WYKA
ADY Z MECHANIKI BUDOWLI 1
ROZWI
ZYWANIE BELEK WIELOPRZ
SA
OWYCH STATYCZNIE NIEWYZNACZALNYCH
Olga Kopacz, Adam A
odygowski, Wojciech Pawłowski,
Michał Płotkowiak, Krzysztof Tymper
Konsultacje naukowe: prof. dr hab. JERZY RAKOWSKI
Poznań 2002/2003
MECHANIKA BUDOWLI 10
ROZWI
ZYWANIE BELEK WIELOPRZ
SA
OWYCH
STSTYCZNIE NIEWYZNACZALNYCH.
1.1. Metoda trzech momentów.
Do rozwiązywania wieloprzęsłowych belek statycznie
niewyznaczalnych stosowana jest szczególna postać metody sił, zwana
metodą trzech momentów.
Rozważmy dowolnie obciążoną wieloprzęsłową belkę statycznie
niewyznaczalną (rys.1.1a). Schemat zastępczy ( podstawowy ) statycznie
wyznaczalny może być w tej metodzie przyjęty dowolnie, wprowadzając
przeguby w miejscu podpór
Rys.1.1
Politechnika PoznaÅ„ska® Kopacz, A
odygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper
 WYKA
ADY Z MECHANIKI BUDOWLI 2
ROZWI
ZYWANIE BELEK WIELOPRZ
SA
OWYCH STATYCZNIE NIEWYZNACZALNYCH
i przyjmując niewiadome w postaci momentów podporowych (rys.1.1b)
Wówczas otrzymamy macierz podatności w postaci pasmowej!!!
Rozważmy następnie dwa sąsiednie, dowolnie wybrane przęsła
belki (r)
oraz (r-1). Dla przegubu r warunek geometryczny należy zapisać jako
wzajemny kąt obrotu równy zeru:
"r = "l + "p = "(r-1,r) + "(r,r+1) = 0 (1.1)
r r r r
gdzie:
"l - to kąt obrotu przekroju belki jednoprzęsłowej r obciążonej na
r
podporach momentami X , X oraz obciążeniem zewnętrznym,
r-1 r
"p - to kąt obrotu przekroju belki jednoprzęsłowej r +1obciążonej na
r
podporach momentami X , X oraz obciążeniem zewnętrznym.
r r+1
Wprowadz
my równanie kanoniczne dla r - tego punktu:
´ X + ´ X +´ X + ...+ "rp = 0
(1.2)
r-1,r r-1 rr r r+1,r r+1
gdzie (patrz rys.1.1b):
M Å" M 1 1 1 lr
r-1 r
´ = ds = Å" Å" lr Å"1Å" Å"1 =
r-1,r
+"
EI EIr 2 3 6EIr
M Å" M 1 1 2 1 1 2
r r
´ = ds = Å" Å" lr Å"1Å" Å"1+ Å" Å" lr+1 Å"1Å" Å"1 =
r,r
+"
EI EIr 2 3 EIr+1 2 3
ëÅ‚ öÅ‚
1 lr lr+1 ÷Å‚
ìÅ‚
= + (1.3)
ìÅ‚
3 EIr EIr +1 ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
M Å" M 1 1 1 lr+1
r+1 r
´ = ds = Å" Å" lr+1 Å"1Å" Å"1 =
r+1,r
+"
EI EIr+1 2 3 6EIr+1
M Å" M
r-1 r+1
´ = ds = 0
r-1,r+1
+"
EI
Podstawiając do równania (1.2) wyznaczone wartości (1.3)
otrzymujemy:
ëÅ‚ öÅ‚
lr 1 lr lr+1 ÷Å‚ lr+1
ìÅ‚
X + + + X +...+ "rp = 0
(1.3)
ìÅ‚
EIr r-1 3 EIr EIr+1 ÷Å‚X r EIr+1 r+1
íÅ‚ Å‚Å‚
Politechnika PoznaÅ„ska® Kopacz, A
odygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper
 WYKA
ADY Z MECHANIKI BUDOWLI 3
ROZWI
ZYWANIE BELEK WIELOPRZ
SA
OWYCH STATYCZNIE NIEWYZNACZALNYCH
a po uporządkowaniu równanie, zwane równaniem trzech momentów,
przyjmuje postać:
2 2 2 2
lr X + 2Å" X (lr + lr+1)+ X Å"lr+1 + ...+ 6EI0"rp = 0
(1.4)
r-1 r r+1
przy czym:
EI0
2
lr = lr Å" a , EI0 -sztywność porównawcza
EIr
A co z warunkami brzegowymi?
Załóżmy, że nasza belka jest belką podpartą z lewej strony
(rys.1.2a).
Moment w punkcie "0" równy jest
zeru! mamy zatem już warunek
brzegowy!(x0=0!). Gdyby zaÅ› nasza
belka była z jednej strony
utwierdzona (rys.1.2b) należałoby ją
rozszerzyć o jedno przęsło, i w celu
wyznaczenia warunków brzegowych
założyć że: l0 = 0 . Jeżeli zaś znamy
obciążenie jakie występuje po
zewnętrznej stronie przęsła jak na
rysunku (rys.1.2c), możemy
wyznaczyć wykres momentów co
umożliwia nam wyznaczenie X i
0
rozpisanie równania dla dwóch
sÄ…siednich
przęseł z czego otrzymamy szukane warunki brzegowe.
1.2. Linie wpływu dla belek wieloprzęsłowych.
Wyznaczając w układach statycznie niewyznaczalnych linie
wpływu wielkości statycznych, klasyczną metodą sił, wyznacza się
najpierw linie wpływu nadliczbowych, co w dalszej kolejności umożliwi
nam wyznaczenie linii wszystkich innych wielkości.
Wróćmy do naszego przykładu. Przypuśćmy, że po naszej belce
porusza się poziomo siła P (rys.1.3). Ponieważ belka jest statycznie
niewyznaczalna, na nic zdadzą się próby rozwiązania jej, przy pomocy
równań równowagi. W takim przypadku należałoby rozwiązać układ
Politechnika PoznaÅ„ska® Kopacz, A
odygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper
 WYKA
ADY Z MECHANIKI BUDOWLI 4
ROZWI
ZYWANIE BELEK WIELOPRZ
SA
OWYCH STATYCZNIE NIEWYZNACZALNYCH
równań liniowych (1.4 ), co pozwoli nam na wyznaczenie wielkości X .
r
Jeżeli mamy: [A]Å"[X ]= [P] to w celu wyznaczenia linii wpÅ‚ywu
wystarczy macierz [P]pomnożyć przez macierz
podatności odwróconą:
-1
[X ]= [P]Å"[A]
Zastanówmy się teraz jak określić "rp gdy
mamy do czynienia z ruchomym obciążeniem.
Rys.1.3
Spójrzmy na rysunek obok (rys.1.3). Z naszej
belki wycięliśmy jedno przęsło (r-1,r) po
którym jez
dzi siła P (teraz już w układzie
lokalnym!) Oczywiście efektem jej działania jest wystąpienie sił
wewnętrznych (momentów, tnących...) Spójrz na rysunek 1.1. Stosując
tw. Maxwella wiemy, że "rp = " , czyli jest to ugięcie belki wywołane
pr
działaniem jednostkowego momentu przyłożonego do podpory  r  .
Ugięcie to jest niezerowe tylko dla dwóch przęseł (r-1,r) i (r,r+1) p
wspólnym węz
le  r  .
Wyznaczamy linię ugięcia od zadanego
momentu. Mamy zatem:
2
d ´ (x)
EI Å" = -M (x) (1.6)
dx2
´
u nas:
1
M (x) = Å" x
lr
Rys.1.4
po podstawieniu i dwukrotnym scałkowaniu otrzymujemy:
2
d ´ (x) 1 d´ (x) x2
EI Å" = - Å" x çÅ‚cakujemy EI Å" = - + C çÅ‚cakujemy
çÅ‚çÅ‚ çÅ‚çÅ‚
çÅ‚ çÅ‚
dx2 lr dx 2 Å" lr
x3
EI Å"´ (x) = - + C Å" x + D
6 Å" lr
z warunków brzegowych: ´ (x = 0) = 0 i ´ (x = lr ) = 0 możemy
wyznaczyć szukane D,C . Linia ugięcia od założonego przez nas
momentu jedynkowego równa jest szukanej wartości "r,P i wynosi:
2
l x
3
´ (x) = - (¾ - ¾ ) gdzie:¾ =
(1.7)
6EIr lr
Politechnika PoznaÅ„ska® Kopacz, A
odygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper
 WYKA
ADY Z MECHANIKI BUDOWLI 5
ROZWI
ZYWANIE BELEK WIELOPRZ
SA
OWYCH STATYCZNIE NIEWYZNACZALNYCH
Wiemy też, że: "r -1,P `" 0 i "r-1,P = "P,r-1 ( "P,r-1 - to
przemieszczenie pionowe pod siłą P wywołane działaniem momentu
skupionego X ). Jeżeli więc, do równania wyżej (1.7) zgodnie z
r-1
rysunkiem (rys.1.5) za ¾ podstawimy 1-¾ to otrzymamy gotowe
rozwiÄ…zanie:
2
l
1-Å› Å›
3 2
´ (x) = (¾ - 3¾ + 2¾)
(1.8)
6EIr
Wprowadz
my pewnÄ… funkcje
3 2
É(¾ ) = ¾ - ¾ Ò! . É(¾ ) = ¾ - 3¾ + 2¾ ,po
podstawieniu mamy:
lr 2
6EI0 = Å"É(¾ ) Ò! lr Å" lr2 Å"É(¾ )
6EIr
W układzie równań kanonicznych, w przypadku, gdy
Rys.1.5
wędrująca siła porusza się w obrębie przęsła (r-1,r)
tylko dwa równania mają niezerowe prawe strony, a
mianowicie:
2 2 2 2
lm X + 2 Å" X (lm + lm+1)+ X Å" lm+1 = Cmp
(1.9)
m-1 m m+1
2
dla m = r -1 Cr-1, p = -lr Å" lr Å"É(¾ ) oraz
2
dla m = r Cr, p = -lr Å" lr Å"É(¾ )
Rozwiązując otrzymany układ równań względem niewiadomych
X1, X2,..., Xn otrzymamy:
X (¾)= ²k1 Å" C1P + ²k 2 Å" C2P + ... + ²kk Å" CkP + ... + ²k ,r-1 Å" Cr-1,P +
k
(1.10
)
²kr Å" CrP + ²k ,r+1 Å" Cr+1,P + ... + ...
przy czym, współczynniki ²kj sÄ… wyrazami macierzy odwrotnej dla
układu równań (1,9), tzn. są to elementy macierzy odwrotnej, w stosunku
do macierzy podatności, i:
Cr-1,P (¾ )= -lr Å" lr2 É(¾ ),Cr,P(¾ )= -lr Å" lr2 É(¾) (dla obciążenia siÅ‚Ä…
skupionÄ… P=1).
Politechnika PoznaÅ„ska® Kopacz, A
odygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper
 WYKA
ADY Z MECHANIKI BUDOWLI 6
ROZWI
ZYWANIE BELEK WIELOPRZ
SA
OWYCH STATYCZNIE NIEWYZNACZALNYCH
Rysunek poniżej pokazuje nam linie wpływu nadliczbowych
(rys.1.6).
Rys.1.6
Politechnika PoznaÅ„ska® Kopacz, A
odygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper