Mechanika budowli
______________________________________________________________________________________________53
7.3 Drgania wymuszone nietłumione.
W przypadku drgań pod wpływem sił wymuszających, przy pominięciu wpływu tłumienia
równania ruchu układu o jednym stopniu swobody opisuje równanie:
d2 q
mÅ" + kÅ"q = P(t) (7.74)
d t2
Po przekształceniu do wygodniejszej postaci matematycznej będzie ono wyglądać następująco
d2 q
2
+ É Å"q = f(t) (7.75)
d t2
P(t)
gdzie f(t) = (7.76)
m
É wg (7.16)
Rozwiązania równania (7.75) poszukujemy metodą transformacji Laplace'a:
ëÅ‚ öÅ‚
d2 q
2
ìÅ‚ ÷Å‚
L + É Å"q = L(f(t)) (7.71)
ìÅ‚ ÷Å‚
d t2
íÅ‚ Å‚Å‚
Rozpisując poszczególne składniki, oraz wykorzystując (7.19) otrzymujemy
ëÅ‚ öÅ‚
d2 q(t) d q(0)
ìÅ‚ ÷Å‚
L = s2Å"Q(s) - sÅ"q(0) - = s2Å"Q(s) - sÅ"qo - vo
ìÅ‚ ÷Å‚ d t
d t2
íÅ‚ Å‚Å‚
2 2
( )
L É Å"q = É Å"Q(s)
L(f(t)) = F(s)
Wykorzystując powyższe, równanie (7.69) zapisujemy jako
2
s2Å"Q(s) - sÅ"qo - vo + É Å"Q(s) = F(s) (7.72)
WyznaczajÄ…c funkcjÄ™ Q(s) uzyskujemy
sÅ"qo + vo F(s) vo É
s É F(s)
Q(s) = + = qoÅ" + Å" + Å" (7.73)
2 2 2 2 2
É É
s2 + É s2 + É s2 + É s2 + É s2 + É
Dokonując na równaniu (7.73) odwrotnej transformacji Laplace'a znajdujemy poszukiwane
równanie ruchu
t
vo
#
1
( ) ( ) (- )Å‚Å‚ ()
q(t) = qoÅ"cos ÉÅ"t + Å"sin ÉÅ"t + Å" sin t Ä Ä dÄ (7.74)
õÅ‚
îÅ‚
ðÅ‚ÉÅ" ûÅ‚Å"f
!#0
É É
______________________________________________________________________________________________
2005-03-31 Politechnika Częstochowska Katedra Mechaniki Technicznej Dr inż.S.Labocha
 Mechanika budowli
______________________________________________________________________________________________54
Dwa pierwsze człony rozwiązania są identyczne z równaniem (7.22) i opisują drgania
swobodne układu bez tłumienia. Człon trzeci opisuje drgania wywołane siłą f(t). W ogólnym
przypadku wypadkowe drgania nie będą okresowe. Ostatni człon uzyskano wykorzystując
twierdzenie Borela o splocie funkcji:
Jeżeli f1(t) ,f2(t) są oryginałami, natomiast F1(s) ,F2(s) ich transformatami Laplace'a
prawdziwa jest zależność
ëÅ‚ #t öÅ‚
ìÅ‚õÅ‚ ÷Å‚
(- ) ()
L f1 t Ä Å"f2 Ä dt = F1(s)Å"F2(s) (7.75)
ìÅ‚ ÷Å‚
0
íÅ‚!# Å‚Å‚
É F(s)
W naszym przypadku F1(s) = F2(s) = którym odpowiadają
2
É
s2 + É
É
ëÅ‚ öÅ‚
-1
( )
L = sin ÉÅ"t = f1(t)
ìÅ‚ ÷Å‚
2
s2 + É
íÅ‚ Å‚Å‚
F(s) f(t)
-1 ëÅ‚ öÅ‚
L = = f2(t)
ìÅ‚ ÷Å‚
É É
íÅ‚ Å‚Å‚
otrzymujemy zależność
t
#
É F(s) 1
ëÅ‚ öÅ‚
-1
(- )Å‚Å‚ ()
L Å" = Å" sin t Ä Ä dÄ
õÅ‚
îÅ‚
ðÅ‚ÉÅ" ûÅ‚Å"f
ìÅ‚ ÷Å‚
2
!#0
É É
s2 + É
íÅ‚ Å‚Å‚
Ostateczna postać rozwiÄ…zania (7.74) zależy od funkcji f(Ä)
Jeśli przyjmiemy zerowe warunki początkowe lub uwzględnimy, że w praktycznych przypadkach
drgania własne będą zanikały (w rzeczywistości zawsze występuje tłumienie) zależność (7.74)
uprości się do postaci:
t
#
1
(- )Å‚Å‚ ()
q(t) = Å" sin t Ä Ä dÄ (7.75)
õÅ‚
îÅ‚
ðÅ‚ÉÅ" ûÅ‚Å"f
!#0
É
Pominięte drgania opisane pierwszymi dwoma członami rozwiązania (7.74) nazywane
są procesem przejściowym.
Jeśli wymuszenie jest opisane funkcją P(t) = Po = const (stała siła nagle przyłożona)
Po
wówczas f(t) = i trzeci wyraz równania (7.74) lub (7.75) będzie wyglądał następująco
m
t
#
Po #t
1
(- )Å‚Å‚ Po (- )Å‚Å‚
Å"õÅ‚ sin t Ä dÄ = Å" sin t Ä dÄ (7.77)
õÅ‚
îÅ‚ îÅ‚
ðÅ‚ÉÅ" ûÅ‚Å" ðÅ‚ÉÅ" ûÅ‚
õÅ‚
m !#0
É mÅ"É
!#0
______________________________________________________________________________________________
2005-03-31 Politechnika Częstochowska Katedra Mechaniki Technicznej Dr inż.S.Labocha
 Mechanika budowli
______________________________________________________________________________________________55
Występująca w powyższej zależności całkę najłatwiej rozwiązać metodą zamiany zmiennych
podstawiajÄ…c - Ä = x uzyskujemy dÄ = -dx i stÄ…d
t
t 0
0
#
1
(- )Å‚Å‚ # ( ) ( )
sin t Ä dÄ = -sin ÉÅ"x dx = Å"cos ÉÅ"x
õÅ‚ õÅ‚
îÅ‚ÉÅ"
ðÅ‚ ûÅ‚
t
!#0 !#t
É
( )
1 cos ÉÅ"t
po podstawieniu granic całkowania otrzymujemy -
É É
Ostatecznie rozwiązanie (7.75) będzie wyglądać następująco:
Po
( ( ))
q(t) = Å" 1 - cos ÉÅ"t (7.78)
2
mÅ"É
2
Z uwagi na znanÄ… zależność mÅ"É = k rozwiÄ…zanie to można przepisać jako
( ( ))
q(t) = ´stÅ" 1 - cos ÉÅ"t (7.79)
Po
gdzie wielkość ´st = oznacza statyczne przemieszczenie pod dziaÅ‚aniem siÅ‚y Po
k
Przebieg drgań opisanych zależnością (7.78) można zilustrować przykładowym wykresem
2Å"´st
´st
Czas t
W przypadku gdy drgania wymuszone są siłą harmoniczną ( ) obliczamy
P(t) = PoÅ"sin ÅšÅ"t
Po
( )
f(t) = Å"sin ÅšÅ"t (7.80)
m
a następnie z zależności (7.75) otrzymujemy
t
#
Po #t
1
(- )Å‚Å‚ Po ( ) (- )Å‚Å‚ ( )
Å"õÅ‚ sin t Ä Å"sin ÅšÅ"Ä dÄ = Å" sin t Ä ÅšÅ"Ä dÄ
õÅ‚
îÅ‚ÉÅ" îÅ‚ÉÅ"
ðÅ‚ ûÅ‚Å" ðÅ‚ ûÅ‚Å"sin
õÅ‚
m !#0
É mÅ"É
!#0
______________________________________________________________________________________________
2005-03-31 Politechnika Częstochowska Katedra Mechaniki Technicznej Dr inż.S.Labocha
Przemieszczenie
 Mechanika budowli
______________________________________________________________________________________________56
wykorzystując zależność trygonometryczną
1
(Ä…) ( ) ( (Ä… )- (Ä… ))
sin Å"sin ² = Å" cos - ² cos + ² (7.81)
2
wyrażenie podcałkowe przybierze postać
1
(- )Å‚Å‚ ( ) (- )- (- )
sin t Ä ÅšÅ"Ä = Å" cos t Ä ÅšÅ"Ä - cos t Ä + ÅšÅ"Ä
îÅ‚ÉÅ" îÅ‚ îÅ‚ÉÅ" Å‚Å‚ îÅ‚ÉÅ" Å‚Å‚ Å‚Å‚
ðÅ‚ ûÅ‚Å"sin ðÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ûÅ‚
2
porzÄ…dkujÄ…c uzyskujemy
1
( ) ( )
Å" cos É + Åš Å"Ä + ÉÅ"t - cos Åš - É Å"Ä + ÉÅ"t (7.82)
îÅ‚ îÅ‚- Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ Å‚Å‚
ðÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ûÅ‚
2
korzystając z addytywnych własności całek oba wyrażenia całkujemy oddzielnie przez podstawienie
dx
-( ) skÄ…d dÄ = -
É + Åš Å"Ä + ÉÅ"t = x
Åš + É
(7.83)
dx
( - É Å"Ä + ÉÅ"t = x skÄ…d dÄ =
)
Åš
Åš - É
wówczas
t
#-ÅšÅ"t
#
1
( )
cos É + Åš Å"Ä + ÉÅ"t dÄ = - Å"õÅ‚ cos(x) dx
õÅ‚
îÅ‚- Å‚Å‚
ðÅ‚ ûÅ‚
!#
!#0
Åš + É
ÉÅ"t
(7.84)
t
#ÅšÅ"t
#
1
( )
cos Åš - É Å"Ä + ÉÅ"t dÄ = Å"õÅ‚ cos(x) dx
õÅ‚
îÅ‚ Å‚Å‚
ðÅ‚ ûÅ‚
!#
!#0
Åš - É
ÉÅ"t
#
õÅ‚
ponieważ cos(x) dx = sin(x) po podstawieniu granic całkowania otrzymuje się
õÅ‚
!#
poniższą postać całek (7.84)
#-ÅšÅ"t
1 1 1
( (-ÅšÅ"t sin ÉÅ"t =
)- ( )) ( ( ) ( ))
- Å"õÅ‚ cos(x) dx = - Å" sin Å" sin ÅšÅ"t + sin ÉÅ"t
!#
Åš + É Åš + É Åš + É
ÉÅ"t
#ÅšÅ"t
1 1
( ( )- ( ))
Å"õÅ‚ cos(x) dx = Å" sin ÅšÅ"t sin ÉÅ"t
!#
Åš - É Åš - É
ÉÅ"t
______________________________________________________________________________________________
2005-03-31 Politechnika Częstochowska Katedra Mechaniki Technicznej Dr inż.S.Labocha
 Mechanika budowli
______________________________________________________________________________________________57
wykorzystując te rozwiązania można teraz zapisać wyrażenie (7.82) jako
1 1 1
îÅ‚
( ( ) ( ))- ( ( )- sin ÉÅ"t
( ))Å‚Å‚
Å" Å" sin ÅšÅ"t + sin ÉÅ"t Å" sin ÅšÅ"t (7.85)
ïÅ‚ śł
2
Åš + É Åš - É
ðÅ‚ ûÅ‚
Po dokonaniu prostych przekształceń otrzymujemy
É Åš
ëÅ‚sin
( )- ( )öÅ‚
Å" ÅšÅ"t Å"sin ÉÅ"t (7.86)
ìÅ‚ ÷Å‚
2 2
É
íÅ‚ Å‚Å‚
É - Åš
Wykorzystując (7.86) rozwiązanie równania ruchu będzie miało postać
Po É
Åš
îÅ‚ ëÅ‚sin
( )- ( )öÅ‚Å‚Å‚
q(t) = Å" Å" ÅšÅ"t Å"sin ÉÅ"t (7.87)
ìÅ‚ ÷łśł
ïÅ‚
2 2
mÅ"É É
Å‚Å‚ûÅ‚
ðÅ‚É - Åš íÅ‚
Można je przepisać w następującej postaci
Po 1
Åš
ëÅ‚sin
( )- ( )öÅ‚
q(t) = Å" Å" ÅšÅ"t Å"sin ÉÅ"t (7.88)
ìÅ‚ ÷Å‚
2 2
É
íÅ‚ Å‚Å‚
mÅ"É Åš
1 -
2
É
Pierwszy człon w nawiasie opiseje drgania z częstością siły wymuszające, drugi z częstością
własną. Te drugie drgania wraz z upływającym czasem będą w rzeczywistości zanikać.
Interesujący jest przypadek gdy częstość siły wymuszjącej jest równa częstości drgań własnych.
Z uwagi na nieoznaczonÄ… wartość (7.88) dla Åš=É należy wyznaczyć wartość granicznÄ…
Åš
( )- ( )
sin ÅšÅ"t Å"sin ÉÅ"t
É
lim (7.89)
2
ÅšÉ
Åš
1 -
2
É
Obliczając granicę wyrażenia (7.89) otrzymujemy
1 1
( ) ( ) ( ) ( )
cos ÅšÅ"t Å"t - Å"sin ÉÅ"t cos ÉÅ"t Å"t - Å"sin ÉÅ"t
É É
lim =
-2
-2Å"Åš
ëÅ‚ öÅ‚
ÅšÉ
ìÅ‚ ÷Å‚
É
2
É
íÅ‚ Å‚Å‚
Åš É
Ostatecznie równanie (7.88) dla = będzie opisane funkcją
Po É
1
ëÅ‚cos
( ) ( )öÅ‚
q(t) = Å" Å" ÉÅ"t Å"t - Å"sin ÉÅ"t (7.90)
ìÅ‚ ÷Å‚
2
-2
É
íÅ‚ Å‚Å‚
mÅ"É
______________________________________________________________________________________________
2005-03-31 Politechnika Częstochowska Katedra Mechaniki Technicznej Dr inż.S.Labocha
 Mechanika budowli
______________________________________________________________________________________________58
Przykładowy przebieg drgań zilustrowano na rysunku poniżej
Czas t
Widać stąd, że drgania narastają nieograniczenie. W rzeczywistości przebieg będzie nieco inny, gdyż
przy dużych deformacjach zagadnienie przestaje być liniowe a ponadto występuje tłumienie. Niemniej
amplitudy drgań będą bardzo duże i mogą doprowadzić do zniszczenia lub uszkodzenia konstrukcji.
Wracając do wyrażenia (7.88) można w przypadku drgań wyłącznie pod wpływem siły harmonicznej
zapisać je następująco
( )
q(t) = ´stÅ"²Å"sin ÅšÅ"t (7.91)
Po
gdzie ´st = przemieszczenie statyczne wywoÅ‚ane
2
amplitudą siły wymuszającej
mÅ"É
1 1
współczynnik (7.92)
² = =
2 2 dynamiczny
Åš 1 - ·
1 -
Åš
2
· =
É
É
______________________________________________________________________________________________
2005-03-31 Politechnika Częstochowska Katedra Mechaniki Technicznej Dr inż.S.Labocha
Przemieszczenie
 Mechanika budowli
______________________________________________________________________________________________59
Wykres współczynnika dynamicznego przedstawiono poniżej
8
0.8 1.2
7.5
7
6.5
6
5.5
5
4.5
( )
² · 4
3.5
3
²(0.8)
2.5
²(1.2)
2
1.5
1
0.5
0
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
·
WartoÅ›ci szczególne ²(0.8) = 2.778 ²(1.2) = 2.273
______________________________________________________________________________________________
2005-03-31 Politechnika Częstochowska Katedra Mechaniki Technicznej Dr inż.S.Labocha
 Mechanika budowli
______________________________________________________________________________________________60
7.4 Drgania wymuszone tłumione.
Równanie ruchu układu opisuje równanie:
d2 q d q
mÅ" + cÅ" + kÅ"q = P(t) (7.93)
d t2 d t
Po przekształceniu do wygodniejszej postaci matematycznej będzie wyglądać
d2 q d2 q
2
+ 2Å"rÅ" + É Å"q = f(t) (7.94)
d t2 d t2
P(t) k c
2
gdzie f(t) = É = 2Å"r = (7.95)
m m m
Rozwiązania równania (7.94) poszukujemy metodą tranformacji Laplace'a:
ëÅ‚ öÅ‚
d2 q d q
2
ìÅ‚ ÷Å‚
L + 2Å"rÅ" + É Å"q = L(f(t)) (7.96)
ìÅ‚ d t ÷Å‚
d t2
íÅ‚ Å‚Å‚
Korzystając z zależności (7.34) po uwzględnieniu warunków początkowych:
ëÅ‚ öÅ‚
d2 q(t) d q(0)
ìÅ‚ ÷Å‚
L = s2Å"Q(s) - sÅ"q(0) - = s2Å"Q(s) - sÅ"qo - vo
ìÅ‚ ÷Å‚ d t
d t2
íÅ‚ Å‚Å‚
dÅ"q(t)
ëÅ‚ öÅ‚
L = sÅ"Q(s) - q(0) = sÅ"Q(s) - qo
ìÅ‚ ÷Å‚
dÅ"t
íÅ‚ Å‚Å‚
zapisujemy równanie (7.96) jako
2
s2Å"Q(s) - sÅ"qo - vo + 2Å"rÅ" sÅ"Q(s) - qo + É Å"Q(s) = F(s) skÄ…d
( )
sÅ"qo + 2Å"rÅ"qo + vo + F(s)
Q(s) =
(7.97)
2
s2 + 2Å"rÅ"s + É
i dalej
s + r 1 F(s)
(7.98)
Q(s) = qoÅ" + rÅ"qo + vo Å" +
( )
2 2 2
s2 + 2Å"rÅ"s + É s2 + 2Å"rÅ"s + É s2 + 2Å"rÅ"s + É
Dokonując na równaniu (7.98) odwrotnej transformacji Laplace'a, przy wykorzystaniu twierdzenia
o splocie funkcji, znajdujemy poszukiwane równanie ruchu
t
#
(- ) ()
q(t) = qo(t) + g t Ä Å"f Ä dÄ (7.99)
õÅ‚
!#0
______________________________________________________________________________________________
2005-03-31 Politechnika Częstochowska Katedra Mechaniki Technicznej Dr inż.S.Labocha
 Mechanika budowli
______________________________________________________________________________________________61
É
gdzie qo(t) w zależności od proporcji r do jest opisane przez
prawe strony równań (7.36), (7.37) lub (7.50); zależność ta
przedstawia całką ogólną równania (7.94)
natomiast całka w wyrażeniu (7.99) reprezentująca całkę szczególną równania (7.94), określona została
na podstawie twierdzenia Borela o splocie funkcji
- dla pierwszej funkcji
1
2 2
( )
g(t) = Å"e-rÅ"tÅ"sin É - r2Å"t dla r2 < É
2
É - r2
1
-1 ëÅ‚ öÅ‚
2
L
ìÅ‚ ÷Å‚ dla r2 = É
"! g(t) = tÅ"e-rÅ"t
2
s2 + 2Å"rÅ"s + É
íÅ‚ Å‚Å‚
1
2 2
( )
g(t) = Å"e-rÅ"tÅ"sinh r2 - É Å"t dla r2 > É
2
r2 - É
-1
- dla drugiej funkcji L (F(s)) = f(t)
- dla splotu funkcji
t
#
1
-1 ëÅ‚ öÅ‚ -1
(- ) ()
L Å"F(s) = L (G(s)Å"F(s)) = g t Ä Å"f Ä dÄ
õÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
2
!#0
s2 + 2Å"rÅ"s + É
íÅ‚ Å‚Å‚
´-Diraca, jest wiÄ™c funkcjÄ… wpÅ‚ywu (funkcjÄ… Greena).
Funkcja g(t) jest reakcją układu na impuls
Jej tansformata G(s) jest tzw. operatorową funkcją przejścia (transmitacją). Jeśli założyć zerowe
warunki początkowe, to równanie (7.98) będzie wyglądało
1
Q(s) = Å"F(s) = G(s)Å"F(s) (7.100)
2
s2 + 2Å"rÅ"s + É
2
W dalszej części ograniczamy rozważania do przypadku opisującegu ruch oscylacyjny
r2 < É
2
W tym przypadku możemy zapisać po uwzglÄ™dnieniu, że - r2 = Éd
É
1
g(t) = Å"e-rÅ"tÅ"sin ÉdÅ"t (7.101)
( )
Éd
i wówczas wyrażenie (7.99) będzie miało postać
t
#
1
( )
(- )Å‚Å‚ ()
q(t) = qo(t) + Å" e-rÅ"t-ÄÅ"sin t Ä Ä dÄ
õÅ‚
îÅ‚
ðÅ‚ÉdÅ" ûÅ‚Å"f (7.102)
Éd !#0
______________________________________________________________________________________________
2005-03-31 Politechnika Częstochowska Katedra Mechaniki Technicznej Dr inż.S.Labocha
 Mechanika budowli
______________________________________________________________________________________________62
gdzie całka ogólna opisana jest zależnością (7.50)
rÅ"qo + vo
( )sin ÉdÅ"t
îÅ‚
qo(t) = e-rÅ"tÅ" qoÅ"cos ÉdÅ"t + Å" (7.103)
( ) ( )Å‚Å‚
ïÅ‚ śł
Éd
ðÅ‚ ûÅ‚
jeśli założymy zerowe warunki początkowe, lub uwzględnimy, iż drgania opisane przez (7.103)
reprezentują zanikający proces przejściowy równanie (7.102) uprości się do postaci
t
#
1
( )
(- )Å‚Å‚ () (7.104)
q(t) = Å" e-rÅ"t-ÄÅ"sin t Ä Ä dÄ
õÅ‚
îÅ‚
ðÅ‚ÉdÅ" ûÅ‚Å"f
Éd !#0
Odpowiedz
układu będzie teraz zależeć już tylko od postaci wymuszenia. Zakładając
Po
P(t) = Po = const a stÄ…d f(t) =
m
Po t
#
( )
(- )Å‚Å‚
otrzymujemy q(t) = Å" e-rÅ"t-ÄÅ"sin t Ä dÄ (7.105)
õÅ‚
îÅ‚
ðÅ‚ÉdÅ" ûÅ‚
mÅ"Éd !#0
Po wykonaniu całkowania uzyskujemy
Po
r
ëÅ‚1
q(t) = Å" - e-rÅ"tÅ"cos ÉdÅ"t - e-rÅ"tÅ" Å"sin ÉdÅ"t (7.106)
( ) ( )öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
2
Éd
mÅ"É íÅ‚ Å‚Å‚
Przykładowy obraz drgań opisanych wzorem (7.106) przedstawiono poniżej
´st
Czas t
______________________________________________________________________________________________
2005-03-31 Politechnika Częstochowska Katedra Mechaniki Technicznej Dr inż.S.Labocha
Przemieszczenie
 Mechanika budowli
______________________________________________________________________________________________63
Przejdziemy obecnie do rozpatrzenia przejścia sygnału sinusoidalnego, czyli funkcji wymuszenia
opisanej zależnością
Po
( ) czyli ( )
P(t) = PoÅ"sin ÅšÅ"t f(t) = Å"sin ÅšÅ"t
m
Rozwiązane będzie teraz przedstawione równaniem
Po t
#
( )
(- )Å‚Å‚ ( ) (7.107)
q(t) = Å" e-rÅ"t-ÄÅ"sin Å" t Ä ÅšÅ"Ä dÄ
õÅ‚
îÅ‚É
d
ðÅ‚ ûÅ‚Å"sin
mÅ"Éd !#0
Po obliczeniu całki otrzymujemy wyrażenie
Po
( )
sin ÅšÅ"t - 
q(t) = Å" ...
2
2
mÅ"É 2 2
ëÅ‚
ìÅ‚1 - Åš öÅ‚ Åš r2
÷Å‚
+ 4Å" Å"
2 2 2
ìÅ‚ ÷Å‚
É É É
íÅ‚ Å‚Å‚
2 2
( ) (7.108)
2Å"rÅ"ÉdÅ"cos ÉdÅ"t + sin ÉdÅ"t Å" Åš - É + 2Å"r2
PoÅ"ÅšÅ"e-rÅ"t
( ) ( )
+ Å"
2
mÅ"Éd
2 2 2
( )
É - Åš + 4Å"Åš Å"r2
2Å"rÅ"Åš
gdzie tan = natomiast pozostałe oznaczenia jak poprzednio
2 2
É - Åš
W rozwiązaniu (7.108) pierwszy człon opisuje proces stacjonarnych drgań z częstością siły
wymuszającej, natomiast człon drugi opisuje zanikające drgania odbywające się z częstością
drgań własnych tłumionych. Po pewnym czasie drgania te zupełnie zanikają i ruch odbywa się
wyłącznie według zależności opisanej pierwszym członem. Przykładowy obraz drgań poniżej
´st
Czas t
______________________________________________________________________________________________
2005-03-31 Politechnika Częstochowska Katedra Mechaniki Technicznej Dr inż.S.Labocha
Przemieszczenie
 Mechanika budowli
______________________________________________________________________________________________64
Korzystając z wyciągniętych już wniosków można uzyskać rozwiązanie dotyczące wymuszenia
harmonicznego w dowolnej postaci na drodze uproszczonej. W tym celu poszukujemy wyłącznie
stacjonarnego rozwiązania równania (7.93) pod obciążeniem w postaci
( ) ( )
P(t) = Po1Å"cos ÅšÅ"t + Po2Å"sin ÅšÅ"t (7.109)
Poszukujemy więc całki szczególnej równania
Po1 Po2
d2 q d q
2
( ) ( )
+ 2Å"r + É Å"q = Å"cos ÅšÅ"t + Å"sin ÅšÅ"t (7.110)
m m
d t2 d t
( ) ( )
RozwiÄ…zanie zakÅ‚adamy w postaci q(t) = AÅ"cos ÅšÅ"t + BÅ"sin ÅšÅ"t
gdzie A,B dowolne stałe
ObliczajÄ…c pochodne uzyskujemy
d2Å"q d q
2 2
( )- ( ) -AÅ"ÅšÅ"sin ÅšÅ"t + BÅ"ÅšÅ"cos ÅšÅ"t
( ) ( )
= -AÅ"Åš Å"cos ÅšÅ"t BÅ"Åš Å"sin ÅšÅ"t =
d t
dÅ"t2
Po podstawieniu do (7.110) otrzymujemy równanie
Po1 Po2
2 2
( )
( )- ( ) ( ) ( )
-AÅ"Åš Å"cos ÅšÅ"t BÅ"Åš Å"sin ÅšÅ"t ... = Å"cos ÅšÅ"t + Å"sin ÅšÅ"t
m m
(-AÅ"ÅšÅ"sin ÅšÅ"t + BÅ"ÅšÅ"cos ÅšÅ"t ...
( ) ( ))
+ 2Å"rÅ"
2
( ( ) ( ))
+ É Å" AÅ"cos ÅšÅ"t + BÅ"sin ÅšÅ"t
Zależność powyższa musi być spełniona dla dowolnej chwili t, muszą więc zachodzić związki
Po1
2 2
-AÅ"Åš + 2Å"rÅ"BÅ"Åš + É Å"A =
m
(7.111)
Po2
2 2
-BÅ"Åš - 2Å"rÅ"AÅ"Åš + É Å"B =
m
Rozwiązując ten układ równań względem A i B uzyskujemy
Po1 2 2 Po2
( )
Å" É - Åš - Å"2Å"rÅ"Åš
m m
A =
2
2 2 2
( )
É - Åš + 4Å"r2Å"Åš
(7.112)
Po2 2 2 Po1
( )
Å" É - Åš + Å"2Å"rÅ"Åš
m m
B =
2
2 2 2
( )
É - Åš + 4Å"r2Å"Åš
______________________________________________________________________________________________
2005-03-31 Politechnika Częstochowska Katedra Mechaniki Technicznej Dr inż.S.Labocha
 Mechanika budowli
______________________________________________________________________________________________65
Rozwiązanie przybiera więc postać
Po1 2 2 Po2 Po2 2 2 Po1
( ) ( )
Å" É - Åš - Å"2Å"rÅ"Åš Å" É - Åš + Å"2Å"rÅ"Åš
m m m m
( ) ( )
q(t) = Å"cos ÅšÅ"t + Å"sin ÅšÅ"t
2 2
2 2 2 2 2 2
( ) ( )
É - Åš + 4Å"r2Å"Åš É - Åš + 4Å"r2Å"Åš
Podstawiając nowe stałe wg wzorów
2 2
É - Åš = CÅ"cos
(7.113)
2Å"ÅšÅ"r = CÅ"sin
funkcję opisującą ruch można przedstawić jako
Po1 Po2
( ( ) ( )) (-CÅ"sinÅ"cos ÅšÅ"t + CÅ"cosÅ"sin ÅšÅ"t
( ) ( ))
Å" CÅ"cosÅ"cos ÅšÅ"t + CÅ"sinÅ"sin ÅšÅ"t + Å"
m m
q(t) =
2
2 2 2
( )
É - Åš + 4Å"r2Å"Åš
i dalej wykorzystując znane zależności trygonometryczne jako
Po1 CÅ"cos ÅšÅ"t -  Po2 CÅ"sin ÅšÅ"t - 
( ) ( )
q(t) = Å" + Å" (7.114)
2 2
m m
2 2 2 2 2 2
( ) ( )
É - Åš + 4Å"r2Å"Åš É - Åš + 4Å"r2Å"Åš
Z zależności (7.113) można wyznaczyć związki między stałymi
2Å"ÅšÅ"r
tan =
2 2
É - Åš
(7.115)
2
2 2 2
( )
C = É - Åš + 4Å"r2Å"Åš
Wykorzystując drugie z wyrażeń (7.115) rozwiązanie (7.114) zapiszemy w formie
Po1 cos ÅšÅ"t -  Po2 sin ÅšÅ"t - 
( ) ( )
q(t) = Å" + Å" (7.116)
m m
2 2
2 2 2 2 2 2
( ) ( )
É - Åš + 4Å"r2Å"Åš É - Åš + 4Å"r2Å"Åš
______________________________________________________________________________________________
2005-03-31 Politechnika Częstochowska Katedra Mechaniki Technicznej Dr inż.S.Labocha
 Mechanika budowli
______________________________________________________________________________________________66
WyciÄ…gajÄ…c nastÄ™pnie z mianownika É otrzymamy
Po1 Po2
( ) ( )
cos ÅšÅ"t -  sin ÅšÅ"t - 
q(t) = Å" + Å" (7.117)
2 2
2 2
mÅ"É 2 2 mÅ"É 2 2
ëÅ‚ ëÅ‚
ìÅ‚1 - Åš öÅ‚ r2 Åš ìÅ‚1 - Åš öÅ‚ r2 Åš
÷Å‚ ÷Å‚
+ 4Å" Å" + 4Å" Å"
2 2 2 2 2 2
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
É É É É É É
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
Po1 Po2
Jeśli zauważymy, że wyrażenia , przedstawiają przemieszczenia wywołane
2 2
mÅ"É mÅ"É
statycznym działaniem amplitud sił wymuszających, oraz wprowadzimy pomocnicze wielkości
Åš r
= · oraz = ¾ (7.118)
É É
będzie można rozwiązanie (7.117) zapisać w skróconej formie
( ) ( )
q(t) = ´st1Å"²Å"cos ÅšÅ"t -  + ´st2Å"²Å"sin ÅšÅ"t -  (7.119)
Po1 Po2
gdzie ´st1 = ´st2 =
(7.120)
2 2
mÅ"É mÅ"É
1
² = współczynnik zwielokrotnienia
2
(7.121)
amplitudy - jako współczynnik
2 2 2
( )
1 - · + 4Å"¾ Å"·
dynamiczny
______________________________________________________________________________________________
2005-03-31 Politechnika Częstochowska Katedra Mechaniki Technicznej Dr inż.S.Labocha
 Mechanika budowli
______________________________________________________________________________________________67
Wykres współczynnika dynamicznego przedstawiono poniżej
6
1 2
5.5
5
4.5
4
( )
² ·
( )
² ·,0.1
3.5
( )
² ·,0.2
( )
² ·,0.3
( ) 3
² ·,0.4
( )
² ·,0.5
( )
² ·,0.6
2.5
ëÅ‚·, 1öÅ‚
²
ìÅ‚ ÷Å‚
2
íÅ‚ Å‚Å‚
2
1.5
1
1
0.5
0
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
·
______________________________________________________________________________________________
2005-03-31 Politechnika Częstochowska Katedra Mechaniki Technicznej Dr inż.S.Labocha
 Mechanika budowli
______________________________________________________________________________________________68
·
Rezonansowa wartość współczynnika dynamicznego, czyli dla =1 wynosi
1 1 1
lim ² = lim = =
2 2 2Å"¾
·1 ·1
2
2 2 2
( )
( )
1 - 12 + 4Å"¾ Å"12
1 - · + 4Å"¾ Å"·
Nie jest to jednak wielkość maksymalna jaką osiąga współczynnik dynamiczny. Ekstremum
wyznaczymy obliczajÄ…c pochodnÄ…
1 -1
2
d
îÅ‚-4Å" 2 Å‚Å‚
( )
= Å" 1 - · Å"· + 8Å"¾ Å"·
ðÅ‚ ûÅ‚
3
2
d·
2 2 2
( )
1 - · + 4Å"¾ Å"·
2
2
îÅ‚ Å‚Å‚
2 2 2
( )
2Å" 1 - · + 4Å"¾ Å"·
ðÅ‚ ûÅ‚
Miejsca zerowe tej funkcji znajdziemy przyrównując licznik do zera
2 2
( )
-4Å" 1 - · Å"· + 8Å"¾ Å"· = 0
2 2
skÄ…d znajdujemy · = 1 - 2Å"¾
1
2
dla ¾ < · = 1 - 2Å"¾ (7.122)
2
podstawiając tę wartość do zależności opisującej współczynnik dynamiczny uzyskujemy
1 1
²max = =
(7.123)
2 2
2 2
2Å"¾Å" 1 - ¾
îÅ‚1 - 1 - 2Å"¾2 Å‚Å‚
( )ûÅ‚ ( )
+ 4Å"¾ Å" 1 - 2Å"¾
ðÅ‚
Poniżej graficzny obraz zależności (7.123)
10
1
5
2
2Å"¾Å" 1-¾
0
0 0.2 0.4 0.6 0.8
¾
______________________________________________________________________________________________
2005-03-31 Politechnika Częstochowska Katedra Mechaniki Technicznej Dr inż.S.Labocha
 Mechanika budowli
______________________________________________________________________________________________69
Przykład 7.13
Belka swobodnie podparta o rozpiętości 2a obciążona jest maszyną o masie m, oddziaływującą
dynamicznie na konstrukcję. Siłę P(t) zmienną w czasie opisuje zależność:
( )
P(t) = PoÅ"sin ÅšÅ"t
Układ konstrukcyjny charakteryzuje się tłumieniem opisanym logarytmicznym dekrementem
"
tłumienia . Obliczyć współczynnik dynamiczny oraz maksymalne ugięcia i naprężenia w belce.
P(t)
m
EI
q
a a
Pominąć wpływ masy własnej belki, ale uwzględnić różne częstości sił wymuszających.
Dane:
- parametry sztywnoÅ›ci belki wsporczej E = 205Å"GPa I = 3690Å"cm4
- parametry wytrzymaÅ‚oÅ›ciowe W = 389Å"cm3 fd = 235MPa
- rozpiÄ™tość a = 250Å"cm L = 2Å"a
- dekrement tłumienia " = 0.06
- masa maszyny m = 1150Å"kg
- amplituda siÅ‚y wymuszajÄ…cej Po = 25Å"kN
rad rad rad
- czÄ™stoÅ›ci siÅ‚y wymuszajÄ…cej Åš1 = 40Å" Åš2 = 49Å" Åš3 = 60Å"
s s s
RozwiÄ…zanie:
Moment zginający wywołany ciężarem własnym maszyny i siłą Po działającą statycznie (czyli
tak gdyby była siłą stałą niezależną od czasu)
Po + mÅ"g Å"L
( )
M = M = 45.347kNm
4
Naprężenia maksymalne w belce
M
à = à = 116.573 MPa à < fd
W
______________________________________________________________________________________________
2005-03-31 Politechnika Częstochowska Katedra Mechaniki Technicznej Dr inż.S.Labocha
 Mechanika budowli
______________________________________________________________________________________________70
Ugięcie belki od sił działających statycznie
Po + mÅ"g Å"L3
( )
L
qst = qst = 1.249cm < = 2.5 cm
48Å"EÅ"I 200
48Å"EÅ"I N
Sztywność belki k = k = 2904768
m
L3
k
CzÄ™stość drgaÅ„ wÅ‚asnych belki É = É = 50.258 s-1
m
Åš1
Stosunki czÄ™stoÅ›ci ·
·1 = ·1 = 0.796
É
Åš2
·2 = ·2 = 0.975
É
Åš3
·3 = ·3 = 1.194
É
"Å"É
Współczynnik tłumienia r = r = 0.48s-1
2 2
4Ä„ + "
r
Bezwymiarowy współczynnik tÅ‚umienia ¾ = ¾ = 0.01
É
Współczynniki dynamiczne z uwzglÄ™dnieniem tÅ‚umienia ²d oraz bez tÅ‚umienia ²
1 1
²d1 = ²d1 = 2.726 ²1 = ²1 = 2.728
2
2
2 2 2 1 - ·1
1
(- ·1 + 4Å"¾ Å"·1
)
1 1
²d2 = ²d2 = 18.928 ²2 = ²2 = 20.226
2
2
2 2 2 1 - ·2
1
(- ·2 + 4Å"¾ Å"·2
)
1 1
²d3 = ²d3 = 2.348 ²3 = ²3 = 2.352
2
2
2 2 2 1 - ·3
1
(- ·3 + 4Å"¾ Å"·3
)
Można zauważyć iż w obszarze pozarezonansowym wpływ tłumienia jest praktycznie
niezauważalny. Wyraz
ne obniżenie wartości współczynnika dynamicznego występuje
tylko w obszarze bezpośredniego sąsiedztwa rezonansu.
______________________________________________________________________________________________
2005-03-31 Politechnika Częstochowska Katedra Mechaniki Technicznej Dr inż.S.Labocha
 Mechanika budowli
______________________________________________________________________________________________71
Ugięcia i naprężenia dynamiczne dla kolejnych częstości wymuszenia
PoÅ"²d1 + mÅ"g Å"L3 PoÅ"²1 + mÅ"g Å"L3
( ) ( )
qd1 = qd1 = 2.734cm q1 = q1 = 2.736 cm
48Å"EÅ"I 48Å"EÅ"I
PoÅ"²d2 + mÅ"g Å"L3 PoÅ"²2 + mÅ"g Å"L3
( ) ( )
qd2 = qd2 = 16.679cm q2 = q2 = 17.796 cm
48Å"EÅ"I 48Å"EÅ"I
PoÅ"²d3 + mÅ"g Å"L3 PoÅ"²3 + mÅ"g Å"L3
( ) ( )
qd3 = qd3 = 2.409cm q3 = q3 = 2.412 cm
48Å"EÅ"I 48Å"EÅ"I
PoÅ"²d1 + mÅ"g Å"L PoÅ"²1 + mÅ"g Å"L
( ) ( )
Ãd1 = Ãd1 = 255.209MPa Ã1 = Ã1 = 255.397MPa
4Å"W 4Å"W
PoÅ"²d2 + mÅ"g Å"L PoÅ"²2 + mÅ"g Å"L
( ) ( )
Ãd2 = Ãd2 = 1556.799MPa Ã2 = Ã2 = 1661.051MPa
4Å"W 4Å"W
PoÅ"²d3 + mÅ"g Å"L PoÅ"²3 + mÅ"g Å"L
( ) ( )
Ãd3 = Ãd3 = 224.882MPa Ã3 = Ã3 = 225.153MPa
4Å"W 4Å"W
Widać z powyższego, iż w drugim przypadku, bez względu nawet na uwzględnienie tłumienia,
wartości naprężeń bardzo znacząco przekraczają nie tylko przyjętą wytrzymałość dopuszczalną
dla materiału belki, ale również dla najwyżych jakości stali budowlanych. Wartości towarzyszących
im przemieszczeń osiągnęłyby abstrakcyny poziom, przekraczający założenia analizy liniowej
L L
= 16.667 cm >> = 2.5 cm
30 200
______________________________________________________________________________________________
2005-03-31 Politechnika Częstochowska Katedra Mechaniki Technicznej Dr inż.S.Labocha