Mechanika budowli
______________________________________________________________________________________________19
4. Analiza drgań harmonicznych
Do matematycznego opisu wszelkiego rodzaju zjawisk okresowych doskonale nadajÄ… siÄ™
szeregi trygonometryczne. Ruch okresowy nieharmoniczny można zastąpić skończoną sumą lub
nieskończonym szeregiem drgań harmonicznych. W pierwszym przypadku uzyskamy opis
przybliżony ruchu. Rozkład funkcji o okresie T, spełniającej warunki Dirichleta (znane z kursu
matematyki) polega na rozwinięciu w szereg Fouriera:
ao "
q(t) = + anÅ"cos nÅ"ÉÅ"t + bnÅ"sin nÅ"ÉÅ"t (4.1)
"( ( ) ( ))
2
n = 1
T
#
2
gdzie ao = Å" q(t) dt
õÅ‚
T !#0
T
#
2 2Ä„
ëÅ‚nÅ" öÅ‚dt
an = Å"õÅ‚ q(t)Å"cos Å"t (4.2)
ìÅ‚ ÷Å‚
õÅ‚
T T
íÅ‚ Å‚Å‚
!#0
T
#
2 2Ä„
ëÅ‚nÅ" öÅ‚dt
bn = Å"õÅ‚ q(t)Å"sin Å"t n = 1 ,2 .. "
ìÅ‚ ÷Å‚
õÅ‚
T T
íÅ‚ Å‚Å‚
!#0
Kolejne wyrazy szeregu Fouriera opisują n-te harmoniczne drgań okresowych. Charakteryzuje
się je zbiorem par liczb: kolejnych częstości kołowych oraz kwadratów odpowiadających im
amplitud, otrzymujÄ…c tzw. widmo funkcji
.....
(É1,A12) (É2,A22) (ÉN,AN2) An2 = an2 + bn2 (4.3)
Małe amplitudy wyższych harmonicznych zazwyczaj pomija się, a funkcję w zależności od
żądanej dokładności przedstawia się w postaci
ao N
2Ä„ 2Ä„
n = 1 ,2 .. N q(t) = + Å"cos Å"t bnÅ"sin Å"t (4.4)
ìÅ‚an ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚÷Å‚
"ëÅ‚ ëÅ‚nÅ" öÅ‚+ ëÅ‚nÅ" öÅ‚öÅ‚
2 T T
íÅ‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚Å‚Å‚
n = 1
Wykres widma funkcji sporządzamy w ten sposób, iż na osi odciętych nanosimy punkty
Én
odpowiadające w pewnej skali częstością i w każdym takim punkcie wystawiamy pionowy
odcinek o długości proporcjonalnej do wielkości An2. Tak otrzymany wykres nazywa się
spektrogramem analizowanej funkcji q(t).
______________________________________________________________________________________________
2005-03-05 Politechnika Częstochowska Katedra Mechaniki Technicznej Dr inż.S.Labocha
 Mechanika budowli
______________________________________________________________________________________________20
Przykład 4.1
Wyznaczyć widmo amplitudowo-częstotliwościowe ruchu opisanego za pomocą funkcji
3
( )
q(t) = 2Å"cos(3Å"t)2 + 2Å"cos(4Å"t) + sin(3Å"t)
Przyjęto maksymalny rząd harmonicznych równy N = 10
Zakres współczynników szeregu Fouriera n = 0 .. N
Okres funkcji T = 2Ä„
Współczynniki szeregu Fouriera obliczamy wg zależności (4.2). Z tytułu stosunkowo
rozbudowanej postaci funkcji q(t) obliczenia najlepiej przeprowadzić za pomocą jednego
z programów matematycznych np. Derive, Mathematica, MathCad. Posiłkując się
Mathcadem dla poszczególnych n otrzymujemy:
T
#
3
2 37
( )
współczynnik a0 Å"õÅ‚ 2Å"cos(3Å"t)2 + 2Å"cos(4Å"t) + sin(3Å"t) dt
!#0
T 2
T
#
3
2
ëÅ‚1Å" 2Ä„ öÅ‚dt
( )
współczynnik a1 Å"õÅ‚ 2Å"cos(3Å"t)2 + 2Å"cos(4Å"t) + sin(3Å"t) Å"cos Å"t 0
ìÅ‚ ÷Å‚
õÅ‚
T T
íÅ‚ Å‚Å‚
!#0
T
#
3
2
ëÅ‚2Å" 2Ä„ öÅ‚dt 15
( )
współczynnik a2 Å"õÅ‚ 2Å"cos(3Å"t)2 + 2Å"cos(4Å"t) + sin(3Å"t) Å"cos Å"t
ìÅ‚ ÷Å‚
õÅ‚
T T 2
íÅ‚ Å‚Å‚
!#0
.
.
.
T
#
3
2
ëÅ‚10Å" 2Ä„ öÅ‚dt 9
( )
współczynnik a10 Å"õÅ‚ 2Å"cos(3Å"t)2 + 2Å"cos(4Å"t) + sin(3Å"t) Å"cos Å"t
ìÅ‚ ÷Å‚
õÅ‚
T T 2
íÅ‚ Å‚Å‚
!#0
T
#
3
2
ëÅ‚0Å" 2Ä„ öÅ‚dt
( )
współczynnik b0 Å"õÅ‚ 2Å"cos(3Å"t)2 + 2Å"cos(4Å"t) + sin(3Å"t) Å"sin Å"t 0
ìÅ‚ ÷Å‚
õÅ‚
T T
íÅ‚ Å‚Å‚
!#0
T
#
3
2
ëÅ‚1Å" 2Ä„ öÅ‚dt
( )
współczynnik b1 Å"õÅ‚ 2Å"cos(3Å"t)2 + 2Å"cos(4Å"t) + sin(3Å"t) Å"sin Å"t -3
ìÅ‚ ÷Å‚
õÅ‚
T T
íÅ‚ Å‚Å‚
!#0
.
.
.
T
#
3
2
ëÅ‚10Å" 2Ä„ öÅ‚dt 0
( )
współczynnik b10 Å"õÅ‚ 2Å"cos(3Å"t)2 + 2Å"cos(4Å"t) + sin(3Å"t) Å"sin Å"t
ìÅ‚ ÷Å‚
õÅ‚
T T
íÅ‚ Å‚Å‚
!#0
______________________________________________________________________________________________
2005-03-05 Politechnika Częstochowska Katedra Mechaniki Technicznej Dr inż.S.Labocha
 Mechanika budowli
______________________________________________________________________________________________21
Zestawienie wszystkich obliczonych wartości współczynników oraz suma ich kwadratów
0 0 0
0 18.5 0 0 0 342.25
1 -0 1 -3 1 9
2 7.5 2 0 2 56.25
3 -0 3 8.25 3 68.062
4 18 4 0
an = bn = an + bn =
( )2 ( )2 4 324
5 -0 5 0 5 0
6 9.75 6 0 6 95.062
7 -0 7 3 7 9
8 7.5 8 0 8 56.25
9 -0 9 2 9 4
10 4.5 10 0 10 20.25
Spektrogram funkcji q(t)
400
200
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Czestosc
Wykres sygnału - funkcji q(t) oraz jej aproksymacji szeregami Fouriera przy uwzględnieniu
rzędu N=10 oraz N=4.
80
60
40
20
0
20
0 1 2 3 4 5 6
Czas t
Sygnal q(t)
Aproksymacja N=10
Aproksymacja N=4
______________________________________________________________________________________________
2005-03-05 Politechnika Częstochowska Katedra Mechaniki Technicznej Dr inż.S.Labocha
Kwadrat amplitudy
Funkcja
 Mechanika budowli
______________________________________________________________________________________________22
5. Więzi odkształcalne w układach
Podczas badania rzeczywistego układu mechanicznego, z uwagi na jego złożoność buduje
się odpowiadający mu zastępczy model fizyczny. Dokonuje się pewnych uproszczeń
pomijając te czynniki, które w konkretnym przypadku są mniej ważne, a uwzględnia się
te cechy, które odgrywają najistotniejszą rolę w badanym ruchu. Uwzględnienie odkształceń
konstrukcji powoduje komplikacje obliczeniowe. Najczęściej brane są pod uwagę sprężyste
i wiskotyczne właściwości ustrojów. W modelu obiektu reprezentują je więzi liniowo-
sprężyste i tłumiki wiskotyczne.
Więzi liniowo-sprężyste
Oznaczane najczęściej symbolem sprężyny o charakterystyce k, nazywanej sztywnością.
Sztywnością k izolowanej więzi sprężystej nazywa się stosunek uogólnionej siły czynnej P
do odpowiadającego jej uogólnionego przemieszczenia q:
P
k = (5.1)
q
Stosunek uogólnionego przemieszczenia q do odpowiadającej mu uogólnionej siły P
nazywa siÄ™ podatnoÅ›ciÄ… ´:
q
´ = (5.2)
P
Wielkości uogólnione należy traktować jako obejmujące przemieszczenia i siły zarówno
w ruchu translacyjnym jak i rotacyjnym (siła-przesunięcie, moment-obrót).
P
q
q
k
k
Prawdziwa jest zawsze poniższa zależność
kÅ"´ = 1 (5.3)
______________________________________________________________________________________________
2005-03-05 Politechnika Częstochowska Katedra Mechaniki Technicznej Dr inż.S.Labocha
 Mechanika budowli
______________________________________________________________________________________________23
Więz
liniowo-sprężysta gromadzi energię potencjalną odkształcenia, której wartość można
wyznaczyć korzystając w wykresu zależności między siłą i przemieszczeniem
P
q
dq qo
qo
#
# kÅ"qo2
õÅ‚
õÅ‚
Ep = L = P(q) dq = kÅ"q dq = (5.4)
õÅ‚
!#0
2
!#
Przykłady równoważnych parametrów więzi sprężystych w ustrojach prętowych poniżej
Schemat układu Przemieszczenie Sztywność Podatność
P
EI
3EI
P L3 k= L3
q= ´=
3EI 3EI
L3
q
L
EA P
EA
P L L
q= k= ´=
q
EA L EA
L
P
EI
48 EI
P L3 L3
q= k= ´=
48 EI 48 EI
L3
q
L/2 L/2
P
EI
P a2 b2 k= 3EI (a+b) ´= a2 b2
q=
3EI (a+b) 3EI (a+b)
a2 b2
q
a b
P
EI
P a3 b3 3EI (a+b)3 a3 b3
q= ´=
q 3EI (a+b)3 k= 3EI (a+b)3
a3 b3
a b
______________________________________________________________________________________________
2005-03-05 Politechnika Częstochowska Katedra Mechaniki Technicznej Dr inż.S.Labocha
q
k
=
P
 Mechanika budowli
______________________________________________________________________________________________24
Więzi sprężyste mogą występować w systemach złożonych, które składają się z układów
połączeń równoległych lub szeregowych. W takim przypadku niezbędne jest wyznaczenie
zastępczej wartości parametrów:
a) przy połączeniu równoległym, gdzie przemieszczenie wszystkich elementów sprężystych
jest jednakowe
k1
k2 kz
q q
P P
Siła P przenoszona jest przez wszystkie elementy jednakowo zdeformowane stąd
P = k1Å"q + k2Å"q = k1 + k2 Å"q = kzÅ"q (5.5)
( )
Dla dowolnej liczby n elementów sprężystych będzie więc
n
kz = ki (5.6)
"
i = 1
b) przy połączeniu szeregowym, gdzie przemieszczenie wypadkowe jest sumą przemieszczeń
elementów składowych, a siła oddziałująca jest jednakowa dla wszystkich składników
k2
q
1
k1
kz
q q q
2
P P
______________________________________________________________________________________________
2005-03-05 Politechnika Częstochowska Katedra Mechaniki Technicznej Dr inż.S.Labocha
 Mechanika budowli
______________________________________________________________________________________________25
Przemieszczenie całkowite jako suma składowych wynosi
P P P
ëÅ‚1 1öÅ‚
q = q1 + q2 = + = PÅ" + (5.7)
ìÅ‚k1 k2÷Å‚=
k1 k2 kz
íÅ‚ Å‚Å‚
Dla dowolnej liczby n elementów sprężystych będzie więc
n
1 1
= (5.8)
"
kz ki
i = 1
Przykład 5.1
Wyznaczyć sztywność zastępczą układu wg schematu i danych poniżej
k1
kz
m
k2
k3
EI
q
P
q
a b
N N N
Dane: -sztywnoÅ›ci sprężyn skÅ‚adowych k1 = 105Å" k2 = 2Å"105Å" k3 = 3Å"105Å"
m m m
m
- masa ciała oraz wartość przyśpieszenia ziemskiego
m = 500Å"kg g = 9.807
sec2
- parametry sztywnoÅ›ci belki wsporczej E = 205Å"GPa I = 80.1Å"cm4
- wymiary geometryczne a = 120Å"cm b = 280Å"cm
RozwiÄ…zanie:
3Å"EÅ"IÅ"(a + b)3 N
Modelowa sztywność belki k4 = k4 = 831131.56
m
a3Å"b3
Częściowa sztywność zastępcza sprężyn 2 i 3, pracujących równolegle
N
k23 = k2 + k3 k23 = 500000
m
______________________________________________________________________________________________
2005-03-05 Politechnika Częstochowska Katedra Mechaniki Technicznej Dr inż.S.Labocha
 Mechanika budowli
______________________________________________________________________________________________26
Częściowa sztywność zastępcza układu złożonego z belki i wypadkowej sprężyny 23
1
N
k234 =
k234 = 312189.863
1 1
m
+
k23 k4
N
Sztywność zastępcza całego układu kz = k1 + k234 kz = 412189.863
m
SiÅ‚a obciążajÄ…ca ukÅ‚ad P = mÅ"g P = 4903.325N
P
Wypadkowe przemieszczenie masy m q = q = 1.19 cm
kz
Więzi tłumiące
Więzi te opisują opory ruchu. Najczęściej stosowanym modelem jest tłumik wiskotyczny.
Tłumik ten charakteryzuje się parametrem c, równym stosunkowi siły uogólnionej do
odpowiadającej jej prędkości przemieszczenia.
P
.
q
P
P
c c = (5.9)
.
q
c q"
2
(
cÅ" q" )
Tłumik wiskotyczny gromadzi moc o wartości D = (5.10)
2
Oznaczenie q" przedstawia pochodną uogólnionego przemieszczenia względem czasu.
______________________________________________________________________________________________
2005-03-05 Politechnika Częstochowska Katedra Mechaniki Technicznej Dr inż.S.Labocha
 Mechanika budowli
______________________________________________________________________________________________27
6. Formułowanie równań ruchu
Metody budowy równań ruchu układów dyskretnych
" Metoda równań Lagrange'a drugiego rodzaju, stosowana dla układów opisanych zbiorem
dowolnej ilości współrzędnych uogólnionych q
" Ek "Å"D " Ep " L
d
+ + = (6.1)
" " " q " q
d t
"q "q
gdzie Ek - energia kinetyczna układu, będąca dodatnio określoną formą kwadratową
prędkości uogólnionych,
Ep - energia potencjalna układu,
D - moc dysypowana w układzie (funkcja tłumienia),
L - praca sił zewnętrznych w sensie pracy przygotowanej.
" Metoda Newtona, stosowana dla układów o niskiej liczbie stopni swobody, bazująca na
warunkach równowagi sił działających w czasie ruchu
PodstawÄ… jest drugie prawo Newtona
"prędkość zmiany pędu punktu materialnego jest równa sile działąjącej na ten punkt"
wyrażone wzorem

ëÅ‚ öÅ‚

d dq
ìÅ‚mÅ" ÷Å‚= P
(6.2)
d t d t
íÅ‚ Å‚Å‚
W przypadku zagadnień objętych mechaniką budowli można przyjąć, że masa jest stała, wtedy


d2 q
mÅ" = P (6.3)
d t2
Równanie powyższe można przepisać w postaci

P + B = 0 (6.4)


d2 q
gdzie B = -mÅ" - jest siÅ‚Ä… bezwÅ‚adnoÅ›ci dziaÅ‚ajÄ…cÄ… na punkt.
d t2
Równanie (6.4) stanowi podstawę metody kinetostatycznej w dynamice, korzystającej z
zasady d'Alemberta :
"w każdej chwili czasowej siły działające na punkt materialny wraz z siłami bewładności
spełniają warunki rónowagi".
______________________________________________________________________________________________
2005-03-05 Politechnika Częstochowska Katedra Mechaniki Technicznej Dr inż.S.Labocha
 Mechanika budowli
______________________________________________________________________________________________28
" Metoda energetyczna, stosowana dla układów zachowawczych, w których całkowita
energia w czasie ruchu pozostaje nie zmieniona, co można wyrazić jako
Ek + Ep = const (6.5)
gdzie Ek - energia kinetyczna układu,
Ep - energia potencjalna układu,
Prawdziwa będzie więc zależność
d
Ek + Ep = 0 (6.6)
( )
d t
W rezultacie zastosowania równania (6.6) uzyskuje się równania ruchu.
" Metoda sił, stosowana dla układów, dla których stosunkowo łatwo będzie wyznaczyć
współczynniki podatności. Polega na wyrażeniu uogólnionych przemieszczeń układu
poprzez siły, które na ten układ działają. Równania ruchu przyjmują postać:
n
qi = (6.7)
ðÅ‚Pj + Bj - Rj Å"´ijûÅ‚
"îÅ‚( ) Å‚Å‚
j = 1
gdzie qi - uogólnine przemieszczenie i=1,2...n.
Pj - uogólnione siły zewnętrzne,
Bj - siły bezwładności,
Rj - siły oporów ruchu,
´ij - współczynniki podatnoÅ›ci.
" Metoda przemieszczeń, stosowana dla układów, dla których stosunkowo łatwo będzie
wyznaczyć współczynniki sztywności. Polega na wyrażeniu sił uogólnionych, działających
na układ poprzez przemieszczenia punktów, do których siły są przyłożone. Równania
ruchu przybiorą postać:
n
Pi + Bi - Ri = kijÅ"qj (6.8)
"( )
j = 1
gdzie rij - współczynniki sztywności, pozostałe oznaczenia jak wyżej.
______________________________________________________________________________________________
2005-03-05 Politechnika Częstochowska Katedra Mechaniki Technicznej Dr inż.S.Labocha
 Mechanika budowli
______________________________________________________________________________________________29
7. Układy o jednym stopniu swobody
Rozważany jest następujący model obliczeniowy
S B R
c
k
m mg
q(t)
P(t) P
Po oswobodzeniu od więzów można ułożyć równanie równowagi sił rzutowanych na
kierunek pionowy (metoda Newtona):
-S - B - R + mÅ"g + P = 0 (7.1)
gdzie S = kÅ"q - siÅ‚a sprężystoÅ›ci
d2 q
B = mÅ" - siÅ‚a bezwÅ‚adnoÅ›ci (7.2)
d t2
d q
R = cÅ" - siÅ‚a oporów ruchu
d t
Po wykorzystaniu zależności (7.2) równanie (7.1) przyjmie postać
d2 q d q
mÅ" + cÅ" + kÅ"q = P + mÅ"g (7.3)
d t2 d t
mÅ"g
Siła ciężkości wywołuje przemieszczenie statyczne (7.4)
qst =
k
Przemieszczenie q jest przemieszczeniem całkowitym równym sumie składowej statycznej
i dynamicznej, co można zapisać jako
q = qst + qd (7.5)
______________________________________________________________________________________________
2005-03-05 Politechnika Częstochowska Katedra Mechaniki Technicznej Dr inż.S.Labocha
 Mechanika budowli
______________________________________________________________________________________________30
d2 qst d qst
Ponieważ = = 0 po wykorzystaniu (7.5) równanie (7.3) wygląda teraz:
d t2 d t
d2 qd d qd
mÅ" + cÅ" + kÅ"qd + kÅ"qst = P + mÅ"g
d t2 d t
Dzięki zależności (7.4) upraszcza się ono do postaci
d2 qd d qd
mÅ" + cÅ" + kÅ"qd = P
(7.6)
d t2 d t
Równanie (7.6) opisuje ruch masy m, mierzony od poziomu przemieszczenia statycznego.
Siła ciężkości nie ma na nie już wpływu. Przy obliczaniu naprężeń i przemieszczeń w układzie
należy uwzględniać jednak sumę wpływów statycznych i dynamicznych. W dalszych zapisach
celem ich uproszczenia, dla opisania przemieszczeń dynamicznych stosowany będzie zapis:
qd = q
Ostateczna postać równania ruchu
d2 q d q
mÅ" + cÅ" + kÅ"q = P (7.7)
d t2 d t
Jest to równanie różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego o stałych współczynnikach. Postać
rozwiązania zależy od postaci siły wymuszającej oraz obecności sił tłumiących. Metod rozwiązania
tego typu równań jest kilka. Jednym z najlepszych jest sposób polegający na wykorzystaniu
transformacji całkowej Laplace'a (przekształcenie Laplace'a).
Zakładamy, że wszystkie badane funkcje spełniają założenia Dirichleta. Wówczas transformata
Laplace'a F(s) (funkcja zmiennej zespolonej s) funkcji czasu f(t) (funkcja zmiennej rzeczywistej t)
może być obliczona ze wzoru:
#"
L(f(t)) = F(s) = õÅ‚ f(t)Å"e-sÅ"t dt (7.8)
!#0
Związek ten czytamy: F(s) jest transformatą Laplace'a funkcji f(t). Zbiór wszystkich funkcji f(t)
nazywamy przestrzenią oryginału a zbiór wszystkich funkcji F(s) przestrzenią obrazu. Oryginał
zawsze będziemy oznaczać małą literą, a obraz odpowiednio dużą literą np. f(t) i F(s), q(t) i Q(s).
W literaturze można spotkać również oznaczenia odwrotne.
Transformacją odwrotną Laplace'a nazywamy operację opisaną całką
#+iÅ""
-1 1
L (F(s)) = f(t) = Å"õÅ‚ F(s)Å"esÅ"t ds (7.9)
!#-iÅ""
2Å"Ä„Å"i
______________________________________________________________________________________________
2005-03-05 Politechnika Częstochowska Katedra Mechaniki Technicznej Dr inż.S.Labocha
 Mechanika budowli
______________________________________________________________________________________________31
Prawdziwe są następujące twierdzenia
ëÅ‚d f(t)öÅ‚
L (7.10)
ìÅ‚ ÷Å‚= sÅ"F(s) - f(0)
d t
íÅ‚ Å‚Å‚
ëÅ‚d2 f(t)öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚= s2Å"F(s) - sÅ"f(0) - d f(0)
L
(7.11)
ìÅ‚ ÷Å‚ d t
d t2
íÅ‚ Å‚Å‚
n
ëÅ‚dn f(t)öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚= snÅ"F(s) - ëÅ‚n-k dk-1 f(0)öÅ‚
÷Å‚
L s Å"
(7.11a)
"ìÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
d tn d tk-1
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
k = 1
ëÅ‚ #t öÅ‚
F(s)
ìÅ‚õÅ‚ ÷Å‚
()
L f Ä dÄ (7.12)
ìÅ‚!#0 ÷Å‚=
s
íÅ‚ Å‚Å‚
1
ëÅ‚söÅ‚
L(f(aÅ"t)) = Å"F a > 0 (7.13)
ìÅ‚a÷Å‚
a
íÅ‚ Å‚Å‚
( )
(
L e-Ä…tÅ"f(t) = F s + Ä…) (7.14)
d f(0)
Przy czym wartości f(0) oraz oznaczają graniczne wartości funkcji f(t) przy t
d t
zmierzajÄ…cym do 0 z prawej strony, natomiast Ä… oznacza dowolnÄ… liczbÄ™ zespolonÄ….
W praktyce nie korzysta się z wzorów (7.8) i (7.9) lecz wykorzystuje się gotowe
zestawy transformat i oryginałów z tablic. Na przykład:
1
f(t) = 1 "! F(s) =
s
a
f(t) = sin(aÅ"t) "! F(s) =
s2 + a2
s
f(t) = cos(aÅ"t) "! F(s) =
s2 + a2
a
f(t) = sinh(aÅ"t) "! F(s) =
s2 - a2
s
f(t) = cosh(aÅ"t) "! F(s) =
s2 - a2
1
f(t) = e-aÅ"t "! F(s) =
s + a
______________________________________________________________________________________________
2005-03-05 Politechnika Częstochowska Katedra Mechaniki Technicznej Dr inż.S.Labocha
 Mechanika budowli
______________________________________________________________________________________________32
Przykład 7.1
Rozwiązać równanie różniczkowe
d2 q d q
+ 8Å" + 4Å"q = 6Å"sin 4t
d t2 d t
przy następujących warunkach początkowych
d q(0)
= 2 q(0) = 0
d t
Równanie w przestrzeni obrazu otrzymamy po zastosowaniu przekształcenia na wszystkich
składnikach równania w przestrzeni oryginału, tj.:
ëÅ‚d2 q(t)öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚= s2Å"Q(s) - sÅ"q(0) - d q(0) s2Å"Q(s) - 2
L =
ìÅ‚ ÷Å‚ d t
d t2
íÅ‚ Å‚Å‚
ëÅ‚8Å" dÅ"q(t)öÅ‚
L
ìÅ‚ ÷Å‚= 8Å"(sÅ"Q(s) - q(0)) = 8Å"sÅ"Q(s)
dÅ"t
íÅ‚ Å‚Å‚
L(4 q(t)) = 4Å"Q(s)
4 24
L(6Å"sin 4t) = 6Å" =
s2 + 42 s2 + 16
Ostatecznie mamy więc
24
s2Å"Q(s) - 2 + 8Å"sÅ"Q(s) + 4Å"Q(s) =
s2 + 16
Rozwiązaniem tego równania jest funkcja
24 2 28 + s2
Q(s) =
( )( )+( )= 2Å"( )( )
s2 + 16 Å" s2 + 8s + 4 s2 + 8s + 4 s2 + 16 Å" s2 + 8Å"s + 4
Odpowiadający jej oryginał można wyznaczyć za pomocą całki (7.9), ale w praktyce
korzysta siÄ™ z odpowiednich tablic. Niestety w tablicach, nawet bardzo rozbudowanych
nie zawsze znajdziemy od razu odpowiedni obraz. Z reguły należy uzyskane wyrażenie
przekształcić do prostszej postaci poprzez rozłożenie na ułamki proste lub zmodyfikowanie
zapisu. Przykładowo zapisując wyrażenie
28 + s2 A + BÅ"s C + DÅ"s
( )( )=( )+( )
s2 + 16 Å" s2 + 8Å"s + 4 s2 + 16 s2 + 8Å"s + 4
Obliczymy wielkości stałe A, B, C i D z równania
( ) ( )
28 + s2 = (A + BÅ"s)Å" s2 + 8Å"s + 4 + (C + DÅ"s)Å" s2 + 16
______________________________________________________________________________________________
2005-03-05 Politechnika Częstochowska Katedra Mechaniki Technicznej Dr inż.S.Labocha
 Mechanika budowli
______________________________________________________________________________________________33
Porządkując prawą stronę względem zmiennej s:
4Å"A + 16Å"C + (8Å"A + 4Å"B + 16Å"D)Å"s + (A + 8Å"B + C)Å"s2 + (B + D)Å"s3
oraz porównując współczynniki lewej i prawej strony przy tych samych potęgach s uzyskamy
następujący układ równań
28 = 4Å"A + 16Å"C
0 = 8Å"A + 4Å"B + 16Å"D
1 = A + 8Å"B + C
0 = B + D
9 6 130 6
Po rozwiÄ…zaniu utrzymujemy A = - B = - C = D =
73 73 73 73
oraz ostatecznie
28 + s2 1 - 6Å"s 130 + 6Å"s
îÅ‚-9 Å‚Å‚
73
( )( )= Å"ïÅ‚( )+( )śł
s2 + 16 Å" s2 + 8Å"s + 4 s2 + 16 s2 + 8Å"s + 4
ðÅ‚ ûÅ‚
Wyrażenie to można również otrzymać natychmiast korzystając z programu MathCad,
wydajÄ…c polecenie convert parfrac z menu Symbolic
28 + s2 -3 3 + 2Å"s 2 65 + 3Å"s
+ Å"
73 73
( )( )convert,parfrac,s Å"
s2 + 16 Å" s2 + 8Å"s + 4 s2 + 16 s2 + 8Å"s + 4
Jeśli teraz wyrażenia te zapiszemy w postaci ujętej w tablicach łatwo znajdziemy oryginały
-3 3 + 2Å"s 9 1 4 6 s 9 6
Å" = - Å" Å" - Å" "! - Å"sin 4 t - Å"cos 4t
73 73 4 73 292 73
s2 + 16 s2 + 16 s2 + 16
2 65 + 3Å"s 130 1 12 6 (s + 4) - 4
Å" = Å" Å" + Å"
73 73 73
12
s2 + 8Å"s + 4 (s + 4)2 - 12 (s + 4)2 - 12
130 1 12 130 1
( )
Å" Å" "! Å" Å"sinh 12Å"t Å"e-4t
73 73
12 12
(s + 4)2 - 12
6 (s + 4) - 4 6 24 1
( ) ( )
Å" "! Å"cosh 12 t Å"e-4t - Å" Å"sinh 12Å"t Å"e-4t
73 73 73
12
(s + 4)2 - 12
Należy zwrócić uwagę na czynnik e-4t pojawiający się w dwóch ostatnich wyrażeniach.
Jego występowanie wiąże się z regułą (7.14), gdyż w tym wypadku argumentem funkcji
jest wyrażenie (s+4), gdzie w tym wypadku ą=4.
______________________________________________________________________________________________
2005-03-05 Politechnika Częstochowska Katedra Mechaniki Technicznej Dr inż.S.Labocha
 Mechanika budowli
______________________________________________________________________________________________34
Ostateczny opis funkcji q(t) będzie wyglądał następująco
9 12 4 53
îÅ‚ îÅ‚
( ) ( )Å‚Å‚Å‚Å‚
q(t) = Å"sinh 12Å"t + 3Å"cosh 12t
ïÅ‚- Å"sin 4t - Å"cos 4t + Å"e-4tÅ"ïÅ‚ śłśł
146 73 73
12
ðÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ûÅ‚
Jej prezentacja graficzna jak niżej
0.6
0.4
q(t)
0.2
0
0 0.5 1 1.5 2
t
Oczywiście wykorzystując program MathCad całą procedurę wyznaczenia oryginału można
uprościć. Program oferuje bowiem, między innymi, symboliczne wyznaczanie transformat oraz
oryginałów funkcji za pomocą poleceń laplace i invlaplace. Przykładowo
24 24
6Å"sin 4t laplace,t invlaplace ,s 6Å"sin(4Å"t)
s2 + 16 s2 + 16
W przypadku analizowanego zadania można więc błyskawicznie otrzymać
28 + s2
2Å"
( )( )invlaplace ,s
s2 + 16 Å" s2 + 8Å"s + 4
1 1 1
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
-12 9 12 106
2 2 2
Å"cos(4Å"t) - Å"sin(4Å"t) + Å"exp(-4Å"t)Å"cosh Å"t
íÅ‚2Å"3 Å‚Å‚+ Å"exp(-4Å"t)Å"3 Å"sinhíÅ‚2Å"3 Å"tÅ‚Å‚
73 146 73 219
1
2
Pamiętając o notacji w programie wyrażeń exp(-4t) = e-4t oraz 3 = 3
można zauważyć, iż poza nieco odmiennym szykiem program podał identyczną odpowiedż.
______________________________________________________________________________________________
2005-03-05 Politechnika Częstochowska Katedra Mechaniki Technicznej Dr inż.S.Labocha