WYKA
ADY Z MECHANIKI BUDOWLI
METODA PRZEMIESZCZEC
- PRZYKA
AD
Olga Kopacz, Adam A
odygowski, Krzysztof Tymber,
Michał Płotkowiak, Wojciech Pawłowski
Poznań 2002/2003
MECHANIKA BUDOWLI 3
Metoda przemieszczeń
Wzory transformacyjne na momenty przęsłowe przywęzłowe:
2EI
M = (2Õi + Õk - 3È )
ik
Õi Õk ik
l
Vk -Vi
È =
ik
l
2EI
M = (2Õk + Õi - 3È )
ki ik
l
(3.1)
6EI
Tik = - (Õi + Õk - 2È )
ik
2
l
l
6EI
Tki = - (Õk + Õi - 2È )
ik
2
l
Politechnika PoznaÅ„ska® Kopacz, A
odygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper
 WYKA
ADY Z MECHANIKI BUDOWLI
METODA PRZEMIESZCZEC
- PRZYKA
AD
M = 0
ik
Õi Õk
3EI
M = (Õk -È )
ki ik
l
3EI
Tik = - (Õk -È )
ik
l2 (3.2)
3EI
Tki = - (Õk -È )
l
ik
2
l
M = 0
ki
3EI
M = (Õi -È )
ik ik
l
3EI
Tik = - (Õk -È )
ik
2
l (3.3)
l
3EI
Tki = - (Õk -È )
ik
2
l
Õi Õk
EI
M = (-Õi + Õk )
ki
l
EI
M = (Õi - Õk )
ik
l
(3.4)
Tik = 0
Tki = 0
l
Õi ÕA
odygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper
k
Politechnika PoznaÅ„ska® Kopacz,
 WYKA
ADY Z MECHANIKI BUDOWLI
METODA PRZEMIESZCZEC
- PRZYKA
AD
W powyższych przypadkach pomijamy wpływ sił normalnych
Wykresy momentów na prętach obustronnie utwierdzonych:
2 2
Pl
ql ql
8
12 12
2
3
ql
Pl
16
8
Przykład
Założenie metody: pręty pracują jako obustronnie utwierdzone
l
Politechnika PoznaÅ„ska® Kopacz, A
odygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper
h
 WYKA
ADY Z MECHANIKI BUDOWLI
METODA PRZEMIESZCZEC
- PRZYKA
AD
R1 = R1(Õ1) + R1(Õ2 ) + R1(u3 ) + R1( p, q, M ) = 0
Å„Å‚
ôÅ‚R = R2 (Õ1) + R2 (Õ2 ) + R2 (u3 ) + R2 ( p, q, M ) = 0
òÅ‚
2
ôÅ‚R = R3 (Õ1) + R3 (Õ2 ) + R3 (u3) + R3 ( p, q, M ) = 0
ół 3
R1(Õ1) = r11Õ1
Z1 = Õ1
Z2 = Õ2
Z3 = Õ3
r11Z1 + r12Z2 + r13Z3 + r1P = 0
Å„Å‚
ôÅ‚r Z1 + r22Z2 + r23Z3 + r2P = 0
òÅ‚
21
ôÅ‚r Z1 + r32Z2 + r33Z3 + r3P = 0
ół 31
gdzie:
rik- reakcja węzła  i spowodowana jednostkowym przemieszczeniem
węzła  k
Politechnika PoznaÅ„ska® Kopacz, A
odygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper
 WYKA
ADY Z MECHANIKI BUDOWLI
METODA PRZEMIESZCZEC
- PRZYKA
AD
riP- reakcja węzła i spowodowana obciążeniem zewnętrznym
stan Z1=1 (Ć1=1)
Õ1 = 1, Õ0 = 0, Õ2 = 0,È = 0
ik
Na podstawie wzorów 1.1-2.2 otrzymujemy następujące wartości
momentów przywęzłowych:
M = 0
01
3EIs
M10 =
h
4EIr
M12 =
l
2EIr
M =
21
l
M1 = 0
"
4EIr
l
4EI 3ELs
r
r11 = -
s
3EI l h
Politechnika PoznaÅ„ska® Kopacz, A
odygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper
h
 WYKA
ADY Z MECHANIKI BUDOWLI
METODA PRZEMIESZCZEC
- PRZYKA
AD
M = 0
2EIr " 2
l
2EI
r
r21 =
l
Reakcje r3i obliczyć można np. za pomocą równania pracy
wirtualnej. Przy obliczaniu reakcji r31 posłużymy się jednak siłami
tnącymi zapisując równanie równowagi (tnące obliczone z momentów)
3EI
s
h
M = 0
" 0
3EI
s
r31 = T10 + T23
T10 Å" h + = 0
h
3EI
s
r31 = -
3EI
3
T10 = -
h2
h2
Dla stanu 2 postępujemy analogicznie do 1
stan Z3=1 (u2=1)
Politechnika PoznaÅ„ska® Kopacz, A
odygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper
 WYKA
ADY Z MECHANIKI BUDOWLI
METODA PRZEMIESZCZEC
- PRZYKA
AD
1
È =È =
01 10
h
È È
01 23
1
È =È =
23 32
h
Ze wzorów 1.1-2.2
M = 0
01
3EIs
M10 = -
h2
M12 = 0
M = 0
21
6EIs
M = -
23
h2
6EIs
M = -
32
h2
6EI
s
h
3EI
s
3EI
s
r13 = -
h
h2
6EIs
6EI r23 = -
s
h2
h
Reakcję r33 obliczymy korzystając z równania pracy wirtualnej:
3EIs 6EIs 6EIs
r33 Å"1- (È ) - ( + )(È ) = 0
h2 01 h2 h2 23
15EIs
r33 =
h3
Politechnika PoznaÅ„ska® Kopacz, A
odygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper
 WYKA
ADY Z MECHANIKI BUDOWLI
METODA PRZEMIESZCZEC
- PRZYKA
AD
stan P
Wykres momentów ma postać:
2 2
ql ql
12 12
2
ql
r1p = -
12
2
ql
r2 p =
12
Reakcję r3p otrzymamy z równowagi wyciętej części (momenty w prętach
01 i 23 równa zeru, więc tnące w tych prętach również są zerowe)
r3 p = -P
Politechnika PoznaÅ„ska® Kopacz, A
odygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper
 WYKA
ADY Z MECHANIKI BUDOWLI
METODA PRZEMIESZCZEC
- PRZYKA
AD
Obliczone wartości reakcji rik oraz rip podstawiamy do układu równań
kanonicznych:
r11Z1 + r12Z2 + r13Z3 + r1P = 0
Å„Å‚
ôÅ‚r Z1 + r22Z2 + r23Z3 + r2P = 0
òÅ‚
21
ôÅ‚r Z1 + r32Z2 + r33Z3 + r3P = 0
ół 31
Obliczamy wartości Z1, Z2, Z3 równych Ć1, Ć2, u2,
Końcową wartość momentów otrzymujemy na drodze superpozycji:
M = M1Õ1 + M Õ2 + M u2 + M
2 3 P
gdzie:
M1-wartość momentu wywołanego stanem Z1
M2-wartość momentu wywołanego stanem Z2
M3-wartość momentu wywołanego stanem Z3
MP-wartość momentu wywołanego stanem P
Ć1, Ć2, u2-wartości obliczone z układu równań kanonicznych
Momenty końcowe uzyskać można za pomocą wzorów
transformacyjnych:
2EI
M = (2Õi + Õk - 3È )
ik ik
l
3EI
M = (Õk -È )
ki ik
l
podstawiając za odpowiednie Ći, Ćk wartości z równań kanonicznych Ć1,
Ć2, natomiast w miejsce Èik odpowiednie È=u2/h
Wartości końcowych sił tnących obliczamy dla poszczególnych prętów za
pomocą znanych już wartości momentów, natomiast siły normalne
otrzymujemy z równowagi węzłów.
Politechnika PoznaÅ„ska® Kopacz, A
odygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper
 WYKA
ADY Z MECHANIKI BUDOWLI
METODA PRZEMIESZCZEC
- PRZYKA
AD
Równania pracy wirtualnej w metodzie przemieszczeń
Stosowanie równań pracy wirtualnej do obliczania reakcji w
metodzie przemieszczeń wiąże się z przyjęciem określonych założeń.
Nawiążmy do powyższego przypadku.
Zakładamy istnienie stanu wieloprzegubowego:
Wymuszając w powyższym stanie obrót węzła lub przemieszczenie, nie
wywołujemy powstawania sił wewnętrznych (M=0).Momenty powstałe w
stanie Z1 (str....) traktujemy jako obciążenie zewnętrzne pracujące na
wirtualnym przemieszczeniu. W wyniku tego zabiegu prawe strony
równań pracy wirtualnej zerują się.
W stanie wieloprzegubowym wymuszamy jednostkowy obrót węzła 1:
4EIr
l
3EI
s
h
Równania pracy wirtualnej mają postać:
Politechnika PoznaÅ„ska® Kopacz, A
odygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper
 WYKA
ADY Z MECHANIKI BUDOWLI
METODA PRZEMIESZCZEC
- PRZYKA
AD
3EIs 4EIr
r11 Å"1+ Å"1- Å"1 = 0 Å"1
h h
4EIr 3EIs
r11 = -
h h
3EIs 4EIr
1
r31 Å"1+ ( ) - (0) = 0 Å"1
h h h
3EIs
r31 = -
h2
Przy obliczaniu reakcji rip pamiętać trzeba o uwzględnieniu prócz
pracy momentów wywołanych stanem P o uwzględnieniu w równaniach
pracy wirtualnej, pracy sił zewnętrznych P na odpowiednich
przemieszczeniach ´ (obliczonych z równania Å‚aÅ„cucha kinematycznego).
Politechnika PoznaÅ„ska® Kopacz, A
odygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper