WYKA
ADY Z MECHANIKI BUDOWLI 1
STATECZNOŚĆ UKA
ADÓ PR
TOWYCH
Olga Kopacz, Adam A
odygowski, Krzysztof Tymper,
Michał Płotkowiak, Wojciech Pawłowski
Konsultacje naukowe: prof. dr hab. JERZY RAKOWSKI
Poznań 2002/2003
MECHANIKA BUDOWLI 8
W celu analizy zjawiska wyboczenia belki rozwiążemy ściskaną belkę poddaną
czystemu zginaniu obciążoną dodatkowo siłami osiowymi jak na rysunku:
M M
EI x
N N
l
y, w
Rys. 1
Można zapisać zależność:
x
= ¾
l
w(¾ )= C0 + C1 Å"¾ + C2 sin½ Å"¾ + C3 cos½ Å"¾
(8.1)
2
N Å" l
2
dla ½ =
EI
Dla belki jak na (rys. 1) zapisać można warunki brzegowe:
1) w(0)= 0
2) w(1)= 0
(8.2)
3) M(0)= M
4) M (1)= M
Politechnika PoznaÅ„ska® Kopacz, A
odygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper
 WYKA
ADY Z MECHANIKI BUDOWLI 2
STATECZNOŚĆ UKA
ADÓ PR
TOWYCH
Wykorzystując zależność na drugą pochodną linii ugięcia mamy:
2
d w M (x)
= -
dx2 EI
EI
M (¾)= Å" w''(¾ )
(8.3)
2
l
2
d w(¾)
gdzie w''(¾ )=
2
d¾
Wykorzystując zależności (8.3) warunki brzegowe 3) i 4) można zapisać:
2
M Å" l
3) w''(0)= -
EI
(8.4)
2
M Å" l
4) w''(1)= -
EI
Korzystając z warunków brzegowych można zapisać równania a następnie wyznaczyć
stałe:
1)C0 + C3 = 0
2)C0 + C1 Å"1+ C2 sin½ + C3 cos½ = 0
2
M Å" l
2
(8.5)
3) -½ Å" C3 = -
EI
2
M Å" l
2
4) -½ Å"(C2 sin½ + C3 cos½ )= -
EI
Po rozwiÄ…zaniu otrzymuje siÄ™:
M
C0 = -
N
C1 = 0
(8.6)
M
C2 = Å"(1- cos½ )
N Å" sin½
M
C3 =
N
Politechnika PoznaÅ„ska® Kopacz, A
odygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper
 WYKA
ADY Z MECHANIKI BUDOWLI 3
STATECZNOŚĆ UKA
ADÓ PR
TOWYCH
Podstawiając wyliczone wartości stałych do równania linii ugięcia (8.1) otrzymujemy:
2
M Å" l 1- cos½
ëÅ‚
w(¾)= Å" Å" sin½ Å"¾ + cos½ Å"¾ -1öÅ‚ (8.7)
ìÅ‚ ÷Å‚
2
EI Å"½ sin½
íÅ‚ Å‚Å‚
l 1
Obliczamy przemieszczenie w poÅ‚owie dla wëÅ‚ öÅ‚ podstawiamy ¾ =
ìÅ‚ ÷Å‚
2 2
íÅ‚ Å‚Å‚
Otrzymujemy zależność (8.8)
½
ëÅ‚1- cos öÅ‚
2 ìÅ‚ ÷Å‚
1 M Å" l
2
ìÅ‚ ÷Å‚
f (½ )= wëÅ‚ öÅ‚ = Å"
ìÅ‚ ÷Å‚ (8.8)
2
½
2 EI Å"½ ìÅ‚ ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
cos
ìÅ‚ ÷Å‚
íÅ‚ 2 Å‚Å‚
Gdy ½ dąży do 0 (8.9)
2
1 M Å" l
(8.9)
lim f (½ )= Å"
½ 0
8 EI
zależność (8.8) obrazuje wykres:
f (½ )
f (0)
1
Ä„ ½
Rys. 2
Gdy ½ Ä„ to wartość ugiÄ™cia belki dąży do nieskoÅ„czonoÅ›ci. Odpowiada to wartoÅ›ci
EI
2
siÅ‚y N = Skr = Å"Ä„ . SiÅ‚Ä™ tÄ™ nazwiemy krytycznÄ….
2
l
Rozwiązując podobne zadanie dla innych warunków brzegowych otrzymuje się inne
wartości sił krytycznych.
Politechnika PoznaÅ„ska® Kopacz, A
odygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper
 WYKA
ADY Z MECHANIKI BUDOWLI 4
STATECZNOŚĆ UKA
ADÓ PR
TOWYCH
Wartości sił krytycznych dla prętów o różnych podparciach. Zapis ogólny:
EI
2
Skr = Å"Ä„ (8.10)
2
l
Pręt jednostronnie utwierdzony (rys.3)
Rys. 3
EI
2
Skr = Å"Ä„
(8.11)
2
(2l)
Pręt obustronnie utwierdzony (rys.4):
Rys. 4
EI
2
Skr = Å"Ä„
(8.12)
2
(0,5l)
Pręt utwierdzony z jednej strony i przegubowy z drugiej strony (rys.5):
Rys. 5
EI
2
Skr H" Å"Ä„
(8.13)
2
(0,7l)
Politechnika PoznaÅ„ska® Kopacz, A
odygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper
 WYKA
ADY Z MECHANIKI BUDOWLI 5
STATECZNOŚĆ UKA
ADÓ PR
TOWYCH
Ogólnie można zapisać:
EI Å" wIV + N Å" wII = q (8.14)
W przypadku gdy siła N jest rozciągająca, zależność (8.14) przyjmie postać:
EI Å" wIV - N Å" wII = q (8.15)
Zapisujemy równanie linii ugięcia:
w(¾ )= C + C Å" x + C sh Å" x + C ch Å" x
0 1 2 3
sh a" sinh
(8.16)
ch a" cosh
2
N
 =
EI
N- siła rozciągająca ze znakiem  +
sin(i)= ish
cos(i)= ch
2
N
 =
EI
(8.17)
i = -1
eÄ… + e-Ä…
coshÄ… =
2
eÄ… - e-Ä…
sinhÄ… =
2
Politechnika PoznaÅ„ska® Kopacz, A
odygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper
 WYKA
ADY Z MECHANIKI BUDOWLI 6
STATECZNOŚĆ UKA
ADÓ PR
TOWYCH
UWZGL
DNIENIE SIA
NORMALNYCH W METODZIE PRZEMIESZCZEC

W przedstawionym poniżej zadaniu chodzi o to, aby uwzględnić wpływ siły normalnej
tzn. w równaniach równowagi (kanonicznych) uwzględnia się wpływ siły normalnej
zawartej we wzorach transformacyjnych.
Zadana rama (rys.6). W tej części wykładu pokazane będzie rozwiązanie ramy metodą
przemieszczeń z uwzględnieniem sił normalnych. Na wykładzie nr 10 pokazane będzie
rozwiązanie tej samej ramy ale na innych zasadach. Tam założymy, że nie znamy siły P
a rozwiązanie zadania sprowadzać się będzie do znalezienia siły P, która spowoduje
utratę stateczności układu. Szukanie krytycznej siły P będzie miało charakter iteracyjny.
P
q=
a
P
0,2P
2EI
EI
EI
2a
Rys. 6
Przyjęcie układu podstawowego i zapisanie układu równań kanonicznych:
q=P
a
1
P
0,2P
2
2EI
EI
Å„Å‚
11
ôÅ‚r Õ1 + r12u2 + R1p = 0
òÅ‚r Õ1 + r22u2 + R2 = 0
ôÅ‚
21 p
ół
EI
2a
Politechnika PoznaÅ„ska® Kopacz, A
odygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper
a
a
 WYKA
ADY Z MECHANIKI BUDOWLI 7
STATECZNOŚĆ UKA
ADÓ PR
TOWYCH
Rys. 7
Zakładając np. że P = 30kN i a = 3m momenty przyjęły wartości podane w nawiasach
Mp(n)
0,1223Pa
(11,007)
0,2592Pa
(23,328)
0,0037Pa
(0,333)
Rys. 8
Wykres sił normalnych przedstawia się następująco
N
0,2593P
2,06115P
(7,78)
(61,83)
0,93885P
(28,16)
Politechnika PoznaÅ„ska® Kopacz, A
odygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper
 WYKA
ADY Z MECHANIKI BUDOWLI 8
STATECZNOŚĆ UKA
ADÓ PR
TOWYCH
Rys. 9
Zadaną ramę należy policzyć jeszcze raz z uwzględnieniem wyliczonych sił
normalnych N, zgodnie z pierwszą częścią wykładu.
Po zaprojektowaniu przekroju przyjęto: EI = 1916,75kNm2
2
N Å" l 61,83Å" 62
½1 = = = 1,161
EI 1916,75
2
N Å" l 7,78 Å" 62
½ = = = 0,073
(8.18)
2
EI 2 Å"1916,75
2
N Å" l 28,16 Å" 62
½ = = = 0,528
3
EI 1916,75
Zgodnie ze wzorami transformacyjnymi metody przemieszczeń dla prętów obciążonych
siłą ściskającą (wykład 7) zachodzi zależność:
Dla pręta obustronnie utwierdzonego:
EI
M = Å"(Ä…'Å"Õi + ² 'Å"Õk - Å‚ 'Å"È )(8.19)
ik ik
l
Dla pręta utwierdzonego i przegubowego:
EI
M = Å"Ä…''(Å"Õi -È ) (8.20)
ik ik
l
Rysujemy stan od jednostkowego kÄ…ta obrotu Õi = 0 Õk = 1 u = 0 :
1
Gdzie:
b
EI
a = Å" ²1'
c
2 Å" a
EI
b = Å"Ä…1'
2 Å" a
2EI
c = Å"Ä…2 ''
2 Å" a
a
Rys. 10
Politechnika PoznaÅ„ska® Kopacz, A
odygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper
 WYKA
ADY Z MECHANIKI BUDOWLI 9
STATECZNOŚĆ UKA
ADÓ PR
TOWYCH
½ 1
Ä…1'= (tg½ -½ )Å"
½
tg½
2tg -½
2
½ 1
²1'= (½ - sin½ )
½
sin½
2tg -½
2
½ 1
2
Å‚ '=½ tg Å"
½
2
2tg -½
2
2
½ tg½
Ä…2 ''=
tg½ -½
Reszta współczynników określona jest w wykładzie nr 7.
Rysujemy stan od jednostkowego przesuwuÕi = 0 Õk = 0 u = 1:
u u
È1 = È = 0 È =
2 3
6 3
1
Gdzie:
EI 1
d = - Å"Å‚1'Å"
6 6
e EI 1
e = - Å"Ä…3''Å"
3 3
d
Rys. 11
Politechnika PoznaÅ„ska® Kopacz, A
odygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper
 WYKA
ADY Z MECHANIKI BUDOWLI 10
STATECZNOŚĆ UKA
ADÓ PR
TOWYCH
Rysujemy stan obciążenia zewnętrznego:
f
Gdzie:
2
qI 1
f = - Å"
2 r(½ )
2
1
r(½ )= -
2
3,968
Rys. 12
Ze względu na uwzględnienie sił normalnych, w przeciwieństwie do ujęcia klasycznego
(N=0) równanie różniczkowe takiej belki też jest nieco inne. Dlatego funkcja
momentów zginających jest tez inna (niewielka różnica)
Po rozwiązaniu układu równań kanonicznych metody przemieszczeń:
r11 Å"Õ1 + r12 Å" u2 + R1P = 0
Å„Å‚
(8.21)
òÅ‚r Å"Õ1 + r22 Å" u2 + R2P = 0
ół 21
Politechnika PoznaÅ„ska® Kopacz, A
odygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper
 WYKA
ADY Z MECHANIKI BUDOWLI 11
STATECZNOŚĆ UKA
ADÓ PR
TOWYCH
Otrzymano wyniki:
Mp
Np
61,682
[10,096]
[8,011]
10,094 [61,682]
24,0364
28,317
[24,034]
[28,317]
1,9788
[1,971]
Rys. 13
Jeżeli otrzymane wyniki są zadawalające (tak jak w naszym przypadku) na tym
kończymy obliczenia. Jeżeli zaś wyniki nas nie satysfakcjonują- przeprowadzamy drugą
iterację, przyjmując do obliczeń siły Np. z I iteracji.
Politechnika PoznaÅ„ska® Kopacz, A
odygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper