WYKA ADY Z MECHANIKI BUDOWLI 1
DRGANIA PRTÓW PRYZMATYCZNYCH O CIGAYM ROZKAADZIE MASY
Olga Kopacz, Adam Aodygowski, Krzysztof Tymper,
Michał Płotkowiak, Wojciech Pawłowski
Konsultacje naukowe: prof. dr hab. JERZY RAKOWSKI
Poznań 2002/2003
MECHANIKA BUDOWLI 13
Ugięcia belek drgających. Wzory transformacyjne belek o ciągłym
rozkładzie masy.
l
w-przemieszczenie dominujÄ…ce:
w(x,t) = w(x) Å"T (t)
(14.1)
Wprowadzenie warunków brzegowych prowadzi do jednorodnego układu
równań. Rozwiązanie nietrywialne istnieje dla det=0. Otrzymuje się
równanie charakterystyczne.
Przyjmujemy następującą funkcję określającą linię ugięcia belki:
w(x) = AsinÄ… x + B cosÄ… x + CshÄ… x + DshÄ… x
(14.2)
gdzie:
µ
4 2
Ä… = É , µ = AÁ
(14.3)
EI
µ-gÄ™stość liniowa
Politechnika PoznaÅ„ska® Kopacz, Aodygowski, PawÅ‚owski, PÅ‚otkowiak, Tymper
WYKA ADY Z MECHANIKI BUDOWLI 2
DRGANIA PRTÓW PRYZMATYCZNYCH O CIGAYM ROZKAADZIE MASY
Poszukamy rozwiązań równania (14.2) dla różnych warunków
brzegowych belek.
1. Belka obustronnie utwierdzona.
1) w(0) = 0 , 2) w(l) = 0
dw(x) dw(x) (14.4)
3) = Õ(0) = 0 , 4) = Õ(l) = 0
dx dx
x=0 x=l
Powyższe warunki podstawiamy do równania (14.2), którego wyznacznik
przyrównujemy do zera (równanie charakterystyczne):
chÄ… l Å" cosÄ… l -1 = 0
(14.5)
Równanie to ma rozwiązania dla pewnych wartości:
22,37 EI
Ä…1l = 4,73 Ö1 =
2
l µ
61,67 EI
Ä…2l = 7,853 Ö =
(14.6)
2
2
l µ
120,91 EI
Ä…3l = 10,996 Ö =
3
2
l µ
Ogólnie można zapisać:
2k +1
Ä…kl H" Ä„ k e" 2
(14.7)
2
Funkcja ugięcia dla k-tej postaci:
îÅ‚ Å‚Å‚
sinÄ…k x - shÄ…k x cosÄ…k x - chÄ…k x
wk (x) = Ak (sinÄ…kl - shÄ…kl)ïÅ‚ -
(14.8)
śł
sinÄ…kl - shÄ…kl cosÄ…kl - chÄ…kl
ðÅ‚ ûÅ‚
Politechnika PoznaÅ„ska® Kopacz, Aodygowski, PawÅ‚owski, PÅ‚otkowiak, Tymper
WYKA ADY Z MECHANIKI BUDOWLI 3
DRGANIA PRTÓW PRYZMATYCZNYCH O CIGAYM ROZKAADZIE MASY
Liczba miejsc zerowych funkcji wk(x) równa jest k-1
2. Belka utwierdzona z podpartym wolnym końcem.
Po podstawieniu warunków brzegowych do wyrażenia (14.2) otrzymamy
wyznacznik:
tgÄ… l - tghÄ… l = 0
(14.9)
Rozwiązania powyższego równania wynoszą:
15,42 EI
Ä…1l = 3,927 É1 =
2
l µ
(14.10)
49,97 EI
Ä…2l = 7,069 Ö =
2
2
l µ
Ogólnie można zapisać:
4k +1
Ä…kl H" Ä„ k e" 3
(14.11)
4
Funkcja ugięcia dla k-tej postaci:
îÅ‚ Å‚Å‚
sinÄ…k x shÄ…k x
wk (x) = Ak sinÄ…klïÅ‚ -
(14.12)
śł
sinÄ…kl shÄ…kl
ðÅ‚ ûÅ‚
Politechnika PoznaÅ„ska® Kopacz, Aodygowski, PawÅ‚owski, PÅ‚otkowiak, Tymper
WYKA ADY Z MECHANIKI BUDOWLI 4
DRGANIA PRTÓW PRYZMATYCZNYCH O CIGAYM ROZKAADZIE MASY
3. Belka jednostronnie utwierdzona
Równanie charakterystyczne ma postać:
cosÄ… l Å" chÄ… l +1 = 0
(14.13)
Rozwiązania równania (14.11):
3,52 EI
Ä…1l = 1,875 É1 =
2
l µ
(14.14)
22,03 EI
Ä…2l = 4,6941 É2 =
2
l µ
Zapis uogólniony:
2k -1
Ä…kl H" Ä„ k e" 2
(14.15)
2
Funkcja ugięcia dla k-tej postaci:
îÅ‚ Å‚Å‚
sinÄ…k x - shÄ…k x cosÄ…k x - chÄ…k x
(14.16
wk (x) = Ak (sinÄ…kl + shÄ…kl)ïÅ‚ -
śł
)
sinÄ…kl + shÄ…kl cosÄ…kl + chÄ…kl
ðÅ‚ ûÅ‚
Politechnika PoznaÅ„ska® Kopacz, Aodygowski, PawÅ‚owski, PÅ‚otkowiak, Tymper
WYKA ADY Z MECHANIKI BUDOWLI 5
DRGANIA PRTÓW PRYZMATYCZNYCH O CIGAYM ROZKAADZIE MASY
Zadanie
Znalezć częstości kołowe drgań własnych dla układu przedstawionego poniżej.
Funkcja lini ugięcia ma postać:
w(x) = AsinÄ… x + B cosÄ… x + CshÄ… x + DchÄ… x
Różniczkujemy powyższą funkcję (dx)
w'(x) = AÄ… cosÄ… x - BÄ… sinÄ… x + CÄ… chÄ… x + DÄ… shÄ… x
2 2 2 2
w''(x) = -AÄ… sinÄ… x - BÄ… cosÄ… x + CÄ… shÄ… x + DÄ… chÄ… x
3 3 3 3
w'''(x) = -AÄ… cosÄ… x + BÄ… sinÄ… x + CÄ… chÄ… x + DÄ… shÄ… x
Podstawiając warunki brzegowe otrzymujemy układ czterech równań jednorodnych:
0 = B + D
Å„Å‚
ôÅ‚0 = AÄ… + CÄ…
ôÅ‚
òÅ‚0 = AÄ… cosÄ… l - BÄ… sinÄ… l + CÄ… chÄ… l + DÄ… shÄ… l
ôÅ‚
ôÅ‚0 = -AÄ… 3 cosÄ… l + BÄ… 3 sinÄ… l + CÄ… 3chÄ… l + DÄ… 3shÄ… l
ół
Wstawiając dwa pierwsze równania do dwóch kolejnych, otrzymujemy układ dwóch
równań:
0 = C(Ä… chÄ… l -Ä… cosÄ… l) + D(Ä… sinÄ… l + Ä… shÄ… l)
Å„Å‚
òÅ‚
3 3 3 3
ół0 = C(ą cosą l + ą chą l) + D(ą shą l - ą siną l)
Układ równań posiada rozwiązanie nietrywialne gdy wyznacznik równy jest zeru.
Ä… (chÄ… l - cosÄ… l) Ä… (sinÄ… l + shÄ… l)
= 0
3 3
Ä… (cosÄ… l + chÄ… l) Ä… (shÄ… l - sinÄ… l)
Otrzymujemy równanie charakterystyczne:
chÄ… l Å" sinÄ… l + cosÄ… l Å" shÄ… l = 0
Przeszukujemy powyższe równanie wstawiając wartości od 0, w celu otrzymania
rozwiÄ…zania.
Politechnika PoznaÅ„ska® Kopacz, Aodygowski, PawÅ‚owski, PÅ‚otkowiak, Tymper
WYKA ADY Z MECHANIKI BUDOWLI 6
DRGANIA PRTÓW PRYZMATYCZNYCH O CIGAYM ROZKAADZIE MASY
5,593 EI
Ä…1l = 2,365 É1 =
2
l µ
30,226 EI
Ä…2l = 5,4978 É2 =
2
l µ
74,639 EI
Ä…3l = 8,63938 É3 =
2
l µ
Równanie posiada nieskończoną liczbę rozwiązań, powtarzających się okresowo.
Warunek ortogonalności.
Równanie w przestrzeni
4 2
d x(x) µÖ
- w(x) = 0 (14.17)
dx4 EI
Równanie to speÅ‚nione jest dla pewnej wartoÅ›ci É
Éi EIwi ''''-µ Éi2wi = 0
(14.18)
2
É EIwj ''''-µ É wj = 0
j j
Zgodnie z teoriÄ… zginania belek prostych:
EIwi ''''= q(x)
(14.19)
Po przekształceniu (14.18) otrzymujemy:
EIwi ''''= µ Éi2wi = qi (x)
(14.20)
2
EIwj ''''= µ É wj = q (x)
j j
Otrzymujemy dwa stany a)(i-ty) oraz b)(j-ty):
Z twierdzenia Bettiego:
Politechnika PoznaÅ„ska® Kopacz, Aodygowski, PawÅ‚owski, PÅ‚otkowiak, Tymper
WYKA ADY Z MECHANIKI BUDOWLI 7
DRGANIA PRTÓW PRYZMATYCZNYCH O CIGAYM ROZKAADZIE MASY
Praca obciążenia qi na przemieszczeniach wj, równa jest pracy obciążenia
qj na przemieszczeniach wi.
ll
(14.21)
i j
+"q (x)wj (x)dx = +"q (x)wi (x)dx
00
Przekształcając powyższe wyrażenie i podstawiając wzory (14.20)
otrzymujemy:
l
2
[µ Éi2wi (x)wj (x) - µ É wj (x)wi (x)]dx = 0
j
+"
0
(14.22)
l
2
(Éi2 - É ) wi (x)wj (x) = 0
j
+"µ
0
Jeżeli i=j to równanie jest speÅ‚nione, natomiast gdy i`"j (Éi2`"Éj2) to
otrzymujemy warunek z przyrównania całki w wyrażeniu (1.22) do zera:
l
(14.23)
+"µ wi (x)wj (x)dx = 0
0
Jest to warunek ortogonalności.
Wzory transformacyjne belek o ciągłym rozkładzie masy.
Rozpatrujemy belkę na którą działa obciążenie związane z cechami
materiału.
Jaką postać przyjmą drgania belki, jeśli wymusimy obroty podpór i , j
oraz przesunięcia tych podpór?
Õi Õk
Vi Vk
i k
Politechnika PoznaÅ„ska® Kopacz, Aodygowski, PawÅ‚owski, PÅ‚otkowiak, Tymper
WYKA ADY Z MECHANIKI BUDOWLI 8
DRGANIA PRTÓW PRYZMATYCZNYCH O CIGAYM ROZKAADZIE MASY
W każdej chwili czasu ugięcie w punkcie i równe jest Vi. Zapisać
możemy następujące warunki brzegowe:
w(0) = Vi
w'(0) = Õ(0) = Õi
(14.24)
w(l) = Vk
w'(l) = Õk
Momenty oraz siły tnące w belce wynoszą:
M (0) = M
Å„Å‚
ik
M (x) =
òÅ‚M (l) = M
ół ki
(14.25)
T (0) = Tik
Å„Å‚
T (x) =
òÅ‚T (l) = Tki
ół
Wstawiając warunki brzegowe do równania:
w(x) = AsinÄ… x + B cosÄ… x + CshÄ… x + DchÄ… x
(14.26)
wyznaczamy stałe. Różniczkując równanie (14.25) otrzymujemy kolejno:
w'(x) = Õ = AÄ… cosÄ… x - BÄ… sinÄ… x + CÄ… chÄ… x + DÄ… shÄ… x
2 2 2
w''(x) Å" EI = M (x) = EI(-AÄ… sinÄ… x - BÄ… cosÄ… x + CÄ… shÄ… x +
2
+ DÄ… chÄ… x)
(14.27)
3 3 3
w''(x) Å" EI = T (x) = EI(-AÄ… cosÄ… x + BÄ… sinÄ… x + CÄ… chÄ… x +
3
+ DÄ… shÄ… x)
Po podstawieniu stałych do równania momentów otrzymujemy wzory
transformacyjne:
Vk Vi
EI îÅ‚c()Õ + s()Õk - r() + t() Å‚Å‚
M =
ik i
ïÅ‚ śł
l l l
ðÅ‚ ûÅ‚
(14.28)
Vk Vi
EI îÅ‚s()Õ + c()Õk - t() + r() Å‚Å‚
M =
ki i
ïÅ‚ śł
l l l
ðÅ‚ ûÅ‚
Politechnika PoznaÅ„ska® Kopacz, Aodygowski, PawÅ‚owski, PÅ‚otkowiak, Tymper
WYKA ADY Z MECHANIKI BUDOWLI 9
DRGANIA PRTÓW PRYZMATYCZNYCH O CIGAYM ROZKAADZIE MASY
gdzie:
ch sin - sh cos
c() =
z
sh - sin
s() =
z
sh Å" sin
r() = 2
(14.29)
z
sh Å" sin
t() = 2
z
z = 1- ch cos
= Ä… l
Politechnika PoznaÅ„ska® Kopacz, Aodygowski, PawÅ‚owski, PÅ‚otkowiak, Tymper
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
21 mechanika budowli wykład 21 drgania wymuszone nietlumionewykl mechanika budowli drgania pretow pryzmatycznychwykl mechanika budowli drgania pretow pryzmatycznych?18 mechanika budowli wykład 18 statecznosc ukladow pretowych01 mechanika budowli wykład 01 wstep przypomnienie praca na przemieszczeniach06 mechanika budowli wykład 06 metoda ciezarow sprezystychwykl mechanika budowli opis ruchu drgania wlasne tlumione10 mechanika budowli wykład 10 rozwiazywanie?lek wieloprzeslowych statycznie niewyzn04 mechanika budowli wykład 04 rownanie pracy wirtualnej11 mechanika budowli wykład 11 linie wplywu?lki ciaglejwięcej podobnych podstron