Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
Wykład 22
22. Pole magnetyczne, indukcja elektromagnetyczna
22.1 Prawo Ampera
Chcemy teraz znalez
ć pole magnetyczne wytwarzane przez powszechnie występują-
ce rozkłady prądów, takich jak przewodniki prostoliniowe, cewki itd.
Pole magnetyczne prezentujemy graficznie rysujÄ…c
tzw. linie pola magnetycznego czyli linie wektora indukcji
magnetycznej. Na rysunku pokazane sÄ… linie pola magne-
tycznego wokół prostoliniowego przewodnika z prądem.
Wektor B jest styczny do tych linii pola w każdym punk-
cie.
Linie pola B wytwarzanego przez przewodnik sÄ… za-
mkniętymi współśrodkowymi okręgami w płaszczyz
nie
prostopadłej do przewodnika. To, że linie pola B są za-
mknięte stanowi fundamentalną różnicę między polem
magnetycznym i elektrycznym, którego linie zaczynają się
i kończą na ładunkach.
Zwrot wektora indukcji B wokół przewodnika wyzna-
czamy stosując następującą zasadę: Jeśli kciuk prawej ręki
wskazuje kierunek prądu I, to zgięte palce wskazują kie-
runek B (linie pola B krążą wokół prądu).
Żeby obliczyć pole B potrzeba nam "magnetycznego" odpowiednika prawa Gaussa.
Związek między prądem i polem B jest wyrażony poprzez prawo Ampera.
Zamiast sumowania (całki) E po zamkniętej powierzchni, w prawie Ampera sumujemy
(całkujemy) po zamkniętym konturze (całkę krzywoliniową). Taka całka dla pola E
równała się wypadkowemu ładunkowi wewnątrz powierzchni, a w przypadku pola B
jest równa całkowitemu prądowi otoczonemu przez kontur, co zapisujemy
B d l = I (22.1)
0
+"
gdzie = 4 ·10-7 Tm/A, jest przenikalnoÅ›ciÄ… magnetycznÄ… próżni. Tak jak w przypad-
0
ku prawa Gaussa wynik był prawdziwy dla dowolnej powierzchni zamkniętej tak dla
prawa Ampera wynik nie zależy od kształtu konturu zamkniętego
Przykład 1
Obliczmy pole wokół nieskończenie długiego prostoliniowego
przewodnika w odległości r od niego. Z prawa Ampera wynika,
I
że dla konturu kołowego (rysunek obok)
B2 r = I
0
r
StÄ…d
22-1
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
I
0
B = (22.2)
2 r
22.2 Strumień magnetyczny
Tak jak liczyliśmy strumień dla pola E (liczbę linii przechodzących przez po-
wierzchnię S) tak też obliczamy strumień pola B
= d s (22.3)
B
+"B
S
Ponieważ linie pola B są zamknięte więc strumień przez zamkniętą powierzchnię musi
być równy zeru (tyle samo linii wchodzi co wychodzi).
+"B d s = 0
S
22.3 Przykładowe rozkłady prądów
22.3.1 Pręt (przewodnik)
Na zewnątrz pręta (r > R) znamy już pole B.
I
0
B =
2 r
Pole to jest takie jakby cały prąd płynął przez środek pręta
I
(analogie do rozkładu ładunków).
Jeżeli chcemy obliczyć pole wewnątrz pręta to wybieramy
kontur kołowy o r < R.
r
Wewnątrz konturu przepływa prąd i będący tylko częścią
całkowitego prądu I
R
2
r
i = I
R2
StÄ…d
B2 r = i
0
2
r
B2 r = I
0
R2
Czyli
Ir
0
B =
2 R2
22-2
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
22.3.2 Cewka (solenoid)
Solenoidem nazywamy cewkę składającą się z dużej liczby zwojów. Linie pola
magnetycznego solenoidu są pokazane schematycznie na rysunku poniżej. Jak widać
pole wewnątrz solenoidu jest jednorodne, a na zewnątrz praktycznie równe zeru.
Jeżeli zwoje solenoidu stykają się ze sobą wówczas możemy rozpatrywać solenoid jako
układ połączonych szeregowo prądów kołowych (rysunek).
Do obliczenia pola wytwarzanego przez sole-
d
noid zastosujemy prawo Ampera, dla konturu
c
pokazanego na rysunku obok.
Całkę B d l przedstawimy jako sumę czte-
+"
b
a
B
rech całek
b c d a
B d l + B d l + B d l + B d l
+"B d l = +" +" +" +"
a b c d
Druga i czwarta całka są równe zeru bo B Ą" l. Trzecia całka jest też równa zero ale to
dlatego, że B = 0 na zewnątrz solenoidu. Tak więc niezerowa jest tylko całka pierwsza
i równa
b
+"B d l = Bh
a
gdzie h jest długością odcinka ab.
Teraz obliczmy prÄ…d obejmowany przez kontur.
Jeżeli cewka ma n zwojów na jednostkę długości to wewnątrz konturu jest nh zwojów
czyli całkowity prąd przez kontur wynosi:
I = I0nh
gdzie I0 jest prądem przepływającym przez cewkę (przez pojedynczy zwój).
Z prawa Ampera otrzymujemy więc:
22-3
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
Bh = I0nh
0
czyli
B = I0n (22.4)
0
22.3.3 Dwa przewodniki równoległe
Dwa przewodniki równoległe umieszczone w odległości d. Płyną w nich prądy Ia
i Ib odpowiednio.
Przewodnik a wytwarza w swoim otocze-
niu pole
a
b
Ia
0
Ba =
2 d
l
F
W tym polu znajduje siÄ™ przewodnik b, w
którym przepływa prąd Ib. Na odcinek l
tego przewodnika działa siła
Ba
l Ia Ib
0
Fb = IblBa = (22.5)
2 d
d
ia
ib
Zwrot siły widać na rysunku.
To rozumowanie można "odwrócić" za-
czynajÄ…c od przewodnika b. Wynik jest ten sam.
Fakt oddziaływania przewodników równoległych wykorzystano przy definicji ampe-
ra. Załóżmy, że d = 1m oraz, że Ia = Ib = I. Jeżeli dobierzemy tak prąd aby siła przycią-
gania przewodników, na 1 m ich dÅ‚ugoÅ›ci, wynosiÅ‚a 2·10-7 N to mówimy, że natężenie
prądu jest równe 1 amperowi.
22.4 Prawo Biota-Savarta
Istnieje inne równanie, zwane prawem Biota-Savarta, które pozwala obliczyć B
z rozkładu prądu. Oczywiście to prawo i prawo Ampera muszą być matematycznie rów-
noważne. Prawo Ampera jest jednak "łatwe" w stosowaniu tylko gdy rozkłady prądów
są na tyle symetryczne, że obliczenie odpowiedniej całki nie jest trudne. Gdy rozkład
prądów jest skomplikowany (nie znamy jego symetrii) to dzielimy prądy na nieskończe-
nie małe elementy (rysunek) i stosując prawo Biota-Savarta obliczamy pole od takich
elementów, a następnie sumujemy je (całkujemy)
żeby uzyskać wypadkowy wektor B.
Wartość liczbowa dB zgodnie z prawem Biota-
I
Savarta wynosi
dl
I d lsin
¸ 0
d B =
2
4 r
r
dB
a zapisane w postaci wektorowej
22-4
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
I d l × r
0
d B = (22.6)
3
4 r
Przykład 2
Obliczmy pole B na osi kołowego przewodnika z prądem.
dB
r
dBÄ„"
I
Ä…
R
x
dBII
Z prawa B -S otrzymujemy
I d lsin 90o
0
d B =
2
4 r
oraz
d BII = d Bcos
Z tych równań otrzymujemy
Icos dl
0
d BII =
2
4 r
Ponadto
r = R2 + x2
oraz
R R
cos = =
r
R2 + x2
PodstawiajÄ…c otrzymujemy
IR
0
d BII = d l
4 (R2 + x2 )3 2
Zauważmy, że wielkości I, R, x są takie same dla wszystkich elementów prądu.
Całkujemy, żeby obliczyć B (wyłączając stałe czynniki przed znak całki)
IR IR IR2
0 0 0
B = BII = (2 R) =
+"d 4 (R2 + x2 )3 2 +"d l = 4 (R2 + x2 )3 2
2(R2 + x2 )3 2
Dla x >> R dostajemy
IR2
0
B =
2x3
22-5
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
22.5 Indukcja elektromagnetyczna
22.5.1 Prawo Faradaya
Zjawisko indukcji elektromagnetycznej polega na powstawaniu prądów elektrycz-
nych w zamkniętym obwodzie podczas przemieszczania się względem siebie z
ródła po-
la magnetycznego i tego zamkniętego obwodu. Mówimy, że w obwodzie jest indukowa-
na siła elektromotoryczna (SEM indukcji), która wywołuje przepływ prądu indukcyjne-
go.
Prawo indukcji Faradaya stosuje się do trzech różnych sytuacji fizycznych:
" Nieruchoma pętla, względem której porusza się z
ródło pola magnetycznego (mamy
tzw. elektrycznÄ… SEM).
" Przewód w kształcie pętli porusza się w obszarze pola magnetycznego (magnetyczna
SEM).
" Nieruchoma pętla i nieruchome z
ródło pola magnetycznego lecz zmienia się prąd,
który jest z
ródłem pola magnetycznego (także elektryczna SEM).
Na podstawie obserwacji Faraday doszedł do wniosku, że czynnikiem decydującym jest
szybkość zmian strumienia magnetycznego . Ilościowy związek przedstawia prawo
B
Faradaya
d B
= - (22.7)
dt
Jeżeli mamy obwód złożony z N zwojów to
d B
= -N
d t
22.5.2 Reguła Lenza
v
S N
PrÄ…d indukowany ma taki kieru-
I
nek, że przeciwstawia się zmianie,
która go wywołała. Kierunek prądu
indukowanego w pętli (rysunek
v
obok) zależy od tego czy strumień
rośnie czy maleje (zbliżamy czy od-
dalamy magnes). Ta reguła dotyczy
S N
prądów indukowanych.
I
22-6