SIMR 2013/14, Analiza 1, wykład 2, 2013-10-11
CiÄ…gi
Definicja ciÄ…gu CiÄ…giem liczb rzeczywistych (an)" nazywamy funkcjÄ™ a : N R. War-
n=1
tości funkcji a oznaczamy an.
Przykłady:
1 1 1 1
an = = (1, , , , . . . )
n 2 3 4
an = n2 = (1, 4, 9, 16, 25, . . . )
an = (-1)nn = (-1, 2, -3, 4, -5, . . . )
Definicja ciÄ…gu monotonicznego: CiÄ…g (an)" nazywamy rosnÄ…cym (niemalejÄ…cym, ma-
n=1
lejÄ…cym, nierosnÄ…cym) wtedy i tytlko wtedy, gdy
"n, m " N m > n =Ò! am > an (am an , am < an , am an)
Uwaga: CiÄ…gi rosnÄ…ce i malejÄ…ce nazywamy ciÄ…gami monotonicznymi. CiÄ…gi niemalejÄ…ce i
nierosnące ciągami słabomonotonicznymi.
Twierdzenie: CiÄ…g (an)" jest rosnÄ…cy wtedy i tylko wtedy, gdy "n " N an+1 > an
n=1
Uwaga: Analogiczne twierdzenie zachodzi dla ciągów: niemalejących, malejących i nierosną-
cych.
n
Przykład 1: Pokazać , ze ciąg an = jest rosnący.
n + 2
Mamy pokazać, ze nierówność an+1 > an zachodzi dla wszystkich n " N
n + 1 n
> - mnożymy obie strony przez (n + 2)(n + 3) > 0
n + 3 n + 2
(n + 1)(n + 2) > n(n + 3)
n2 + 3n + 2 > n2 + 3n
2 > 0 - nierówność prawdziwa dla wszystkich n , więc ciąg jest rosnący.
Przykład 2: Pokazać , ze ciąg an = (-1)n nie jest monotoniczny
a1 = -1 , .a2 = 1 , a3 = -1
Widać, że a2 > a1 oraz a3 < a2
Z tych nierówności wynika, że ciąg nie jest monotoniczny.
Definicja ciągu ograniczonego: Ciąg (an)" jest ograniczony (ograniczony od góry ,
n=1
ograniczony od dołu) wtedy i tylko wtedy, gdy ograniczony (od góry, od dołu) jest zbiór jego
elementów.
Przykład 1: Pokazać , ze ciąg an = (-1)n jest ograniczony
(-1)n 1 nierówność prawdziwa dla każdego n " N
(-1)n -1 nierówność prawdziwa dla każdego n " N
Przykład 2: Pokazać , ze ciąg an = n nie jest ograniczony od góry
Dowód przez sprowadzenie do sprzeczności:
Przypuśćmy, że ciąg jest ograniczony od góry.
Wtedy istnieje M " R takie, że nierówność
n M zachodzi dla wszystkich n " N
W szczególności postawiając n = 1 mamy M 1
Liczba n = [M] + 1 2 jest liczbą naturalną. ([M] oznacza część całkowitą liczby M)
A nierówność :
n M Ð!Ò! [M] + 1 M jest faÅ‚szywa.
1
Granica ciÄ…gu
Definicja granicy ciÄ…gu
Mówimy, że ciąg (an)n"N ma granicę g " R wtedy i tylko wtedy, gdy:
("µ > 0)("n0)("n n0) |an - g| µ
Stosujemy oznaczenie:
lim an = g
n"
oraz
an - g
an
g + µ
g
g - µ
n
1 2 3 4 5 6 7 8 9
Uwaga: Zamiast mówić, że ciąg ma granicę g mówimy też, że ciąg jest zbieżny do granicy
g .
n
Przykład: Pokazać, że lim = 1
n"
n + 2
Wez
my dowolne > 0
Rozwiązujemy nierówność:
|an - g|

n

- 1

n + 2
2

n + 2
2
n - 2

2
Jeżeli przyjmiemy n0 = - 2 to dla n n0 zachodzi |an - g|

Granica ciągu stałego: lim a = a
n"
"
n
Przykład: Pokazać, że lim n = 1
n"
"
n
Musimy pokazać, że : (" > 0)("n0)("n n0) | n - 1|
Wez
my dowolne > 0. Chcemy, aby zachodziła nierówność:
"
n
| n - 1|
"
n
- n - 1
lewa nierówność jest oczywista. Przekształcamy prawą nierówność:
"
n
n 1 +
n (1 + )n

n n n
n 1 + + 2 + · · · + n
1 2 n
Powyższa nierówność będzie spłeniona jeśli zachodzić będzie:

n
n 2 (zakładamy, że n 2)
2
n(n - 1)
n 2
2
2
n 1 +
2
2
2 "
n
Widać, że jeśli wez
miemy n0 = max(2, 1 + ) to dla n n0 zachodzi n - 1
2
To kończy dowód.
Granice nieskończone (niewłaściwe)
Definicja: Ciąg (an)n"N jest rozbieżny do +" (ma granicę +") wtedy i tylko wtedy, gdy
("M)("n0)("n n0) an M
Oznaczenie: lim an = "
n"
Analogicznie:
Definicja: Ciąg (an)n"N jest rozbieżny do -" (ma granicę -") wtedy i tylko wtedy, gdy
("M)("n0)("n n0) an M
Oznaczenie: lim an = -"
n"
Uwaga: Ciągi mające granicę +" lub -" nazywamy ciągami rozbieżnymi.
Przykład 1: lim n = "
n"
Przykład 2: lim (-n) = -"
n"
Własności granic ciągów
Twierdzenie:
Zakładamy, że istnieją granice ciągów : a = lim an , oraz b = lim bn
n" n"
Wtedy poniższe granice istnieją i są równe:
lim kan = ka , k " R
n"
lim (an + bn) = a + b
n"
lim (an - bn) = a - b
n"
lim (anbn) = ab
n"
an a
lim = przy założeniu b = 0

n"
bn b
n
lim (ab ) = ab przy założeniu a > 0. Równość ta zachodzi też, dla a = 0 , b > 0
n
n"
1
Przykład : lim = 0 dla ą > 0
n"
nÄ…
Działania na granicach nieskończonych:
Pdobne twierdzenia zachodzą dla ciągów mających granice +" i -" ; na przykład:
" + a = "
" - a = "
-" + a = -"
-" - a = -"
" + " = "
-" - " = -"
a · " = " dla a > 0
a · " = -" dla a < 0
" · " = "
-" · " = -"
a
= 0
"
"
= " dla b > 0
b
3
a" = " dla a > 1
a" = 0 dla 0 a < 1
"b = " dla b > 0
"b = 0 dla b < 0
"" = "
Przykład 1: lim ną = " dla ą > 0, oraz lim ną = 0 dla ą < 0.
n" n"
Przykład 2: Obliczyć lim (n2 + n)
n"
lim (n2 + n) = " + " = "
n"
Symbole nieoznaczone
Własności sumy, różnicy, iloczynu, ilorazu i potęgowania granic skończonych lub nieskończo-
nych są wykorzystywane często. W niektórych przypadkach jednak, znając granice ciągów
lim an oraz lim bn nie możemy nic powiedzieć o granicy sumy, różnicy, iloczynu, ilorazu czy
n" n"
potęgi. Przypadki te są to symbole nieoznaczone. Mamy następujące symbole nieoznaczone:
0 "
" - " , 0 · " , , , 1" , 00 , "0
0 "
PrzykÅ‚ad 1: Pokażemy, że symbol 0 · " jest nieoznaczony. W tym celu skonstruujemy dwa
przykłady ciągów lim an = 0 oraz lim bn = " mające różne granice lim anbn .
n" n" n"
1
1. an = , bn = n
n
1
lim anbn = lim · n = lim 1 = 1
n" n" n"
n
1
2. an = , bn = n
n2
1 1
lim anbn = lim · n = lim = 0
n" n"
n2 n" n
Przykład 2: Obliczyć lim (n2 - n)
n"
lim (n2 - n) = " - "
n"
Jest to symbol nieoznaczony, nie możemy więc obliczyć granicy w ten sposób. Przekształcamy
ciąg tak, aby usunąć symbol nieoznaczony:
1
lim (n2 - n) = lim n2(1 - ) = "(1 - 0) = "
n" n"
n
n2 + 3n
Przykład 3: Obliczyć lim
n"
n2 - 2n + 5
3 3
2n2 + 3n n2(2 + ) 2 + 2 + 0
n n
lim = lim = lim = = 2
1 1 1 1
n" n" n"
n2 - 2n + 5 n2(1 - 2 + 5 ) 1 - 2 + 5 1 - 0 + 0
n n2 n n2
nk
Przykład 4: Obliczyć granicę lim dla a > 1 , k " R
an
ëÅ‚ öÅ‚n n"
"
n
nk nk 1 "
íÅ‚ Å‚Å‚
lim = lim = = 0
n" n"
an a a
Twierdzenie: Jeżeli ciąg (an)n"N ma granicę to granica ta jest tylko jedna. (Ciąg nie może
mieć dwóch lub więcej różnych granic).
Definicja podciągu: Niech dany będzie ciąg (an)n"N , an " R oraz rosnący ciąg (nk)k"N
liczb naturalnych nk " N . Wtedy ciąg (bk)k"N zdefiniwany następująco: bk = an nazywamy
k
podciÄ…giem ciagu (an)n"N.
Uwaga: Podciąg otrzymujemy z ciągu wyjściwego usuwając część wyrazów, pozostać jednak
musi nieskończenie wiele wyrazów.
1 1 1 1
Przkład: Podciągami ciągu an = są : bk = , ck = , dk = .
n k + 5 2k - 1 2k2 + 4
4
Twierdzenie: Jeżeli ciąg ma granicę to każdy jego podciąg ma tę samą granicę.
1 1 1
Przkład 1: lim = 0 ponieważ bn = jest podciągiem ciągu an = który
n"
2n2 + 4 2n2 + 4 n
jest zbieżny do 0.
Przykład 2: Pokazać, ze ciąg an = (-1)n nie ma granicy.
Dowód nie wprost. Gdyby ciąg (an)n"N miał granicę, to kazdy jego podciąg miałby tę samą
granicę. Znajdziemy dwa podciągi mające różne granice.
PodciÄ…g pierwszy: bk = a2k = (-1)2k = 1
lim bk = lim 1 = 1
k" k"
PodciÄ…g drugi: ck = a2k+1 = (-1)2k+1 = -1
lim cn = lim -1 = -1
k" k"
Widzimy, że lim bk = lim ck a więc ciąg an nie ma granicy.

k" k"
Uwaga: Dla każdego ciągu rozbieżnego istnieją dwa podciągi mające różne granice (skoń-
czone lub nieskończone).
Dla dowolnego ciągu zachodzi jeden z poniższych warunków:
1. ciąg ma granicę skończoną
2. ciÄ…g ma granicÄ™ +"
3. ciÄ…g ma granicÄ™ -"
4. ciąg nie ma granicy, czyli dla dowolnie dużych n wyrazy ciągu  oscylują .
1
Symbol
0
1
Jeżeli an = 0 , lim an = 0 to granica ciągu lim jest nioznaczona. Aby znalez
ć tę granicę

n" n"
an
wystarczy sprawdzić znak an:
Jeśli dla dostatecznie dużych n wyrazy ciagu są dodatnie: ("n0)("n > n0) an > 0 to
1 1
lim = " (oznaczenie: = +")
n"
an 0+
Jeśli dla dostatecznie dużych n wyrazy ciagu są ujemne: ("n0)("n > n0) an < 0 to
1 1
lim = -" (oznaczenie: = -")
n"
an 0-
Jeśli dla dowolnei dużych n wyrazy ciagu zmieniają znak: ("n0)("n > n0) an > 0 oraz
("n0)("n > n0) an < 0 to ciÄ…g (an) nie ma granicy.
Uwaga: W większości twierdzeń dotyczących granic ciągów zamiast warunku dla wszystkich
n : "n wystarczy warunek dla dostatecznie dużych n : ("n0)("n n0)
1

Przykład : Obliczyć lim
n" 1
1 + - 1
n

1
lim 1 + - 1 = 0
n
n"
1
Mamy więc symbol .
0

1
Sprawdzamy, czy 1 + - 1 > 0
n

1
1 + > 1 - nierówność prawdziwa. Stąd:
n
1 1

lim = = "
n" 1
0+
1 + - 1
n
Twierdzenie: Dane są dwa ciągi: (an) , (bn) mające granice. Jeśli ("n)an bn to lim an
n"
lim bn
n"
5
Uwaga 1: Granice ciągów mogą być skończone lub nieskończone.
Uwaga 2: W twierdzeniu tym nie można zastąpić nierówności słabej nierównością ostrą,
Dowodzi tego poniższy przykład:
1
an = 0 , bn = .
n
1
Mamy an = 0 < = bn
n
Oraz lim an = 0 , lim bn = 0 czyli lim an = lim bn
n" n" n" n"
Twierdzenie o trzech ciągach: Dane są trzy ciągi: (an) , (bn) , (cn) takie, że ("n) bn
an cn . Jeżeli lim bn = lim cn = g " R to ciąg (an) jest zbieżny i ponadto lim an = g
n" n" n"
Uwaga 1: Podobne twierdzenie zachodzi dla granic nieskończonych; wystarczą wtedy tylko
dwa ciÄ…gi:
Jeśli lim bn = " to lim an = "
n" n"
Jeśli lim cn = -" to lim an = -"
n" n"
Uwaga 2: Wystarczy, żeby warunek bn an cn zachodził dla dostatecznie duzych n .
(-1)n
Przykład: Obliczyć granicę lim
n"
n
1 1
Zastosujemy twierdzenie o trzech ciÄ…gach. Wez
my bn = - , cn = . Wtedy mamy:
n n
1 (-1)n 1
-
n n n
1 1 (-1)n
oraz lim - = 0 = lim . Z twierdzenia o trzch ciagach wynika więc, że lim = 0
n" n" n"
n n n
Twierdzenie: Dane są dwa ciągi: (an) , (bn) . Jeżeli ciąg (bn) jest ograniczony, a lim an = 0
n"
to lim anbn = 0
n"
"
n
Przykład: Obliczyć granicę lim a dla a > 0
n"
Mamy:
" " "
n n n
1 a n dla n a stÄ…d: lim a = 1
n"
"
Przykład 1: Obliczyć lim ( n2 + 4n - 5n)
n"
Jest to granica typu " - ". Przekształcamy an

"
4
lim ( n2 + 4n - 5n) = lim n( 1 + - 5) = " · (-4) = -"
n
n" n"
"
Przykład 2: Obliczyć lim ( n2 + 4n - n)
n"
Jest to granica typu " - ". Przekszatłcamy an
" "
"
( n2 + 4n - n) · ( n2 + 4n + n) n2 + 4n - n2
" "
lim ( n2 + 4n - n) = lim = lim =
n" n" n"
n2 + 4n + n n2 + 4n + n
4n 4

lim = lim = 2
n" 4 n" 4
n( 1 + + 1) 1 + + 1
n n
2nn3 + 4nn
Przykład 3: Obliczyć lim
n"
3n + 22nn
"
Jest to granica typu . Przekszatłcamy an
"
n3 n3
4nn( + 1) + 1
2nn3 + 4nn 0 + 1
2n 2n
ëÅ‚ öÅ‚
lim = lim = lim = = 1
n" n" n" 1
3n + 22nn 0 + 1
+ 1
ìÅ‚ ÷Å‚
1
4
ìÅ‚
4nn + 1÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚ n( )n
4
3
n( )n
3
6
Uwaga : Częstym błędem przy obliczaniu granic jest przechodzenie do granicy z wybranymi
n w wyrażeniu an . Ryzykujemy wtedy zgubienie symbolu nieoznaczonego i w konsekwencji
błędny wynik. Aby tego uniknąć należy przechodzić do granicy ze wszystkimi n jednocześnie.
1
PrzykÅ‚ad 1: Obliczyć lim · n
n
n"
1
Obliczanie bÅ‚Ä™dne: lim · n = lim 0 · n = lim 0 = 0
n
n" n" n"
1
Błąd polega na przejściu do granicy tylko z wyrażeniem pozostawiając n bez zmian.
n
Obliczanie poprawne:
1
lim · n
n
n"
Dzielimy wyrażenie na dwie części
1
lim = 0
n
n"
lim n = "
n"
Teraz łączymy te części. Tym razem przechodzimy do granicy jednocześnie ze wszystkimi n:
1
lim ·n = 0·" - symbol nieoznaczony: nie możemy liczyć granicy tym sposobem. Obliczymy
n
n"
jÄ… inaczej:
1
lim · n = lim 1 = 1
n
n" n"
n
1
Przykład 2: Obliczyć lim 1 +
n
n"
n
1
Obliczanie błędne: lim 1 + = lim 1n = lim 1 = 1
n
n" n" n"
1
Błąd polega na przejściu do granicy tylko z wyrażeniem pozostawiając n bez zmian.
n
Obliczanie poprawne:
Dzielimy wyrażenie na dwie części
1
lim (1 + ) = 1
n
n"
lim n = "
n"
n
1
lim 1 + = 1" - symbol nieoznaczony: nie możemy liczyć granicy tym sposobem. Gra-
n
n"
nica ta zostanie omówiona w dalszej części wykładu.
7