WYKA
ADY Z MECHANIKI BUDOWLI
OPIS RUCHU, DRGANIA WA
ASNE TA
UMIONE
Olga Kopacz, Adam A
odygowski, Krzysztof Tymber,
Michał Płotkowiak, Wojciech Pawłowski
Konsultacje naukowe: prof. dr hab. Jerzy Rakowski
Poznań 2002/2003
OPIS RUCHU
1. 1. Opis ruchu
Przypuśćmy, że mamy układ jak na rysunku
obok (rys.11.1). Zgodnie z zasadą d Alemberta równanie
równowagi można zapisać:
..
(11.1)
m q(t)+ºq(t)= 0
..
(11.2)
q(t)+ É2q(t)= 0
2
..
º d
ëÅ‚ öÅ‚
gdzie: É2 = , = i :
ìÅ‚ ÷Å‚
Rys.11.1
2
m dt
íÅ‚ Å‚Å‚
m - masa[kg]
q - przemieszczenie w czasie
N
îÅ‚ Å‚Å‚
º - sztywność podpory .
ïÅ‚ śł
m
ðÅ‚ ûÅ‚
RozwiÄ…zaniem jest funkcja q(t)= qs sinÉt + qc cosÉt Ò! q(t)= Asin(Ét + Õ),
przy czym kÄ…t Õ-to kÄ…t fazowy. StaÅ‚e A,Õ wyznaczymy z dwóch warunków
poczÄ…tkowych:
np.
10)t = 0 Ò! q(0) = a
.
dq
20)t = 0 Ò! q(0)= = 0
dt
t=0
Rys.11.2
Z warunków tych otrzymujemy:
Ä„
a = Asin(0 + Õ)= AsinÕ Ò! Asin = a Ò! A = a
2
Politechnika PoznaÅ„ska® Kopacz, A
odygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper
 WYKA
ADY Z MECHANIKI BUDOWLI
SZCZEGÓLNE PRZYPADKI A
UKÓW, STOPIEC
STAT.NIEWYZNACZALNOÅšCI
dq Ä„
= Acos(Ét + Õ)É Ò! 0 = AÉ cos(É Å" 0 + Õ)Ò! cosÕ = 0 Ò! Õ =
dt 2
Zatem dla warunków początkowych j.w otrzymujemy pełne rozwiązanie postaci:
Ä„
öÅ‚
q(t)= a sinëÅ‚Ét + = a cosÉt
ìÅ‚ ÷Å‚ (11.3)
2
íÅ‚ Å‚Å‚
gdzie:
a -amplituda drgań, to max. wartość przemieszczenia(wychylenia) w stosunku do
położenia równowagi,
É -to czÄ™stość koÅ‚owa drgaÅ„ wÅ‚asnych (zakÅ‚adamy brak czynników zaburzajÄ…cych, czyli
nie występuje tłumienie) [rd s], jest cechą indywidualną każdego ciała (Jest stała!)
Uwaga! Nie ma związku między amplitudą a częstością kołową!
Zgodnie z rozwiązaniem (wzór 11.3) nasza kulka powróci do swego położenia po czasie
odpowiadającym 2Ą . Podstawmy tą wartość do naszego rozwiązania:
îÅ‚ 2Ä„ Å‚Å‚
öÅ‚
q(t)= a cos(Ét + 2Ä„ )= cosïÅ‚ÉëÅ‚t + = cos[É(t + T )]
ìÅ‚ ÷łśł
É
íÅ‚ Å‚Å‚
ðÅ‚ ûÅ‚
2Ä„
gdzie T = to okres drgań, czyli czas dzielący dwa identyczne stany rozpatrywanego
É
ciała (łatwiej można to sobie wyobrazić patrząc na rysunek 11.2).
Zadanie 1
Wyznaczyć częstość kołową elementu.
f& Powiedzmy, że mamy układ jak na rysunku (rys.11.3) z jednym stopniem swobody.
Zakładamy, że masa belki jest znikomo mała w stosunku do nałożonej masy
(powstały w ten sposób błąd będzie bardzo mały i nieistotny dla dalszych
rozważań). Częstość kołowa wyrażana jest wzorem:
º
(11.4)
É =
m
Politechnika PoznaÅ„ska® Kopacz, A
odygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper
 WYKA
ADY Z MECHANIKI BUDOWLI
SZCZEGÓLNE PRZYPADKI A
UKÓW, STOPIEC
STAT.NIEWYZNACZALNOÅšCI
Rys.11.3
Sztywność belki wyznaczymy korzystając z pracy wirtualnej. W miejscu masy m
przykładamy taką siłę P, która spowoduje jednostkowe ugięcie belki (rys.11.3b) stąd
i´ równe bÄ™dzie 1. Wykonujemy wykresy momentów od zadanej siÅ‚y P i siÅ‚y
jedynkowej (rys.11.3c i d)otrzymujÄ…c:
M Å" M 1 1 2 P Å" l3
ëÅ‚ öÅ‚
´ = ds = P Å" l Å" l Å" l =
ìÅ‚ ÷Å‚
+"
EI EI 2 3 3EI
íÅ‚ Å‚Å‚
Przyrównując otrzymaną wartość do jedynki:
P Å" l3 3EI 3EI
1 = Ò! P = czyli º = stÄ…d szukana czÄ™stość koÅ‚owa wynosi:
3EI l3 l3
3EI
(11.5)
É =
m Å" l3
f& Zajmijmy się teraz belką swobodnie podpartą, której masę sprowadzimy do masy
skupionej umieszczonej w środku jej rozpiętości (rys.11.4). Sposób postępowania
jest analogiczny jak dla belki z przykładu pierwszego. Wykonujemy wykresy
momentów od zadanej siły P i siły jedynkowej.
Politechnika PoznaÅ„ska® Kopacz, A
odygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper
 WYKA
ADY Z MECHANIKI BUDOWLI
SZCZEGÓLNE PRZYPADKI A
UKÓW, STOPIEC
STAT.NIEWYZNACZALNOÅšCI
Rys.11.4
M Å" M 1 1 l Pl 2 l P Å" l3
ëÅ‚
´ = ds = Å" Å" Å" Å" 2öÅ‚ =
ìÅ‚ ÷Å‚
+"
EI EI 2 2 4 3 4 48EI
íÅ‚ Å‚Å‚
ponieważ :
P Å" l3 48EI 48EI
1 = Ò! P = czyli º = stÄ…d szukana czÄ™stość koÅ‚owa
48EI l3 l3
wynosi:
48EI
(11.6)
É =
m Å" l3
przy czym m = Á Å" l Å" A (A-pole przekroju poprzecznego belki).
1. 2. Drgania własne, tłumione.
Tłumienie drgań jest wynikiem działania sił oporu oznaczanych jako R . Siły te działają
w ruchu zwanym Voigt. Zakładany w nim tłumienie lekkie (wiskotyczne)
proporcjonalne do prędkości ruch, co zapisujemy:
"
R ~`c Å" q(t)
Politechnika PoznaÅ„ska® Kopacz, A
odygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper
 WYKA
ADY Z MECHANIKI BUDOWLI
SZCZEGÓLNE PRZYPADKI A
UKÓW, STOPIEC
STAT.NIEWYZNACZALNOÅšCI
Na rysunku (rys.11.5) widzimy ciało o masie m drgające swobodnie (bez tłumienia) i
podczas tłumienia drgań.
a)drgania własne-układ o jednym
stopniu swobody
b)drgania własne tłumione
Rys.11.5
Równanie ruch z uwzględnieniem tłumienia przyjmuje postać:
" " "
(11.7)
m Å" q(t) + c Å" q(t) +º (t) = 0
gdzie
c -stała tłumienia
c
przy wprowadzeniu zmiennej Á = równanie przechodzi do postaci:
2m
" " "
2
(11.8)
q(t) + 2Á Å" q(t) + É Å" q(t) = 0
Á - współczynnik tÅ‚umienia drgaÅ„.
Rozwiązaniem równania ruchu (wzór11.8) będzie funkcja postaci: q(t) = Aert .
Podstawiając ją do równania otrzymamy równanie charakterystyczne postaci:
2 2
r + 2Á Å" r + É = 0 (11.9)
Rozwiązując je możemy otrzymać trzy przypadki:
< 0
Å„Å‚
ôÅ‚>
2 2 2 2
" = 4Á - 4É = 4(Á - É )Ò! 0
òÅ‚
ôÅ‚= 0
ół
Á < É
f& Rozważamy małe tłumienia
Możliwe są dwa rozwiązania:
2 2 2 2
r1 = -Á - i É - Á r2 = -Á + i É - Á
RozwiÄ…zujÄ…cÄ… funkcjÄ… jest funkcja postaci:
q(t) = Ae- Át sin(É1t + Õ) (11.10)
co jest równoważne rozwiązaniu:
q(t) = e- Át sin(c1 cosÉt + c2 sinÉt) (11.11)
Politechnika PoznaÅ„ska® Kopacz, A
odygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper
 WYKA
ADY Z MECHANIKI BUDOWLI
SZCZEGÓLNE PRZYPADKI A
UKÓW, STOPIEC
STAT.NIEWYZNACZALNOÅšCI
Wykres (rys.11.6) poniżej obrazuje funkcję rozwiązującą (wzór 11.10):
Rys.11.5
gdzie:
T1 - okres drgań własnych tłumionych wynoszący:
2Ä„
2 2
T1 = É1 = É - Á
a
É1
Miarą tłumienia jest to z jaką szybkością następuje redukcja amplitudy, czyli relacja
między dwiema kolejnymi amplitudami podobnych stanów. I tak:
2Ä„ qi+1
T1 = .PodstawiajÄ…c do funkcji rozwiÄ…zujÄ…cej (11.10) otrzymujemy:]
É1 qi
qi+1 Á(t+T1 )
Ae-
przy zaÅ‚ożeniu, że: sin(É1t + e) = 1 = Ò!
qi Ae-Át
qi+1
1
= e-ÁT = e-
(11.12)
qi
przy czym
qi+1
 = ln = Á Å"T1 - logarytmiczny dekrement mienia.
qi
Á > É
f& Silne tłumienie
Możliwe są dwa rozwiązania:
2 2 2 2
r1 = -Á - É - Á r2 = -Á + É - Á
Funkcja rozwiązująca przyjmuje postać:
(11.13)
q(t) = e- Át (c1chÉ1 + c2shÉ1t)
Politechnika PoznaÅ„ska® Kopacz, A
odygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper
 WYKA
ADY Z MECHANIKI BUDOWLI
SZCZEGÓLNE PRZYPADKI A
UKÓW, STOPIEC
STAT.NIEWYZNACZALNOÅšCI
gdzie:
2 2
É1 = Á -É
W tym przypadku wykres funkcji rozwiązującej wygląda następująco (rys.11.6):
Rys.11.6
Á = É
f& W trzecim ostatnim przypadku gdy funkcja rozwiÄ…zujÄ…ca jest postaci:
q(t) = e- Át (c1t + c2 ) (11.14)
a jej wykres jest taki jak przy silnym tłumieniu(rys.11.6).
Politechnika PoznaÅ„ska® Kopacz, A
odygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper