WYKA ADY Z MECHANIKI BUDOWLI 1
DRGANIA PRTÓW PRYZMATYCZNYCH O CIGAYM ROZKAADZIE MASY
Olga Kopacz, Adam Aodygowski, Krzysztof Tymper,
Michał Płotkowiak, Wojciech Pawłowski
Konsultacje naukowe: prof. dr hab. JERZY RAKOWSKI
Poznań 2002/2003
MECHANIKA BUDOWLI 13
Ugięcia belek drgających. Wzory transformacyjne belek o ciągłym
rozkładzie masy.
l
w-przemieszczenie dominujÄ…ce:
w(x,t) = w(x) Å"T (t)
(14.1)
Wprowadzenie warunków brzegowych prowadzi do jednorodnego układu
równań. Rozwiązanie nietrywialne istnieje dla det=0. Otrzymuje się
równanie charakterystyczne.
Przyjmujemy następującą funkcję określającą linię ugięcia belki:
w(x) = AsinÄ… x + B cosÄ… x + CshÄ… x + DshÄ… x
(14.2)
gdzie:
µ
4 2
Ä… = É , µ = AÁ
(14.3)
EI
µ-gÄ™stość liniowa
Politechnika PoznaÅ„ska® Kopacz, Aodygowski, PawÅ‚owski, PÅ‚otkowiak, Tymper
WYKA ADY Z MECHANIKI BUDOWLI 2
DRGANIA PRTÓW PRYZMATYCZNYCH O CIGAYM ROZKAADZIE MASY
Poszukamy rozwiązań równania (14.2) dla różnych warunków
brzegowych belek.
1. Belka obustronnie utwierdzona.
1) w(0) = 0 , 2) w(l) = 0
dw(x) dw(x) (14.4)
3) = Õ(0) = 0 , 4) = Õ(l) = 0
dx dx
x=0 x=l
Powyższe warunki podstawiamy do równania (14.2), którego wyznacznik
przyrównujemy do zera (równanie charakterystyczne):
chÄ… l Å" cosÄ… l -1 = 0
(14.5)
Równanie to ma rozwiązania dla pewnych wartości:
22,37 EI
Ä…1l = 4,73 Ö1 =
2
l µ
61,67 EI
Ä…2l = 7,853 Ö =
(14.6)
2
2
l µ
120,91 EI
Ä…3l = 10,996 Ö =
3
2
l µ
Ogólnie można zapisać:
2k +1
Ä…kl H" Ä„ k e" 2
(14.7)
2
Funkcja ugięcia dla k-tej postaci:
îÅ‚ Å‚Å‚
sinÄ…k x - shÄ…k x cosÄ…k x - chÄ…k x
wk (x) = Ak (sinÄ…kl - shÄ…kl)ïÅ‚ -
(14.8)
śł
sinÄ…kl - shÄ…kl cosÄ…kl - chÄ…kl
ðÅ‚ ûÅ‚
Politechnika PoznaÅ„ska® Kopacz, Aodygowski, PawÅ‚owski, PÅ‚otkowiak, Tymper
WYKA ADY Z MECHANIKI BUDOWLI 3
DRGANIA PRTÓW PRYZMATYCZNYCH O CIGAYM ROZKAADZIE MASY
Liczba miejsc zerowych funkcji wk(x) równa jest k-1
2. Belka utwierdzona z podpartym wolnym końcem.
Po podstawieniu warunków brzegowych do wyrażenia (14.2) otrzymamy
wyznacznik:
tgÄ… l - tghÄ… l = 0
(14.9)
Rozwiązania powyższego równania wynoszą:
15,42 EI
Ä…1l = 3,927 É1 =
2
l µ
(14.10)
49,97 EI
Ä…2l = 7,069 Ö =
2
2
l µ
Ogólnie można zapisać:
4k +1
Ä…kl H" Ä„ k e" 3
(14.11)
4
Funkcja ugięcia dla k-tej postaci:
îÅ‚ Å‚Å‚
sinÄ…k x shÄ…k x
wk (x) = Ak sinÄ…klïÅ‚ -
(14.12)
śł
sinÄ…kl shÄ…kl
ðÅ‚ ûÅ‚
Politechnika PoznaÅ„ska® Kopacz, Aodygowski, PawÅ‚owski, PÅ‚otkowiak, Tymper
WYKA ADY Z MECHANIKI BUDOWLI 4
DRGANIA PRTÓW PRYZMATYCZNYCH O CIGAYM ROZKAADZIE MASY
3. Belka jednostronnie utwierdzona
Równanie charakterystyczne ma postać:
cosÄ… l Å" chÄ… l +1 = 0
(14.13)
Rozwiązania równania (14.11):
3,52 EI
Ä…1l = 1,875 É1 =
2
l µ
(14.14)
22,03 EI
Ä…2l = 4,6941 É2 =
2
l µ
Zapis uogólniony:
2k -1
Ä…kl H" Ä„ k e" 2
(14.15)
2
Funkcja ugięcia dla k-tej postaci:
îÅ‚ Å‚Å‚
sinÄ…k x - shÄ…k x cosÄ…k x - chÄ…k x
(14.16
wk (x) = Ak (sinÄ…kl + shÄ…kl)ïÅ‚ -
śł
)
sinÄ…kl + shÄ…kl cosÄ…kl + chÄ…kl
ðÅ‚ ûÅ‚
Politechnika PoznaÅ„ska® Kopacz, Aodygowski, PawÅ‚owski, PÅ‚otkowiak, Tymper
WYKA ADY Z MECHANIKI BUDOWLI 5
DRGANIA PRTÓW PRYZMATYCZNYCH O CIGAYM ROZKAADZIE MASY
Zadanie
Znalezć częstości kołowe drgań własnych dla układu przedstawionego poniżej.
Funkcja lini ugięcia ma postać:
w(x) = AsinÄ… x + B cosÄ… x + CshÄ… x + DchÄ… x
Różniczkujemy powyższą funkcję (dx)
w'(x) = AÄ… cosÄ… x - BÄ… sinÄ… x + CÄ… chÄ… x + DÄ… shÄ… x
2 2 2 2
w''(x) = -AÄ… sinÄ… x - BÄ… cosÄ… x + CÄ… shÄ… x + DÄ… chÄ… x
3 3 3 3
w'''(x) = -AÄ… cosÄ… x + BÄ… sinÄ… x + CÄ… chÄ… x + DÄ… shÄ… x
Podstawiając warunki brzegowe otrzymujemy układ czterech równań jednorodnych:
0 = B + D
Å„Å‚
ôÅ‚0 = AÄ… + CÄ…
ôÅ‚
òÅ‚0 = AÄ… cosÄ… l - BÄ… sinÄ… l + CÄ… chÄ… l + DÄ… shÄ… l
ôÅ‚
ôÅ‚0 = -AÄ… 3 cosÄ… l + BÄ… 3 sinÄ… l + CÄ… 3chÄ… l + DÄ… 3shÄ… l
ół
Wstawiając dwa pierwsze równania do dwóch kolejnych, otrzymujemy układ dwóch
równań:
0 = C(Ä… chÄ… l -Ä… cosÄ… l) + D(Ä… sinÄ… l + Ä… shÄ… l)
Å„Å‚
òÅ‚
3 3 3 3
ół0 = C(ą cosą l + ą chą l) + D(ą shą l - ą siną l)
Układ równań posiada rozwiązanie nietrywialne gdy wyznacznik równy jest zeru.
Ä… (chÄ… l - cosÄ… l) Ä… (sinÄ… l + shÄ… l)
= 0
3 3
Ä… (cosÄ… l + chÄ… l) Ä… (shÄ… l - sinÄ… l)
Otrzymujemy równanie charakterystyczne:
chÄ… l Å" sinÄ… l + cosÄ… l Å" shÄ… l = 0
Przeszukujemy powyższe równanie wstawiając wartości od 0, w celu otrzymania
rozwiÄ…zania.
Politechnika PoznaÅ„ska® Kopacz, Aodygowski, PawÅ‚owski, PÅ‚otkowiak, Tymper
WYKA ADY Z MECHANIKI BUDOWLI 6
DRGANIA PRTÓW PRYZMATYCZNYCH O CIGAYM ROZKAADZIE MASY
5,593 EI
Ä…1l = 2,365 É1 =
2
l µ
30,226 EI
Ä…2l = 5,4978 É2 =
2
l µ
74,639 EI
Ä…3l = 8,63938 É3 =
2
l µ
Równanie posiada nieskończoną liczbę rozwiązań, powtarzających się okresowo.
Warunek ortogonalności.
Równanie w przestrzeni
4 2
d x(x) µÖ
- w(x) = 0 (14.17)
dx4 EI
Równanie to speÅ‚nione jest dla pewnej wartoÅ›ci É
Éi EIwi ''''-µ Éi2wi = 0
(14.18)
2
É EIwj ''''-µ É wj = 0
j j
Zgodnie z teoriÄ… zginania belek prostych:
EIwi ''''= q(x)
(14.19)
Po przekształceniu (14.18) otrzymujemy:
EIwi ''''= µ Éi2wi = qi (x)
(14.20)
2
EIwj ''''= µ É wj = q (x)
j j
Otrzymujemy dwa stany a)(i-ty) oraz b)(j-ty):
Z twierdzenia Bettiego:
Politechnika PoznaÅ„ska® Kopacz, Aodygowski, PawÅ‚owski, PÅ‚otkowiak, Tymper
WYKA ADY Z MECHANIKI BUDOWLI 7
DRGANIA PRTÓW PRYZMATYCZNYCH O CIGAYM ROZKAADZIE MASY
Praca obciążenia qi na przemieszczeniach wj, równa jest pracy obciążenia
qj na przemieszczeniach wi.
ll
(14.21)
i j
+"q (x)wj (x)dx = +"q (x)wi (x)dx
00
Przekształcając powyższe wyrażenie i podstawiając wzory (14.20)
otrzymujemy:
l
2
[µ Éi2wi (x)wj (x) - µ É wj (x)wi (x)]dx = 0
j
+"
0
(14.22)
l
2
(Éi2 - É ) wi (x)wj (x) = 0
j
+"µ
0
Jeżeli i=j to równanie jest speÅ‚nione, natomiast gdy i`"j (Éi2`"Éj2) to
otrzymujemy warunek z przyrównania całki w wyrażeniu (1.22) do zera:
l
(14.23)
+"µ wi (x)wj (x)dx = 0
0
Jest to warunek ortogonalności.
Wzory transformacyjne belek o ciągłym rozkładzie masy.
Rozpatrujemy belkę na którą działa obciążenie związane z cechami
materiału.
Jaką postać przyjmą drgania belki, jeśli wymusimy obroty podpór i , j
oraz przesunięcia tych podpór?
Õi Õk
Vi Vk
i k
Politechnika PoznaÅ„ska® Kopacz, Aodygowski, PawÅ‚owski, PÅ‚otkowiak, Tymper
WYKA ADY Z MECHANIKI BUDOWLI 8
DRGANIA PRTÓW PRYZMATYCZNYCH O CIGAYM ROZKAADZIE MASY
W każdej chwili czasu ugięcie w punkcie i równe jest Vi. Zapisać
możemy następujące warunki brzegowe:
w(0) = Vi
w'(0) = Õ(0) = Õi
(14.24)
w(l) = Vk
w'(l) = Õk
Momenty oraz siły tnące w belce wynoszą:
M (0) = M
Å„Å‚
ik
M (x) =
òÅ‚M (l) = M
ół ki
(14.25)
T (0) = Tik
Å„Å‚
T (x) =
òÅ‚T (l) = Tki
ół
Wstawiając warunki brzegowe do równania:
w(x) = AsinÄ… x + B cosÄ… x + CshÄ… x + DchÄ… x
(14.26)
wyznaczamy stałe. Różniczkując równanie (14.25) otrzymujemy kolejno:
w'(x) = Õ = AÄ… cosÄ… x - BÄ… sinÄ… x + CÄ… chÄ… x + DÄ… shÄ… x
2 2 2
w''(x) Å" EI = M (x) = EI(-AÄ… sinÄ… x - BÄ… cosÄ… x + CÄ… shÄ… x +
2
+ DÄ… chÄ… x)
(14.27)
3 3 3
w''(x) Å" EI = T (x) = EI(-AÄ… cosÄ… x + BÄ… sinÄ… x + CÄ… chÄ… x +
3
+ DÄ… shÄ… x)
Po podstawieniu stałych do równania momentów otrzymujemy wzory
transformacyjne:
Vk Vi
EI îÅ‚c()Õ + s()Õk - r() + t() Å‚Å‚
M =
ik i
ïÅ‚ śł
l l l
ðÅ‚ ûÅ‚
(14.28)
Vk Vi
EI îÅ‚s()Õ + c()Õk - t() + r() Å‚Å‚
M =
ki i
ïÅ‚ śł
l l l
ðÅ‚ ûÅ‚
Politechnika PoznaÅ„ska® Kopacz, Aodygowski, PawÅ‚owski, PÅ‚otkowiak, Tymper
WYKA ADY Z MECHANIKI BUDOWLI 9
DRGANIA PRTÓW PRYZMATYCZNYCH O CIGAYM ROZKAADZIE MASY
gdzie:
ch sin - sh cos
c() =
z
sh - sin
s() =
z
sh Å" sin
r() = 2
(14.29)
z
sh Å" sin
t() = 2
z
z = 1- ch cos
= Ä… l
Politechnika PoznaÅ„ska® Kopacz, Aodygowski, PawÅ‚owski, PÅ‚otkowiak, Tymper