WYKA
ADY Z MECHANIKI BUDOWLI 1
WSPÓA
CZYNNIK KAPPA
Olga Kopacz, Adam A
odygowski, Wojciech Pawłowski,
Michał Płotkowiak, Krzysztof Tymber
Konsultacje naukowe: prof. dr hab. JERZY RAKOWSKI
Poznań 2002/2003
MECHANIKA BUDOWLI 3
WSPÓA
CZYNNIK KAPPA:
Współczynnik kappa dla prostokąta:
b
Wzór ogólny współczynnika:
S (z)2
A
y
� = dA
(bonus.1)
2 +"
b(z)2
I
y A
Politechnika Poznańska� Kopacz, A
odygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymber
z
h/2
h/2
dz
 WYKA
ADY Z MECHANIKI BUDOWLI 2
WSPÓA
CZYNNIK KAPPA
Przedstawienie parametrów:
A = h �" b
b2h6
2
I =
y
144
b(z) = b
�ł �ł
1 h �ł h �ł h4 �ł b
�ł �ł (bonus.2)
S = + z�ł �" �łb �" - z�ł�ł = - z2 �ł �"
�ł �ł �ł �ł�ł �ł
y
�ł
�ł
2 2 2 4 2
�ł łł �ł łł
�ł łł
�ł łł
�ł �ł
h4 h2b2 �ł b2
2
�ł
S = - + z4 �ł �"
y
�ł
16 2 4
�ł łł
dA = bdz
Podstawienie wszystkich wartości:
S (z)2
A
y
� = dA
2 +"
b(z)2
I
y A
�ł �ł
h4 h2b2 �ł b2
�ł - + z4 �ł �"
h / 2 �ł
16 2 4
144
�ł łł
� = �" bdz
+"
bh5 b2
0
h / 2
�ł �ł
144 h4 h2b2 �ł (bonus.3)
� = �" �ł - + z4 �łdz
+"
4h5 �ł 16 2
�ł łł
0
�łh4 h / 2 h2 h / 2 h / 2 łł
144
� = �" zdz - z2dz + (z4)dzśł
+"+"
+"
4h5 �ł16 0 2
�ł 0 0 �ł
�ł łł
144 h4 h h2 h3 h5 576
� = �" �" - �" + = = 1,2
4h5 �ł16 2 2 24 160śł 480
�ł �ł
Politechnika Poznańska� Kopacz, A
odygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymber
 WYKA
ADY Z MECHANIKI BUDOWLI 3
WSPÓA
CZYNNIK KAPPA
Współczynnik kappa dla koła:
b(z)
Wzór ogólny współczynnika:
S (z)2
A
y
� = dA
(bonus.4)
2 +"
b(z)2
I
y A
Przedstawienie parametrów:
Politechnika Poznańska� Kopacz, A
odygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymber
h(z)
dh
lfa
a
 WYKA
ADY Z MECHANIKI BUDOWLI 4
WSPÓA
CZYNNIK KAPPA
A = ĄR2
2
Ą R8
2
I =
y
(bonus.5)
16
b(z) = 2R siną
h = R cosą
Moment statyczny pola wycinka koła (obszar zakreskowany) wyznaczyć można
korzystając ze wzorów na wycinek koła O,A1,A2 oraz trójkąta:
Awycinka = ąR2
2Rsiną
x =
3ą
(bonus.7)
1
Atrójkąró = b(z) �" h
2
2
x = h
3
Gdzie x to współrzędna środka ciężkości
Moment statyczny szukanego zakreskowanego obszaru to różnica momentów
statycznych wycinka koła (1) i trójkąta (2):
S = S1 - S
2
2 2
3 3 2
S = R sin ą - R sin ą cos ą
3 3
(bonus.8)
2
3 2
S = R sin ą (1 - cos ą )
3
2
3 3
S = R sin ą
3
Przechodząc na współrzędne biegunowe całkę powierzchniową zmieniamy na całkę
tylko po jednej zmiennej- po kącie obrotu:
Politechnika Poznańska� Kopacz, A
odygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymber
 WYKA
ADY Z MECHANIKI BUDOWLI 5
WSPÓA
CZYNNIK KAPPA
dA = b(z) �" dh
b(z) = 2Rsiną
h(ą ) = -R cosą
(bonus.9)
dh
= h'(ą ) = -Rsiną
dą
dA = 2Rsin2 ądą
Należy zwrócić uwagę, że dodatni wzrost zmiennej ą powoduje ujemną zmianę funkcji
h(ą)
Inne spojrzenie na dh
dh
ds=Rda
dh
= sin a
ds
dh = ds sin a
(bonus.10)
ds = Rda
dh = -Rsin da
Znak ujemny z tego samego powodu co powyżej (dodatni przyrost kąta a ujemny
przyrost funkcji h(ą))
Politechnika Poznańska� Kopacz, A
odygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymber
a
d
 WYKA
ADY Z MECHANIKI BUDOWLI 6
WSPÓA
CZYNNIK KAPPA
S (z)2
A
y
� = dA
2 +"
b(z)2
I
y A
4
R6 sin6 ą
16
(bonus.11)
9 2
� = �"(2R sin ą)dą
+" 2
ĄR6 4R2 sin ą
A
32
6
� =
+"sin ądą
9Ą
A
Obliczenie całki:
Ą Ą
1 5
6 4
+"sin ądą = - 6 sin5 ą cosą + 6 +"sin ądą =
0 0
Ą
�ł łł
1 5 1 3
2
= - sin5 ą cosą +
�ł- sin3 ą cosą + 4 ądą śł
+"sin �ł =
6 6 4
�ł 0
Ą
(bonus.12)
ńł1 5 1 3 �ł
�ł- sin3 ą cosą - 3
łł
= sin5 ą cosą + siną cosą + ą
�ł
�ł śłżł
6 4 8 8
�ł �ł
ół6 �ł
0
15
= Ą
48
Podstawienie wszystkich składowych i wyznaczenie kappy:
16
6
� = -
+"sin ądą
9Ą
A
(bonus.13)
32 15 10
� = - �" Ą =
9Ą 48 9
Politechnika Poznańska� Kopacz, A
odygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymber