WYKA
ADY Z MECHANIKI BUDOWLI 1
UKA
ADY PRZESTRZENNE, METODA PRZEMIESZCZEC

Olga Kopacz, Adam A
odygowski, Krzysztof Tymper,
Michał Płotkowiak, Wojciech Pawłowski
Konsultacje naukowe: prof. dr hab. JERZY RAKOWSKI
Poznań 2002/2003
MECHANIKA BUDOWLI 2
1. UKA
ADY PRZESTRZENNE
O przestrzenności nie świadczy tylko geometria ale również sposób obciążenia. Układy
przestrzenne wykazują trójwymiarowy stan przemieszczeń.
Na rys.1 pokazane są dodatnie zwroty sił. Należy zwrócić szczególną uwagę na
płaszczyznę przecięcia pręta (dodatnia lub ujemna), która determinuje zwroty dodatnich
sił.
Tyz
Ny
Tyx
Rys. 1
Politechnika PoznaÅ„ska® Kopacz, A
odygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper
 WYKA
ADY Z MECHANIKI BUDOWLI 2
UKA
ADY PRZESTRZENNE, METODA PRZEMIESZCZEC

Na rys.2 pokazane są dodatnie zwroty momentów
M3
M2 (skręcający)
M1
Rys. 2
Dla przeciętego pręta w dowolnym miejscu muszą być spełnione równania równowagi
= 0 = 0 P3 Å" x2 - P2 Å" x3 = 0
"P1 "M1
= 0 = 0 P1 Å" x3 - P3 Å" x1 = 0
(2.1)
"P2 "M 2
= 0 = 0 P2 Å" x1 - P1 Å" x2 = 0
"P3 "M 3
Å„Å‚ üÅ‚
M1i Å" M1k M Å" M M Å" M
3i 3k 2i 2k
ds + ds ds +ôÅ‚
ôÅ‚
+" +" +"
EJ1 EJ3 S GIs
ôÅ‚ ôÅ‚
S S
´ik =
(2.2)
òÅ‚ żł
"
ôÅ‚+ Ni Å" Nk ds + T1i Å"T1k º1ds + T3i Å"T3k º3ds ôÅ‚
+" +" +"
ôÅ‚ ôÅ‚
EA GA GA
ół S S S þÅ‚
Gdzie
GIs - parametr charakteryzujący sztywność na skręcanie,
Politechnika PoznaÅ„ska® Kopacz, A
odygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper
 WYKA
ADY Z MECHANIKI BUDOWLI 3
UKA
ADY PRZESTRZENNE, METODA PRZEMIESZCZEC

Sztywność na skręcenia
W zależności od kształtownika i rodzaju materiału z jakiego został on wykonany,
określa się sztywność na zginanie.
E
G =
(2.3)
2 Å"(1+½ )
G - moduł Kirchhoffa
Dla prostokÄ…ta:
IS = k Å" h Å" b3 (2.4)
Gdzie:
k - współczynnik zależny od stosunku wysokości do szerokości prostokąta
h/b 1,0 2,0 3,0 "
B < h
k 0,1406 0,228 0,2633 0,333
Przy czym jako wysokość (h) rozumie się dłuższy bok prostokąta
Dla koła:
IS = I0
(2.5)
Dla kształtowników:
1
IS = · Å" Å" hi Å" bi 3
(2.6)
"
3
i
Gdzie h i b to wymiary półek i środników traktowanych jako prostokąty
Współczynnik · jest zależny od ksztaÅ‚tu elementu:
kÄ…townik dwuteownik ceownik teownik
·
1 1,2 1,12 1,15
Zamknięty obszar cienkościenny:
2
4 Å"Ö Å"´
(2.7)
IS =
s
Gdzie:
S
Ö - pole powierzchni zawarte w
obrębie linii środkowej
s - obwód linii środkowej
´ - grubość (staÅ‚a lub Å›rednia)
Politechnika PoznaÅ„ska® Kopacz, A
odygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper
 WYKA
ADY Z MECHANIKI BUDOWLI 4
UKA
ADY PRZESTRZENNE, METODA PRZEMIESZCZEC

2. METODA PRZEMIESZCZEC

Starając się zrozumieć istotę metody przemieszczeń, najwygodniej jest ją
przedstawić za pomocą analogii do metody sił, którą już poznaliśmy i przy użyciu
której jesteśmy wstanie policzyć przemieszczenia i rozkład sił układów statycznie
niewyznaczalnych.
Metoda przemieszczeń Metoda sił
niewiadomymi wielkościami są niewiadome są nadliczbowe siły
1
przemieszczenia węzłów
Ułożone równania kanoniczne Ułożone równania kanoniczne
metody przemieszczeń są metody sił są równaniami
2 równaniami równowagi (w ramach przemieszczeń
prostych- równania równowagi
węzłów)
W metodzie przemieszczeń o liczbie O liczbie niewiadomych metody sił
niewiadomych decyduje liczba decyduje stopień statycznej
3
niezależnych obrotów i przesuwów niewyznaczalności określony przez
liczbę podpór i tarcz
Rozpatrzmy ramę płaską (rys.3) składającą się z prętów połączonych węzłami,
które traktować będziemy jako tarcze doskonale sztywne.
Rys. 3
Rama obciążona jest dowolnymi siłami skupionymi lub obciążeniem ciągłym. Pod
wpływem obciążeń układ odkształci się; w prętach powstanie stan naprężenia, którego
składowymi uogólnionymi są M, T, N.
Pod wpływem przemieszczenia pręty podlegają deformacji a węzły doznają
przemieszczeń. Stan przemieszczenia węzła charakteryzują trzy wielkości: kąt obrotu
wÄ™zÅ‚a Õ oraz skÅ‚adowe przemieszczenia wÄ™zÅ‚a: pionowa (v) i pozioma (u).
Politechnika PoznaÅ„ska® Kopacz, A
odygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper
 WYKA
ADY Z MECHANIKI BUDOWLI 5
UKA
ADY PRZESTRZENNE, METODA PRZEMIESZCZEC

Ważne: w sformułowaniu metody przemieszczeń nie będziemy uwzględniać skracania i
wydłużania się prętów pod wpływem działania obciążenia.
Posługiwać się będziemy pojęciami:
Węzeł swobodny- taki, który pod wpływem obciążenia układu może doznać
przemieszczenia (u lub v).
Węzeł skrępowany- (np. podporowe) węzły są utwierdzone- kąt obrotu i przesunięcie
równe 0.
Przyjmijmy składowe stanu przemieszczenia węzła za wielkości niewiadome.
Gdybyśmy znali przemieszczenia węzłów, moglibyśmy wyznaczyć wielkości
statyczne w prętach. Można bowiem traktować każdy pręt oddzielnie jako poddany
działaniu obciążenia zewnętrznego oraz działaniu znanych przesunięć i obrotów jego
przekrojów przywęzłowych. Zadanie to, przy użyciu metody sił, da się obliczyć dla
każdego pręta.
Rozpatrując układ ramowy (rys.3) załóżmy, że wszystkie składowe stanu
przemieszczenia węzłów swobodnych są równe zeru. Otrzymamy wówczas układ
prętów na obu końcach utwierdzonych. Obciążenie jednego pręta wywołuje wtedy stan
naprężenia tylko w tym pręcie. Składowe stanu przemieszczenia przekrojów
przywęzłowych są równe zeru. Wielkości statyczne w dowolnym pręcie możemy
wyznaczyć przy użyciu metody sił, traktując każdy z prętów jako oddzielny układ
trzykrotnie statycznie niewyznaczalny.
Przykład:
W
ZEA

ik
EI
lik
Rys. 4
Złożenia:
lik = l
(2.8)
Iik = I
Politechnika PoznaÅ„ska® Kopacz, A
odygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper
 WYKA
ADY Z MECHANIKI BUDOWLI 6
UKA
ADY PRZESTRZENNE, METODA PRZEMIESZCZEC

Wymuszamy obroty podpory węzła  i i  k zgodnie z rys. 5
psi (ik)
Rys. 5
Gdzie:
Psi (ik) - È
ik
Fi - Õi
Zgodnie z metodą sił, gdy występuje wymuszony obrót (osiadanie) można zapisać układ
równań kanonicznych:
´11 Å" X1 + ´12 Å" X + "1" = 0
Å„Å‚
2
(2.9)
òÅ‚´ Å" X1 + ´22 Å" X + "2" = 0
ół 21 2
Zgodnie z metodą sił rozwiązujemy układ równań.
Wykresy jednostkowe do obliczenia przemieszczeÅ„ ´ (rys.6)
Politechnika PoznaÅ„ska® Kopacz, A
odygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper
Fi
k
Fi
i
k)
i
si(
p
k
i
i
i
F
F
 WYKA
ADY Z MECHANIKI BUDOWLI 7
UKA
ADY PRZESTRZENNE, METODA PRZEMIESZCZEC

M1
1
1
l
l
M2
1 1
l l
Rys. 6
Obliczenia przemieszczeń w miejscach sił jedynkowych:
M1 Å" M1 l
´11 = ds =
+"
EI 3EI
M Å" M l
2 2
´22 = ds = (2.10)
+"
EI 3EI
M1 Å" M l
2
´12 = ds = -
+"
EI 6EI
Obliczenia od osiadania:
"1" = -("1 + ")
"Ri
1 1 Vk -Vi
(2.11)
"1" = -Õ1 - Å"Vi + Å"Vk = -Õi + = -Õi +È
ik
l l l
"2" = -Õ1 +È
ik
Podstawiając wyznaczone wielkości do układu równań i po rozwiązaniu go otrzymamy:
2EI
X1 = Mik = Å"(2 Å"Õi + Õk - 3Å"È )
ik
l
(2.12)
2EI
X = M = Å"(2 Å"Õk + Õi - 3Å"È )
2 ki ik
l
Politechnika PoznaÅ„ska® Kopacz, A
odygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper
 WYKA
ADY Z MECHANIKI BUDOWLI 8
UKA
ADY PRZESTRZENNE, METODA PRZEMIESZCZEC

Otrzymane w ten sposób zależności są WZORAMI TRANSFORMACYJNYMI
metody przemieszczeń, gdzie Mik jest przęsłowym momentem przywęzłowym
(rys.7).
ik
Rys. 7
Wzory transformacyjne: określają zależności między przęsłowymi przywęzłowymi
siłami wewnętrznymi a wymuszonymi przemieszczeniami podpór węzłowych.
Korzystając z zależności (2.7) można łatwo wyprowadzić wzór na siły poprzeczne:
6EI
Tik = Tki = - Å"(Õi + Õk - 2 Å"È ) (2.13)
ik
l2
W podobny sposób można wyprowadzić zależności dla prętów: z przegubem z jednej
strony lub z podporą ślizgową.
WZORY TRANSFORMACYJNE DLA PR
TÓW RÓZNIE PODPARTYCH
1. Dla belki obustronnie utwierdzonej: rys.7, (2.9)
l
2EI
l
4EI
l
Rys. 7
2EI
M = Å"(2 Å"Õi + Õk - 3Å"È )
ik ik
l
2EI
M = Å"(2 Å"Õk + Õi - 3Å"È ) (2.14)
ki ik
l
6EI
Tik = Tki = - Å"(Õi + Õk - 2 Å"È )
ik
2
l
Politechnika PoznaÅ„ska® Kopacz, A
odygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper
 WYKA
ADY Z MECHANIKI BUDOWLI 9
UKA
ADY PRZESTRZENNE, METODA PRZEMIESZCZEC

2. Dla belki z przegubem na jednym końcu: rys.8, (2.10)
l
3EI
l
Rys. 8
3EI
M = Å"(Õi -È )
ik ik
l
M = 0
(2.15)
ki
3EI
Tik = Tki = - Å"(Õi -È )
ik
2
l
3. Dla belki z podporą ślizgową na jednym końcu: rys.9, (2.11)
l
Rys. 9
EI
M = Å"(Õi -Õk )
ik
l
EI (2.16)
M = Å"(Õk -Õi )
ki
l
Tik = Tki = 0
Politechnika PoznaÅ„ska® Kopacz, A
odygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper
 WYKA
ADY Z MECHANIKI BUDOWLI 10
UKA
ADY PRZESTRZENNE, METODA PRZEMIESZCZEC

Podczas obliczeń metodą przemieszczeń wykorzystuje się również wykresy momentów
dla obciążeń zewnętrznych. Oto kilka charakterystycznych przypadków:
1. Obciążenie ciągłe dla pręta utwierdzonego:
q
l
M M
Rys. 10
2 2 2
ql ql ql
(2.17)
M = - M = M =
ik ki max
12 12 24
2. Obciążenie ciągłe dla pręta przegubowego:
l
M
Rys. 11
2 2
ql 9 Å" q Å"l
(2.18)
M = - M = 0 M =
ik ki max
8 128
Politechnika PoznaÅ„ska® Kopacz, A
odygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper
 WYKA
ADY Z MECHANIKI BUDOWLI 11
UKA
ADY PRZESTRZENNE, METODA PRZEMIESZCZEC

3. Obciążenie skupione dla pręta utwierdzonego:
P
l l
2 2
M M
Rys. 12
Pl Pl Pl
M = - M = M = (2.19)
ik ki max
8 8 8
4. Obciążenie skupione dla pręta przegubowego:
l l
2 2
M
Rys. 13
3 5
M = - Å" Pl M = 0 M = Å" Pl (2.20)
ik ki max
16 32
Politechnika PoznaÅ„ska® Kopacz, A
odygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper
 WYKA
ADY Z MECHANIKI BUDOWLI 12
UKA
ADY PRZESTRZENNE, METODA PRZEMIESZCZEC

5. Obciążenie skupione dla pręta przegubowego:
M
l l
2 2
M
M
Rys. 13
M M
M = - M = - (2.21)
ik ki
4 4
l l
2 2
M
M
M
M = - M = 0 (2.22)
ik ki
8
Politechnika PoznaÅ„ska® Kopacz, A
odygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper
 WYKA
ADY Z MECHANIKI BUDOWLI 13
UKA
ADY PRZESTRZENNE, METODA PRZEMIESZCZEC

PRZYKA
AD
Zadaną belkę (rys.14) rozwiązać metodą przemieszczeń
q=4kN/m
P=16kN
4 6
Rys. 13
Zgodnie z założeniami należy zablokować możliwe przesuwy. W tym przypadku będzie
to kąt obrotu na pośredniej podporze:
q=4kN/m
P=16kN
4 6
Rys. 14
Zapisujemy równanie z jednym przesuwem:
{r11 Å"Õ1 + R1P = 0 (2.23)
Korzystając ze wzorów transformacyjnych rysujemy wykres momentów na
poszczególnych prętach (składnikach belki):
q=4kN/m
P=16kN
A
B C
4 6
Rys. 14
Część belki AB to pręt obustronnie utwierdzony. Część BC to pręt utwierdzony w pkt. B
i z podporą w pkt. C. Wykorzystując wzory transformacyjne (2.9 i 2.10) można zapisać:
Politechnika PoznaÅ„ska® Kopacz, A
odygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper
 WYKA
ADY Z MECHANIKI BUDOWLI 14
UKA
ADY PRZESTRZENNE, METODA PRZEMIESZCZEC

Dla pręta AB:
ÕA = 0 ÕB = 1 u - brak przesuwu
2EI 2EI
M = Å"(2 Å"ÕA + ÕB - 3Å"È )=
AB AB
(2.24)
l 4
2EI
M = Å"(2 Å"ÕB + ÕA - 3Å"È )= EI
BA AB
l
Dla pręta BC:
ÕB = 1 ÕC = 0 u - brak przesuwu
3EI 3EI
M = Å"(ÕB -È )= (2.25)
BC BC
l 6
M = 0
CB
Po obliczeniu momentów rysuję wykres:
EI
1 1
EI EI
2 2
Rys. 15
Z równowagi węzła można wyznaczyć r11:
11
1
EI
2
EI
Rys. 16
Zgodnie z zależnościami (2.12  2.15) można narysować wykresy momentów od sił
zewnętrznych:
Politechnika PoznaÅ„ska® Kopacz, A
odygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper
 WYKA
ADY Z MECHANIKI BUDOWLI 15
UKA
ADY PRZESTRZENNE, METODA PRZEMIESZCZEC

-18kNm
-8kNm
-8kNm
Rys. 17
Z równowagi węzła można wyznaczyć R1p:
R1p=-10[kNm]
18
8
Rys. 18
Obliczone wartości podstawia się do układu równań:
{r11 Å"Õ1 + R1P = 0
1,5EI Å"Õ1 -10 = 0
(2.26)
20
Õ1 =
3Å" EI
Korzystając ze wzoru superpozycyjnego lub ponownie podstawiając do wzorów
transformacyjnych (z obliczonym kątem obrotu) obliczyć można końcowy wykres
momentów:
n
M = M + M1 Å"Õ + M1 Å"Õ + ...
0
AB
1 20 14
- 8 + EI Å" = - [kNm]
2 3Å" EI 3
(2.27)
20 44
- 8 - EI Å" = - [kNm]
3Å" EI 3
BC
1 20 44
-18 + EI Å" = - [kNm]
2 3Å" EI 3
Politechnika PoznaÅ„ska® Kopacz, A
odygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper
 WYKA
ADY Z MECHANIKI BUDOWLI 16
UKA
ADY PRZESTRZENNE, METODA PRZEMIESZCZEC

Znając wszystkie wartości można wykreślić wykres momentów Mn:
44
kNm
3
14
kNm
3
Rys. 18
Politechnika PoznaÅ„ska® Kopacz, A
odygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper