WYKA
ADY Z MECHANIKI BUDOWLI
OPIS RUCHU, DRGANIA WA
ASNE TA
UMIONE
Olga Kopacz, Adam A
odygowski, Krzysztof Tymber,
Michał Płotkowiak, Wojciech Pawłowski
Konsultacje naukowe: prof. dr hab. Jerzy Rakowski
Poznań 2002/2003
OPIS RUCHU
1. 1. Opis ruchu
Przypuśćmy, że mamy układ jak na rysunku
obok (rys.11.1). Zgodnie z zasadą d Alemberta równanie
równowagi można zapisać:
..
(11.1)
m q(t)+�q(t)= 0
..
(11.2)
q(t)+ �2q(t)= 0
2
..
� d
�ł �ł
gdzie: �2 = , = i :
�ł �ł
Rys.11.1
2
m dt
�ł łł
m - masa[kg]
q - przemieszczenie w czasie
N
�ł łł
� - sztywność podpory .
�ł śł
m
�ł �ł
Rozwiązaniem jest funkcja q(t)= qs sin�t + qc cos�t �! q(t)= Asin(�t + �),
przy czym kąt �-to kąt fazowy. Stałe A,� wyznaczymy z dwóch warunków
początkowych:
np.
10)t = 0 �! q(0) = a
.
dq
20)t = 0 �! q(0)= = 0
dt
t=0
Rys.11.2
Z warunków tych otrzymujemy:
Ą
a = Asin(0 + �)= Asin� �! Asin = a �! A = a
2
Politechnika Poznańska� Kopacz, A
odygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper
 WYKA
ADY Z MECHANIKI BUDOWLI
SZCZEGÓLNE PRZYPADKI A
UKÓW, STOPIEC
STAT.NIEWYZNACZALNOŚCI
dq Ą
= Acos(�t + �)� �! 0 = A� cos(� �" 0 + �)�! cos� = 0 �! � =
dt 2
Zatem dla warunków początkowych j.w otrzymujemy pełne rozwiązanie postaci:
Ą
�ł
q(t)= a sin�ł�t + = a cos�t
�ł �ł (11.3)
2
�ł łł
gdzie:
a -amplituda drgań, to max. wartość przemieszczenia(wychylenia) w stosunku do
położenia równowagi,
� -to częstość kołowa drgań własnych (zakładamy brak czynników zaburzających, czyli
nie występuje tłumienie) [rd s], jest cechą indywidualną każdego ciała (Jest stała!)
Uwaga! Nie ma związku między amplitudą a częstością kołową!
Zgodnie z rozwiązaniem (wzór 11.3) nasza kulka powróci do swego położenia po czasie
odpowiadającym 2Ą . Podstawmy tą wartość do naszego rozwiązania:
�ł 2Ą łł
�ł
q(t)= a cos(�t + 2Ą )= cos�ł��łt + = cos[�(t + T )]
�ł �łśł
�
�ł łł
�ł �ł
2Ą
gdzie T = to okres drgań, czyli czas dzielący dwa identyczne stany rozpatrywanego
�
ciała (łatwiej można to sobie wyobrazić patrząc na rysunek 11.2).
Zadanie 1
Wyznaczyć częstość kołową elementu.
f& Powiedzmy, że mamy układ jak na rysunku (rys.11.3) z jednym stopniem swobody.
Zakładamy, że masa belki jest znikomo mała w stosunku do nałożonej masy
(powstały w ten sposób błąd będzie bardzo mały i nieistotny dla dalszych
rozważań). Częstość kołowa wyrażana jest wzorem:
�
(11.4)
� =
m
Politechnika Poznańska� Kopacz, A
odygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper
 WYKA
ADY Z MECHANIKI BUDOWLI
SZCZEGÓLNE PRZYPADKI A
UKÓW, STOPIEC
STAT.NIEWYZNACZALNOŚCI
Rys.11.3
Sztywność belki wyznaczymy korzystając z pracy wirtualnej. W miejscu masy m
przykładamy taką siłę P, która spowoduje jednostkowe ugięcie belki (rys.11.3b) stąd
i� równe będzie 1. Wykonujemy wykresy momentów od zadanej siły P i siły
jedynkowej (rys.11.3c i d)otrzymując:
M �" M 1 1 2 P �" l3
�ł �ł
� = ds = P �" l �" l �" l =
�ł �ł
+"
EI EI 2 3 3EI
�ł łł
Przyrównując otrzymaną wartość do jedynki:
P �" l3 3EI 3EI
1 = �! P = czyli � = stąd szukana częstość kołowa wynosi:
3EI l3 l3
3EI
(11.5)
� =
m �" l3
f& Zajmijmy się teraz belką swobodnie podpartą, której masę sprowadzimy do masy
skupionej umieszczonej w środku jej rozpiętości (rys.11.4). Sposób postępowania
jest analogiczny jak dla belki z przykładu pierwszego. Wykonujemy wykresy
momentów od zadanej siły P i siły jedynkowej.
Politechnika Poznańska� Kopacz, A
odygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper
 WYKA
ADY Z MECHANIKI BUDOWLI
SZCZEGÓLNE PRZYPADKI A
UKÓW, STOPIEC
STAT.NIEWYZNACZALNOŚCI
Rys.11.4
M �" M 1 1 l Pl 2 l P �" l3
�ł
� = ds = �" �" �" �" 2�ł =
�ł �ł
+"
EI EI 2 2 4 3 4 48EI
�ł łł
ponieważ :
P �" l3 48EI 48EI
1 = �! P = czyli � = stąd szukana częstość kołowa
48EI l3 l3
wynosi:
48EI
(11.6)
� =
m �" l3
przy czym m = � �" l �" A (A-pole przekroju poprzecznego belki).
1. 2. Drgania własne, tłumione.
Tłumienie drgań jest wynikiem działania sił oporu oznaczanych jako R . Siły te działają
w ruchu zwanym Voigt. Zakładany w nim tłumienie lekkie (wiskotyczne)
proporcjonalne do prędkości ruch, co zapisujemy:
"
R ~`c �" q(t)
Politechnika Poznańska� Kopacz, A
odygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper
 WYKA
ADY Z MECHANIKI BUDOWLI
SZCZEGÓLNE PRZYPADKI A
UKÓW, STOPIEC
STAT.NIEWYZNACZALNOŚCI
Na rysunku (rys.11.5) widzimy ciało o masie m drgające swobodnie (bez tłumienia) i
podczas tłumienia drgań.
a)drgania własne-układ o jednym
stopniu swobody
b)drgania własne tłumione
Rys.11.5
Równanie ruch z uwzględnieniem tłumienia przyjmuje postać:
" " "
(11.7)
m �" q(t) + c �" q(t) +� (t) = 0
gdzie
c -stała tłumienia
c
przy wprowadzeniu zmiennej � = równanie przechodzi do postaci:
2m
" " "
2
(11.8)
q(t) + 2� �" q(t) + � �" q(t) = 0
� - współczynnik tłumienia drgań.
Rozwiązaniem równania ruchu (wzór11.8) będzie funkcja postaci: q(t) = Aert .
Podstawiając ją do równania otrzymamy równanie charakterystyczne postaci:
2 2
r + 2� �" r + � = 0 (11.9)
Rozwiązując je możemy otrzymać trzy przypadki:
< 0
ńł
�ł>
2 2 2 2
" = 4� - 4� = 4(� - � )�! 0
�ł
�ł= 0
ół
� < �
f& Rozważamy małe tłumienia
Możliwe są dwa rozwiązania:
2 2 2 2
r1 = -� - i � - � r2 = -� + i � - �
Rozwiązującą funkcją jest funkcja postaci:
q(t) = Ae- �t sin(�1t + �) (11.10)
co jest równoważne rozwiązaniu:
q(t) = e- �t sin(c1 cos�t + c2 sin�t) (11.11)
Politechnika Poznańska� Kopacz, A
odygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper
 WYKA
ADY Z MECHANIKI BUDOWLI
SZCZEGÓLNE PRZYPADKI A
UKÓW, STOPIEC
STAT.NIEWYZNACZALNOŚCI
Wykres (rys.11.6) poniżej obrazuje funkcję rozwiązującą (wzór 11.10):
Rys.11.5
gdzie:
T1 - okres drgań własnych tłumionych wynoszący:
2Ą
2 2
T1 = �1 = � - �
a
�1
Miarą tłumienia jest to z jaką szybkością następuje redukcja amplitudy, czyli relacja
między dwiema kolejnymi amplitudami podobnych stanów. I tak:
2Ą qi+1
T1 = .Podstawiając do funkcji rozwiązującej (11.10) otrzymujemy:]
�1 qi
qi+1 �(t+T1 )
Ae-
przy założeniu, że: sin(�1t + e) = 1 = �!
qi Ae-�t
qi+1
1
= e-�T = e-
(11.12)
qi
przy czym
qi+1
 = ln = � �"T1 - logarytmiczny dekrement mienia.
qi
� > �
f& Silne tłumienie
Możliwe są dwa rozwiązania:
2 2 2 2
r1 = -� - � - � r2 = -� + � - �
Funkcja rozwiązująca przyjmuje postać:
(11.13)
q(t) = e- �t (c1ch�1 + c2sh�1t)
Politechnika Poznańska� Kopacz, A
odygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper
 WYKA
ADY Z MECHANIKI BUDOWLI
SZCZEGÓLNE PRZYPADKI A
UKÓW, STOPIEC
STAT.NIEWYZNACZALNOŚCI
gdzie:
2 2
�1 = � -�
W tym przypadku wykres funkcji rozwiązującej wygląda następująco (rys.11.6):
Rys.11.6
� = �
f& W trzecim ostatnim przypadku gdy funkcja rozwiązująca jest postaci:
q(t) = e- �t (c1t + c2 ) (11.14)
a jej wykres jest taki jak przy silnym tłumieniu(rys.11.6).
Politechnika Poznańska� Kopacz, A
odygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper