ÿþ M e c h a n i k a b u d o w l i
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 3 5
7 . 1 D r g a n i a s w o b o d n e n i e t Bu m i o n e . D r g a n i a w Ba s n e
D r g a n i a m i s w o b o d n y m i n i e t Bu m i o n y m i n a z y w a m y p r o c e s f i z y c z n y s p o w o d o w a n y w y Bc z n i e
p o c z t k o w y m z a b u r z e n i e m r ó w n o w a g i ( n a Bo |e n i e w a r u n k ó w p o c z t k o w y c h ) , p r z y b r a k u
w y m u s z a j c y c h s i B z e w n t r z n y c h o r a z b r a k u s i B o p o r ó w r u c h u . R u c h d r g a j c y o d b y w a s i
w ó w c z a s w y Bc z n i e p o d d z i a Ba n i e m s i B p o t e n c j a l n y c h ( s p r |y s t o [c i ) . J e [l i p o n a d t o s i By
t e s l i n i o w y m i f u n k c j a m i p r z e m i e s z c z e D b d t o d r g a n i a l i n i o w e . O p i s u j e j e r ó w n a n i e
d 2 q
m Å" + k Å"q = 0 ( 7 . 1 5 )
d t 2
k
2
W p r o w a d z a j c o z n a c z e n i e É = ( 7 . 1 6 )
m
m o |n a j e p r z e p i s a w p o s t a c i
d 2 q
2
+ É Å"q = 0 ( 7 . 1 7 )
d t 2
W y k o n u j c n a s t p n i e t r a n f o r m a c j c a Bk o w L a p l a c e ' a w z g l d e m f u n k c j i q ( t )
ëø öø
ìøm Å" d 2 q + k Å"q ÷ø= 0
L ( 7 . 1 8 )
ìø ÷ø
d t 2
íø øø
ëød 2 q ( t ) öø
ìø ÷ø= s 2 Å"Q ( s ) - s Å"q ( 0 ) - d q ( 0 )
p r z y u w z g l d n i e n i u , |e L
ìø ÷ø d t
d t 2
íø øø
o r a z p r z y j c i u s k r ó c o n y c h o z n a c z e D d l a w a r u n k ó w p o c z t k o w y c h
d q ( 0 )
q ( 0 ) = q o = v o ( 7 . 1 9 )
d t
R ó w n a n i e ( 7 . 1 7 ) p r z y b i e r a p o s t a
2
s 2 Å"Q ( s ) - s Å"q o - v o + É Å"Q ( s ) = 0 ( 7 . 2 0 )
W y z n a c z a j c z p o w y |s z e g o r ó w n a n i a s z u k a n f u n k c j q ( s ) o t r z y m u j e s i
v o + s Å"q o v o É
s
Q ( s ) = = Å" + q o Å" ( 7 . 2 1 )
2 2 2
É
s 2 + É s 2 + É s 2 + É
W y k o r z y s t u j c z a l e |n o [c i t r a n s f o r m a c y j n e o r y g i n a B p r z y b i e r a o s t a t e c z n i e p o s t a
v o
( ) ( )
q ( t ) = Å"s i n ÉÅ"t + q o Å"c o s ÉÅ"t ( 7 . 2 2 )
É
É
Z w i z a n a z a l e |n o [c i ( 7 . 1 6 ) s t a Ba u z y s k u j e d z i k i ( 7 . 2 2 ) i n t e r p r e t a c j f i z y c z n .
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
2 0 0 5 - 0 3 - 0 5 P o l i t e c h n i k a C z s t o c h o w s k a K a t e d r a M e c h a n i k i T e c h n i c z n e j D r i n |. S . L a b o c h a
M e c h a n i k a b u d o w l i
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 3 6
W i e k o [ t n a z y w a s i c z s t o [c i d r g a D w Ba s n y c h . J e s t o n a i n d y w i d u a l n c e c h r o z w a |a n e g o
o b i e k t u . N i e z a l e |y o d c z y n n i k ó w z e w n t r z n y c h . P o p r z e k s z t a Bc e n i u ( 7 . 1 6 ) m o |n a j w
p r z y p a d k u u s t r o j u o j e d n y m s t o p n i u s w o b o d y w y z n a c z a z z a l e |n o [c i
k
É = ( 7 . 2 3 )
m
S t a c j o n a r n y p r o c e s h a r m o n i c z n y p o s t a c i ( 7 . 2 2 ) z d o w o l n y m i s t a By m i A i B , s p e Bn i a j c y
r ó w n a n i e ( 7 . 1 5 ) n a z y w a m y d r g a n i a m i w Ba s n y m i :
( ) ( )
q ( t ) = A Å"s i n ÉÅ"t + B Å"c o s ÉÅ"t ( 7 . 2 4 )
F u n k c j a p o w y |s z a s t a n o w i m a t e m a t y c z n e r o z w i z a n i e r ó w n a n i a ( 7 . 1 5 ) i n i e j e s t
p r o c e s e m f i z y c z n y m . O p i s u j e j e d y n i e p e w n d y s p o z y c j u s t r o j u d o d r g a D.
W y k o r z y s t u j c z a l e |n o [c i
2
ëøv o öø
A = + q o 2
ìø ÷ø
( 7 . 2 5 )
íøÉøø
ëøÉÅ"q öø
o
Õ = a t a n
ìø ÷ø
v o
íø øø
R ó w n a n i e ( 7 . 2 2 ) m o |n a p r z e p i s a t a k |e w f o r m i e u p r o s z c z o n e j
( )
q ( t ) = A Å"s i n ÉÅ"t + Õ ( 7 . 2 6 )
P o c h o d n e t e j f u n k c j i w y n o s z
d q
( ) ( 7 . 2 7 )
= A Å"ÉÅ"c o s ÉÅ"t + Õ
d t
d 2 q
2
( ) ( 7 . 2 8 )
= - A Å"É Å"s i n ÉÅ"t + Õ
d t 2
Z z a l e |n o [c i ( 7 . 2 8 ) w y n i k a , |e w r u c h u d r g a j c y m h a r m o n i c z n y m z a c h o d z i n a s t p u j c a
w a |n a z a l e |n o [:
d 2 q
2
= - É Å"q ( 7 . 2 9 )
d t 2
M a t e m a t y c z n e u j c i e r u c h u p o s t a c i ( 7 . 1 5 ) s t a n o w i p o d s t a w o p i s u s z e r e g u r ó |n y c h d r g a D.
W s z y s t k i e t a k i e u k Ba d y ( o j e d n y m s t o p n i u s w o b o d y ) n a z y w a n e s o s c y l a t o r a m i h a r m o n i c z n y m i .
D o o s c y l a t o r ó w h a r m o n i c z n y c h m o |n a z a l i c z y : w a h a d Bo k o Bo w e , w a h a d Bo c y k l o i d a l n e , u k Ba d y
m e c h a n i c z n e z a w i e r a j c e e l e m e n t y m a s o w e i s p r |y s t e , u k Ba d y e l e k t r y c z n e z a w i e r a j c e e l e m e n t y
i n d u k c y j n e i p o j e m n o [c i o w e .
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
2 0 0 5 - 0 3 - 0 5 P o l i t e c h n i k a C z s t o c h o w s k a K a t e d r a M e c h a n i k i T e c h n i c z n e j D r i n |. S . L a b o c h a
M e c h a n i k a b u d o w l i
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 3 7
P r o s t y o s c y l a t o r h a r m o n i c z n y s t a n o w i u k Ba d z a c h o w a w c z y . J e g o e n e r g i a k i n e t y c z n a j e s t r ó w n a
2
1 1 q 1
2
ëød öø
( ) 2
E k = Å"m Å"v 2 = Å"m Å" = Å"m Å"A 2 Å"É Å"c o s ÉÅ"t + Õ
ìød t ÷ø
2 2 2
íø øø
E n e r g i a p o t e n c j a l n a w y n o s i n a t o m i a s t
#
1
õø
E p = k Å"q d q = Å"k Å"q 2 + C
õø
2
!#
S t a Ba C w p r z y p a d k u o d n i e s i e n i a e n e r i i d o p o Bo |e n i a q = 0 ( p o Bo |e n i a r ó w n o w a g i ) b d z i e r ó w n a 0 .
S u m a o b u e n e r g i i w y n i e s i e w i c o s t a t e c z n i e
1
2
( ) 2 1 ( ) 2 1
E k + E p = Å"m Å"A 2 Å"É Å"c o s ÉÅ"t + Õ + Å"k Å"A 2 Å"s i n ÉÅ"t + Õ = k Å"A 2
2 2 2
P o n i e w a | z p i e r w s z e j z z a l e |n o [c i ( 7 . 2 5 ) w y n i k a , |e
2
ëøv o öø
A 2 = + q o 2
ìø ÷ø
íøÉøø
m o |n a s u m e n e r g i i z a p i s a j a k o
îøëøv o öø2 ùø
1
ïøìø ÷ø úø
E k + E p = Å"k Å" + q o 2
2
ðøíøÉøø ûø
j e s t o n a o c z y w i [c i e r ó w n a s u m i e t y c h e n e r g i i w c h w i l i p o c z t k o w e j
v o 2 v o 2
1 1
k Å" = k = m Å"v o 2
E k o + E p o = Å"m Å"v o 2 + k Å"q o 2 g d y |
2 k
2 2 É
m
O t r z y m u j e m y w i c p r a w o z a c h o w a n i a e n e r g i i
E k + E p = E k o + E p o = c o n s t
P r z e z c a By c z a s t r w a n i a r u c h u h a r m o n i c z n e g o s u m a e n e r g i i k n e t y c z n e j i p o t e n c j a l n e j j e s t s t a Ba .
S t a B w a r t o [ t e j s u m y o k r e [l a j w a r u n k i p o c z t k o w e .
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
2 0 0 5 - 0 3 - 0 5 P o l i t e c h n i k a C z s t o c h o w s k a K a t e d r a M e c h a n i k i T e c h n i c z n e j D r i n |. S . L a b o c h a
M e c h a n i k a b u d o w l i
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 3 8
P r z y k Ba d 7 . 2
N a b e l c e u s t a w i o n o m a s z y n . W y z n a c z y c z s t o [ d r g a D w Ba s n y c h u s t r o j u w p r z y p a d k u
b e z p o [r e d n i e g o z a m o n t o w a n i a m a s z y n y n a b e l c e o r a z p r z y z a s t o s o w a n i u p o d k Ba d e k o
s z t y w n o [c i k . W y z n a c z y r ó w n a n i e r u c h u u s t r o j u w o b u p r z y p a d k a c h p r z y w y c h y l e n i u
m a s z y n y ( p r z e m i e s z c z e n i e w p i o n i e z g o d n i e z k i e r u n k i e m q ) z p o Bo |e n i a r ó w n o w a g i o 2 c m .
D a n e :
- p a r a m e t r y s z t y w n o [c i b e l k i w s p o r c z e j
a ) m
E I
E = 2 0 5 Å"G P a I = 8 0 . 1 Å"c m 4
q
- m a s a m a s z y n y m = 9 0 0 Å"k g
a b
N
- s z t y w n o [c i p o d k Ba d e k k = 1 0 5 Å"
m
b ) m
k
E I
- w y m i a r y g e o m e t r y c z n e a = 1 2 0 Å"c m
b = 2 8 0 Å"c m
q
a b
R o z w i z a n i e :
3 Å"E Å"I Å"( a + b ) N
k b = k b = 1 7 4 5 3 7 . 6 2 8
S z t y w n o [ m o d e l o w a b e l k i
m
a 2 Å"b 2
k b
C z s t o [ d r g a D w Ba s n y c h k o n s t r u k c j i b e z p o d k Ba d e k É = É = 1 3 . 9 2 6 s - 1
m
1 N
S z t y w n o [ z a s t p c z a u k Ba d u z p o d k Ba d k a m i k z = k z = 6 3 5 7 5 . 1 2 1
1 1 m
+
k k b
k z
C z s t o [ d r g a D w Ba s n y c h k o n s t r u k c j i z p o d k Ba d k a m i Ép = Ép = 8 . 4 0 5 s - 1
m
Z z a Bo |e D z a d a n i a w y n i k a , |e v o = 0 q o = 0 . 0 2 r ó w n a n i a r u c h u p r z y b i e r w i c p o s t a
( )
q ( t ) = 0 . 0 2 Å"c o s ÉÅ"t ( l i n i a c i g Ba n a w y k r e s i e ) ( l i n i a p r z e r y w a n a )
q ( t ) = 0 . 0 2 Å"c o s Ép Å"t
( )
0 . 0 2
0 0 . 5 1 1 . 5 2 2 . 5 3 3 . 5 4
0 . 0 2
C z a s t
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
2 0 0 5 - 0 3 - 0 5 P o l i t e c h n i k a C z s t o c h o w s k a K a t e d r a M e c h a n i k i T e c h n i c z n e j D r i n |. S . L a b o c h a
P r z e m i e s z c z e n i e q
M e c h a n i k a b u d o w l i
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 3 9
P r z y k Ba d 7 . 3
O p i s a r ó w n a n i e r u c h u c i e c z y n i e [c i [l i w e j w n a c z y n i u o k s z t a Bc i e U - r u r k i
b )
a ) c )
q = 0
a
d
D a n e : - c a Bk o w i t a d Bu g o [ s Bu p a c i e c z y ( L = a + 2 b ) L = 1 8 0 c m
- [r e d n i c a p r z e w o d u n a c z y n i a d = 1 0 Å"c m
k g
- g s t o [ c i e c z y Á = 1 0 0 0 Å"
m 3
R o z w i z a n i e :
W y k o r z y s t a m y z a s a d z a c h o w a n i a e n e r g i i d l a o s c y l a t o r a h a r m o n i c z n e g o . W y r a |e n i a
o p i s u j c e e n e r g i e n a l e |y j e d n a k z m o d y f i k o w a z u w z g l d n i e n i e m s p e c y f i k i c i e c z y .
C a Bk o w i t a m a s a c i e c z y w n a c z y n i u
ÀÅ"d 2
M = Å"L Å"Á M = 1 4 . 1 3 7 k g
4
P r z y z a Bo |e n i u , i | c i e c z j e s t n i e [c i [l i w a , j e j e n e r g i k i n e t y c z n m o |n a w y r a z i w z o r e m
2
1 ÀÅ"d 2
ëød q öø
E k = M Å"v 2 = Å"L Å"ÁÅ"
ìød t ÷ø
2 8
íø øø
E n e r g i a p o t e n c j a l n a z w i z a n a j e s t z n a d w y |k p o t e n c j a Bu p o d n i e s i o n e g o s Bu p a c i e c z y
p o n a d a k t u a l n e z w i e r c i a d Bo c i e c z y w d r u g i m s Bu p i e . N a l e |y z w r ó c i u w a g , |e w y n i e s i e n i e
z w i e r c i a d Ba o w i e l k o [ q p o n a d p o z i o m r ó w n o w a g i p o w o d u j e r ó |n i c w y s o k o [c i o 2 q .
q
#
q
#
ÀÅ"d 2 ÀÅ"d 2 ÀÅ"d 2
E p = 2 õø Å"ÁÅ"g Å"¾ d ¾ = Å"ÁÅ"g Å" ¾ d ¾ = Å"ÁÅ"g Å"q 2
õø
õø
4 2 !#0 4
!#0
Z z a s a d y z a c h o w a n i a e n e r g i i o t r z y m a m y
2
ÀÅ"d 2 ÀÅ"d 2
ëød q öø
Å"L Å"ÁÅ" + Å"ÁÅ"g Å"q 2 = c o n s t
ìød t ÷ø
8 4
íø øø
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
2 0 0 5 - 0 3 - 0 5 P o l i t e c h n i k a C z s t o c h o w s k a K a t e d r a M e c h a n i k i T e c h n i c z n e j D r i n |. S . L a b o c h a
q
q
b
q
¾
d
¾
M e c h a n i k a b u d o w l i
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 4 0
J e [l i w y r a |e n i e t o z r ó |n i c z k u j e m y t o u z y s k a m y z a l e |n o [
ÀÅ"d 2 d q d 2 q ÀÅ"d 2 d q
Å"L Å"ÁÅ" Å" + Å"ÁÅ"g Å"q Å" = 0
4 d t d t
d t 2 2
P o u p o r z d k o w a n i u u z y s k u j e m y r ó w n a n i e r ó |n i c z k o w e r u c h u
ëød 2 öø
d q q 2 Å"g
ìø ÷ø= s k d w y n i k a d 2 q + 2 Å"g 0
Å" + Å"q 0 Å"q =
d t ìød t 2 L ÷ø
d t 2 L
íø øø
P o r ó w n u j c o t r z y m a n y z w i z e k z r ó w n a n i e m ( 7 . 1 7 ) m o |e m y j e s z c z e p r z y j p o d s t a w i e n i e
2 Å"g
É = É = 3 . 3 0 1 s - 1
L
Z a t e m o s t a t e c z n i e r u c h u c i e c z y w n a c z y n i u b d z i e o p i s y w a z a l e |n o [
ëø 2 Å"g öø ëø 2 Å"g öø
q ( t ) = A Å"s i n Å"t + B Å"c o s Å"t
ìø ÷ø ìø ÷ø
L L
íø øø íø øø
S t a Be A i B n a l e |y o b l i c z y z w a r u n k ó w p o c z t k o w y c h . Z a k Ba d a j c p r z y k Ba d o w o
m
q o = 1 5 Å"c m v o = 1
s
O p i s r u c h u u p r a s z c z a s i d o p o s t a c i
v o
ëø 2 Å"g öø ëø 2 Å"g öø
q ( t ) = q o Å"c o s Å"t + Å"s i n Å"t
ìø ÷ø ìø ÷ø
L L
É
íø øø íø øø
W y k r e s t e j f u n k c j i p r z e d s t a w i a p o n i |s z y s z k i c
5 0
0 2 4 6 8 1 0
5 0
2 À
O k r e s d r g a D T = T = 1 . 9 0 3 s
É
2
ëøv o öø
A m p l i t u d a A = + q o 2 A = 3 3 . 8 0 5 c m
ìø ÷ø
íøÉøø
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
2 0 0 5 - 0 3 - 0 5 P o l i t e c h n i k a C z s t o c h o w s k a K a t e d r a M e c h a n i k i T e c h n i c z n e j D r i n |. S . L a b o c h a
M e c h a n i k a b u d o w l i
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 4 1
7 . 2 D r g a n i a s w o b o d n e t Bu m i o n e .
R ó w n a n i e d r g a D s w o b o d n y c h t Bu m i o n y c h o p i s u j e p r o c e s f i z y c z n y s p o w o d o w a n y z a b u r z e n i e m
s t a n u r ó w n o w a g i , c z y l i z a i s t n i e n i e m w a r u n k ó w p o c z t k o w y c h ( 7 . 1 9 ) . P r z y u w z g l d n i u s i B
o p o r u t Bu m i e n i a w i s k o t y c z n e g o r ó w n a n i e r u c h u p r z y b i e r z e p o s t a :
d 2 q d q
m Å" + c Å" + k Å"q = 0 ( 7 . 3 0 )
d t 2 d t
P o p r z e k s z t a Bc e n i u d o w y g o d n i e j s z e j p o s t a c i m a t e m a t y c z n e j b d z i e w y g l d a
d 2 q d q
2
+ 2 Å"r Å" + É Å"q = 0 ( 7 . 3 1 )
d t
d t 2
c
g d z i e 2 Å"r = ( 7 . 3 2 )
m
É w g ( 7 . 1 6 )
R o z w i z a n i a r ó w n a n i a ( 7 . 3 1 ) p o s z u k u j e m y m e t o d t r a n f o r m a c j i L a p l a c e ' a :
ëød 2 q d q 2 öø
ìø ÷ø=
L + 2 Å"r Å" + É Å"q 0 ( 7 . 3 3 )
ìød t 2 d t ÷ø
íø øø
K o r z y s t a j c z z a l e |n o [c i ( 7 . 1 9 ) z a p i s u j e m y
ëød 2 q ( t ) öø
ìø ÷ø= s 2 Å"Q ( s ) - s Å"q ( 0 ) - d q ( 0 ) s 2 Å"Q ( s ) - s Å"q o - v o
L =
ìø ÷ø d t
d t 2
íø øø
( 7 . 3 4 )
ëød Å"q ( t ) öø
L
ìø ÷ø= s Å"Q ( s ) - q ( 0 ) = s Å"Q ( s ) - q o
d Å"t
íø øø
P o p o d s t a w i e n i u d o ( 7 . 3 3 ) o t r z y m u j e m y
2
s 2 Å"Q ( s ) - s Å"q o - v o + 2 Å"r Å" s Å"Q ( s ) - q o + É Å"Q ( s ) = 0 s k d
( )
s Å"q o + 2 Å"r Å"q o + v o
s + r 1
Q ( s ) = = q o Å" + r Å"q o + v o Å" ( 7 . 3 5 )
( )
2 2 2
s 2 + 2 Å"r Å"s + É s 2 + 2 Å"r Å"s + É s 2 + 2 Å"r Å"s + É
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
2 0 0 5 - 0 3 - 0 5 P o l i t e c h n i k a C z s t o c h o w s k a K a t e d r a M e c h a n i k i T e c h n i c z n e j D r i n |. S . L a b o c h a
M e c h a n i k a b u d o w l i
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 4 2
T r a n s f o r m a c j o d w r o t n w y z n a c z a s i k o r z y s t a j c z z a l e |n o [c i
1
2 2
( )
f ( t ) = Å"e - r Å"t Å"s i n É - r 2 Å"t d l a r 2 <