WYKA
ADY Z MECHANIKI BUDOWLI
METODA PRZEMIESZCZEC
- RÓWNANIA A
AC
CUCHA KINEMATYCZNEGO, WZORY TRANSFORMACYJNE OD
TEMPERATURY, PRZYKA
AD LICZBOWY
Olga Kopacz, Adam A
odygowski, Krzysztof Tymper,
Michał Płotkowiak, Wojciech Pawłowski
Konsultacje naukowe: prof. dr hab. JERZY RAKOWSKI
Poznań 2002/2003
MECHANIKA BUDOWLI 4
METODA PRZEMIESZCZEC
-ciÄ…g dalszy.
1.1. Równanie łańcucha kinematycznego.
Równanie łańcucha kinematycznego potrzebne jest nam do wyznaczenia
reakcji miÄ™dzy kÄ…tami obrotówÈ prÄ™tów tworzÄ…cych analizowanÄ… ramÄ™.
ki
Spróbujmy znalez
ć zależności (matematyczne) między tymi kątami. Spójrzmy
na rysunek poniżej (rys.4.1) na którym przedstawiono układ przed i po
przemieszczeniu.
Rys.4.1
Początkowe założenia:
1) Dopuszczamy możliwość osiadania podpór.
2) Podpory doznajÄ… przemieszczenia wo i wn
© Publishing House of Poznan University of Technology, PoznaÅ„ 2002
ISSN 1642-9303
WYKA
ADY Z MECHANIKI BUDOWLI
METODA PRZEMIESZCZEC
- RÓWNANIA A
AC
CUCHA KINEMATYCZNEGO, WZORY TRANSFORMACYJNE OD
TEMPERATURY, PRZYKA
AD LICZBOWY
3) Wektor li nachylony jest pod kÄ…tem Ä…i do osi poziomej, wektor li '(po
przemieszczeniu) pod kątem ąi 'Zajmijmy się w końcu łańcuchem
kinematycznym.
Dokonajmy rzutowania wektorów li i li' na osie x, y . Zgodnie z
rysunkiem (rys.4.1) otrzymujemy:
" dla układu wyjściowego:
x
= 0 (suma na oÅ› x)
"li
i
= 0 Ò!
"li
(4.1)
y
i
= 0 (suma na oÅ› y)
"li
i
lix liy
jeżeli zaś cosąi = a sinąi = to powyższe związki przedstawiają się
li li
następująco:
Å" cosÄ…i = 0
"li
i
(4.2)
Å" sinÄ…i = 0
"li
i
" dla układu po przemieszczeniu:
'Å"cosÄ…i '+u0 - un = 0
"li
(4.3)
i
' + w0 - wn = 0 Ò!
"li
i
'Å"sinÄ…i'+v0 - vn = 0
"li
(4.4)
i
W tym przypadku nie znamy wartoÅ›ci kÄ…ta Èi , wiemy jednak iż jest to kÄ…t
obrotu pręta;
Ä…i '=Ä…i +Èi Ò!Ä…i '= Ä…i -Èi (4.5)
Zakładając, że pręty mogą ulec wydłużeniu pod wpływem temperatury
równania (4.3) i (4.4) przyjmują postać:
1.3) + "li )cos(Ä…i -È )= un - u0 Ò!
"(li i
i
+ "li )(cosÄ…i Å" cosÈ + sinÄ…i Å" sinÈ )= un - u0 Ò!
"(li i i
i
Politechnika PoznaÅ„ska® Kopacz, A
odygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper
WYKA
ADY Z MECHANIKI BUDOWLI
METODA PRZEMIESZCZEC
- RÓWNANIA A
AC
CUCHA KINEMATYCZNEGO, WZORY TRANSFORMACYJNE OD
TEMPERATURY, PRZYKA
AD LICZBOWY
W wyniku przemieszczenia, zakÅ‚adajÄ…c, że kÄ…ty obrotów prÄ™tów Èi sÄ… maÅ‚e
możemy przyjąć, że cosÈ H" 1i sinÈ H" 1 stÄ…d:
i i
cosÄ…i Å"1+ li sinÄ…i Å"Èi + "li cosÄ…i Å"1+ "li sinÄ…i Å"Èi)= un - u0 Ò!
"(li
i
(li y Å"Èi + "li x)= un - u0 Ò!
"
i
y x
1) Å"È + = un - u0
"li i ""li
i i
1.4) + "li)sin(Ä…i -Èi)= vn - v0 Ò!
"(li
i
+ "li)(sinÄ…i Å" cosÈi - sinÈi Å" cosÄ…i)= vn - v0 Ò!
"(li
i
sinÄ…i Å"1- li cosÄ…i Å"Èi + "li sinÄ…i Å"1- "li cosÄ…i Å"Èi)= vn - v0 Ò!
"(li
i
2)- " "
li x Å"Èi + "li y = vn - v0
i i
Otrzymaliśmy:
y x
1) Å"È + = un - u0
"li i ""li
i i
RÓWNANIA A
AC
CUCHA
(4.6)
x y
2)- Å"È + = vn - v0 KINEMATYCZNEGO
"li i ""li
i i
1.1.1 Wpływ temperatury i osiadania podpór w metodzie
przemieszczeń.
Przypuśćmy, że mamy układ obciążony temperaturą (np. jak na rys.4.2),
wówczas wielkości R wyznacza się w procedurze dwuetapowej:
it
a) od różnicy temperatur
b) od równomiernego ogrzania temperaturą t = t0 - tm
ad a) Zajmijmy się układem obciążonym różnicą temperatur "t jak na rysunku
(rys.4.3).
Politechnika PoznaÅ„ska® Kopacz, A
odygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper
WYKA
ADY Z MECHANIKI BUDOWLI
METODA PRZEMIESZCZEC
- RÓWNANIA A
AC
CUCHA KINEMATYCZNEGO, WZORY TRANSFORMACYJNE OD
TEMPERATURY, PRZYKA
AD LICZBOWY
Jeżeli poszczególne pręty układu (układ
podstawowy) wyizolujemy otrzymamy
trzy możliwości. Pręt może być:
obustronnie utwierdzony, jednostronnie
utwierdzony lub podparty na podporze
ślizgowej. Wzory transformacyjne dla
tych możemy wyznaczyć znaną nam
Rys.1.2
metodą sił.
Mamy zatem:
f& dla układu z podporą ślizgową i obustronnie utwierdzonego
Dla danego układu (rys.4.3a)
przyjmujemy układ podstawowy jak na
rysunku obok (rys.4.3b). Mamy dwie
nadliczbowe X1, X2 dla których układ
równań kanonicznych jest postaci:
´11 Å" X1 + ´12 Å" X2 + "1P = 0
´21 Å" X1 + ´22 Å"X +"2P = 0
2
Współczynniki ´11,´12 wyznaczymy z
wzoru:
Rys.4.3
îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚m Å" kNm śł
Mi Å" Mk
´ik = ds m = m = mśł
(4.7)
ïÅ‚
+"
kN
EI
ïÅ‚ śł
m4
ïÅ‚ śł
ðÅ‚ m2 ûÅ‚
Wykonujemy wykresy momentów od nadliczbowych X1 = 1, X2 = 1. Z
rysunku widać, że wykres momentów od X2 = 1jest równy zero, zatem
poszczególne współczynniki z indeksem 2 będą równe zeru, a układ równań
sprowadza siÄ™ do postaci: ´11 Å" X1 + "1P = 0 . Zgodnie z rysunkiem (rys.4.4) i
powyższym wzorem (4.7):
Politechnika PoznaÅ„ska® Kopacz, A
odygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper
WYKA
ADY Z MECHANIKI BUDOWLI
METODA PRZEMIESZCZEC
- RÓWNANIA A
AC
CUCHA KINEMATYCZNEGO, WZORY TRANSFORMACYJNE OD
TEMPERATURY, PRZYKA
AD LICZBOWY
1 l
´11 = (l Å"1Å"1) =
EI EI
Ä…t Å" "t Ä…t Å" "t
"1t =
1
+"M h ds = l Å"1 h
stÄ…d:
Rys.4.4 "1t
´11 Å" X1 + "1P = 0 Ò! X1 = -
´11
Ä…t Å" "t
"1t l Å"1 h -Ä…t Å" "t Å" EI
X1 = - = =
l
´11 h
EI
Możemy wykonać wykres momentów w układzie statycznie niewyznaczalnym
(rys.4.5) i wyznaczyć szukane momenty Mik ,M (wartości tych momentów
ki
przedstawione są w tabeli umieszczonej poniżej).
W przypadku układu obustronnie utwierdzonego
postępujemy jak w powyższym przypadku.
Rys.4.5
f& dla układu jednostronnie utwierdzonego
Schemat postępowania jest analogiczny do schematu postępowania jak dla
układu z podporą ślizgową.
Politechnika PoznaÅ„ska® Kopacz, A
odygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper
WYKA
ADY Z MECHANIKI BUDOWLI
METODA PRZEMIESZCZEC
- RÓWNANIA A
AC
CUCHA KINEMATYCZNEGO, WZORY TRANSFORMACYJNE OD
TEMPERATURY, PRZYKA
AD LICZBOWY
Rys.4.6
Układ równań kanonicznych:
´11 Å" X1 + "1P = 0
1 1 2 l l3
ëÅ‚ öÅ‚
´11 = l Å" l Å" l = Å"
ìÅ‚ ÷Å‚
EI 2 3 EI 3
íÅ‚ Å‚Å‚
Ä…t Å" "t 1 Ä…t Å" "t l2 Å"Ä…t Å" "t
"1t =
1
+"M h ds = 2 l Å" l h = 2h
Zatem nasza niewiadoma wynosi:
l2 Å"Ä…t Å" "t
"1t 2h 3 Ä…t Å" "t
X1 = - = = - EI a wykres momentów w układzie
´11 l l3 2 h
Å"
EI 3
statycznie niewyznaczalnym (od wyznaczonego X1 )przedstawiony jest na
powyższym rysunku (rys.4.6c). Wyznaczone w ten sposób wzory
transformacyjne przedstawione są w poniższej tabeli.
Schemat Wzory transformacyjne -
EI
Mik "t = - Ä…t Å" "t
h
"t = td - tg > 0
(4.7)
EI
Mki"t = + Ä…t Å" "t
h
Politechnika PoznaÅ„ska® Kopacz, A
odygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper
WYKA
ADY Z MECHANIKI BUDOWLI
METODA PRZEMIESZCZEC
- RÓWNANIA A
AC
CUCHA KINEMATYCZNEGO, WZORY TRANSFORMACYJNE OD
TEMPERATURY, PRZYKA
AD LICZBOWY
3 EI
"t
M = - Å" Ä…t Å" "t
ik
2 h "t = t - t > 0
(4.8)
d g
"t
M = 0
ki
EI
Mik "t = - Ä…t Å" "t
h
(4.9)
EI
Mki"t = + Ä…t Å" "t
h
ad a) Zgodnie z wzorami (4.6) dla układu równomiernie ogrzanego możemy
zapisać:
y x
Å"Èit + = 0
"li ""li
i i
x y
Å"Èit + = 0 gdzie: "li = li Å"Ä…i Å" t
"li ""li
i i
Èit `"Èi
Rys.4.7
t
WartoÅ›ci È wyznaczamy z równaÅ„ Å‚aÅ„cucha kinematycznego, i
i
określamy dla nich wykresy sił wewnętrznych podstawiając do wzorów
transformacyjnych powyższe wartości . Pozwoli to nam na wyznaczenie
Politechnika PoznaÅ„ska® Kopacz, A
odygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper
WYKA
ADY Z MECHANIKI BUDOWLI
METODA PRZEMIESZCZEC
- RÓWNANIA A
AC
CUCHA KINEMATYCZNEGO, WZORY TRANSFORMACYJNE OD
TEMPERATURY, PRZYKA
AD LICZBOWY
wielkości R , które będziemy mogli potraktować jako wyrazy wolne w układzie
it
równań kanonicznych.
W przypadku gdy występuje tylko osiadanie podpór, wyrazy wolne
wyznacza się w sposób jak wyżej, tzn. z równań łańcuchów kinematycznych
układu podstawowego w postaci:
y "
1) Å"È = un - u0
"li i
i
(4.10)
x "
2)- Å"È = vn - v0
"li i
i
W przypadku równoczesnego działania temperatury i osiadania dochodzi do
osiadania w postaci kątów.
PRZYKA
AD
Na prostym przykładzie zobaczmy jak zapisać równania łańcucha i
wykonać wykresy sił wewnętrznych w przypadku obciążenia układu
temperaturą, siłami zewnętrznymi czy przy osiadaniu podpór. Przypuśćmy, że
nasz układ (rama) obciążony jest jak na rysunku poniżej. Przyjmujemy układ
podstawowy (rys.4.8b) i zapisujemy dla niego układ równań kanonicznych. I
tak:
Rys.4.8
f& Dla układu obciążonego siłami zewnętrznymi układ równań kanonicznych
ma postać:
r11 Å"Õ1 + r12 Å" u2 + R1P = 0
Å„Å‚
òÅ‚r Å"Õ1 + r22 Å"u2 + R2P = 0
ół 21
Politechnika PoznaÅ„ska® Kopacz, A
odygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper
WYKA
ADY Z MECHANIKI BUDOWLI
METODA PRZEMIESZCZEC
- RÓWNANIA A
AC
CUCHA KINEMATYCZNEGO, WZORY TRANSFORMACYJNE OD
TEMPERATURY, PRZYKA
AD LICZBOWY
W celu wyznaczenia współczynników r11, r12, r21, r22 oraz R1P , R2P
wykonujemy wykresy momentów zgodnie z poznanymi wcześniej wzorami
transformacyjnymi przyÕ1 = 1,u2 = 1oraz od obciążenia siÅ‚ami
zewnętrznymi (rys.4.9).
Rys.4.9
Poszczególne współczynniki wyznaczamy z równowagi węzłów, natomiast
r21,r22, R2P z równania pracy wirtualnej. Otrzymujemy zatem:
4 3
r11 = EI + EI
5 4
3 3 6 1
r12 = EI Å" - EI Å"
4 16 5 4
4 2 1 3 3
ëÅ‚ öÅ‚
r21 Å"1+ EI + EI Å" + EIëÅ‚- Å"1öÅ‚ = 0 Å"1
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
5 5 4 4 16
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
ëÅ‚ öÅ‚
6 1 1 3 3 3
r22 Å"1- Å" EIìÅ‚ ÷Å‚ Å" 2 + Å" EIëÅ‚- Å"1öÅ‚ = 0 Å"1
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
5 4 4 4 16 16
íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
W przypadku wyznaczania współ. R należy także uwzględnić pracę wykonaną
2 P
na przemieszczeniach ´ ,´ (rys.4.10) wywoÅ‚anych dziaÅ‚aniem obciążenia
A B
zewnętrznego.
Politechnika PoznaÅ„ska® Kopacz, A
odygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper
WYKA
ADY Z MECHANIKI BUDOWLI
METODA PRZEMIESZCZEC
- RÓWNANIA A
AC
CUCHA KINEMATYCZNEGO, WZORY TRANSFORMACYJNE OD
TEMPERATURY, PRZYKA
AD LICZBOWY
Rys.1.10
W celu wyznaczenia ´ ,´ budujemy dodatkowe dwa Å‚aÅ„cuchy
A B
kinematyczne:
2A “!
01 “!
3 Å"È = ´ - 2 Å"È21 = ´
01 B A
Równanie pracy wirtualnej przyjmuje postać:
3
R2P Å"1-16ëÅ‚- Å"1öÅ‚ -16 Å"1+ 24 + 24 Å"´ + 8 Å" 4´ = 0 Å"1
ìÅ‚ ÷Å‚
B A
1
íÅ‚ Å‚Å‚
Mając wyznaczone współczynniki rozwiązujemy układ równań
kanonicznych otrzymujÄ…c:
3,299 93,3908
Õ1 = - u2 =
EI EI
wartości te wstawiamy do wzorów transformacyjnych otrzymując końcowe
wartości momentów na poszczególnych końcach prętów. Wykres
momentów przedstawiony jest na poniższym rysunku.
f&
Politechnika PoznaÅ„ska® Kopacz, A
odygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper
WYKA
ADY Z MECHANIKI BUDOWLI
METODA PRZEMIESZCZEC
- RÓWNANIA A
AC
CUCHA KINEMATYCZNEGO, WZORY TRANSFORMACYJNE OD
TEMPERATURY, PRZYKA
AD LICZBOWY
f& Układ obciążony temperaturą-
Schemat postępowania jest analogiczny jak poprzednio, tu jednak w celu
wyznaczenia współczynników R1t , R2t postępujemy dwuetapowo określając
osobno ich wartości od obciążenia "t i t0 . Wykonujemy wykresy momentów
od obciążenia "t zgodnie z wzorami transformacyjnymi przedstawionymi w
tabeli (4.7,4.8)otrzymując z równowagi węzłów R1"t , R2"t W celu
wyznaczeni Rt , Rt należy wykonać dodatkowy łańcuch kinematyczny przy
0 0
czym należy pamiętać o uwzględnieniu wydłużenia prętów wywołanych ich
t + t
d g
podgrzaniem (oziębieniem) temperaturą t = - t . I tak dla:
0 m
2
20°C +10°C
- prÄ™ta 0 -1 mamy t = - 25°C = -10°C
0
2
20°C + 0°C
- prÄ™ta1- 2 mamy t = - 25°C = -15°C
0
2
Równania łańcucha wyglądają następująco:
012
4 Å"È + 3Å"Ä…4-10°C) + 4 Å"Ä… (-15°C)= 0
(
01(t0 ) t t
14243
4
element wynikajÄ…yn z ogrzania
012 Ä™!
3Å"È - 4 Å"Ä… (-10°C)+ 4 Å"È = 0
01(t0 ) t 12(t0 )
Szukane przez nas ostateczne współczynniki R1t , R2t wynoszą:
R1t = R1"t + R1t R2t = R2"t + R21t
0 0
f& Układ z nałożonym osiadaniem podpór- jak widać z rysunku (rys.4.7)
zadane osiadania wynoszÄ… 0,01m . W tym zatem przypadku prawa strona nie
jest równa zeru lecz zadanemu osiadaniu. Mamy zatem:
012
012 “!
4 Å"È = -0,01
3Å"È + 4 Å"È = 0,01
01
01 12
Wykonujemy wykresy momentów od wyznaczonych wartości
- 0,01 3
È = ,È12 = 0,01 pamiÄ™tajÄ…c, żeÕ0 = 0,005 i podobnie jak
01
4 16
poprzednio wyznaczamy R1" , R2" .
Politechnika PoznaÅ„ska® Kopacz, A
odygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper
WYKA
ADY Z MECHANIKI BUDOWLI
METODA PRZEMIESZCZEC
- RÓWNANIA A
AC
CUCHA KINEMATYCZNEGO, WZORY TRANSFORMACYJNE OD
TEMPERATURY, PRZYKA
AD LICZBOWY
Współczynnik R1" określamy z
równowagi węzła natomiast R2" z
równania pracy wirtualnej:
1
ëÅ‚ - 3
R2P Å"1+ (30,709 + 21,935)Å" -14,395 Å" Å"1öÅ‚ = 0 Å"1
ìÅ‚ ÷Å‚
4 16
íÅ‚ Å‚Å‚
Po ich określeniu możemy wyznaczyć wykres momentów w układzie
statycznie niewyznaczalnym zgodnie z użytymi już wcześniej wzorami
transformacyjnymi.
Widzimy zatem, iż mimo tego, że sam schemat budowy łańcucha jest dla
wszystkich rodzajów obciążeń jednakowy to różnice między nimi są znaczne.
Należy zwrócić baczną uwagę przy ich budowaniu, stanowią one bowiem
podstawÄ™ do poprawnego rozwiÄ…zania zadania.
Politechnika PoznaÅ„ska® Kopacz, A
odygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper