WYKA
ADY Z MECHANIKI BUDOWLI 1
WSPÓA
CZYNNIK KAPPA
Olga Kopacz, Adam A
odygowski, Wojciech Pawłowski,
Michał Płotkowiak, Krzysztof Tymber
Konsultacje naukowe: prof. dr hab. JERZY RAKOWSKI
Poznań 2002/2003
MECHANIKA BUDOWLI 3
WSPÓA
CZYNNIK KAPPA:
Współczynnik kappa dla prostokąta:
b
Wzór ogólny współczynnika:
S (z)2
A
y
º = dA
(bonus.1)
2 +"
b(z)2
I
y A
Politechnika PoznaÅ„ska® Kopacz, A
odygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymber
z
h/2
h/2
dz
 WYKA
ADY Z MECHANIKI BUDOWLI 2
WSPÓA
CZYNNIK KAPPA
Przedstawienie parametrów:
A = h Å" b
b2h6
2
I =
y
144
b(z) = b
ëÅ‚ öÅ‚
1 h ëÅ‚ h öÅ‚ h4 ÷Å‚ b
ëÅ‚ ëÅ‚ (bonus.2)
S = + zöÅ‚ Å" ìÅ‚b Å" - zöÅ‚÷Å‚ = - z2 ÷Å‚ Å"
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚÷Å‚ ìÅ‚
y
ìÅ‚
ìÅ‚
2 2 2 4 2
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
ëÅ‚ öÅ‚
h4 h2b2 ÷Å‚ b2
2
ìÅ‚
S = - + z4 ց⠁"
y
ìÅ‚
16 2 4
íÅ‚ Å‚Å‚
dA = bdz
Podstawienie wszystkich wartości:
S (z)2
A
y
º = dA
2 +"
b(z)2
I
y A
ëÅ‚ öÅ‚
h4 h2b2 ÷Å‚ b2
ìÅ‚ - + z4 ÷Å‚ Å"
h / 2 ìÅ‚
16 2 4
144
íÅ‚ Å‚Å‚
º = Å" bdz
+"
bh5 b2
0
h / 2
ëÅ‚ öÅ‚
144 h4 h2b2 ÷Å‚ (bonus.3)
º = Å" ìÅ‚ - + z4 ÷Å‚dz
+"
4h5 ìÅ‚ 16 2
íÅ‚ Å‚Å‚
0
îÅ‚h4 h / 2 h2 h / 2 h / 2 Å‚Å‚
144
º = Å" zdz - z2dz + (z4)dzśł
+"+"
+"
4h5 ïÅ‚16 0 2
ðÅ‚ 0 0 ûÅ‚
îÅ‚ Å‚Å‚
144 h4 h h2 h3 h5 576
º = Å" Å" - Å" + = = 1,2
4h5 ïÅ‚16 2 2 24 160śł 480
ðÅ‚ ûÅ‚
Politechnika PoznaÅ„ska® Kopacz, A
odygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymber
 WYKA
ADY Z MECHANIKI BUDOWLI 3
WSPÓA
CZYNNIK KAPPA
Współczynnik kappa dla koła:
b(z)
Wzór ogólny współczynnika:
S (z)2
A
y
º = dA
(bonus.4)
2 +"
b(z)2
I
y A
Przedstawienie parametrów:
Politechnika PoznaÅ„ska® Kopacz, A
odygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymber
h(z)
dh
lfa
a
 WYKA
ADY Z MECHANIKI BUDOWLI 4
WSPÓA
CZYNNIK KAPPA
A = Ä„R2
2
Ä„ R8
2
I =
y
(bonus.5)
16
b(z) = 2R sinÄ…
h = R cosÄ…
Moment statyczny pola wycinka koła (obszar zakreskowany) wyznaczyć można
korzystając ze wzorów na wycinek koła O,A1,A2 oraz trójkąta:
Awycinka = Ä…R2
2RsinÄ…
x =
3Ä…
(bonus.7)
1
AtrójkÄ…ró = b(z) Å" h
2
2
x = h
3
Gdzie x to współrzędna środka ciężkości
Moment statyczny szukanego zakreskowanego obszaru to różnica momentów
statycznych wycinka koła (1) i trójkąta (2):
S = S1 - S
2
2 2
3 3 2
S = R sin Ä… - R sin Ä… cos Ä…
3 3
(bonus.8)
2
3 2
S = R sin Ä… (1 - cos Ä… )
3
2
3 3
S = R sin Ä…
3
Przechodząc na współrzędne biegunowe całkę powierzchniową zmieniamy na całkę
tylko po jednej zmiennej- po kÄ…cie obrotu:
Politechnika PoznaÅ„ska® Kopacz, A
odygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymber
 WYKA
ADY Z MECHANIKI BUDOWLI 5
WSPÓA
CZYNNIK KAPPA
dA = b(z) Å" dh
b(z) = 2RsinÄ…
h(Ä… ) = -R cosÄ…
(bonus.9)
dh
= h'(Ä… ) = -RsinÄ…
dÄ…
dA = 2Rsin2 Ä…dÄ…
Należy zwrócić uwagę, że dodatni wzrost zmiennej ą powoduje ujemną zmianę funkcji
h(Ä…)
Inne spojrzenie na dh
dh
ds=Rda
dh
= sin a
ds
dh = ds sin a
(bonus.10)
ds = Rda
dh = -Rsin da
Znak ujemny z tego samego powodu co powyżej (dodatni przyrost kąta a ujemny
przyrost funkcji h(Ä…))
Politechnika PoznaÅ„ska® Kopacz, A
odygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymber
a
d
 WYKA
ADY Z MECHANIKI BUDOWLI 6
WSPÓA
CZYNNIK KAPPA
S (z)2
A
y
º = dA
2 +"
b(z)2
I
y A
4
R6 sin6 Ä…
16
(bonus.11)
9 2
º = Å"(2R sin Ä…)dÄ…
+" 2
Ä„R6 4R2 sin Ä…
A
32
6
º =
+"sin Ä…dÄ…
9Ä„
A
Obliczenie całki:
Ä„ Ä„
1 5
6 4
+"sin Ä…dÄ… = - 6 sin5 Ä… cosÄ… + 6 +"sin Ä…dÄ… =
0 0
Ä„
îÅ‚ Å‚Å‚
1 5 1 3
2
= - sin5 Ä… cosÄ… +
ïÅ‚- sin3 Ä… cosÄ… + 4 Ä…dÄ… śł
+"sin ûÅ‚ =
6 6 4
ðÅ‚ 0
Ä„
(bonus.12)
Å„Å‚1 5 1 3 üÅ‚
îÅ‚- sin3 Ä… cosÄ… - 3
Å‚Å‚
= sin5 Ä… cosÄ… + sinÄ… cosÄ… + Ä…
òÅ‚
ïÅ‚ śłżł
6 4 8 8
ðÅ‚ ûÅ‚
ół6 þÅ‚
0
15
= Ä„
48
Podstawienie wszystkich składowych i wyznaczenie kappy:
16
6
º = -
+"sin Ä…dÄ…
9Ä„
A
(bonus.13)
32 15 10
º = - Å" Ä„ =
9Ä„ 48 9
Politechnika PoznaÅ„ska® Kopacz, A
odygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymber