Przewodnik w równowadze Przewodnik w zewnętrznym polu elektrycznym
A
adunek w przewodniku
Udowodnimy, na podstawie prawa Gaussa, że dowolny ładunek wprowadzony do
przewodnika zawsze musi się zbierać na jego powierzchni.
Pomyslaną powierzchnią S wybieramy tuż
poniżej realnej powierzchni przewodnika
rð rð
Q
E oð dSV =ð
òð
eð0
W równowadze, w dowolnym pkt. powierzchni S, pole elektryczne jest równe 0.
rð
òðE oð dSV =ð 0 Þð Q =ð 0
Ponieważ pomyślaną powierzchnię S możemy wybrac dowolnie stad w każdym
elemencie objętości Q=0
Stąd ładunek wprowadzony do przewodnika musi się zawsze zbierać na jego
powierzchni.
Potencjał elektryczny przewodnika
Znając pole elektryczne w przewodniku możemy obliczyć jego potencjał.
- 18 -
2
rð
rð
DðV =ð V2 -ðV1 =ð -ð E ×ð dr ºð 0 ÞðV2 =ð V1 =ð const
òð
1
Przewodnik stanowi obszar stałego potencjału. Pole elektryczne jest zawsze
prostopadłe do powierzchni stałego potencjału, czyli jest zawsze prostopadła do
powierzchni przewodnika.
rð
sð rð
E =ð ×ð n
eð0
- 19 -
Pole elektryczne w dielektrykach
W dielektryku, nie zawierającym swobodnych ładunków elektrycznych, obserwujemy
ruch ładunków związanych polem dodatnim jonowym na odległości mikroskopowej.
W objętości dielektryka tworzą się dipole elektryczne o momencie dipolowym p
Zewnętrzne pole elektryczne indukuje moment dipolowy p związany z rozdzieleniem
na odległości L ładunku q cząstki.
Jeżeli w dielektryku mamy N cząsteczek na jednostkę objętości to wypadkowy
moment dipolowy na jednostkę objętości jest równy:
rð rð
rð
P =ð N ×ð p =ð N ×ð q ×ð L
Wektor ten nazywany jest wektorem polaryzacji.
Ponieważ cząsteczki pozostają obojętne elektrycznie średni ładunek w objętości
dielektryka pozostaje równy 0.
Dodatkowy ładunek Qz pojawi się na powierzchni zewnętrznej dielektryka. A
adunek
ten wytworzy dodatkowe pole elektryczne skierowane przeciwnie do pola
zewnętrznego.
- 20 -
Dla powierzchni S dielektryka wartość tego ładunku wynosi:
rð
Qz
Þð sð =ð =ð N ×ð q ×ð L =ð P
Qz =ð S ×ð L×ð N ×ðq
z
S
Ten dodatkowy ładunek powierzchniowy wytwarza w objętości dielektryka pole
wewnętrzne Ew skierowane przeciwnie do pola zewnętrznego E
rð
rð rð
sðZ P rð 1
Ew =ð =ð Þð Ew =ð P
eð0 eð0 eð0
Stad wypadkowe pole w dielektryku:
rð rð rð
1
Ed =ð E -ð P
eð0
Zakłada się, ze moment dipolowy jednostki objętości indukowany polem E jest do
tego pola proporcjonalny
rð rð
P =ð eð0 ×ðkð ×ð Ed
StaÅ‚a kð nosi nazwÄ™ podatnoÅ›ci elektrycznej dielektryka. PodstawiajÄ…c:
rð rð
rð rð
rð
rð rð rð rð
E E E E
Ed =ð E -ðkð ×ð Ed Þð Ed =ð =ð Þð Ed =ð =ð
1+ð kð eð 1+ðkð eð
eð
Przenikalność dielektryczna >1 mówi nam ile razy pole w dielektryku jest mniejsze
od pola zewnętrznego.
Prawo Gaussa w dielektrykach
Obliczymy pole elektrostatyczne wytworzone prze z dwie płyty naładowane
Å‚adunkami +ðsð i -ðsð
Bez dielektryka Z dielektrykiem
- 21 -
rð rð
(sð -ð P ) ×ð S
Q sð ×ð S Q' (sð -ðsð ) ×ð S
z
E oð dSv =ð =ð oð dSv =ð =ð =ð
òð òðE
eð0 eð0 eð0 eð0 eð0
rð rð
0
òð(eð ×ð E +ð P) oð dSv =ð sð ×ð S =ð Q
Wprowadzamy wielkość wektorową  wektor indukcji elektrycznej:
rð rð rð rð
C
éð Å‚ð
D =ð eð0 ×ð E +ð P ®ð Þð oð dSv =ð Q
2
Ä™ðm Å›ð òðD
ëð ûð
Strumień wektora indukcji elektrycznej przez powierzchnie zamknięta równy jest
Å‚adunkowi swobodnemu zawartemu w obszarze ograniczonym ta powierzchnia.
Dla najprostszego modelu polaryzacji dielektryka:
rð rð rð rð rð rð
P =ð eð0 ×ðkð ×ð E Þð D =ð eð0 ×ð E +ð eð0 ×ðkð ×ð E =ð (1+ð kð) ×ðeð0 ×ð E
rð rð
D =ð eð ×ðeð0 ×ð E
Wektor indukcji elektrycznej
rð rð rð rð
sð sð
D =ð sð E =ð D =ð sð E =ð
eð ×ðeð0 eð0
- 22 -
rð rð
1
P =ð (1-ð ) ×ðsð P =ð 0
eð
Pojemność elektryczna
Kondensator stanowią dwa przewodniki (okładki) na których może się gromadzić
ładunek elektryczny, jeżeli do okładek przyłożona będzie różnica potencjałów
Pojemność C zdefiniowana jest jako stosunek nagromadzonego ładunku Q do różnicy
potencjałów
Q C
éðF Å‚ð
C =ð Źð =ð
Ä™ð Å›ð
DðV V
ëð ûð
Kondensator płaski:
Różnica potencjałów pomiędzy płytami o
powierzchniach S, odległych o d i naładowanych
Å‚adunkami Q wynosi:
Q ×ð d
DðV =ð
eð0 ×ð S
Stąd pojemność kondensatora:
Q eð0×ðS
C =ð =ð
DðV d
Pojemność
Obliczamy pojemność na jednostkę długości omawianego wcześniej kabla
koncentrycznego
- 23 -
Pojemność na jednostkę długości:
C Q l lð
Cl =ð =ð =ð
l DðV DðV
lð r2 2pðeð
0
DðV =ð ln Þð Cl =ð
r2
2pðeð r2
0
ln
r2
Przykład Ile wynosi pojemność kabla hi-fi długości 1m, w którym wewnętrzny
przewodnik na średnicę 1mm a osłona średnice 5mm
2pðeð 2pðeð
0 0
Cl =ð ×ð1[m] =ð l[m] =ð 34.5×ð10-ð12[F] =ð 34.5[ pF]
r2
ln 5
ln
r2
Energia pola elektrycznego w kondensatorze
W kondensatorze gromadzona jest energia pola elektrycznego.
W skutek stopniowego zwiększania różnicy potencjałów na kondensatorze od
wartości 0 do V0 wzrasta jego ładunek od 0 do Q0 .
Praca zużytą na przeniesienie
ładunku dQ z ujemnej okładki na
dodatnią, zwiększająca do dU
energiÄ™ zgromadzona w
kondensatorze, równa jest:
dU =ð V ×ð dQ
Całkowita energia zgromadzona w
kondensatorze:
Q0 Q0
2
Q 1 Q0
U =ð ×ð dQ =ð ×ð dQ =ð ×ð
òðV òð
C 2 C
0 0
- 24 -
Energie pola elektrycznego wygodniej jest wyrazić za pomocą natężenia pola:
Q0 eð0 ×ð S
E =ð C =ð Þð U =ð eð0E2 ×ð S ×ð d
eð0 ×ð S d
StÄ…d gÄ™stość energii pola wðE :
U
wðE =ð =ð eð0 ×ð E2
S ×ð d
Dielektryk w kondensatorze
Dielektryk wprowadzony pomiÄ™dzy okÅ‚adki kondensatora zmniejsza eð razy wartość
natężenia pola elektrycznego pomiędzy okładkami i zmienia jego pojemność
Q Q
C =ð =ð =ð eð ×ð C0
V E eð ×ð d
Dla kondensatora płaskiego
eð ×ðeð0 ×ð S
C =ð
d
Obecność ośrodka dielektrycznego wpływa również na gęstość energii pola
zgromadzonÄ… w kondensatorze
Q0
eð0eð ×ð S U
E =ð
C =ð Þð U =ð eð0eð ×ð E2 ×ð S ×ð d Þð wðE =ð =ð eð0eð ×ð E2
eð eð ×ð S
d S ×ð d
0
- 25 -
 - 26 -