plik


ÿþ Mechanika budowli ______________________________________________________________________________________________35 7.1 Drgania swobodne nietBumione. Drgania wBasne Drganiami swobodnymi nietBumionymi nazywamy proces fizyczny spowodowany wyBcznie pocztkowym zaburzeniem równowagi (naBo|enie warunków pocztkowych), przy braku wymuszajcych siB zewntrznych oraz braku siB oporów ruchu. Ruch drgajcy odbywa si wówczas wyBcznie pod dziaBaniem siB potencjalnych (spr|ysto[ci). Je[li ponadto siBy te s liniowymi funkcjami przemieszczeD bd to drgania liniowe. Opisuje je równanie d2 q mÅ" + kÅ"q = 0 (7.15) d t2 k 2 Wprowadzajc oznaczenie É = (7.16) m mo|na je przepisa w postaci d2 q 2 + É Å"q = 0 (7.17) d t2 Wykonujc nastpnie tranformacj caBkow Laplace'a wzgldem funkcji q(t) ëø öø ìømÅ" d2 q + kÅ"q÷ø= 0 L (7.18) ìø ÷ø d t2 íø øø ëød2 q(t)öø ìø ÷ø= s2Å"Q(s) - sÅ"q(0) - d q(0) przy uwzgldnieniu, |e L ìø ÷ø d t d t2 íø øø oraz przyjciu skróconych oznaczeD dla warunków pocztkowych d q(0) q(0) = qo = vo (7.19) d t Równanie (7.17) przybiera posta 2 s2Å"Q(s) - sÅ"qo - vo + É Å"Q(s) = 0 (7.20) Wyznaczajc z powy|szego równania szukan funkcj q(s) otrzymuje si vo + sÅ"qo vo É s Q(s) = = Å" + qoÅ" (7.21) 2 2 2 É s2 + É s2 + É s2 + É Wykorzystujc zale|no[ci transformacyjne oryginaB przybiera ostatecznie posta vo ( ) ( ) q(t) = Å"sin ÉÅ"t + qoÅ"cos ÉÅ"t (7.22) É É Zwizana zale|no[ci (7.16) staBa uzyskuje dziki (7.22) interpretacj fizyczn. ______________________________________________________________________________________________ 2005-03-05 Politechnika Czstochowska Katedra Mechaniki Technicznej Dr in|.S.Labocha Mechanika budowli ______________________________________________________________________________________________36 Wieko[ t nazywa si czsto[ci drgaD wBasnych. Jest ona indywidualn cech rozwa|anego obiektu. Nie zale|y od czynników zewntrznych. Po przeksztaBceniu (7.16) mo|na j w przypadku ustroju o jednym stopniu swobody wyznacza z zale|no[ci k É = (7.23) m Stacjonarny proces harmoniczny postaci (7.22) z dowolnymi staBymi A i B, speBniajcy równanie (7.15) nazywamy drganiami wBasnymi: ( ) ( ) q(t) = AÅ"sin ÉÅ"t + BÅ"cos ÉÅ"t (7.24) Funkcja powy|sza stanowi matematyczne rozwizanie równania (7.15) i nie jest procesem fizycznym. Opisuje jedynie pewn dyspozycj ustroju do drgaD. Wykorzystujc zale|no[ci 2 ëøvoöø A = + qo2 ìø ÷ø (7.25) íøÉøø ëøÉÅ"qöø o Õ = atan ìø ÷ø vo íø øø Równanie (7.22) mo|na przepisa tak|e w formie uproszczonej ( ) q(t) = AÅ"sin ÉÅ"t + Õ (7.26) Pochodne tej funkcji wynosz d q ( ) (7.27) = AÅ"ÉÅ"cos ÉÅ"t + Õ d t d2 q 2 ( ) (7.28) = -AÅ"É Å"sin ÉÅ"t + Õ d t2 Z zale|no[ci (7.28) wynika, |e w ruchu drgajcym harmonicznym zachodzi nastpujca wa|na zale|no[: d2 q 2 = -É Å"q (7.29) d t2 Matematyczne ujcie ruchu postaci (7.15) stanowi podstaw opisu szeregu ró|nych drgaD. Wszystkie takie ukBady (o jednym stopniu swobody) nazywane s oscylatorami harmonicznymi. Do oscylatorów harmonicznych mo|na zaliczy: wahadBo koBowe, wahadBo cykloidalne, ukBady mechaniczne zawierajce elementy masowe i spr|yste, ukBady elektryczne zawierajce elementy indukcyjne i pojemno[ciowe. ______________________________________________________________________________________________ 2005-03-05 Politechnika Czstochowska Katedra Mechaniki Technicznej Dr in|.S.Labocha Mechanika budowli ______________________________________________________________________________________________37 Prosty oscylator harmoniczny stanowi ukBad zachowawczy. Jego energia kinetyczna jest równa 2 1 1 q 1 2 ëød öø ( )2 Ek = Å"mÅ"v2 = Å"mÅ" = Å"mÅ"A2Å"É Å"cos ÉÅ"t + Õ ìød t÷ø 2 2 2 íø øø Energia potencjalna wynosi natomiast # 1 õø Ep = kÅ"q dq = Å"kÅ"q2 + C õø 2 !# StaBa C w przypadku odniesienia enerii do poBo|enia q=0 (poBo|enia równowagi) bdzie równa 0. Suma obu energii wyniesie wic ostatecznie 1 2 ( )2 1 ( )2 1 Ek + Ep = Å"mÅ"A2Å"É Å"cos ÉÅ"t + Õ + Å"kÅ"A2Å"sin ÉÅ"t + Õ = kÅ"A2 2 2 2 Poniewa| z pierwszej z zale|no[ci (7.25) wynika, |e 2 ëøvoöø A2 = + qo2 ìø ÷ø íøÉøø mo|na sum energii zapisa jako îøëøvoöø2 ùø 1 ïøìø ÷ø úø Ek + Ep = Å"kÅ" + qo2 2 ðøíøÉøø ûø jest ona oczywi[cie równa sumie tych energii w chwili pocztkowej vo2 vo2 1 1 kÅ" = k = mÅ"vo2 Eko + Epo = Å"mÅ"vo2 + kÅ"qo2 gdy| 2 k 2 2 É m Otrzymujemy wic prawo zachowania energii Ek + Ep = Eko + Epo = const Przez caBy czas trwania ruchu harmonicznego suma energii knetycznej i potencjalnej jest staBa. StaB warto[ tej sumy okre[laj warunki pocztkowe. ______________________________________________________________________________________________ 2005-03-05 Politechnika Czstochowska Katedra Mechaniki Technicznej Dr in|.S.Labocha Mechanika budowli ______________________________________________________________________________________________38 PrzykBad 7.2 Na belce ustawiono maszyn. Wyznaczy czsto[ drgaD wBasnych ustroju w przypadku bezpo[redniego zamontowania maszyny na belce oraz przy zastosowaniu podkBadek o sztywno[ci k. Wyznaczy równanie ruchu ustroju w obu przypadkach przy wychyleniu maszyny (przemieszczenie w pionie zgodnie z kierunkiem q) z poBo|enia równowagi o 2 cm. Dane: - parametry sztywno[ci belki wsporczej a) m EI E = 205Å"GPa I = 80.1Å"cm4 q - masa maszyny m = 900Å"kg a b N -sztywno[ci podkBadek k = 105Å" m b) m k EI - wymiary geometryczne a = 120Å"cm b = 280Å"cm q a b Rozwizanie: 3Å"EÅ"IÅ"(a + b) N kb = kb = 174537.628 Sztywno[ modelowa belki m a2Å"b2 kb Czsto[ drgaD wBasnych konstrukcji bez podkBadek É = É = 13.926 s-1 m 1 N Sztywno[ zastpcza ukBadu z podkBadkami kz = kz = 63575.121 1 1 m + k kb kz Czsto[ drgaD wBasnych konstrukcji z podkBadkami Ép = Ép = 8.405s-1 m Z zaBo|eD zadania wynika, |e vo = 0 qo = 0.02 równania ruchu przybier wic posta ( ) q(t) = 0.02Å"cos ÉÅ"t (linia cigBa na wykresie) (linia przerywana) q(t) = 0.02Å"cos ÉpÅ"t ( ) 0.02 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 0.02 Czas t ______________________________________________________________________________________________ 2005-03-05 Politechnika Czstochowska Katedra Mechaniki Technicznej Dr in|.S.Labocha Przemieszczenie q Mechanika budowli ______________________________________________________________________________________________39 PrzykBad 7.3 Opisa równanie ruchu cieczy nie[ci[liwej w naczyniu o ksztaBcie U-rurki b) a) c) q=0 a d Dane: - caBkowita dBugo[ sBupa cieczy (L=a+2b) L = 180cm - [rednica przewodu naczynia d = 10Å"cm kg - gsto[ cieczy Á = 1000Å" m3 Rozwizanie: Wykorzystamy zasad zachowania energii dla oscylatora harmonicznego. Wyra|enia opisujce energie nale|y jednak zmodyfikowa z uwzgldnieniem specyfiki cieczy. CaBkowita masa cieczy w naczyniu ÀÅ"d2 M = Å"LÅ"Á M = 14.137kg 4 Przy zaBo|eniu, i| ciecz jest nie[ci[liwa, jej energi kinetyczn mo|na wyrazi wzorem 2 1 ÀÅ"d2 ëød qöø Ek = MÅ"v2 = Å"LÅ"ÁÅ" ìød t÷ø 2 8 íø øø Energia potencjalna zwizana jest z nadwy|k potencjaBu podniesionego sBupa cieczy ponad aktualne zwierciadBo cieczy w drugim sBupie. Nale|y zwróci uwag, |e wyniesienie zwierciadBa o wielko[ q ponad poziom równowagi powoduje ró|nic wysoko[ci o 2q. q # q # ÀÅ"d2 ÀÅ"d2 ÀÅ"d2 Ep = 2õø Å"ÁÅ"gÅ"¾ d¾ = Å"ÁÅ"gÅ" ¾ d¾ = Å"ÁÅ"gÅ"q2 õø õø 4 2 !#0 4 !#0 Z zasady zachowania energii otrzymamy 2 ÀÅ"d2 ÀÅ"d2 ëød qöø Å"LÅ"ÁÅ" + Å"ÁÅ"gÅ"q2 = const ìød t÷ø 8 4 íø øø ______________________________________________________________________________________________ 2005-03-05 Politechnika Czstochowska Katedra Mechaniki Technicznej Dr in|.S.Labocha q q b q ¾ d ¾ Mechanika budowli ______________________________________________________________________________________________40 Je[li wyra|enie to zró|niczkujemy to uzyskamy zale|no[ ÀÅ"d2 d q d2 q ÀÅ"d2 d q Å"LÅ"ÁÅ" Å" + Å"ÁÅ"gÅ"qÅ" = 0 4 d t d t d t2 2 Po uporzdkowaniu uzyskujemy równanie ró|niczkowe ruchu ëød2 öø d q q 2Å"g ìø ÷ø= skd wynika d2 q + 2Å"g 0 Å" + Å"q 0 Å"q = d tìød t2 L ÷ø d t2 L íø øø Porównujc otrzymany zwizek z równaniem (7.17) mo|emy jeszcze przyj podstawienie 2Å"g É = É = 3.301 s-1 L Zatem ostatecznie ruchu cieczy w naczyniu bdzie opisywa zale|no[ ëø 2Å"g öø ëø 2Å"g öø q(t) = AÅ"sin Å"t + BÅ"cos Å"t ìø ÷ø ìø ÷ø L L íø øø íø øø StaBe A i B nale|y obliczy z warunków pocztkowych. ZakBadajc przykBadowo m qo = 15Å"cm vo = 1 s Opis ruchu upraszcza si do postaci vo ëø 2Å"g öø ëø 2Å"g öø q(t) = qoÅ"cos Å"t + Å"sin Å"t ìø ÷ø ìø ÷ø L L É íø øø íø øø Wykres tej funkcji przedstawia poni|szy szkic 50 0 2 4 6 8 10 50 2À Okres drgaD T = T = 1.903s É 2 ëøvoöø Amplituda A = + qo2 A = 33.805 cm ìø ÷ø íøÉøø ______________________________________________________________________________________________ 2005-03-05 Politechnika Czstochowska Katedra Mechaniki Technicznej Dr in|.S.Labocha Mechanika budowli ______________________________________________________________________________________________41 7.2 Drgania swobodne tBumione. Równanie drgaD swobodnych tBumionych opisuje proces fizyczny spowodowany zaburzeniem stanu równowagi, czyli zaistnieniem warunków pocztkowych (7.19). Przy uwzgldniu siB oporu tBumienia wiskotycznego równanie ruchu przybierze posta: d2 q d q mÅ" + cÅ" + kÅ"q = 0 (7.30) d t2 d t Po przeksztaBceniu do wygodniejszej postaci matematycznej bdzie wyglda d2 q d q 2 + 2Å"rÅ" + É Å"q = 0 (7.31) d t d t2 c gdzie 2Å"r = (7.32) m É wg (7.16) Rozwizania równania (7.31) poszukujemy metod tranformacji Laplace'a: ëød2 q d q 2 öø ìø ÷ø= L + 2Å"rÅ" + É Å"q 0 (7.33) ìød t2 d t ÷ø íø øø Korzystajc z zale|no[ci (7.19) zapisujemy ëød2 q(t)öø ìø ÷ø= s2Å"Q(s) - sÅ"q(0) - d q(0) s2Å"Q(s) - sÅ"qo - vo L = ìø ÷ø d t d t2 íø øø (7.34) ëødÅ"q(t)öø L ìø ÷ø= sÅ"Q(s) - q(0) = sÅ"Q(s) - qo dÅ"t íø øø Po podstawieniu do (7.33) otrzymujemy 2 s2Å"Q(s) - sÅ"qo - vo + 2Å"rÅ" sÅ"Q(s) - qo + É Å"Q(s) = 0 skd ( ) sÅ"qo + 2Å"rÅ"qo + vo s + r 1 Q(s) = = qoÅ" + rÅ"qo + vo Å" (7.35) ( ) 2 2 2 s2 + 2Å"rÅ"s + É s2 + 2Å"rÅ"s + É s2 + 2Å"rÅ"s + É ______________________________________________________________________________________________ 2005-03-05 Politechnika Czstochowska Katedra Mechaniki Technicznej Dr in|.S.Labocha Mechanika budowli ______________________________________________________________________________________________42 Transformacj odwrotn wyznacza si korzystajc z zale|no[ci 1 2 2 ( ) f(t) = Å"e-rÅ"tÅ"sin É - r2Å"t dla r2 < É 2 É - r2 1 2 F(s) = ”! f(t) = tÅ"e-rÅ"t dla r2 = É 2 s2 + 2Å"rÅ"s + É 1 2 2 ( ) f(t) = Å"e-rÅ"tÅ"sinh r2 - É Å"t dla r2 > É 2 r2 - É 2 2 ( ) f(t) = e-rÅ"tÅ"cos É - r2Å"t dla r2 < É s + r 2 F(s) = ”! f(t) = e-rÅ"t dla r2 = É 2 s2 + 2Å"rÅ"s + É 2 2 ( ) f(t) = e-rÅ"tÅ"cosh r2 - É Å"t dla r2 > É Ostateczne rozwizanie zale|y wic od wielko[ci tBumienia. W zale|no[ci od jego warto[ci wyra|onej warto[ci wspóBczynnika tBumienia r, mierzonej w stosunku do warto[ci czsto[ci drgaD wBasnych É rozró|nia si trzy przypadki. Przypadek 1 - tBumienie nadkrytyczne W tym przypadku tBumienie jest tak du|e, i| zachodzi zale|no[2 2 wówczas r > É rÅ"qo + vo ( )sinh r2 É Å"túø (7.36) îøq 2 2 ( ) ( )ùø ïø q(t) = e-rÅ"tÅ" Å"cosh r2 - É Å"t + Å" - o 2 ïø úø r2 - É ðø ûø Równanie (7.36) opisuje ruch masy, który jest ruchem aperiodycznym, to znaczy nie wystpuj tu oscylacje. Masa jednorazowo wytrcona z poBo|enia równowagi statycznej asymptotycznie zmierza do tego poBo|enia - ruch zanika z czasem. KsztaBt przebiegu rozwizania (7.36) w zale|no[ci od warto[ci staBych q0 i v0 zilustrowano w przykBadach. PrzykBad 7.4 Wyznaczy równania ruchu ukBadu o jednym stopniu swobody, scharakteryzowanego wielko[ciami: N NÅ"sec m = 50Å"kg k = 900Å" c = 500Å" m m dla nastpujcych warto[ci parametrów pocztkowych: m m a) qo = 5Å"cm vo = 0.8Å" c) qo = 0 v0 = 0.8Å" sec sec m b) qo = 5Å"cm vo = 0 d) q0 = 5Å"cm v0 = -0.8Å" sec ______________________________________________________________________________________________ 2005-03-05 Politechnika Czstochowska Katedra Mechaniki Technicznej Dr in|.S.Labocha Mechanika budowli ______________________________________________________________________________________________43 Rozwizanie: k Czsto[ drgaD wBasnych É = É = 4.243 s-1 m c WspóBczynnik tBumienia r = r = 5s-1 2Å"m 2 Wielko[ pomocnicza r2 - É = 2.646 s-1 Po uwzgldnieniu warunków pocztkowych równania ruchu typu (7.36) przybior posta îø0.05Å"cosh(2.646Å"t) + (10Å"0.05 + 0.8) ùø qa(t) = e-5Å"tÅ" Å"sinh(2.646Å"t) ïø úø 2.646 ðø ûø ëø0.05Å"cosh(2.646Å"t) + 10Å"0.05 öø qb(t) = e-5Å"tÅ" Å"sinh(2.646Å"t) ìø ÷ø 2.646 íø øø 0.8 ëø qc(t) = e-5Å"tÅ" ìø2.646 Å"sinh(2.646Å"t)öø ÷ø íø øø îø0.05Å"cosh(2.646Å"t) + (10Å"0.05 - 0.9) ùø qd(t) = e-5Å"tÅ" Å"sinh(2.646Å"t) ïø úø 2.646 ðø ûø Wykresy przebiegów drgaD 0.1 0.05 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 0.05 Przypadek a Przypadek b Przypadek c Przypadek d ______________________________________________________________________________________________ 2005-03-05 Politechnika Czstochowska Katedra Mechaniki Technicznej Dr in|.S.Labocha Mechanika budowli ______________________________________________________________________________________________44 Przypadek 2 - tBumienie krytyczne TBumienie w ukBadzie równie| osiga du|e warto[ci, wspóBczynnik tBumienia przybiera szczególn É warto[ r= . W takim przypadku równanie opisujce ruch wyglda nastpujco: q(t) = e-rÅ"tÅ" + rÅ"qo + vo Å"t (7.37) ( )ûø îøqo ùø ðø Przeanalizujemy pewne przypadki szczególne. Dla qo > 0 oraz vo = 0 równanie ruchu przybiera form q(t) = qoÅ"e-rÅ"tÅ"(1 + rÅ"t) (7.38) Wida z niego, |e zawsze bdzie q(t)>0 a ponadto dla bdzie q(t) Ò! 0 t Ò! " Oznacza to, i| ciaBo wychylone z poBo|enia równowagi i puszczone bez prdko[ci pocztkowej bdzie zd|aB do poBo|enia równawagi z prdko[ci ujemn stale malejc co do warto[ci bezwgldnej, gdy| d q(t) t v(t) = = -r2Å"qoÅ"e-rÅ"tÅ"t = -r2Å"qoÅ" (7.39) d t erÅ"t PrzykBad 7.5 Ilustracja przykBadowego wykresu ruchu q(t) = 2Å"e-5Å"tÅ"(1 + 5Å"t) 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0 0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5 Czas t Dla qo = 0 oraz vo > 0 równanie ruchu przybiera form q(t) = e-rÅ"tÅ"voÅ"t (7.40) CiaBo w tym przypadku osignie maksymalne wychylenie w chwili, gdy prdko[ stanie si równa 0 d q(t) v(t) = = voÅ"e-rÅ"tÅ"(1 - rÅ"t) (7.41) d t ëøt1 1öø (v(t) = 0) Ô! = (7.42) ìø ÷ø r íø øø Warto[ maksymalnego wychylenia vo ëø1öø qmax = q t1 = q () ìør÷ø= (7.43) rÅ"e íø øø ______________________________________________________________________________________________ 2005-03-05 Politechnika Czstochowska Katedra Mechaniki Technicznej Dr in|.S.Labocha Wychylenie q Mechanika budowli ______________________________________________________________________________________________45 PrzykBad 7.6 1 Ilustracja przykBadowego wykresu ruchu q(t) = e-5Å"tÅ"28Å"t t1 = 5 3 2.5 t1 2 1.5 1 0.5 0 0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5 Czas t 28 Maksymalne wychylenie = 2.06 5Å"e Dla qo > 0 oraz vo > 0 równanie ruchu wg (7.37), std równanie opisujce prdko[ d q(t) îøvo tÅ" ûø (7.44) v(t) = = e-r tÅ" -(r2Å"qo + rÅ"vo)ùø ðø d t Warto[ zerow przyjmuje ona dla chwili vo t1 = (7.45) r2Å"qo + rÅ"vo Maksymalne wychylenie -vo rÅ"qo+vo ëøq voöø qmax = q t1 = e Å" + (7.46) () ìø ÷ø o r íø øø d q(t) ëødÅ"q(t)öøÒ! 0 Wida z (7.44), |e po czasie t1 wg (7.45) bdzie < 0 ale dla t Ò! " bdzie ìø ÷ø d t dÅ"t íø øø ______________________________________________________________________________________________ 2005-03-05 Politechnika Czstochowska Katedra Mechaniki Technicznej Dr in|.S.Labocha Wychylenie q Mechanika budowli ______________________________________________________________________________________________46 PrzykBad 7.7 Ilustracja przykBadowego wykresu ruchu q(t) = e-5Å"tÅ"[ 1.2 + (5Å"1.2 + 28)Å"t ] 28 Czas osignicia maksymalnego wychylenia t1 = t1 = 0.165 52Å"1.2 + 5Å"28 3 2.5 t1 2 1.5 1 0.5 0 0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5 Czas t -28 ëø1.2 28öø Maksymalne wychylenie e5Å"1.2+28 Å" + ìø ÷ø= 2.984 5 íø øø Je[li qo > 0 oraz vo < 0 mo|liwe s dwie postaci rozwizania. Ogólne rozwizanie dane jest równaniem (7.37). Z uwagi jednak na ujemn warto[ pocztkowej prdko[ci mo|liwe jest osignicie poBo|enia równowagi . Wystpuje to w chwili t1 gdy -qo qo + rÅ"qo + vo Å"t1 = 0 Ò! t1 = gdzie vo < 0 (7.47) ( ) rÅ"qo + vo ( ) Poniewa| z fizycznego punktu widzenia wymagane jest aby czas1 to musi zachodzi t > 0 rÅ"qo + vo < 0 czyli -vo > rÅ"qo (7.48) W przeciwnym przypadku poBo|enie równowagi nie zostanie osignite, ciaBo bdzie zbli|a si do niego asymptotycznie. Na podstawie zale|no[ci (7.44) mo|na w przypadku dostatecznie du|ej prdko[ci pocztkowej wyznaczy czas, po którym ciaBo osignie maksymalne wychylenie w kierunku ujemnym vo t2 = (7.49) r2Å"qo + rÅ"vo To maksymalne wychylenie okre[lone jest zale|no[ci (7.46), z tym tylko |eo v < 0 ______________________________________________________________________________________________ 2005-03-05 Politechnika Czstochowska Katedra Mechaniki Technicznej Dr in|.S.Labocha Wychylenie q Mechanika budowli ______________________________________________________________________________________________47 PrzykBad 7.8 Ilustracja przykBadowego wykresu ruchu q(t) = e-5Å"tÅ"[ 3 + (3Å"5 - 38)Å"t ] -3 Czas ocignicie poBo|enia równowagi t1 = t1 = 0.13 5Å"3 - 38 -38 Czas osignicia maksymalnego wychylenia t2 = t2 = 0.33 52Å"3 + 5Å"(-38) Wykres ruchu dla prdko[ci vo < rÅ"qo q2(t) = e-5Å"tÅ"[ 3 + (3Å"5 - 8)Å"t ] 4 t1 t2 3 2 1 0 0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5 1 Czas t 38 ëø3 -38öø Maksymalne wychylenie e5Å"3-38 Å" + ìø ÷ø= -0.882 5 íø øø Przypadek 3 - tBumienie podkrytyczne 2 W tym przypadku zachodzi zale|no[ wówczas ruch masy opisuje równanie r2 < É rÅ"qo + vo ( )sin É - r2Å"túø (7.50) îøq 2 2 ( ) ( )ùø ïø q(t) = e-rÅ"tÅ" Å"cos É - r2Å"t + Å" o 2 ïø úø É - r2 ðø ûø 2 Powy|szy zapis mo|na upro[ci wprowadzajc oznaczenie (7.51) Éd = É - r2 rÅ"qo + vo ( )sin ÉdÅ"t îøq q(t) = e-rÅ"tÅ" Å"cos ÉdÅ"t + Å" (7.52) ( ) ( )ùø o ïø úø Éd ðø ûø Wielko[ opisana zale|no[ci (7.51) nazywana jest czsto[ci drgaD tBumionych. Okres tych drgaD wyniesie wic 2À 2À Td = = (7.53) Éd 2 É - r2 Ruch opisany równaniem (7.52) jest quasi-harmonicznym ruchem zanikajcym, modulowanym funkcj wykBadnicz. Rozwizanie ma przebieg oscylacyjny, niemniej funkcja ta nie jest funkcj okresow w peBnym tego sBowa znaczeniu. Zale|no[ (7.52) mo|na równie| zapisa w formie zwinitej: ______________________________________________________________________________________________ 2005-03-05 Politechnika Czstochowska Katedra Mechaniki Technicznej Dr in|.S.Labocha Wychylenie q Mechanika budowli ______________________________________________________________________________________________48 q(t) = AÅ"e-rÅ"tÅ"sin ÉdÅ"t + Õ (7.54) ( ) qoÅ"Éd Å"r + vo 2 ëøqo öø gdzie A = qo2 + tanÕ = (7.55) ìø ÷ø qoÅ"r + vo Éd íø øø Amplitudy przemieszczeD bd si zawieraBy midzy liniami -AÅ"e-rÅ"t d" amp(q) d" AÅ"e-rÅ"t Rozpatrzmy stosunek dwóch kolejnych wychyleD w t sam stron ró|nicych si w czasie o okres AÅ"e-rÅ"tÅ"sin ÉdÅ"t + Õ ( ) rÅ"Td q(t) = (7.56) ( )sin t + Td + Õ = e q t + Td -rÅ"t+Td ( ) AÅ"e Å" îø ( ) ùø ðøÉdÅ" ûø Logarytm naturany tego stosunku wychyleD nazywany jest logarytmicznym dekrementem tBumienia rÅ"Td q(t) ëø öø ( ) " = ln (7.57) ìøq t + Td = ln e = rÅ"Td ( )÷ø íø øø Jego warto[ mo|na wyznaczy do[wiadczalnie, drog pomiaru dwóch kolejnych amplitud przemieszczeD tego samego znaku. An ëø öø " = ln (7.58) ìøA + 1÷ø n íø øø Logarytmiczny dekrement tBumienia mo|e byc wic miar zdolno[ci tBumienia drgaD przez konstrukcj. Nie jest on staB materiaBow, lecz wielko[ci zwizan z ustrojem. Zwizany jest ze wspóBczynnikiem tBumienia nastpujcymi zale|no[ciami: "Å"Éd "Å" É2 r2 " - r = = = (7.59) Td 2À 2À Wyznaczajc z powy|szego wspóBczynnik r otrzymuje si "Å"É r = (7.60) 2 2 4À + " Ze wzgldu na to, i| w typowych ustrojach wystpujcych w zagadnieniach mechaniki budowli warto[ logarytmicznego dekrementu tBumienia jest znacznie mniejsza od jedno[ci wyra|enie (7.60) mo|e zosta uproszczone do postaci ëø"Å"Éöø r H" (7.61) ìø2À÷ø íø øø Zamiast wymiarowego wspóBczynnika tBumienia r stosowany bywa równie| bezwymiarowy wspóBczynnik tBumienia okre[lony zale|no[ci ______________________________________________________________________________________________ 2005-03-05 Politechnika Czstochowska Katedra Mechaniki Technicznej Dr in|.S.Labocha Mechanika budowli ______________________________________________________________________________________________49 c r ¾ = = (7.62) ckr É gdzie ckr jest krytycznym parametrem tBumika wiskotycznego wyznaczajcym granic midzy tBumieniem nad i podkrytycznym, odpowiadajcy wic tBumieniu krytycznemu. Wyznacza si go z zale|no[ci (7.32) ckr rkr = = É std ckr = 2Å"mÅ"É = 2 kÅ"m (7.63) 2Å"m Za pomoc bezwymiarowego wspóBczynnika tBumienia mo|na opisa wszystkie parametry tBumionego ukBadu drgajcego 2 c ëø öø ìø2Å"m÷ø r2 2 Éd = ÉÅ" 1 - = ÉÅ" 1 - = ÉÅ" 1 - ¾ (7.64) ìø ÷ø 2 c É ìø2Å"kr ÷ø m íø øø 2À Td = (7.65) 2 ÉÅ" 1 - ¾ ¾Å"2À (7.66) " = 2 1 - ¾ PrzykBad 7.9 Wyznaczy odpowiedz tBumionego ukBadu drgajcego, przy nastepujcych warunkach pocztkowych: m qo = 14Å"cm vo = 18Å" sec N NÅ"sec Parametry charakteryzujce ukBad m = 80Å"kg k = 105Å" c = 400Å" m m Rozwizanie k Czsto[ drgaD wBasych É = É = 35.355 s-1 m c WspóBczynnik tBumienia r = r = 2.5s-1 2Å"m 2 Czsto[ drgaD tBumionych Éd = É - r2 Éd = 35.267s-1 Å"r + vo 2 ëøqo öø StaBe zwizane z warunkami pocztkowymi A = 0.539 m A = qo2 + ìø ÷ø Éd íø øø qoÅ"Éd ëø öø Õ = atan Õ = 0.263 ìøq Å"r + vo÷ø o íø øø ______________________________________________________________________________________________ 2005-03-05 Politechnika Czstochowska Katedra Mechaniki Technicznej Dr in|.S.Labocha Mechanika budowli ______________________________________________________________________________________________50 Równanie ruchu ukBadu q(t) = 0.539Å"e-2.5Å"tÅ"sin(35.267Å"t + 0.263) 0.6 0.3 0 0.2 0.4 0.6 0.8 0.3 0.6 Czas t DokBadno[ wyznaczania do[wiadczalnego warto[ci parametrów charakteryzyjcych tBumienie zale|y od stopnia dokBadno[ci pomiaru amplitud drgaD. Je[li tBumienie, tak jak w przypadku ustrojów budowlanych nie jest bardzo intensywne, ssiednie amplitudy ró|ni si nieznacznie. Z tego powodu celem zwikszenia dokBadno[ci obliczeD mo|na przy wyznaczaniu logarytmicznego dekrementu tBumienia korzysta z poni|szej zale|no[ci: Ai 1 ëø öø " = Å"ln (7.67) ìøA ÷ø n i+n íø øø gdzie i oraz i+n oznaczaj numery amplitud ró|nicych si o ilo[ n cykli. Wynika to z nastpujcego rozumowania. Stosunki kolejnych amplitud w ruchu tBumionym wiskotycznie s jednakowe tzn. logarytmiczny dekrement tBumienia mo|na obliczy z ka|dej z poni|szych zale|no[ci: ëøA0öø ëøA1öø ëøA2öø ëøAn-1öø " = ln (7.68) ìøA÷ø= lnìøA÷ø= lnìøA÷ø= .... = ln An ìø ÷ø 1 2 3 íø øø íø øø íø øø íø øø gdzie A0 ,A1,A2,A3 ,.... ,An s kolejnymi amplitudami wychylenia przeksztaBcajc równanie (7.68) otrzymujemy A0 A1 A2 An-1 e" = = = = .... = (7.69) A1 A2 A3 An stosunek pierwszej i ostatniej mierzonej amplitudy mo|na zapisa jak ni|ej A0 A0 A1 A2 An-1 = Å" Å" Å"....Å" (7.70) An A1 A2 A3 An ______________________________________________________________________________________________ 2005-03-05 Politechnika Czstochowska Katedra Mechaniki Technicznej Dr in|.S.Labocha Przemieszczenie q(t) Mechanika budowli ______________________________________________________________________________________________51 Dokonujc obustronnego zlogarytmowania wyra|enia (7.70), przy wykorzystaniu znanych wBasno[ci logarytmów otrzymujemy zale|no[ ëøA0öø ëøA0öø ëøA1öø ëøA2öø ëøAn-1öø ln (7.71) ìøA÷ø= lnìøA÷ø+ lnìøA÷ø+ lnìøA÷ø+ .... + ln An ìø ÷ø n 1 2 3 íø øø íø øø íø øø íø øø íø øø Na mocy równo[ci (7.68) uzyskujemy ëøA0öø ln (7.72) ìøA÷ø= nÅ"" n íø øø Std ostatecznie mo|na zapisa 1 ëøA0öø (7.73) " = Å"ln ìøA÷ø n n íø øø Amplituda startowa, od której zaczynamy pomiar nie musi by koniecznie faktycznie pierwsz od pocztku drgaD, tylko ka|d dowoln. Std otrzymujemy wzór (7.67) PrzykBad 7.10 Warto[ci kolejnych amplitud tego samego znaku wyznaczone podczas pomiarów wynosz A4 = 35.4Å"mm A5 = 32.3Å"mm Pomierzony okres drgaD wynosi Td = 0.11Å"sec Wyznaczy parametry tBumienia ukBadu i porówna z warto[ciami wBasnymi. Rozwizanie ëøA4öø Logarytmiczny dekrement tBumienia " = ln " = 0.092 ìøA÷ø 5 íø øø " WspóBczynnik tBumienia r = r = 0.833s-1 Td 2Å"À Czsto[ drgaD tBumionych Éd = Éd = 57.12s-1 Td 2 Czsto[ drgaD wBasnych É = Éd + r2 É = 57.126 s-1 ______________________________________________________________________________________________ 2005-03-05 Politechnika Czstochowska Katedra Mechaniki Technicznej Dr in|.S.Labocha Mechanika budowli ______________________________________________________________________________________________52 PrzykBad 7.11 Wyznaczy logarytmiczny dekrement tBumienia je[li podczas pomiarów w czasie 18.5 s zarejestrowano 11 peBnych cykli drgaD, a amplitudy tego samego znaku na pocztku i koDcu pomiaru wynosiBy odpowiednio 26.3 mm i 18.5 mm. Rozwizanie 18.5Å"sec Okres drgaD tBumionych Td = Td = 1.682s 11 1 ëø26.3öø Logarytmiczny dekrement tBumienia " = Å"ln " = 0.039 ìø18.5÷ø 9 íø øø PrzykBad 7.12 Na belce stalowej ustawiono maszyn. Wyznaczy czsto[ i okres drgaD wBasnych ukBadu oraz drgaD swobodnych tBumionych okre[lonych warto[ci logarytmicznego dekrementu tBumienia. Dane: - parametry sztywno[ci belki wsporczej m EI E = 205Å"GPa I = 80.1Å"cm4 - masa maszyny m = 800Å"kg q L/2 L/2 - wymiary geometryczne L = 320Å"cm - dekrement tBumienia " = 0.19 Rozwizanie: 48Å"EÅ"I N Sztywno[ belki kb = kb = 240534.668 m L3 kb Czsto[ drgaD wBasnych É = É = 17.34 s-1 m 2À Okres drgaD wBasnych T = T = 0.362s É "Å"É WspóBczynnik tBumienia r = r = 0.524s-1 2 2 4À + " 2 Czsto[ drgaD tBumionych Éd = É - r2 Éd = 17.332s-1 2À Okres drgaD tBumionych Td = Td = 0.363s Éd ______________________________________________________________________________________________ 2005-03-05 Politechnika Czstochowska Katedra Mechaniki Technicznej Dr in|.S.Labocha

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Mechanika Budowli Sem[1][1] VI Wyklad 02
mechanika budowli sem vi wyklad
mechanika budowli sem vi wyklad
Konstrukcje metalowe Sem[1][1] VI Wyklad 05
konstrukcje metalowe sem vi wyklad

więcej podobnych podstron