Mechanika budowli
______________________________________________________________________________________________ 1
Dynamika elementów prętowych
Literatura
[1] Ziemba S.: "Analiza drgań". PWN, Warszawa 1957.
[2] Nowacki W.: "Dynamika budowli". Arkady, Warszawa 1972.
[3] Langer J.: "Dynamika budowli". Politechnika Wrocławska, Wrocław 1980.
[4] Ciesielski R. i inni: "Mechanika budowli. Ujęcie komputerowe tom 2". Arkady, Warszawa 1992
[5] Dyląg Z., Krzemińska-Niemiec E.: "Mechanika budowli tom 4". Wydawnictwo Politechniki
Białostockiej, Białystok 1993.
[6] Stojek Z., Zylski W.: "Dynamika konstrukcji". Politechnika Rzeszowska, Rzeszów 1993
[7] Chmielewski T., Zembaty Z.: "Dynamika budowli". Politechnika Opolska, Opole 1997.
[8] Sułocki J.: "Dynamika budowli. Metody obliczeń i przykłady". Politechnika A
ódzka, A
odz
1976
[9] Woroszył S.: "Przykłady i zadania z teorii drgań. Część 1 i 2". PWN, Warszawa 1976/1979.
[10] Osiński Z.: "Zbiór zadań z teorii drgań". PWN Warszawa 1989.
[11] Nizioł J.: "Podstawy drgań w maszynach". Politechnika Krakowska, Kraków 1996
[12] Skarżyński R., Labocha S.: "Elementy dynamiki budowli w zadaniach"
Politechnika Częstochowska Częstochowa 2001
______________________________________________________________________________________________
2005-02-28 Politechnika Częstochowska Katedra Mechaniki Technicznej Dr inż.S.Labocha
 Mechanika budowli
______________________________________________________________________________________________ 2
1. Przedmiot, zadania i metody dynamiki budowli
Dynamika jest działem mechaniki zajmującym się ruchem układów materialnych pod
wpły-
wem działających na nie sił. W analizie dynamicznej rozpatruje się dwa rodzaje zadań:
" zadanie bezpośrednie, kiedy zadane są siły, a należy określić ruch wywołany tymi siłami,
przy spełnieniu określonych warunków narzuconych na położenie i prędkość
poczÄ…tkowÄ…,
" zadanie odwrotne, kiedy zadane są równania ruchu, a należy wyznaczyć siły wywołujące
ten ruch.
Ustroje budowlane powinny być układami geometrycznie niezmiennymi o zachowawczej
postaci
równowagi. Przedmiotem dynamiki budowli będzie w związku z tym obszar dynamiki
obejmujący naukę o ruchu ustrojów mającym zwykle charakter oscylacyjny wokół położenia
równowagi.
Ruch o takim charakterze nazywamy ruchem drgajÄ…cym.
Zadaniem dynamiki budowli jest określenie odpowiedzi konstrukcji, tj. wyznaczenie
prze- mieszczeń i naprężeń, będących reakcją na oddziaływanie dowolnego obciążenia
dynamicznego. Obciążenie to może zmieniać w czasie swoją wartość, kierunek, zwrot lub
miejsce położenia. W analizie dynamicznej należy dodatkowo uwzględnić powstające
podczas ruchu siły masowe (bezwładności) i opory ruchu. Z punktu widzenia dynamiki
należy więc każdy rozpatrywany układ konstrukcyjny badać na podstawie schematu
dynamicznego ustroju. Będzie nim schemat statyczny uzupełniony o opis pola masowego
związanego z konstrukcją oraz rozkład sił dyssypatywnych (oporów ruchu) i sił
wzbudzajÄ…cych drgania.
Przemieszczenie punktów masowych ustroju można opisać dowolnym zbiorem
współrzęd- nych. Rozpatruje się zarówno przemieszczenia translacyjne jak i rotacyjne,
dlatego określa się ten
zbiór wspólnym mianem współrzędnych uogólnionych.
Definicja:
Liczbą d dynamicznych stopni swobody nazywa się liczbę niezależnych współrzędnych
uogólnionych, niezbędnych do jednoznacznego określenia położenia wszystkich punktów
masowych układu.
Na rysunku 1.1 przedstawiono przykłady określania dynamicznych stopni swobody. Należy
zwrócić szczególnie uwagę na znaczne uproszczenie zadań w przypadku założeń
upraszczajÄ…cych,
najczęściej przyjmowanych podczas obliczeń "ręcznych", ówzględniających nieskończenie
dużą
sztywność podłużną elementów ( EA=")
Rodzaje obciążeń dynamicznych konstrukcji budowlanych:
" Obciążenia zmienne, nieprzemieszczające się (siły bezwładności obracających się
niewywa- żonych części maszyn wirnikowych).
" Obciążenia udarowe (uderzenia spadających swobodnie ciał, napędzanych elementów
młotów
i kafarów, uderzenia pocisków, uderzenia kół pojazdów na nierównościach nawierzchni).
" Obciążenia impulsowe (nagłe, krótkotrwałe, szybko zanikające jak np. fale ciśnień
podczas wybuchów)
" Obciążenia ruchome (pojazdy przemieszczające się po konstrukcji)
" Pulsacje ciśnień cieczy lub gazu (falowanie cieczy w zbiornikach, obciążenie wiatrem)
" Obciążenia sejsmiczne i parasejsmiczne (trzęsienia ziemi, tąpnięcia)
______________________________________________________________________________________________
2005-02-28 Politechnika Częstochowska Katedra Mechaniki Technicznej Dr inż.S.Labocha
 Mechanika budowli
______________________________________________________________________________________________ 3
Rys. 1.1 Przykłady określania dynamicznych stopni swobody
______________________________________________________________________________________________
2005-02-28 Politechnika Częstochowska Katedra Mechaniki Technicznej Dr inż.S.Labocha
 Mechanika budowli
______________________________________________________________________________________________ 4
Wpływ efektów dynamicznych na zachowanie się konstrukcji może nieco przybliżyć prosty
przykład zaczerpnięty jeszcze z przedmiotu "mechanika ogólna".
Przykład 1.1
´d
Wyznaczyć wielkość przemieszczenia dynamicznego przy swobodnym spadku ciężaru Q
z wyskości H. Sztywność ustroju reprezentuje stała K.
RozwiÄ…zanie:
Na podstawie zasady zachowania energii można przyjąć, iż energia kinetyczna spadającego ciała
zostanie całkowicie zamieniona na energię potencjalną odkształcenia układu. Energia kinetyczna
w chwili maksymalnego ugięcia będzie równa pracy wykonanej przez siły zewnętrzne:
Lz = QÅ" H + ´d
( )
Energia sprężysta zgromadzona w układzie:
2
KÅ"´d
Es =
2
Z porównania podanych wielkości
2
KÅ"´d
QÅ" H + ´d =
( )
2
Po przekształceniu równanie powyższe przyjmuje postać
2
KÅ"´d - 2Å"QÅ"´d - 2Å"QÅ"H = 0
´d
Pierwiastki tego kwadratowego równania względem wynoszą
2
Q Q
ëÅ‚QöÅ‚
´d1 = + + 2Å"HÅ"
ìÅ‚K÷Å‚
K K
íÅ‚ Å‚Å‚
2
Q Q
ëÅ‚QöÅ‚
´d2 = - + 2Å"HÅ"
ìÅ‚K÷Å‚
K K
íÅ‚ Å‚Å‚
Q
OznaczajÄ…c wielkość przemieszczenia statycznego jako ´st =
K
______________________________________________________________________________________________
2005-02-28 Politechnika Częstochowska Katedra Mechaniki Technicznej Dr inż.S.Labocha
 Mechanika budowli
______________________________________________________________________________________________ 5
oraz zakładając zwiększenie przemieszczeń przy wpływach dynamicznych należy
uwzględnić większą wartość pierwiastka, przyjmując postać rozwiązania:
2
´d = ´d1 = ´st + ´st + 2Å"HÅ"´st
Można ją przekształcić następująco
ëÅ‚1 2Å"HöÅ‚
´d = ´stÅ" + 1 +
ìÅ‚ ÷Å‚= ´stÅ"²
´st
íÅ‚ Å‚Å‚
Wyrażenie opisujÄ…ce zależność ² można teraz nazwać współczynnikiem dynamicznym,
wyrażającym wzrost przemieszczenia z tytułu dynamicznego oddziaływania:
2Å"H
² = 1 + 1 + ² e" 2
´st
Jak widać przyjmuje on znaczące wartości i nawet w przypadku zerowej wartości H
(nagłe obciążenie układu bez wysokości początkowej) osiąga wielkość 2 powodując
dwukrotne zwiększenie wartości przemieszczenia w stosunku do wilkości statycznej.
2. Kinematyka ruchu drgajÄ…cego
Ruchem drgającym nazywamy taki ruch, w którym badana wielkość (współrzędna) q(t)
na przemian zbliża się i oddala od pewnej wartości przeciętnej. W dynamice budowli
taką wartość reprezentuje stan położenia równowagi statycznej (położenie obojętne).
Klasyfikacja ruchów drgających:
" ze względu na przebieg w czasie
a) ustalone (periodyczne-okresowe),
b) nieustalone (aperiodyczne-nieokresowe),
" ze względu na model reologiczny
a) nietłumione
b) tłumione
" ze względu na model konstrukcji
a) dyskretne (skończona liczba stopni swobody)
b) ciągłe (nieskończona liczba stopni swobody)
" ze względu na model fizyczny
a) liniowe
b) nieliniowe
" ze względu na przyczynę drgań
a) swobodne
b) wymuszone
" ze względu na formę przestrzenną
a) podłużne
b) giętne
c) skrętne
d) giętno-skrętne
e) mieszane
" ze względu na na opis matematyczny funkcji wymuszającej
a) deterministyczne
b) niedeterministyczne (losowe)
______________________________________________________________________________________________
2005-02-28 Politechnika Częstochowska Katedra Mechaniki Technicznej Dr inż.S.Labocha
 Mechanika budowli
______________________________________________________________________________________________ 6
Zjawisko drgań dobrze ilustrują wykresy przedstawiające zmiany w czasie przemieszczeń lub
przyspieszeń wybranych punktów badanego układu. Przykłady wykresów ruchów drgających
zaprezentowano na rysunku 2.1.
Czas t
Czas t
Czas t
Czas t
Czas t
Czas t
______________________________________________________________________________________________
2005-02-28 Politechnika Częstochowska Katedra Mechaniki Technicznej Dr inż.S.Labocha
Przemieszczenie q(t)
Przemieszczenie q(t)
Przemieszczenie q(t)
Przemieszczenie q(t)
Przemieszczenie q(t)
Przemieszczenie q(t)
 Mechanika budowli
______________________________________________________________________________________________ 7
Wśród wszystkich ruchów drgających szczególne miejsce zajmują drgania okresowe.
Drgania nazywamy okresowymi, jeżeli opisująca je funkcja q(t) jest okresowa, tj. gdy
istnieje taka dodatnia wielkość T [s], że w każdej chwili t zachodzi związek
q(t + T) = q(t) (2.1)
Najmniejsza z wielkości T, która spełnia powyższą zależność nazywana jest okresem drgań.
Część drgań zachodząca w trakcie jednego okresu nazywana jest cyklem drgań. Odwrotność
okresu (liczbę cykli w jednostce czasu) nazywa się częstością drgań (częstotliwością) f
wyrażaną w [Hz=cykl/s]
1
f = (2.2)
T
Największe odchylenie od położenia średniego nazywane jest amplitudą drgań A.
Najważniejszym przypadkiem szczególnym drgań okresowych są drgania harmoniczne
( )
q(t) = AÅ"sin ÉÅ"t + Õ (2.3)
2Å"Ä„
gdzie É = 2Å"Ä„Å"f = [rad/s] jest czÄ™stoÅ›ciÄ… kolowÄ… (pulsacjÄ…) a Õ [rad] - fazÄ… poczÄ…tkowÄ…
T
3. Synteza drgań harmonicznych
Punkt materialny lub nieodkształcalna bryła mogą wykonywać kilka ruchów harmonicznych
jednocześnie. Wypadkowy ruch tego punktu lub bryły jest superpozycją ruchów składowych.
3.1 Ruch złożony współosiowy o jednakowej częstości drgań składowych
W najprostszym przypadku, jeśli punkt wykonuje ruch złożony z dwóch składowych
o czÄ™stoÅ›ci É, amplitudach A1 i A2 oraz fazach poczÄ…tkowych Õ1 i Õ2:
q1(t) = A1Å"sin ÉÅ"t + Õ1
( )
(3.1)
q2(t) = A2Å"sin ÉÅ"t + Õ2
( )
ruch złożony będzie opisywać równanie
q(t) = q1(t) + q2(t) = A1Å"sin ÉÅ"t + Õ1 + A2Å"sin ÉÅ"t + Õ2 (3.2)
( ) ( )
Wykorzystując zależność trygonometryczną
(Ä… ) (Ä…) ( ) ( ) (Ä…) (3.3)
sin + ² = sin Å"cos ² + sin ² Å"cos
można zapisać
( ) ( )
sin ÉÅ"t + Õ1 = sin ÉÅ"t Å"cos Õ1 + sin Õ1 Å"cos ÉÅ"t
( )
( ) ( )
(3.4)
( ) ( )
sin ÉÅ"t + Õ2 = sin ÉÅ"t Å"cos Õ2 + sin Õ2 Å"cos ÉÅ"t
( )
( ) ( )
Wprowadzając ponadto oznaczenia skracające zapis wielkości stałych
( )
A1Å"cos Õ1 + A2Å"cos Õ2 = AÅ"cos Õ
( ) ( )
(3.5)
( )
A1Å"sin Õ1 + A2Å"sin Õ2 = AÅ"sin Õ
( ) ( )
______________________________________________________________________________________________
2005-02-28 Politechnika Częstochowska Katedra Mechaniki Technicznej Dr inż.S.Labocha
 Mechanika budowli
______________________________________________________________________________________________ 8
wyrażenie (3.2) przyjmie postać
( ( ) ( ) ( ) ( ))
q(t) = AÅ" sin ÉÅ"t Å"cos Õ + sin Õ Å"cos ÉÅ"t (3.6)
Ponownie korzystając z zależności (3.3) można równanie ruchu (3.6) zapisać krócej:
( )
q(t) = AÅ"sin ÉÅ"t + Õ (3.7)
gdzie
A = A12 + A22 + 2Å"A1Å"A2Å"cos Õ1 - Õ2 (3.8)
( )
A1Å"sin Õ1 + A2Å"sin Õ2
( ) ( )
( )
tan Õ = (3.9)
A1Å"cos Õ1 + A2Å"cos Õ2
( ) ( )
Zależność (3.8) wyznaczono z równań (3.5) poprzez podniesienie ich obustronnie do kwadratu
i zsumowanie
A1Å"cos Õ1 + A2Å"cos Õ2 + A1Å"sin Õ1 + A2Å"sin Õ2 = A2 (3.10)
( ( ) ( ))2 ( ( ) ( ))2
oraz wykorzystanie zależności trygonometrycznej
(Ä… ) (Ä…) ( ) (Ä…) ( )
cos - ² = cos Å"cos ² + sin Å"sin ² (3.11)
Zależność (3.9) wyznaczono po podzieleniu drugiego z równań (3.5) przez pierwsze.
Przeprowadzone rozważania będą również aktualne w przypadku, gdy równania
ruchu opisane zostanÄ… funkcjÄ… cosinus zamiast sinus.
Rozważania powyższe można rozszerzyć na przypadek drgań będących sumą n
drgań harmonicznych:
q(t) = A1Å"sin ÉÅ"t + Õ1 + A2Å"sin ÉÅ"t + Õ2 + .... + AnÅ"sin ÉÅ"t + Õn (3.12)
( ) ( ) ( )
Ruch wypadkowych będzie wówczas opisywać równanie (3.7) w którym:
2 2
n n
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚
A = AiÅ"cos Õi + AiÅ"sin Õi (3.13)
"( ( ))śł ïÅ‚"( ( ))śł
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ðÅ‚i = 1 ûÅ‚ ðÅ‚i = 1 ûÅ‚
n
AiÅ"sin Õi
"( ( ))
i = 1
( )
tan Õ = (3.14)
n
AiÅ"cos Õi
"( ( ))
i = 1
______________________________________________________________________________________________
2005-02-28 Politechnika Częstochowska Katedra Mechaniki Technicznej Dr inż.S.Labocha
 Mechanika budowli
______________________________________________________________________________________________ 9
Przykład 3.1
Wyznaczyć parametry ruchu złożonego punktu, określonego składowymi
q1(t) = 3Å"sin(2Å"t + 0.5)
q2(t) = 7 sin(2Å"t + 0.4)
Amplituda i faza ruchu według zależności (3.8) i (3.9)
A = 32 + 72 + 2Å"3Å"7Å"cos(0.5 - 0.4) A = 9.99
3Å"sin(0.5) + 7Å"sin(0.4)
tanÕ = tanÕ = 0.459
3Å"cos(0.5) + 7Å"cos(0.4)
stÄ…d Õ = 0.43
Ruch wypadkowy opisuje zależność
q(t) = 9.99Å"sin(2Å"t + 0.43)
Graficzne przedstawienie rozwiÄ…zania:
Czas t
Skladowa 1
Skladowa 2
Ruch wypadkowy
3.2 Ruch złożony współosiowy o różnych częstościach drgań składowych
Rozważany jest ruch złożony o składowych:
q1(t) = A1Å"sin É1Å"t + Õ1
( )
(3.15)
q2(t) = A2Å"sin É2Å"t + Õ2
( )
Oznaczając okresy ruchów składowych jako
2Å"Ä„ 2Å"Ä„
(3.16)
T1 = T2 =
É1 É2
Ruch wypadkowy nie jest ruchem harmonicznym. Można jednak zapisać
2Å"Ä„ 2Å"Ä„
ëÅ‚ öÅ‚+ ëÅ‚ öÅ‚
q(t) = q1(t) + q2(t) = A1Å"sin Å"t + Õ1 A2Å"sin Å"t + Õ2 (3.17)
ìÅ‚T ÷Å‚ ìÅ‚T ÷Å‚
1 2
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
______________________________________________________________________________________________
2005-02-28 Politechnika Częstochowska Katedra Mechaniki Technicznej Dr inż.S.Labocha
Przemieszczenie q(t)
 Mechanika budowli
______________________________________________________________________________________________10
Jeśli stosunek okresów składowych daje się wyrazić przez stosunek dwóch liczb
naturalnych to są one współmierne. Zachodzi wówczas związek
T1 n1
(3.18)
=
T2 n2
gdzie n1 i n2 są najmniejszymi z liczb naturalnych spełniającymi powyższą zależność.
Założenie (3.18) pozwala na przyjęcie wypadkowego okresu
T = n2Å"T2 = n1Å"T2 (3.19)
Okres T ruchu wypadkowego jest więc najmniejszą współną wielokrotnością okresów
ruchów składowych. Jeśli liczby n1 i n2 są liczbami małymi to okres T jest porównywalny
z okresami składowych. W przypadku przeciwnym może być wielokrotnie większy.
Korzystając z definicji ruchu okresowego wg zależności (2.1) można obliczyć
îÅ‚2Å"Ä„ Å‚Å‚+ îÅ‚2Å"Ä„ Å‚Å‚
q(t + T) = A1Å"sin Å"(t + T) + Õ1 A2Å"sin Å"(t + T) + Õ2 =
ïÅ‚T śł ïÅ‚T śł
1 2
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
îÅ‚2Å"Ä„ Å‚Å‚+ îÅ‚2Å"Ä„ Å‚Å‚
= A1Å"sin Å" t + n2Å"T1 + Õ1 A2Å"sin Å" t + n1Å"T2 + Õ2 =
( ) ( )
ïÅ‚T śł ïÅ‚T śł
1 2
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
= ëÅ‚2Å"Ä„ öÅ‚+ ëÅ‚2Å"Ä„ öÅ‚
A1Å"sin Å"t + Õ1 + 2Å"Ä„Å"n2 A2Å"sin Å"t + Õ2 + 2Å"Ä„Å"n1 =
ìÅ‚T ÷Å‚ ìÅ‚T ÷Å‚
1 2
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
A1Å"sin É1Å"t + Õ1 + A2Å"sin É2Å"t + Õ2 = q(t) (3.20)
( ) ( )
Jeśli przynajmniej jedna z liczb n1 lub n2 nie jest liczbą całkowitą, wówczas iloczyny
Ä„ Ä„ Ä„
2 n1 i 2 n2 nie nie są wielokrotnościami 2 i zalezność (3.20) nie jest spełniona.
Oznacza to, iż ruch wypadkowy nie jest wówczas ruchem okresowym.
Rozważania powyższe są prawdziwe również w przypadku n składowych drgań. Wykres
ruchu wypadkowego może mieć różnorodne kształty, lecz największe wychylenie nie może
przewyższyć sumy amplitud składowych:
n
maxÅ" q(t) d" Ai
(3.21)
"
i = 1
Interesujący przypadek występuje wtedy, gdy ruch wypadkowy składa się z dwu drgań
"É )# )# É1
niewspółmiernych o częstościach bardzo mało różniących się :
q1(t) = A1Å"sin É1Å"t + Õ1
( )
(3.22)
q2(t) = A2Å"sin + "É Å"t + Õ2
îÅ‚( ) Å‚Å‚
ðÅ‚É1 ûÅ‚
Ruch wypadkowy opisuje funkcja
q(t) = q1(t) + q2(t) = A1Å"sin É1Å"t + Õ1 + A2Å"sin + "É Å"t + Õ2 (3.23)
( ) îÅ‚( ) Å‚Å‚
ðÅ‚É1 ûÅ‚
______________________________________________________________________________________________
2005-02-28 Politechnika Częstochowska Katedra Mechaniki Technicznej Dr inż.S.Labocha
 Mechanika budowli
______________________________________________________________________________________________11
Korzystając z przekształceń trygonometrycznych uzyskuje się
( )
q(t) = Õ1 Å"A1 + cos tÅ""É Å"cos Õ2 sin tÅ""É Å"sin Õ2 Å"A2 É1Å"t ...
( ) ( ( )- ( )
( ))
îÅ‚cos Å‚Å‚Å"sin( )
ðÅ‚ ûÅ‚
( ) ( )
+ Õ1 Å"A1 + sin tÅ""É Å"cos Õ2 + cos tÅ""É Å"sin Õ2 Å"A2 É1Å"t
( ) ( ( ) ( ))
îÅ‚sin Å‚Å‚Å"cos( )
ðÅ‚ ûÅ‚
(3.24)
Przyjmując poniższe tożsamości
( )
cos Õ1 Å"A1 + cos tÅ""É Å"cos Õ2 sin tÅ""É Å"sin Õ2 Å"A2 = AÅ"cos &!
( ) ( ( )- ( ) ( )
( ))
(3.25)
( ) ( ) ( )
sin Õ1 Å"A1 + sin tÅ""É Å"cos Õ2 + cos tÅ""É Å"sin Õ2 Å"A2 = AÅ"sin &!
( ) ( ( ) ( ))
otrzymuje się zależność
q(t) = AÅ"sin É1Å"t + Õ (3.26)
( )
gdzie
2
( )
A = A(t) = ...
( ) ( ( )- ( )
( ))
îÅ‚cos Õ1 Å"A1 + cos tÅ""É Å"cos Õ2 sin tÅ""É Å"sin Õ2 Å"A2Å‚Å‚
ðÅ‚ ûÅ‚
2
( ) ( )
+ Õ1 Å"A1 + sin tÅ""É Å"cos Õ2 + cos tÅ""É Å"sin Õ2 Å"A2
( ) ( ( ) ( ))
îÅ‚ Å‚Å‚
ðÅ‚sin ûÅ‚
(3.27)
( ) ( )
( ) ( ( ) ( ))
îÅ‚
ðÅ‚sin Õ1 Å"A1 + sin tÅ""É Å"cos Õ2 + cos tÅ""É Å"sin Õ2 Å"A2Å‚Å‚
ûÅ‚
tanÕ = tanÕ(t) =
( )
( ) ( ( )- ( )
( ))
îÅ‚
ðÅ‚cos Õ1 Å"A1 + cos tÅ""É Å"cos Õ2 sin tÅ""É Å"sin Õ2 Å"A2Å‚Å‚
ûÅ‚
(3.28)
Mamy do czynienia z drganiami, których amplituda i faza jest funkcją czasu. Przyjmując
odpowiednio ukÅ‚ad współrzÄ™dnych zawsze można doprowadzić do sytuacji, gdy Õ2=0.
Wyrażenia (3.27) i (3.28) upraszczają się do postaci:
( ) ( ) =
A = A(t) = cos Õ1 Å"A1 + cos tÅ""É Å"A2 + sin Õ1 Å"A1 + sin tÅ""É Å"A2
( ) ( )
( )2 ( )2
= A12 + A22 + 2Å"A1Å"A2Å"cos "ÉÅ"t - Õ1
( )
(3.29)
( )
sin Õ1 Å"A1 + sin tÅ""É Å"A2
( )
tanÕ = tanÕ(t) = (3.30)
( )
cos Õ1 Å"A1 + cos tÅ""É Å"A2
( )
Ruch wypadkowy przypomina zatem ruch harmoniczny o czÄ™stoÅ›ci É1, ale amplituda zmienia
w czasie swÄ… wartość wedÅ‚ug funkcji o okresie Ä (Ä >> T1 i T2):
A1 - A2 d" A d" A1 + A2
(3.31)
2Å"Ä„
Ä =
(3.32)
"É
Zjawisko to nosi nazwę dudnienia i jest szczególnie wyraz
ne jeśli A1 = A2
______________________________________________________________________________________________
2005-02-28 Politechnika Częstochowska Katedra Mechaniki Technicznej Dr inż.S.Labocha
 Mechanika budowli
______________________________________________________________________________________________12
Przykład 3.2
Wyznaczyć równanie ruchu określonego składowymi o współmiernych okresach drgań
q1(t) = 3Å"sin(2Å"t + 0.5)
q2(t) = 7 sin(4Å"t + 0.04)
q(t) = 3Å"sin(2Å"t + 0.5) + 7Å"sin(4Å"t + 0.04)
Graficzne przedstawienie rozwiÄ…zania:
Czas t
Skladowa 1
Skladowa 2
Ruch wypadkowy
Przykład 3.3
Wyznaczyć równanie ruchu określonego składowymi
q1(t) = 3Å"sin(2Å"t + 0.5)
q2(t) = 7 sin(3.5Å"t + 0.04)
q(t) = 3Å"sin(2Å"t + 0.5) + 7Å"sin(3.5Å"t + 0.04)
Graficzne przedstawienie rozwiÄ…zania:
Czas t
Skladowa 1
Skladowa 2
Ruch wypadkowy
______________________________________________________________________________________________
2005-02-28 Politechnika Częstochowska Katedra Mechaniki Technicznej Dr inż.S.Labocha
Przemieszczenie q(t)
Przemieszczenie q(t)
 Mechanika budowli
______________________________________________________________________________________________13
Przykład 3.4
Wyznaczyć równanie ruchu określonego składowymi gdzie A2 oraz
A1 )# )# É1 )# )# É2
q1(t) = 2Å"sin(2Å"t + 0.5)
q2(t) = 7 sin(9Å"t + 0.04)
q(t) = 2Å"sin(2Å"t + 0.5) + 7Å"sin(9Å"t + 0.04)
Graficzne przedstawienie rozwiÄ…zania:
Czas t
Skladowa 1
Skladowa 2
Ruch wypadkowy
Przykład 3.5
)# )# É1 )# )# É2
Wyznaczyć równanie ruchu określonego składowymi gdzie A2 A1 oraz
q1(t) = 3Å"sin(2Å"t + 0.5)
q2(t) = 0.8 sin(9.5Å"t + 0.04)
q(t) = 3Å"sin(2Å"t + 0.5) + 0.8Å"sin(9.5Å"t + 0.04)
Graficzne przedstawienie rozwiÄ…zania:
Czas t
Skladowa 1
Skladowa 2
Ruch wypadkowy
______________________________________________________________________________________________
2005-02-28 Politechnika Częstochowska Katedra Mechaniki Technicznej Dr inż.S.Labocha
Przemieszczenie q(t)
Przemieszczenie q(t)
 Mechanika budowli
______________________________________________________________________________________________14
Przykład 3.6
Wyznaczyć równanie ruchu określonego składowymi
2Å"Ä„
q1(t) = 2Å"sin(10Å"t + 0.5) T1 = T1 = 0.628
10
2Å"Ä„
q2(t) = 8 sin(11.5Å"t) T2 = T2 = 0.546
11.5
2Å"Ä„
q(t) = 2Å"sin(10Å"t + 0.5) + 8Å"sin(11.5Å"t) Ä = Ä = 4.189
1.5
Graficzne przedstawienie rozwiÄ…zania:
Czas t
Przykład 3.7
Wyznaczyć równanie ruchu określonego składowymi
2Å"Ä„
q1(t) = 7Å"sin(10Å"t + 0.5) T1 = T1 = 0.628
10
2Å"Ä„
q2(t) = 7 sin(11.5Å"t) T2 = T2 = 0.546
11.5
2Å"Ä„
q(t) = 7Å"sin(10Å"t + 0.5) + 7Å"sin(11.5Å"t) Ä = Ä = 4.189
1.5
Graficzne przedstawienie rozwiÄ…zania:
Czas t
______________________________________________________________________________________________
2005-02-28 Politechnika Częstochowska Katedra Mechaniki Technicznej Dr inż.S.Labocha
Przemieszczenie q(t)
Przemieszczenie q(t)
 Mechanika budowli
______________________________________________________________________________________________15
3.3 Ruch złożony z ruchów odbywających się w dwóch prostopadłych kierunkach
Jeśli składowe ruchu występują z jednakowymi częstościami
qx(t) = A1Å"sin ÉÅ"t + Õ1
( )
(3.33)
qy(t) = A2Å"sin ÉÅ"t + Õ2
( )
to ruch wypadkowy będzie ogólnie ruchem okresowym, krzywoliniowym i płaskim,
przy czym tor punktu będzie krzywą zamkniętą. Równanie ruchu otrzymuje się rugując
z równań (3.33) czas t. Uzyskuje się w ten sposób równanie krzywej stożkowej, która
na ogół będzie elipsą. W tym celu drugie z równań (3.33) przepisuje się postaci:
qy(t)
= sin ÉÅ"t + Õ1 + Õ2 - Õ1 =
( )
A2
= sin ÉÅ"t + Õ1 Å"cos Õ2 - Õ1 + sin Õ2 - Õ1 Å"cos ÉÅ"t + Õ1 =
( ) ( ) ( ) ( )
2
qx(t) (t)
ëÅ‚qx öÅ‚
= Å"cos Õ2 - Õ1 + sin Õ2 - Õ1 Å" 1 -
( ) ( )
ìÅ‚A ÷Å‚
(3.34)
A1
1
íÅ‚ Å‚Å‚
Następnie otrzymuje się
2
qy(t) qx(t) (t)
ëÅ‚qx öÅ‚
- Å"cos Õ2 - Õ1 = sin Õ2 - Õ1 Å" 1 - (3.35)
( ) ( )
ìÅ‚A ÷Å‚
A2 A1
1
íÅ‚ Å‚Å‚
Po obustronnym podniesieniu do kwadratu i uporządkowaniu uzyskuje się równanie toru
qx2 qy2 qx qy
+ - 2Å" Å" Å"cos Õ2 - Õ1 = sin2 Õ2 - Õ1 (3.35)
( ) ( )
A12 A22 A1 A2
W zależności od różnicy faz równanie toru przybiera różne formy.
W przypadku, gdy składowe ruchu mają różne częstości
qx(t) = A1Å"sin É1Å"t + Õ1
( )
(3.36)
qy(t) = A2Å"sin É2Å"t + Õ2
( )
to ruch wypadkowy będzie również krzywoliniowy, lecz na ogół nieokresowy. Można wykazać,
że bÄ™dzie on okresowy tylko wóczas gdy czÄ™stoÅ›ci É1 i É2 sÄ… współmierne. JeÅ›li n1 i n2 bÄ™dÄ…
liczbami całkowitymi to po czasie
T = n1Å"T1 + n2Å"T2 (3.37)
powtórzą się liczby okresów dla obu funkcji i krzywa będąca torem zamknię się. W przeciwnym
przypadku tor punktu będzie krzywą otwartą. W zależności od stosunku amplitud, okresów i faz
początkowych tor ma postać krzywych mniej lub bardziej skomplikowanych, nazywanych
liniami lub figurami Lissajous.
______________________________________________________________________________________________
2005-02-28 Politechnika Częstochowska Katedra Mechaniki Technicznej Dr inż.S.Labocha
 Mechanika budowli
______________________________________________________________________________________________16
Przykład 3.8
Wyznaczyć i zilustrować graficznie równania toru
a) qx(t) = 3Å"sin(2Å"t + 0.5) różnica faz Õ2 - Õ1 = 0
qy(t) = 4 sin(2Å"t + 0.5)
qy 2
ëÅ‚qx öÅ‚
równanie toru wg (3.35) - = 0
ìÅ‚3 4÷Å‚
4 íÅ‚ Å‚Å‚
3
0
2
4
1 0
stÄ…d qy = Å"qx
0
3
1
2
3
4
3 2 1 0 1 2 3
( )
b) qx(t) = 3Å"sin 2Å"t + Ä„ różnica faz Õ2 - Õ1 = -Ä„
qy(t) = 4 sin(2Å"t)
qy 2
ëÅ‚qx öÅ‚
równanie toru wg (3.35) = 0
ìÅ‚3 + ÷Å‚
4
4 íÅ‚ Å‚Å‚
3
0
2
4
1 0
stÄ…d qy = - Å"qx
0
3
1
2
3
4
3 2 1 0 1 2 3
c) qx(t) = 3Å"sin(2Å"t) różnica faz Õ2 - Õ1 = 0.5Ä„
( )
qy(t) = 4 sin 2Å"t + 0.5Ä„
qx2 qy2
równanie toru wg (3.35) + = 1
4
32 42
3
2
0
0
1
0
1
2
3
4
3 2 1 0 1 2 3
d) qx(t) = 3Å"sin(2Å"t + 2.5) różnica faz
( ) - Õ1 = Ä„ - 2.5 = 0.642
qy(t) = 4 sin 2Å"t + Ä„ Õ2
równanie toru wg (3.35)
4
3
qx2 qy2 qx qy
0
2
+ - 2Å" Å" Å"cos(0.642) = sin2(0.642)
1 0
0
32 42 3 4
1
2
czyli ostatecznie
3
4
16
3 2 1 0 1 2 3
qx2 + qy2 - 0.133Å"qxÅ"qy = 5.737
9
______________________________________________________________________________________________
2005-02-28 Politechnika Częstochowska Katedra Mechaniki Technicznej Dr inż.S.Labocha
 Mechanika budowli
______________________________________________________________________________________________17
( )
e) qx(t) = 3Å"sin 2Å"t + 0.5Ä„ różnica faz
qy(t) = 3 sin(2Å"t)
Õ2 - Õ1 = -0.5Ä„
3
2 równanie toru wg (3.35)
0
1
0
0
1 qx2 + qy2 = 9
2
3
3 2 1 0 1 2 3
Przykład 3.9
Wyznaczyć i zilustrować graficznie równania toru
( )
a) qx(t) = 3Å"sin 2Å"t + 0.5Ä„ b) qx(t) = 3Å"sin(2Å"t)
qy(t) = 3 sin(1Å"t) qy(t) = 3 sin(1Å"t)
0 0
0 0
( )
c) qx(t) = 3Å"sin 2Å"t + 0.75Ä„ d) qx(t) = 3Å"sin(2Å"t + 4)
qy(t) = 3 sin(1Å"t) qy(t) = 3 sin(1Å"t + 0.6)
0 0
0 0
______________________________________________________________________________________________
2005-02-28 Politechnika Częstochowska Katedra Mechaniki Technicznej Dr inż.S.Labocha
 Mechanika budowli
______________________________________________________________________________________________18
( ) f)
e) qx(t) = 3Å"sin 2Å"t + 0.5Ä„ qx(t) = 3Å"sin(2Å"t)
qy(t) = 3 sin(3Å"t) qy(t) = 3 sin(3Å"t)
0 0
0 0
( ) h)
g) qx(t) = 3Å"sin 2Å"t + 0.75Ä„ qx(t) = 3Å"sin(2Å"t + 4)
qy(t) = 3 sin(3Å"t) qy(t) = 3 sin(3Å"t + 1.8)
0 0
0
0
( ) j) ( )
i) qx(t) = 3Å"sin 3Å"t + 0.5Ä„ qx(t) = 3Å"sin 3Å"t + Ä„
qy(t) = 3 sin(4Å"t) qy(t) = 3 sin(4Å"t + 5)
0 0
0
0
( ) l)
k) qx(t) = 3Å"sin 3Å"t + 0.75Ä„ qx(t) = 3Å"sin(3Å"t)
qy(t) = 3 sin(5Å"t) qy(t) = 3 sin(12Å"t)
0 0
0 0
______________________________________________________________________________________________
2005-02-28 Politechnika Częstochowska Katedra Mechaniki Technicznej Dr inż.S.Labocha