliczyć pionową reakcję w punkcie R2 belki przedstawionej na
Rys.1.4.1.
Rys.1.4.1.
Narzucamy możliwe przemieszczenie wirtualne, o jednostkowej wartości w punk-
cie R2 (Rys. 1.4.2.).
Rys.1.4.2.
Z proporcji otrzymujemy:
u5 c u3 l + a
= v =
b l
u3 1
l + a c c a
ëÅ‚ öÅ‚1 u5 = u3 = ëÅ‚1+ öÅ‚1
u3 =
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
(1.4.1)
l b b l
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
Zapisujemy równania prac wirtualnych dla danej belki:
L = V1 Å"0 + H1 Å"0 + R2 Å"1+V4 Å"0 + PÅ"u5
Z
(1.4.2)
L = 1Å"0 = 0
W
Praca sił wewnętrznych jest równa zeru gdyż:
- M = 0  belka to bryła sztywna więc nie doznaje krzywizn (tzn. jej prze-
mieszczenia opisuje funkcja liniowa, której pochodna wynosi zero)
Politechnika PoznaÅ„ska® Kopacz, A
odygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymber
 WYKA
ADY Z MECHANIKI BUDOWLI 16
RÓWNANIE PRACY WIRTUALNEJ
dM
- T = 0  jeżeli M = 0 to T = = 0
dx
- N = 0  nie uwzględniamy wpływu sił poziomych na przemieszczenia
pionowe
Po porównaniu prac otrzymujemy:
u5
R2 = -P
(1.4.3)
1
a po podstawieniu odpowiednich wartości otrzymujemy szukaną wielkość:
c a
ëÅ‚1+ öÅ‚
R2 = -P
ìÅ‚ ÷Å‚
(1.4.4)
b l
íÅ‚ Å‚Å‚
Wniosek:
Ten sam wynik otrzymalibyśmy korzystając z  klasycznych równań rów-
nowagi.
2. TWIERDZENIE 2
2.1. Twierdzenie 2
Jeżeli na układ działa dowolne zewnętrzne obciążenie wirtualne,
spełniające warunki równowagi to wykonuje ono pracę na rzeczywistych
przemieszczeniach (wywołanych przez rzeczywiste obciążenie zewnętrzne)
równą pracy wirtualnych sił przekrojowych na rzeczywistych odkształceniach
(na rzeczywistych przemieszczeniach wewnętrznych).
2.2. Interpretacja
Dotychczas korzystaliśmy z twierdzenia, że siły zewnętrzne wykonywały
pracę na wirtualnych przemieszczeniach. Teraz zróbmy odwrotnie tzn. stwórzmy
rzeczywisty model układu (Rys.2.2.1.), a następnie obciążmy go siłami wirtual-
nymi (pomyślanymi) (Rys.2.2.2.) i obliczmy rzeczywiste przemieszczenia nasze-
go układu prętowego. Musimy przy tym zaznaczyć, że wirtualne obciążenie speł-
nia warunki statycznej dopuszczalności, jest niezależne od obciążeń
zewnętrznych rzeczywistych i czasu, a zarazem jest obciążeniem stosunkowo
małym oraz ciągłym (przynajmniej raz różniczkowalnym).
Politechnika PoznaÅ„ska® Kopacz, A
odygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymber
 WYKA
ADY Z MECHANIKI BUDOWLI 17
RÓWNANIE PRACY WIRTUALNEJ
Rys. 2.2.1. Rzeczywisty model układu prętowego, obciążony rzeczywistymi siłami
p(x) pod wpływem, których doznaje przemieszczeń
Rys. 2.2.2. Ten sam układ, ale obciążony siłą wirtualną P(x) pod wpływem, której
doznaje przemieszczeń wirtualnym u(x)
Lw = Lz
(2.2.1)
Lz - praca sił wirtualnych pracujących na rzeczywistych przemieszczeniach
(tzn. wytworzonych przez rzeczywiste obciążenia zewnętrzne)
LW - praca wszystkich wirtualnych sił wewnętrznych pracujących na rzeczywi-
stych odkształceniach
Politechnika PoznaÅ„ska® Kopacz, A
odygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymber
 WYKA
ADY Z MECHANIKI BUDOWLI 18
RÓWNANIE PRACY WIRTUALNEJ
p(x)u(x)dx + "k =
" "Rk
+"
n k
s
Å„Å‚ üÅ‚
= N(x)µ (x)dx + (x)Ç(x)dx + (x)Å‚ (x)dxżł (2.2.2)
òÅ‚
"ół
+" +"M +"ºT
n
s s s þÅ‚
Przy czym:
N(x) M (x) T (x)
µ(x) = , Ç(x) = , Å‚ (x) =
EA EJ GA
stÄ…d:
p(x)u(x) dx + "k =
" "Rk
+"
n k
s
Å„Å‚ üÅ‚
=
òÅ‚
"ół N(x)N(x)dx + M (x)M (x)dx + º T (x)T (x) dxżł
+" +" +"
EA EJ GA
n
s s s þÅ‚
(2.2.3)
gdzie:
R "k - całkowita praca wirtualnych sił biernych (reakcji) na
k
"
k
przemieszczeniach (osiadaniach) rzeczywistych
p(x)u(x) dx - całkowita praca wirtualnych obciążeń na rze-
"
+"
n
s
czywistych przemieszczeniach
N(x) - funkcja sił normalnych wywołana od obciążenia ze-
wnętrznego (rzeczywistego)
N(x) - funkcja sił normalnych wywołana od obciążenia wirtualnego
T (x) - funkcja sił poprzecznych wywołana od obciążenia
zewnętrznego (rzeczywistego)
T (x) - funkcja sił poprzecznych wywołana od obciążenia wirtualnego
M (x) - funkcja momentów wywołana od obciążenia zewnętrznego
(rzeczywistego)
M (x) - funkcja momentów wywołana od obciążenia wirtualnego
Politechnika PoznaÅ„ska® Kopacz, A
odygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymber
 WYKA
ADY Z MECHANIKI BUDOWLI 19
RÓWNANIE PRACY WIRTUALNEJ
2.3. Wyprowadzenie
Dowód tego twierdzenia można pominąć, dokonując formalnej zmiany in-
terpretacji czynników iloczynów podcałkowych w równaniu I.
2.4. Przykład 1
Obliczyć przemieszczenie pionowe punktu A belki wspornikowej przed-
stawionej na (Rys.2.4.1.a) oraz kąt obrotu w połowie rozpiętości tej belki:
Rys.2.4.1. a) belka wspornikowa obciążona siłą rzeczywistą q i z odkształceniami u
b) ta sama belka obciążona wirtualną siłą P
Najpierw dokonujemy obliczeń sił wewnętrznych w układzie rzeczywistym
qx2
M (x) = -
(2.4.1)
2
Politechnika PoznaÅ„ska® Kopacz, A
odygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymber
 WYKA
ADY Z MECHANIKI BUDOWLI 20
RÓWNANIE PRACY WIRTUALNEJ
Następnie daną belkę obciążamy wirtualną siłą P =1 [-] (Rys.2.4.1.b)
i ponownie obliczamy wartości sił wewnętrznych
M (x) = -x Å"1
(2.4.2)
Równania prac wirtualnych przyjmą więc postać:
L = uA Å"1+ R Å" 0
Z
qx2
1Å" x
2
L = dx
W
+"
EJ
(2.4.3)
l
KorzystajÄ…c z twierdzenia drugiego, zapisujemy:
qx2
1 x
2
uA 1 = dx
+"
EJ
l (2.4.4)
Po scałkowaniu i przekształceniu otrzymujemy następujący wynik:
4 4
q l ql
uA = Å" =
(2.4.5)
2EJ 4 8EJ
W celu obliczenia kąta obrotu tej belki zamiast jedynkowej siły P = 1[-] przy-
kładamy jedynkowy moment M = 1 [-] w połowie jej długości (Rys 2.4.2.) i po-
nownie obliczamy wartości sił wewnętrznych:
Politechnika PoznaÅ„ska® Kopacz, A
odygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymber
 WYKA
ADY Z MECHANIKI BUDOWLI 21
RÓWNANIE PRACY WIRTUALNEJ
Rys.2.4.2. Belka wspornikowa obciążona jedynkowym momentem wirtualnym
Postępując jak w przypadku pierwszym korzystamy z twierdzenia drugiego:
l
îÅ‚2 Å‚Å‚
l
1 qx2 qx2
ïÅ‚
1Å"ÕB =
+"- Å"0 dx + +"- 2 Å"1 dxśł
ïÅ‚ śł
(2.4.6)
EJ 2
l
ïÅ‚0 śł
ðÅ‚ 2 ûÅ‚
Po scałkowaniu i przekształceniu otrzymujemy następujący wynik:
ëÅ‚ öÅ‚
l3
ìÅ‚
qìÅ‚l3 - ÷Å‚
÷Å‚
8
7ql3
íÅ‚ Å‚Å‚
(2.4.7)
ÕB = - = -
6EJ 48EJ
Minus w wyniku końcowym wskazuje nam na to, że belka ta obróci się w drugą
stronę niż założyliśmy.
2.5. Przykład 2
Obliczyć przemieszczenie pionowe w punkcie A łuku o przekroju koło-
wym, przedstawionym na (Rys.2.5.1a).
Dane:
10 1
r = 5 m, º = ½ = , M = 50 kN Å" m ( patrz Rys.2.5.1)
eks
9 3
kN kN
(2.5.1)
E = 205 GPa = 205Å"106 , Ã = 200 MPa = 200Å"103
m2 dop m2
Politechnika PoznaÅ„ska® Kopacz, A
odygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymber
 WYKA
ADY Z MECHANIKI BUDOWLI 22
RÓWNANIE PRACY WIRTUALNEJ
E kN
G = = 76875Å"103
2(1+½ ) m2
M M
eks eks
à e" à , à = Ò! W = = 250,0Å"10-6 m2
dop
W Ã
dop
Ä„R3 W
3
W = = 0,7854 R3 Ò! R = = 6,83Å"10-2 m
4 0,7854 (2.5.2)
Przyjęliśmy: R = 0,069 m stąd:
Ä„R4
A = Ä„ R2 H" 150Å"10-4 m2, I = H" 0,7854 R4 = 1780Å"10-8 m4
(2.5.3)
4
Reasumując w zadaniu przyjęte zostały następujące wielkości:
A = 150Å"10-4 m2, I = 1780Å"10-8 m4,
kN kN
E = 205Å"106 , G = 76875Å"103
m2 m2
(2.5.4)
Ponownie stosując tę samą metodę, przykładamy jedynkową siłę wirtualną w
punkcie A Å‚uku (Rys.2.5.1b)
Politechnika PoznaÅ„ska® Kopacz, A
odygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymber
 WYKA
ADY Z MECHANIKI BUDOWLI 23
RÓWNANIE PRACY WIRTUALNEJ
Rys.2.5.1.a) łuk obciążony siła rzeczywistą q z przemieszczeniem punktu A równym vA ,
b) łuk obciążony jedynkową siłą wirtualną
W celu ułatwienia sobie obliczeń przyjmujemy biegunowy układ współrzędnych
(Rys.2.5.2.).
Politechnika PoznaÅ„ska® Kopacz, A
odygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymber
 WYKA
ADY Z MECHANIKI BUDOWLI 24
RÓWNANIE PRACY WIRTUALNEJ
Rys.2.5.2. Przyjęcie układu biegunowego
x
x = r sinÕ
sin Õ =
r
r - y
cosÕ =
y = r - r cosÕ = r(1 - cosÕ)
r
ds
= dÕ ds = dÕ r
(2.5.5)
r
StÄ…d:
2
q y q
2
2
M = - = - r (1 - cosÕ)
P
M = -1Å" x = -1Å" r sinÕ
2 2
TP = -q y cosÕ = -q cosÕ r(1 - cosÕ) T = -1Å"cosÕ
2
(2.5.6)
N = q x sinÕ = q r sin Õ N = -1Å"sinÕ
P
KorzystajÄ…c z drugiego twierdzenia o pracy wirtualnej uzyskamy:
Politechnika PoznaÅ„ska® Kopacz, A
odygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymber
 WYKA
ADY Z MECHANIKI BUDOWLI 25
RÓWNANIE PRACY WIRTUALNEJ
Ä„
2 2
îÅ‚ Å‚Å‚
1 q r
1 vA =
ïÅ‚- śł
+"-1Å" r sinÕ ðÅ‚ 2 (1- cosÕ)2 ûÅ‚ r dÕ +
EJ
0
Ä„
2
1
+
+"-1Å"sinÕ q r sin2Õ r dÕ +
EA
0
Ä„
2
º
+
+"-1Å"cosÕ [-q cosÕ r (1- cosÕ)] rdÕ
GA
0
Ä„ Ä„
qr4 2 qr2 2
vA = sin3Õ dÕ +
+"sinÕ (1- cosÕ)2 dÕ - EA +"
2EJ
0 0
Ä„
º qr2 2 2
+
(2.5.7)
+"cos Õ (1- cosÕ) dÕ
GA
0
Politechnika PoznaÅ„ska® Kopacz, A
odygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymber
 WYKA
ADY Z MECHANIKI BUDOWLI 26
RÓWNANIE PRACY WIRTUALNEJ
Ä„ Ä„ Ä„
cosÕ = t
2 2 2
* (1- cosÕ)2 dÕ = - sinÕ dÕ = dt = - t)2dt = - 2t + t2) dt =
+"sinÕ +"(1- +"(1-
0 0 0
sinÕ dÕ = -dt
Ä„ Ä„
2
ëÅ‚ 2t2 t3 2 1 1
öÅ‚
ëÅ‚- öÅ‚
ìÅ‚
= - t + - ÷Å‚ / = cosÕ + cos2 Õ - cos3 Õ / = › =
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
0 0
2 3 3 3
íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
Ä„ Ä„ Ä„
cosÕ = t
2 2 2
* sin3Õ dÕ = sin2 Õ dÕ = (1- cos2 Õ)dÕ = - sinÕ dÕ = dt =
+" +"sinÕ +"sinÕ
0 0 0
sinÕ dÕ = -dt
Ä„
Ä„ Ä„
2
2
ëÅ‚ öÅ‚
t3 2 2
ëÅ‚- 1
öÅ‚
ìÅ‚- ÷Å‚
= - (1- t2)dt = t + / = cosÕ + cos3 Õ / = š =
ìÅ‚ ÷Å‚
+" ìÅ‚ ÷Å‚
0 0
3 3 3
íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
0
Ä„ Ä„ Ä„
2 2 2
2 2 3
* Õ (1- cosÕ) dÕ = Õ dÕ + Õ dÕ = š
+"cos +"cos +"cos
0 0 0
Ä„Ä„
Ä„
2 2
2
1+ cos 2Õ 1+ cos 2Õ 1 1
ëÅ‚ öÅ‚
2
** Õ dÕ = = cos2 dÕ = dÕ = Õ + sin 2Õ / =
ìÅ‚ ÷Å‚
+"cos +"
0
2 2 2 4
íÅ‚ Å‚Å‚
0 0
Ä„
= š =
4
Ä„ Ä„ Ä„
2 2 2
sinÕ = t
3
** - Õ dÕ = - (1- sin2 Õ)dÕ = = - (1- t2)dt =
+"cos +"cosÕ +"
cosÕ dÕ = dt
0 0 0
Ä„ Ä„
2 2
ëÅ‚- 1 1 2
= t + t3 öÅ‚ / = -sinÕ + sin3 Õ / = š = -
ìÅ‚ ÷Å‚
0 0
3 3 3
íÅ‚ Å‚Å‚
Ä„ 2 1,42 (2.5.8)
*š = - =
4 3 12
4 2 2
qr 1 qr 2 º qr 1,42
vA = Å" - Å" + Å" = 0,11419 - 0,00002 + 0,00001 =
2EJ 3 EA 3 GA 12
(2.5.9)
= 0,11418 m = 11,42 cm
Wniosek:
Politechnika PoznaÅ„ska® Kopacz, A
odygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymber
 WYKA
ADY Z MECHANIKI BUDOWLI 27
RÓWNANIE PRACY WIRTUALNEJ
W zginanym łuku decydujący wpływ na przemieszczenia mają momenty zaś
wpływ pozostałych sił wewnętrznych możemy pominąć (łatwiej pręt zgiąć niż
na przykład ścisnąć czy rozciągnąć)
2.6. Przykład 3
Dla układu kratowego przedstawionego na (Rys.2.6.1.) obliczyć:
a) pionowe przemieszczenie punktu i
b) kąt obrotu pręta Sik (obrót cięciwy ik)
c) wzajemny obrót prętów SBk i SkD (wzajemny obrót cięciw)
d) skrócenie pręta Sik (zbliżenie punktów k, i)
Wzór:
N N
j j
1´i = l
"
j
(2.6.1)
E Aj j
Dane:
kN kN
E = 205 GPa = 205Å"106 , Ã = 200 MPa = 200Å"103
m2 dop m2 (2.6.2)
Rys.2.6.1 Kratownica z obciążeniem rzeczywistym
Politechnika PoznaÅ„ska® Kopacz, A
odygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymber
 WYKA
ADY Z MECHANIKI BUDOWLI 28
RÓWNANIE PRACY WIRTUALNEJ
N
Ni
à e" à , à = Ò! Ai =
dop
A Ã
dop
125
ABi = = 6,25Å"10-4 m2
200Å"103
Ai
A = Ä„ r2 Ò! ri =
Ä„
rBi = 1,41Å"10-2 m
PrzyjÄ™liÅ›my: rBi = 1,50Å"10-2 m stÄ…d: ABi = 7,07 Å"10-4 m2
100
ABA = = 5,00Å"10-4 m2
200Å"103
rBi = 1,26Å"10-2 m
PrzyjÄ™liÅ›my: rBA = 1,30Å"10-2 m stÄ…d: ABA = 5,31Å"10-4 m2
75
AAi = = 3,75Å"10-4 m2
200Å"103
(2.6.3)
rAi = 1,09Å"10-2 m
PrzyjÄ™liÅ›my: rAi = 1,10Å"10-2 m stÄ…d: AAi = 3,80Å"10-4 m2
Reasumując w zadaniu przyjęte zostały następujące wielkości:
kN kN
E = 205 GPa = 205Å"106 , Ã = 200 MPa = 200Å"103
m2 dop m2
ABi = 7,07 Å"10-4 m2 , ABA = 5,31Å"10-4 m2 , AAi = 3,80Å"10-4 m2 (2.6.4)
Politechnika PoznaÅ„ska® Kopacz, A
odygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymber
 WYKA
ADY Z MECHANIKI BUDOWLI 29
RÓWNANIE PRACY WIRTUALNEJ
ad. a)
W celu obliczenia pionowego przemieszczenia punktu i, przykładamy w tym
punkcie jedynkową, pionową siłę wirtualną (Rys.2.6.2)
Rys.2.6.2 Kratownica z obciążeniem wirtualnym
0,75 Å" 75 Å" 3 1Å"100 Å" 4 1,25Å"125 Å" 5
1Å" vA = + + = 1,12 Å"10-2 m
E Å" 3,8 Å"10-4 E Å" 5,31Å"10-4 E Å" 7,07 Å"10-4 (2.6.5)
ad. b)
W celu obliczenia kąta obrotu pręta Sik (obrót cięciwy ik), przykładamy w koń-
cach tego pręta parę sił wirtualnych, które razem tworzą moment jedynkowy
(Rys.2.6.3)
Politechnika PoznaÅ„ska® Kopacz, A
odygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymber
 WYKA
ADY Z MECHANIKI BUDOWLI 30
RÓWNANIE PRACY WIRTUALNEJ
Rys.2.6.3 Kratownica z obciążeniem wirtualnym
0,25 Å" 75 Å" 3 0 Å"100 Å" 4 0Å"125 Å" 5
1Å" vik = - + -
E Å" 3,8 Å"10-4 E Å" 5,31Å"10-4 E Å" 7,07 Å"10-4
(2.6.6)
0,25 Å" 0 Å" 3
- = 7,0 Å"10-4 rad
E Å" ABk
ad. c)
W celu obliczenia wzajemnego obrotu prętów SBk i SkD (wzajemny obrót cięciw)
przykładamy w końcach każdego z tych prętów parę sił wirtualnych, które
razem tworzÄ… moment jedynkowy (Rys.2.6.4)
Rys.2.6.4 Kratownica z obciążeniem wirtualnym
0,42Å"125 Å" 5
1Å"Õ = = 18,0 Å"10-4 rad
B k D
E Å" 7,07 Å"10-4 (2.6.7)
Politechnika PoznaÅ„ska® Kopacz, A
odygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymber
 WYKA
ADY Z MECHANIKI BUDOWLI 31
RÓWNANIE PRACY WIRTUALNEJ
ad. d)
W celu obliczenia skrócenia pręta Sik (zbliżenie punktów k, i) przykładamy w
końcach tego pręta, wzdłuż jego kierunku, parę sił wirtualnych, jedynkowy
(Rys.2.6.5)
Rys.2.6.5 Kratownica z obciążeniem wirtualnym
1Å" 0 Å" 4
1 vki = - = 0 m
(2.6.8)
E Å" Aki
Politechnika PoznaÅ„ska® Kopacz, A
odygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymber